【温馨提示:本书更适用于选科组合偏文类的学生,请根据实际情况选用】

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 ?????????????????? １

第１节 集合/１

[拓展视野] Venn图的应用/３

第２节 常用逻辑用语/４

第３节 不等式及其性质/７

第４节 二次函数与一元二次方程、不等式/９

第一课时 二次函数及其性质/９

第二课时 一元二次方程、不等式/１２

第５节 均值不等式/１５

[拓展视野] 均值不等式链/１７

第二章 函数????????????????????????????????? １８

第１节 函数的概念及表示/１８

[微点突破] 函数的值域/２１

第２节 单调性与最大(小)值/２２

第３节 奇偶性、对称性与周期性/２５

第一课时 奇偶性、对称性与周期性/２６

[微点突破] 抽象函数/２８

第二课时 函数性质的综合应用/２９

[微点突破] 函数性质中的二级结论/３０

第４节 幂函数与几类特殊函数/３１

第５节 指数与对数的运算/３５

第６节 指数函数/３８

第７节 对数函数/４０

第８节 函数的图象/４３

第９节 函数与方程/４７

[微点突破] 嵌套函数的零点问题/４９

第１０节 函数模型及其应用/５０

第三章 导数及其应用 ??????????????????????????? ５４

第１节 导数的概念及运算/５４

[微点突破] 公切线问题/５７

第２节 导数与函数的单调性/５８

[微点突破] 函数中的构造问题/６１

第３节 导数与函数的极值、最值/６２

第４节 导数中的综合问题/６５

第一课时 不等式恒(能)成立问题/６５

第二课时 利用导数研究函数的零点/６８

[答题规范] 利用函数性质研究函数零点/６８

[微点突破] 隐零点问题/７０

第三课时 构造函数证明不等式/７１

[微点突破] 双变量问题/７２

— １ —

第四章 三角函数、解三角形 ??????????????????????????????? ７３

第１节 任意角和弧度制及三角函数的概念/７３

第２节 同角三角函数的基本关系及诱导公式/７６

第３节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式/７９

第４节 二倍角公式及应用/８１

第５节 三角函数式的化简与求值/８３

[拓展视野] 万能公式/８５

第６节 三角函数的图象与性质/８６

第７节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用/８９

第８节 正弦定理和余弦定理及其应用/９２

第一课时 正弦定理和余弦定理/９３

[拓展视野] 射影定理的应用/９４

第二课时 解三角形的应用/９５

[答题规范] 三角形中的最值、范围问题/９５

第９节 三角函数模型及解三角形的实际应用/９８

第五章 平面向量、复数 ????????????????????????????????? １０１

第１节 平面向量的概念及线性运算/１０１

第２节 平面向量基本定理及坐标表示/１０４

第３节 平面向量的数量积及其应用/１０７

[微点突破] 数量积的最值(范围)/１０９

第４节 复数/１１０

第六章 数列 ???????????????????????????????????????? １１３

第１节 数列的概念与简单表示法/１１３

第２节 等差数列及其前n 项和/１１６

第３节 等比数列及其前n 项和/１１９

第４节 数列求和/１２２

[答题规范] 错位相减法求和/１２５

第七章 立体几何与空间向量 ?????????????????????????????? １２６

第１节 基本立体图形及几何体的表面积与体积/１２６

第２节 与球有关的切、接问题/１３０

第３节 空间点、直线、平面之间的位置关系/１３２

第４节 直线、平面平行的判定与性质/１３５

第５节 直线、平面垂直的判定与性质/１３９

[微点突破] 几何法求线面角、二面角/１４３

第６节 空间向量及其应用/１４４

第７节 向量法求空间角/１４８

[答题规范] 平面与平面的夹角/１５０

第８节 向量法求距离、探索性及折叠问题/１５２

— ２ —

第八章 平面解析几何 ?????????????????????????????????? １５５

第１节 直线的方程/１５５

第２节 两直线的位置关系/１５８

第３节 圆的方程/１６２

第４节 直线与圆、圆与圆的位置关系/１６５

第５节 椭圆/１６８

第６节 双曲线/１７１

[拓展视野] 椭圆、双曲线中的二级结论/１７４

第７节 抛物线/１７５

[拓展视野] 抛物线中的二级结论/１７８

第８节 直线与圆锥曲线/１７９

第９节 圆锥曲线中的综合问题/１８３

第一课时 定点、定值问题/１８３

第二课时 最值、范围问题/１８６

[答题规范] 最值问题/１８６

第三课时 求值、证明、探索性问题/１８９

第九章 统计与统计模型 ????????????????????????????????? １９２

第１节 随机抽样、统计图表/１９２

第２节 用样本估计总体/１９６

第３节 统计模型/２００

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 ????????????????????? ２０５

第１节 两个计数原理/２０５

第２节 排列与组合/２０８

第３节 二项式定理/２１１

第４节 随机事件、频率与概率/２１４

第５节 古典概型、概率的基本性质/２１７

第６节 事件的独立性、条件概率与全概率公式/２２０

第７节 离散型随机变量及其分布列、数字特征/２２３

第８节 二项分布与超几何分布、正态分布/２２７

[答题规范] 概率与统计的综合问题/２３０

[微点突破] 二项分布与超几何分布的区别与联系/２３１

«一轮对点７１练»(另成册 ２３３~３８４)

«答案解析与规律方法»(另成册 ３８５~５１２)

— ３ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 ???????????????????????? ２

教材宏观把控/２

教材探究思考/２

教材典题重温/３

第二章 函数 ?????????????????????????????????????? ９

教材宏观把控/９

教材探究思考/９

教材典题重温/１０

第三章 导数及其应用 ???????????????????????????????? １６

教材宏观把控/１６

教材探究思考/１６

教材典题重温/１７

第四章 三角函数、解三角形 ????????????????????????????? ２１

教材宏观把控/２１

教材探究思考/２１

教材典题重温/２３

第五章 平面向量、复数 ??????????????????????????????? ３０

教材宏观把控/３０

教材探究思考/３０

教材典题重温/３１

第六章 数列 ????????????????????????????????????? ３５

教材宏观把控/３５

教材探究思考/３５

教材典题重温/３６

第七章 立体几何与空间向量 ???????????????????????????? ４１

教材宏观把控/４１

教材探究思考/４１

教材典题重温/４４

第八章 平面解析几何 ???????????????????????????????? ５４

教材宏观把控/５４

教材探究思考/５４

教材典题重温/５６

第九章 统计、统计模型 ??????????????????????????????? ６３

教材宏观把控/６３

教材探究思考/６３

教材典题重温/６５

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 ???????????????????? ６９

教材宏观把控/６９

教材探究思考/６９

教材典题重温/７１

参考答案 ???????????????????????????????????????? ８０

— ４ —

第１节 集 合

考试要求 １? 了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系．２? 理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集

合的子集．３? 理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集．４? 能使用

Venn图表达集合间的基本关系与基本运算．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?元素与集合

(１)集合中元素的三个特性:确定性、 、

无序性．

(２)元素与集合的关系是 或不属于,表

示符号分别为∈和∉．

(３)集合的三种表示方法: 、 、

图示法．

(４)常用数集及记法

名称

自然

数集

正整

数集

整数集

有理

数集

实数集

记法

２?集合间的基本关系

(１)子集:如果集合A 的任意一个元素都是集合

B 的 ,那么集合A 称为集合B 的子集．

记作A B(或B⊇A)．

(２)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,并且

B 中至少有一个元素 A,那么集合 A

称为集合 B 的真子集．记作 A B(或

B⫌A)．

(３)相等:若A⊆B,且 ,则A＝B．

(４)空集的性质:空集是任何集合的子集,是任何

集合的真子集．

３?集合的基本运算

集合的并集 集合的交集 集合的补集

符号

表示

A∪B A∩B

若全集为U,则集

合A 的补集为∁UA

图形

表示

集合

表示

{x|x∈A,

或x∈B}

{x|x∈U,

且x∉A}

４?集合的运算性质

(１)A∩A＝A,A∩⌀＝⌀,A∩B＝B∩A．

(２)A∪A＝A,A∪⌀＝A,A∪B＝B∪A．

(３)A∩(∁UA)＝⌀,A∪(∁UA)＝U,

∁U(∁UA)＝A．

[常用结论]

１?若有限集A 中有n个元素,则A 的子集有２

n 个,真

子集有２

n －１个,非空子集有２

n －１个,非空真子

集有２

n －２个．

２?A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB．

３?∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB),

∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

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【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)任何一个集合都至少有两个子集． ( )

(２){x|y＝x

２＋１}＝{y|y＝x

２＋１}＝{(x,y)|

y＝x

２＋１}． ( )

(３)若１∈{x

２,x},则x＝－１或１． ( )

(４)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)

恒成立． ( )

２?集合A＝{x|２≤x＜４},B＝{x|３x－７≥８－２x},则

A∩B＝ ．

３?已知集合A＝{m＋２,２m

２＋m},若３∈A,则 m

的值为 ．

４?已知集合A＝{x|０＜x＜a},B＝{x|１＜x＜２},

若B⊆A,则实数a的取值范围是 ．

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考点突破·题型剖析

考点一 集合的基本概念

例１ (１)(２０２３?泰州调研)已知集合A＝{０,１,２,

３,４},B＝{(x,y)|x∈A,y∈A,x－y∈A},则

B 中所含元素的个数为 ( )

A５． B６． C１．０ D１．５

(２)若集合A＝{a－３,２a－１,a

２－４},且－３∈A,

则实数a＝ ．

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感悟提升 １? 研究集合问题时,首先要明确构成

集合的元素是数集、点集,还是其他集合;然后再看

集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集

合的含义．

２?利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集

合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否

满足互异性．

训练１ (１)(２０２３?湖北九师联盟质检)已知集

合A＝{x|(２a－x)(x－a)＜０},若２∉A,则实

数a的取值范围为 ( )

A．(－∞,１)∪(２,＋∞) B．[１,２)

C．(１,２) D．[１,２]

(２)(２０２３?石家庄联考)已知集合A＝{(x,y)|

x

２＋y

２＝１},集合B＝{(x,y)|y＝|x|－１},则

集合A∩B 的真子集的个数为 ( )

A３． B４． C７． D８．

考点二 集合间的基本关系

例２ (１)已知集合A＝{x|x

２－２x－３≤０},集合

B＝{x||x－１|≤３},集合C＝ x

x－４

x＋５ { ≤０} ,则

集合A,B,C 的关系正确的是 ( )

A．B⊆A B．A＝B C．C⊆B D．A⊆C

(２)(２０２２?西安二模)已知集合

A＝{x x－

１

４

＜

１

４

} ,B＝xa＜x＜

１

{ ２} ．

若B⊆A,则实数a的取值范围是 ．

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感悟提升 １?若B⊆A,应分B＝⌀和B≠⌀两种

情况讨论．

２?已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个

集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进

而求得参数范围．注意合理利用数轴、Venn图帮助

分析及对参数进行讨论．求得参数后,一定要把端点

值代入进行验证,否则易增解或漏解．

训练２ (１)已知集合A＝{x|x

２－３x＋２＝０},

B＝{x∈N|x

２－６x＜０},则满足A⫋C⊆B 的

集合C 的个数为 ( )

A４． B６． C７． D８．

(２)(２０２３?景德镇模拟)设集合 M＝{x|－３＜

x＜７},N＝{x|２－t＜x＜２t＋１,t∈R}．若M∪N

＝M,则实数t的取值范围为 ．

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— ２ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点三 集合的运算

例３ (１)(２０２２?新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|x＜４},

N＝{x|３x≥１},则M∩N＝ ( )

A．{x|０≤x＜２} B．x

１

３ { ≤x＜２}

C．{x|３≤x＜１６} D．x

１

３ { ≤x＜１６}

(２)(２０２２?全国甲卷)设全集U＝{－２,－１,０,１,

２,３},集合A＝{－１,２},B＝{x|x

２－４x＋３＝０},

则∁U(A∪B)＝ ( )

A．{１,３} B．{０,３}

C．{－２,１} D．{－２,０}

(３)集合M＝{x|２x

２－x－１＜０},N＝{x|２x＋

a＞０},U＝R．若 M∩(∁UN)＝⌀,则a 的取值

范围是 ．

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感悟提升 １? 进行集合运算时,首先看集合能否

化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算．

２?数形结合思想的应用:

(１)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助 Venn

图求解;

(２)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴

时要特别注意端点是实心还是空心．

训练３ (１)(２０２２?浙江卷)设集合A＝{１,２},

B＝{２,４,６},则A∪B＝ ( )

A．{２} B．{１,２}

C．{２,４,６} D．{１,２,４,６}

(２)(多选)(２０２２?武汉二模)已知集合A＝{１,

４,a},B＝{１,２,３},若 A∪B＝{１,２,３,４},则

a的取值可以是 ( )

A２． B３． C４． D５．

(３)(２０２３?沈阳联考)已

知U＝{x|－３≤x＜３},

A＝{x|－２≤x＜３},则

图中阴影表示的集合是 ．

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Venn图的应用

在部分有限集中,我们经常遇到元素个数的问题,

常用 Venn图表示两个集合的交、并、补集,借助于

Venn图解决集合问题,直观简捷,事半功倍．用Card

表示有限集中元素的个数,即Card(A)表示有限集

A 的元素个数．

例 (２０２０?新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参

加体育锻炼,其中有９６％的学生喜欢足球或游

泳,６０％的学生喜欢足球,８２％的学生喜欢游

泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数

占该校学生总数的比例是 ( )

A６．２％ B５．６％ C４．６％ D４．２％

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训练 某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲

座,其中有８５人听了数学讲座,７０人听了历史

讲座,６１人听了音乐讲座,１６人同时听了数学、

历史讲座,１２人同时听了数学、音乐讲座,９人

同时听了历史、音乐讲座,还有５人听了全部讲

座,则听讲座的人数为 ．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２３５页

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— ３ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

第２节 常用逻辑用语

考试要求 １? 理解充分条件、必要条件、充要条件的含义．２? 理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必

要条件的关系．３? 理解全称量词命题与存在量词命题的含义,能正确对两种命题进行否定．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q,则p 是q的 条件,q是p 的

条件

p 是q的 条件 p⇒q且q/⇒p

p 是q的 条件 p/⇒q且q⇒p

p 是q的 条件 p⇔q

p 是q的既不充分也不必要条件 p/⇒q且q/⇒p

２?全称量词与存在量词

(１)全称量词:一般地,“任意”“所有”“每一个”在

陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用

符号“ ”表示．

(２)存在量词:“存在”“有”“至少有一个”在陈述中

表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用

符号“ ”表示．

３?全称量词命题和存在量词命题

名称 全称量词命题 存在量词命题

结构

对 M 中 的 任 意 一 个

x,有p(x)成立

存在 M 中的元素

x,p(x)成立

简记 ∃x∈M,p(x)

否定 ∃x∈M,?p(x)

[常用结论]

１?区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B/⇒A),

与A 的充分不必要条件是B(B⇒A 且A/⇒B)两

者的不同．

２?p 是q的充分不必要条件,等价于?q 是?p 的

充分不必要条件．

３?含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否

结论”．

４?命题p 和?p 的真假性相反,若判断一个命题的

真假有困难时,可判断此命题的否定的真假．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词

命题． ( )

(２)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存

在量词． ( )

(３)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件．( )

(４)若已知p:x＞１和q:x≥１,则p 是q的充分

不必要条件． ( )

２?命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等

腰三角形”的 ( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

３?命题“有一个偶数是素数”的否定是 ．

４?使－２＜x＜２成立的一个充分条件是 ．

(答案不唯一,写出一个即可)

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— ４ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点突破·题型剖析

考点一 充分、必要条件的判断

例１ (１)(２０２２?浙江卷)设x∈R,则“sinx＝１”是

“cosx＝０”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(２)(２０２３?泰安模拟)下列选项中,p 是q的必

要不充分条件的是 ( )

Ap．:a＞１,q:f(x)＝logax(a＞０,且a≠１)在

(０,＋∞)上为增函数

Bp．:a＞１,b＞１,q:f(x)＝a

x －b(a＞０,且a≠１)

的图象不过第二象限

Cp．:x≥２且y≥２,q:x

２＋y

２≥４

Dp．:a＋c＞b＋d,q:a＞b且c＞d

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感悟提升 充分、必要条件的两种判定方法:

(１)定义法:根据p⇒q,q⇒p 进行判断,适用于定

义、定理判断性问题．

(２)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进

行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．

训练１ (１)(２０２２?石家庄一模)已知x∈R,则

“x＜－１”是“x

２＞１”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(２)(２０２３?福州调研)已知a∈R,若集合 M＝

{１,a},N＝{－１,０,１},则“M⊆N”是“a＝０”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(３)(多选)(２０２３?怀化一诊)下列命题为真命题

的是 ( )

A．“a＞b”是“ac

２＞bc

２”的必要不充分条件

B．“a＞b”是“

１

a

＜

１

b

”的充要条件

C．“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件

D．“x 或y为有理数”是“xy 为有理数”的既不

充分也不必要条件

考点二 充分必要条件的应用

例２ 已知集合A＝{x|x

２－８x－２０≤０},非空集

合B＝{x|１－m≤x≤１＋m}．若x∈A 是x∈B

的必要条件,求m 的取值范围．

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迁移 本例中,若把“x∈A 是x∈B 的必要条

件”改为“x∈A 是x∈B 的充分不必要条件”,

求m 的取值范围．

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感悟提升 充分条件、必要条件的应用,一般表现

在参数问题的求解上．解题时需注意

(１)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合

之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参

数的不等式(或不等式组)求解．

(２)要注意区间端点值的检验．

训练２ (２０２３?衡水调研)若集合A＝{x|x＞２},

B＝{x|bx＞１},其中b为实数．

(１)若A 是B 的充要条件,则b＝ ;

(２)若A 是B 的充分不必要条件,则b的取值

范围是 ．

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— ５ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

考点三 全称量词与存在量词

角度１ 含量词命题的否定

例３ (１)(２０２３?天津模拟)已知命题p:∀x∈R,

sinx≤１,则 ( )

A．?p:∃x∈R,sinx≥１

B．?p:∀x∈R,sinx≥１

C．?p:∃x∈R,sinx＞１

D．?p:∀x∈R,sinx＞１

(２)已知命题p:∃n∈N,n

２≥２n＋５,则?p为( )

A．∀n∈N,n

２≥２n＋５

B．∃n∈N,n

２≤２n＋５

C．∀n∈N,n

２＜２n＋５

D．∃n∈N,n

２＝２n＋５

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角度２ 含量词命题的真假判断

例４ (多选)下列命题是真命题的是 ( )

A．∃a∈R,使函数y＝２

x ＋a?２

－x 在R上为偶

函数

B．∀x∈R,函数y＝sinx＋cosx＋ ２的值恒为

正数

C．∃x∈R,２

x ＜x

２

D．∀x∈(０,＋∞),

１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

＞log１

３x

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角度３ 含量词命题的应用

例５ (２０２３?长春调研)已知命题“∃x∈R,mx

２－

mx＋１≤０”是假命题,则实数 m 的取值范围

是 ．

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感悟提升 １? 含量词命题的否定,一是要改写量

词,二是要否定结论．

２?判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,

需要对集合 M 中的每一个元素x,证明p(x)成立;

要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只

要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可．

３?由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的含

义,利用函数的最值求参数的范围;二是利用等价

命题,即p 与?p 的关系,转化成?p 的真假求参

数的范围．

训练３ (１)命题p:“有些三角形是等腰三角形”

的否定是 ( )

A．有些三角形不是等腰三角形

B．有些三角形可能是等腰三角形

C．所有三角形都不是等腰三角形

D．所有三角形是等腰三角形

(２)(多选)下列命题为真命题的是 ( )

A．∀x∈R,２

x－１＞０ B．∀x∈N

∗ ,(x－１)２＞０

C．∃x∈R,lgx＜１ D．∃x∈R,tanx＝２

(３)(２０２３?临沂联考)若命题“∃x０∈R,x

２

０＋

２ax０＋２－a＝０”是真命题,则实数a 的取值范

围是 ．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２３６页

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— ６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第３节 不等式及其性质

考试要求 １? 理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．２? 理解不等式的概念．３? 理解不等式的性质,掌

握不等式性质的简单应用．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?两个实数比较大小的方法

(１)作差法

a－b＞０⇔a b,

a－b＝０⇔a b,

a－b＜０⇔a b．

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

(２)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法．

２?不等式的性质

(１)不等式的性质

①可加性:a＞b⇔a＋c b＋c;

②可乘性:a＞b,c＞０⇒ac＞bc;

a＞b,c＜０⇒ac＜bc;

③传递性:a＞b,b＞c⇒ ;

④对称性:a＞b⇔b＜a．

(２)不等式的推论

①移项法则:a＋b＞c⇔a＞c－b;

②同向不等式相加:a＞b,c＞d⇒ ;

③同向不等式相乘:a＞b＞０,c＞d＞０⇒ ;

④可乘方性:a＞b＞０⇒ (n∈N,n＞１);

⑤可开方性:a＞b＞０⇒ a＞ b．

[常用结论]

１?证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合

法、分析法、反证法、放缩法．

２?有关分式的性质

(１)若a＞b＞０,m＞０,则

b

a

＜

b＋m

a＋m

;

b

a

＞

b－m

a－m

(b－m＞０)．

(２)若ab＞０,则a＞b⇔

１

a

＜

１

b

．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)a＞b⇔ac

３＞bc

３． ( )

(２)a＝b⇔ac＝bc． ( )

(３)若

a

b

＞１,则a＞b． ( )

(４)０＜a＜x＜b或a＜x＜b＜０⇒

１

b

＜

１

x

＜

１

a

．( )

２?(多选)下列命题为真命题的是 ( )

A．若ac

２＞bc

２,则a＞b

B．若a＞b＞０,则a

２＞b

２

C．若a＜b＜０,则a

２＜ab＜b

２

D．若a＜b＜０,则

１

a

＞

１

b

３?设 M＝x

２＋y

２＋１,N＝２(x＋y－１),则 M 与 N

的大小关系为 ．

４?已知－１＜a＜２,－３＜b＜５,则a＋２b的取值范

围是 ．

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考点突破·题型剖析

考点一 比较数(式)的大小

例１ (１)若a＜０,b＜０,则p＝

b

２

a

＋

a

２

b

与q＝a＋b

的大小关系为 ( )

Ap．＜q Bp．≤q Cp．＞q Dp．≥q

(２)e

π?π

e 与e

e?π

π 的大小关系为 ．

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— ７ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

感悟提升 比较大小的常用方法

(１)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论．

(２)作商法:①作商;②变形;③判断商与１的大小关

系;④得出结论．

训练１ (１)若a,b∈[０,＋∞),A＝ a＋ b,

B＝ a＋b,则A,B 的大小关系是 ( )

A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B

(２)若a＝

ln３

３

,b＝

ln４

４

,c＝

ln５

５

,则 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜b＜a

Cc．＜a＜b Db．＜a＜c

考点二 不等式的基本性质

例２ (１)(多选)(２０２３?张家口一模)若a＞b,则下

列不等式中正确的有 ( )

Aa．－b＞０ B２．

a ＞２

b

Ca．c＞bc Da．

２＞b

２

(２)(多选)(２０２３?泰州调研)若a＞b＞０＞c,则( )

A．

c

a

＞

c

b

B．

b－c

a－c

＞

b

a

Ca．

c ＞b

c Da．－c＞２ －bc

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感悟提升 解决此类题目常用的三种方法:

(１)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意

前提条件;

(２)利用特殊值排除法;

(３)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质

不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函

数的单调性进行判断．

训练２ (１)(２０２３?福州一模)“０＜a＜b”是

“a－

１

a

＜b－

１

b

”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(２)(多选)已知x＞y＞z,x＋y＋z＝０,则下列

不等式不成立的是 ( )

Ax．y＞yz Bx．y＞xz

Cx．z＞yz Dx．|y|＞|y|z

考点三 不等式性质的综合应用

例３ (１)已知－１＜x＜４,２＜y＜３,则x－y 的取

值范 围 是 ,３x ＋２y 的 取 值 范 围

是 ．

(２)已知a∈(－３,－２),b∈(２,４),则

b

a

的取值

范围是 ．

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迁移 在本例(１)中,把条件改为“－１＜x－y＜４,

２＜x＋y＜３,求３x＋２y的取值范围．

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感悟提升 利用不等式性质可以求某些代数式的

取值范围,应注意两点:一是必须严格运用不等式

的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩

大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范

围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过

“一次性”不等关系的运算求解范围．

训练３ (１)已知０＜β＜α＜

π

２

,则α－β的取值

范围是 ．

(２)已知a＞b＞c,２a＋b＋c＝０,则

c

a

的取值范

围是 ．

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２３７页

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— ８ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第４节 二次函数与一元二次方程、不等式

第一课时 二次函数及其性质

考试要求 理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?二次函数解析式的三种形式

(１)一般式:f(x)＝ ．

(２)顶点式:f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０),顶点坐

标为 ．

(３)零点式:f(x)＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０),

x１,x２ 为f(x)的零点．

２?二次函数的图象和性质

函数

y＝ax

２＋bx＋c

(a＞０)

y＝ax

２＋bx＋c

(a＜０)

图象

(抛物线)

定义域

值域

４ac－b

２

４a

,＋∞

é

ë

ê

ê

ö

ø

÷ －∞,

４ac－b

２

４a

æ

è

ç

ù

û

ú

ú

对称轴 x＝

顶点

坐标

奇偶性

当b＝０时是偶函数,当b≠０时是非奇非

偶函数

单调性

在 －∞,－

b

２a

æ

è

ç

ù

û

ú

ú 上是

函数;

在 －

b

２a

,＋∞

é

ë

ê

ê

ö

ø

÷ 上是

函数

在 －∞,－

b

２a

æ

è

ç

ù

û

ú

ú 上

是 函数;

在 －

b

２a

,＋∞

é

ë

ê

ê

ö

ø

÷ 上

是 函数

[常用结论]

１?二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和

对称轴及给定区间的范围有关．

２?若f(x)＝ax

２＋bx＋c(a≠０),则当

a＞０,

{Δ＜０

时,恒有

f(x)＞０;当

a＜０,

{Δ＜０

时,恒有f(x)＜０．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)二次函数y＝ax

２＋bx＋c的图象恒在x 轴下

方,则a＜０且Δ＜０． ( )

(２)若二次函数y＝ax

２＋bx＋c 的两个零点确

定,则二次函数的解析式确定． ( )

(３)二次函数y＝ax

２＋bx＋c(x∈[m,n])的最值

一定是

４ac－b

２

４a

． ( )

２?函数y＝x

２－２x＋４的最小值为 ．

３?若函数f(x)＝４x

２－kx－８在[５,２０]上单调,则

实数k的取值范围为 ．

４?已知y＝f(x)为二次函数,若y＝f(x)在x＝２

处取得最小值－４,且y＝f(x)的图象经过原点,

则函数解析式为 ．

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— ９ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

考点突破·题型剖析

考点一 二次函数的解析式

例１ (１)函数f(x)满足下列性质:

①定义域为R,值域为[１,＋∞);

②图象关于x＝２对称;

③对任意x１,x２∈(－∞,０),且x１≠x２,都有

f(x１)－f(x２)

x１－x２

＜０．

请写出函数f(x)的一个解析式 ．

(只要写出一个即可)

(２)已知二次函数f(x)满足f(２)＝－１,f(－１)

＝－１,且f(x)的最大值是８,则f(x)＝ ．

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感悟提升 求二次函数解析式的方法

训练１ (１)已知f(x)为二次函数,且f(x)＝

x

２＋f′(x)－１,则f(x)等于 ( )

Ax．

２－２x＋１ Bx．

２＋２x＋１

C２．x

２－２x＋１ D２．x

２＋２x－１

(２)已知二次函数f(x)的图象经过点(４,３),在

x 轴上截得的线段长为２,并且对任意x∈R,都

有f(２－x)＝f(２＋x),则f(x)＝ ．

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考点二 二次函数的图象

例２ (多选)如图是二次函数

y＝ax

２＋bx＋c(a≠０)图象的

一部分,图象过点A(－３,０),

对称轴为x＝－１．给出下面

四个结论正确的为 ( )

Ab．

２＞４ac B２．a－b＝１

Ca．－b＋c＝０ D５．a＜b

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感悟提升 研究二次函数图象应从“三点一线一开

口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点

是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x 轴的

交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛

物线的开口方向．

训练２ 设abc＞０,二次函数f(x)＝ax

２＋bx＋

c的图象可能是 ( )

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— １０ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点三 二次函数的最值

例３ 已知函数f(x)＝x

２－tx－１．

(１)若f(x)在区间(－１,２)上不单调,求实数t

的取值范围;

(２)若x∈[－１,２],求f(x)的最小值g(t)．

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迁移 本例条件不变,求当x∈[－１,２]时,

f(x)的最大值G(t)．

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感悟提升 闭区间上二次函数最值问题的解法:抓

住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和

中点,一轴指的是对称轴,结合图象,根据函数的单

调性及分类讨论的思想求解．

训练３ 已知函数f(x)＝x

２＋(２a－１)x－３．

(１)当a＝２,x∈[－２,３]时,求函数f(x)的

值域;

(２)若函数f(x)在[－１,３]上的最大值为１,求

实数a的值．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２３９页

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— １１ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

第二课时 一元二次方程、不等式

考试要求 １? 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与

方程根的关系．２? 了解一元二次不等式的现实意义．３? 能借助一元二次函数求解一元二次不等式．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?一元二次不等式

形如ax

２＋bx＋c＞０(a≠０)的不等式称为一元二

次不等式．

２?三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b

２－４ac

Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０

二次函数

y＝ax

２＋bx＋c

(a＞０)的图象

一元二次方程

ax

２＋bx＋c＝０

(a＞０)的根

有两相异实

根x１,x２

(x１＜x２)

有两相等实根

x１＝x２＝－

b

２a

没有实

数根

ax

２＋bx＋c＞０

(a＞０)的解集

ax

２＋bx＋c＜０

(a＞０)的解集

３?(x－a)(x－b)＞０或(x－a)(x－b)＜０型不等式

的解集

不等式

解集

a＜b a＝b a＞b

(x－a)?

(x－b)＞０

{x|x＜a

或x＞b}

(x－a)?

(x－b)＜０

{x|a＜x＜b}

４?分式不等式与整式不等式

(１)

f(x)

g(x)＞０(＜０)⇔f(x)?g(x)＞０(＜０)．

(２)

f(x)

g(x)≥０(≤０)⇔f(x)?g(x)≥０(≤０)且

g(x)≠０．

[常用结论]

１?绝对值不等式|x|＞a(a＞０)的解集为(－∞,－a)∪

(a,＋∞);|x|＜a(a＞０)的解集为(－a,a)．

记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间．

２?解不等式ax

２＋bx＋c＞０(＜０)时不要忘记当a＝

０时的情形．

３?不等式ax

２＋bx＋c＞０(＜０)恒成立的条件要结

合其对应的函数图象决定．

(１)不等式ax

２＋bx＋c＞０对任意实数x 恒成立

⇔

a＝b＝０,

{c＞０

或

a＞０,

{Δ＜０．

(２)不等式ax

２＋bx＋c＜０对任意实数x 恒成立

⇔

a＝b＝０,

{c＜０

或

a＜０,

{Δ＜０．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)

x－a

x－b

≥０等价于(x－a)(x－b)≥０． ( )

(２)若不等式ax

２＋bx＋c＜０的解集为(x１,x２),

则必有a＞０． ( )

(３)不等式x

２≤a的解集为[－ a,a]． ( )

(４)若方程ax

２＋bx＋c＝０(a＜０)没有实数根,则

不等式ax

２＋bx＋c＞０(a＜０)的解集为R．( )

２?不等式３x

２－７x≤１０的解集为 ．

３?若关于x 的不等式ax

２＋bx＋２＞０的解集为

x －

１

２

＜x＜

１

{ ３} ,则a＋b＝ ．

４?一元二次不等式ax

２＋ax－１＜０对一切x∈R恒

成立,则实数a的取值范围是 ．

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— １２ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点突破·题型剖析

考点一“三个二次”之间的关系

例１ (１)(多选)(２０２３?枣庄调研)已知关于x 的

不等式(x＋２)(x－４)＋a＜０(a＜０)的解集是

(x１,x２)(x１＜x２),则 ( )

Ax．１＋x２＝２ Bx．１x２＜－８

C．－２＜x１＜x２＜４ Dx．２－x１＞６

(２)若关于x的不等式x

２－２ax－８a

２＜０(a＞０)

的解集为{x|x１＜x＜x２},且x２－x１＝１５,则

a的值为 ．

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感悟提升 １?一元二次方程的根就是相应一元二

次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端

点值．

２?给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应

二次函数的开口方向及与x 轴的交点,可以利用代

入根或根与系数的关系求待定系数．

训练１ (１)(多选)若不等式ax

２－bx＋c＞０的

解集是(－１,２),则下列选项正确的是 ( )

Aa．＜０

Bb．＜０且c＞０

Ca．＋b＋c＞０

D．不等式ax

２－cx＋b＜０的解集是R

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(２)已知关于x 的不等式ax

２＋bx＋c＜０的解

集是 xx＜－２或x＞－

１

{ ２} ,求不等式ax

２－

bx＋c＞０的解集．

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考点二 一元二次不等式的解法

例２ (１)不等式

１－x

２＋x

≥０的解集为 ．

(２)解关于x 的不等式ax

２－(a＋１)x＋１＜０

(a∈R)．

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感悟提升 对含参的不等式,应对参数进行分类讨

论,常见的分类有:

(１)根据二次项系数为正、负及零进行分类．

(２)根据判别式Δ 与０的关系判断根的个数．

(３)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论．

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— １３ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

训练２ (１)不等式０＜x

２－x－２≤４的解集为

．

(２)解关于x 的不等式x

２－ax＋１≤０．

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考点三 一元二次不等式恒成立问题

角度１ 在实数R上恒成立

例３ (２０２３?天津模拟)若不等式(a－２)?x

２＋

４(a－２)x＋３＞０的解集为R,则实数a 的取值

范围是 ．

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角度２ 在给定区间上恒成立

例４ (２０２３?石家庄质检)当－２≤x≤２时,不等

式x

２－mx＋１＞０恒成立,则实数m 的取值范

围为 ( )

A．(－２,２) B．(－∞,－２)

C．[－２,２] D．(２,＋∞)

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角度３ 给定参数范围的恒成立问题

例５ 已知a∈[－１,１]时,不等式x

２＋(a－４)x＋

４－２a＞０恒成立,则x 的取值范围为 ．

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感悟提升 恒成立问题求参数的范围的解题策略

(１)弄清楚自变量、参数．一般情况下,求谁的范围,

谁就是参数．

(２)一元二次不等式在 R上恒成立,可用判别式Δ,

一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别

式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论．

训练３ 已知关于x的不等式２x－１＞m(x

２－１)．

(１)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒

成立,并说明理由;

(２)若不等式对于m∈[－２,２]恒成立,求实数x

的取值范围;

(３)若不等式对于x∈(１,＋∞)恒成立,求m 的

取值范围．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２４１页

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— １４ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第５节 均值不等式

考试要求 １? 了解均值不等式的证明过程．２? 能用均值不等式解决简单的最值问题．３? 掌握均值不等式在实

际生活中的应用．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?均值不等式:ab≤

a＋b

２

(１)均值不等式成立的条件:a＞０,b＞０．

(２)等号成立的条件:当且仅当 时取等号．

(３)其中 称为正数a,b 的算术平均值,

称为正数a,b的几何平均值．

２?两个重要的不等式

(１)a

２＋b

２≥ (a,b∈R),当且仅当a＝b

时取等号．

(２)ab≤

a＋b

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

(a,b∈R),当且仅当a＝b时取

等号．

３?利用均值不等式求最值

(１)已知x,y 都是正数,如果积xy 等于定值P,

那么当x＝y 时,和x＋y 有最小值 ．

(２)已知x,y 都是正数,如果和x＋y 等于定值

S,那么当x＝y 时,积xy 有最大值 ．

[常用结论]

１?ab≤

a＋b

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

≤

a

２＋b

２

２

．要根据两数积、两数和、两

数平方和选择合适的形式．

２?在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使

用均值不等式．若必须多次使用,则一定要保证

它们等号成立的条件一致．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)不等式a

２＋b

２≥２ab与

a＋b

２

≥ ab成立的条

件是相同的． ( )

(２)函数y＝x＋

１

x

的最小值是２． ( )

(３)函数y＝sinx＋

４

sinx

,x∈ ０,

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ 的最小值

是４． ( )

(４)“x＞０且y＞０”是“

y

x

＋

x

y

≥２”的充要条件．( )

２?已知x＞０,则２－３x－

４

x

的最大值是 ．

３?若a＞０,b＞０,且ab＝a＋b＋３,则ab的最小值

为 ．

４?若把总长为２０m 的篱笆围成一个矩形场地,则

矩形场地的最大面积是 m

２．

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考点突破·题型剖析

考点一 利用均值不等式求最值

角度１ 配凑法

例１ (１)若x＜

２

３

,则f(x)＝３x＋１＋

９

３x－２

有( )

A．最大值０ B．最小值９

C．最大值－３ D．最小值－３

(２)已知０＜x＜

２

２

,则x １－２x

２ 的最大值为

．

(３)(２０２３?天津模拟)函数y＝

(x＋５)(x＋２)

x＋１

(x＞－１)的最小值为 ．

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— １５ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

角度２ 常数代换法

例２ (１)(２０２３?石家庄模拟)已知x＞０,y＞０,且

x＋２y＝２,则２

x ＋４

y 的最小值为 ,

１

x

＋

２

y

的最小值为 ．

(２)(２０２２?深圳二模)已知０＜x＜１,则

１

x

＋

４

１－x

的最小值是 ．

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角度３ 消元法

例３ (２０２３?湖南省级示范校检测)设正实数x,

y,z满足x

２－３xy＋４y

２－z＝０,则当

xy

z

取得最

大值时,

２

x

＋

１

y

－

２

z

的最大值为 ．

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角度４ 构建不等式法

例４ 已知x＞０,y＞０,x＋３y＋xy＝９,则x＋３y

的最小值为 ．

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感悟提升 １? 利用配凑法求最值,主要是配凑成

“和为常数”或“积为常数”的形式．

２?常数代换法,主要解决形如“已知x＋y＝t(t为

常数),求

a

x

＋

b

y

的最值”的问题,先将

a

x

＋

b

y

转化

为

a

x

＋

b

y

æ

è

ç

ö

ø

÷?

x＋y

t

,再用均值不等式求最值．

３?当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考

虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”

或“积为常数”的形式,最后利用均值不等式求最值．

４?构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含

有积式的等式中,对和式或积式利用均值不等式,

构造目标式的不等式求解．

训练１ (１)(２０２３?重庆巴蜀中学模拟)已知正

实数a,b满足ab＋２a－２＝０,则４a＋b的最小

值是 ( )

A２． B４．２－２ C４．３－２ D６．

(２)(多选)(２０２３?广东六校联考)已知x,y∈

(０,＋∞),设 M＝２x＋y,N＝xy,则以下四个

命题中正确的是 ( )

A．若N＝１,则M 有最小值２２

B．若M＋N＝６,则N 有最大值２

C．若M＝１,则０＜N≤

１

８

D．若M

２＝３N＋１,则M 有最小值

８

５

(３)(２０２３?江西九校联考)若正实数a,b满足

a＋b＝１,则

b

３a

＋

３

b

的最小值为 ．

考点二 利用均值不等式求参数或范围

例５ (１)(２０２２?威海期末)关于x 的不等式ax

２－

|x|＋２a≥０的解集是R,则实数a 的取值范围

为 ．

(２)已知不等式(x＋y)

１

x

＋

a

y

æ

è

ç

ö

ø

÷≥９对任意正实数

x,y恒成立,则正实数a的最小值为 ．

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感悟提升 １?对于不等式恒成立问题可利用分离

参数法,把问题转化为利用均值不等式求最值;

２?利用均值不等式确定等号成立的条件,也可得到

参数的值或范围．

训练２ (１)当x＞a时,２x＋

８

x－a

的最小值为１０,

则a＝ ( )

A１． B．２ C２．２ D４．

(２)(２０２３?南通质检)若正实数x,y 满足x＋y

＝１,且不等式

４

x＋１

＋

１

y

＜m

２＋

３

２

m 有解,则实

数m 的取值范围是 ．

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— １６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点三 利用均值不等式解决实际问题

例６ 为了美化校园环境,

园艺师在花园中规划出

一个平行四边形,建成一

个小花圃,如图,计划以相距６米的 M,N 两点

为▱AMBN 一组相对的顶点,当▱AMBN 的

周长恒为２０米时,小花圃占地面积(单位:平方

米)最大为 ( )

A６． B１．２ C１．８ D２．４

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感悟提升 利用均值不等式解决实际应用问题的

思路

(１)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定

义为函数．

(２)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利

用均值不等式求得函数的最值．

(３)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问

题有意义的自变量的取值范围)内求解．

训练３ 某公司一年购买某种货物４００吨,每次

都购买x 吨,运费为４万元/次,一年的总存储

费用为４x 万元,要使一年的总运费与总存储费

用之和最小,则x＝ 吨．

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均值不等式链

若a＞０,b＞０,则

２

１

a

＋

１

b

≤ ab≤

a＋b

２

≤

a

２＋b

２

２

．

其中

２

１

a

＋

１

b

和

a

２＋b

２

２

分别叫做a,b的调和平均

数和平方平均数．要根据题目需要选择合适的形式．

一、利用不等式链求最值

例１ (多选)设正实数a,b满足a＋b＝１,则( )

A．ab有最大值

１

２

B．

１

a＋２b

＋

１

２a＋b

有最小值３

Ca．

２＋b

２ 有最小值

１

２

D．a＋ b有最大值 ２

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二、利用均值不等式链证明不等式

例２ 已知a,b,c都是非负实数,求证:a

２＋b

２ ＋

b

２＋c

２ ＋ c

２＋a

２ ≥ ２(a＋b＋c)．

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训练 当－

１

２

＜x＜

５

２

时,函数y＝ ２x－１＋

５－２x的最大值为 ．

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２４３页

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— １７ —

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

第１节 函数的概念及表示

考试要求 １? 了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域．２? 在实际情景中,会根据不同的需要选择

恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．３? 了解简单的分段函数,并能简单应用．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?函数的概念

概念

一般地,给定两个非空实数集A 与B,

以及对应关系f,如果对于集合A 中

的 ,在 集 合 B 中 都 有

确定的实数y 与x 对应,则

称f 为定义在集合A 上的一个函数,

记作y＝f(x),x∈A

三

要

素

对应关系 y＝f(x),x∈A

定义域 自变量取值的范围

值域

所有函数 值 组 成 的 集 合{y∈B|y＝

f(x),x∈A}

２?同一个函数

(１)前提条件:①定义域 ;

②对应关系 ．

(２)结论:这两个函数为同一个函数．

３?函数的表示法

表示函数的常用方法有 、图象法和列

表法．

４?分段函数

(１)如果一个函数,在其定义域内,对于自变量

的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其

为分段函数．分段函数表示的是一个函数．

(２)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的

并集,其值域等于各段函数的值域的 ．

[常用结论]

１?直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至

多有１个交点．

２?注意以下几种特殊函数的定义域:

(１)分式型函数,分母不为零的实数集合．

(２)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合．

(３)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正

数、底数为正且不为１的实数集合．

(４)若f(x)＝x

０,则定义域为{x|x≠０}．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)函数y＝１与y＝x

０ 是同一函数． ( )

(２)对于函数f:A→B,其值域是集合B．( )

(３)若A＝R,B＝{x|x＞０},f:x→y＝|x|,其对

应是从A 到B 的函数． ( )

(４)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这

两个函数是同一个函数． ( )

２?下列函数中与函数y＝x 是同一个函数的是

( )

Ay．＝(x)２Bu．＝

３

v

３ Cy．＝ x

２ D．m＝

n

２

n

３? 函数f(x)＝ －x

２－２x＋３＋

１

x＋２

的定义域

为 ．

４?已知函数f(x)＝

３

x ,x≤０,

{log３x,x＞０,

则f f

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

æ

è

ç

ö

ø

÷

等于 ．

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— １８ —

考点突破·题型剖析

考点一 函数的概念

例１ (１)(多选)下列各组函数是同一函数的为( )

Af．(x)＝x

２－２x－１,g(s)＝s

２－２s－１

Bf．(x)＝x－１,g(x)＝

x

２－１

x＋１

Cf．(x)＝ x

２ ,g(x)＝

x,x≥０,

{－x,x＜０

Df．(x)＝ －x

３ ,g(x)＝x －x

(２)已知集合P＝{x|０≤x≤４},Q＝{y|０≤y≤２},

下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是

．(填序号)

①f:x→y＝

１

２

x;②f:x→y＝

１

３

x;

③f:x→y＝

２

３

x;④f:x→y＝ x．

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感悟提升 １?函数的定义要求非空数集A 中的任

何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与

之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B 中有

可能存在与A 中元素不对应的元素．

２?构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,

则值域一定相同．

训练１ (１)(多选)下列各图中,能表示函数y＝

f(x)的图象的是 ( )

(２)(多选)下列对应关系是集合A 到集合B 的

函数的为 ( )

A．A＝R,B＝{y|y＞０},f:x→y＝|x|

B．A＝Z,B＝Z,f:x→y＝x

２

C．A＝Z,B＝Z,f:x→y＝ x

D．A＝{－１,１},B＝{０},f:x→y＝０

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考点二 函数的定义域

例２ (１)(２０２３?烟台调考)函数y＝

４－x

２

ln(x＋１)

的定

义域为 ( )

A．[－２,２] B．(－１,２]

C．(－１,０)∪(０,２] D．(－１,１)∪(１,２]

(２)若函数f(x)的定义域为[０,２],则函数

f(x－１)的定义域为 ．

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迁移 将本例(２)改成“若函数f(x＋１)的定义域

为[０,２]”,则函数f(x－１)的定义域为 ．

感悟提升 １? 求给定解析式的函数的定义域,其

实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义

为准则,列出不等式或不等式组求解;对于实际问

题,定义域应使实际问题有意义．

２?求抽象函数定义域的方法

(１)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数

f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．

(２)若已知函数 f[g(x)]的定义域为[a,b],则

f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域．

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— １９ —

第二章 函 数

训练２ (１)函数f(x)＝ lnx ?lg

x＋２

２－x

æ

è

ç

ö

ø

÷的定

义域是 ( )

A．[１,２] B．[２,＋∞)

C．[１,２) D．(１,２]

(２)已知函数f(x)的定义域是[－１,１],则函数

g(x)＝

f(２x－１)

ln(１－x)

的定义域为 ．

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考点三 求函数的解析式

例３ (１)(２０２３?哈尔滨模拟)已知f

２

x

＋１

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝

lgx,则f(x)的解析式为 ．

(２)已知y＝f(x)是二次函数,若方程f(x)＝０

有两个相等实根,且f′(x)＝２x＋２,则f(x)

＝ ．

(３)已知函数f(x)对任意的x 都有f(x)－

２f(－x)＝２x,则f(x)＝ ．

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感悟提升 函数解析式的求法

(１)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x),可将

F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替代

g(x),便得f(x)的表达式．

(２)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二

次函数)可用待定系数法．

(３)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用

换元法,此时要注意新元的取值范围．

(４)方程思想:已知关于f(x)与f

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷ 或f(－x)等

的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式

组成方程组,通过解方程组求出f(x)．

训练３ (１)已知f(x＋１)＝x－２ x,则f(x)

＝ ．

(２)已知f(x)是一次函数,且２f(２)－３f(１)＝５,

２f(０)－f(－１)＝１,则f(x)的解析式为 ．

(３)已知f(x)满足f(x)－２f

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷ ＝２x,则

f(x)＝ ．

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考点四 分段函数

角度１ 分段函数求值

例４ (１)(２０２２?梅州二模)设函数f(x)＝

log２(６－x),x＜１,

２{ x－１,x≥１,

则f(－２)＋f(log２６)＝ ( )

A２． B６． C８． D１．０

(２)(２０２３?山东省部分学校联考)已知函数

f(x)＝

２

x ＋１,x＜１,

{f(x－３),x≥１,

则f(９)＝ ( )

A２． B９． C６．５ D５．１３

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— ２０ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

角度２ 分段函数与方程、不等式

例５ (１)(２０２３?唐山一模)设函数f(x)＝

x

２＋１,x≤０,

{lgx,x＞０．

若f(a)＝０,则a＝ ．

(２)设函数f(x)＝

x＋１,x≤０,

２{ x ,x＞０,

则满足f(x)＋

fx－

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷＞１的x 的取值范围是 ．

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感悟提升 １? 根据分段函数解析式求函数值,首

先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的

解析式代入求解．

２?已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或

范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注

意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的

自变量的取值范围．

提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类

讨论．

训练４ (１)(２０２３?湖南师大附中段考)已知函

数f(x)＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

,x≤２,

f(x－１),x＞２,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

则f(log２１２)＝

( )

A．

１

３

B．－６ C．

１

６

D．－３

(２)已知函数f(x)＝

e

２－x ,x≤１,

{lg(x＋２),x＞１,

则不等

式f(x＋１)＜１的解集为 ( )

A．(１,７) B．(０,７)

C．(１,８) D．(－∞,７)

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函数的值域

求函数值域的一般方法

(１)分离常数法;(２)反解法;(３)配方法;(４)不等式

法;(５)单调性法;(６)换元法;(７)数形结合法;(８)导

数法．

例 求下列函数的值域:

(１)y＝x

２－２x＋３,x∈[０,３);

(２)y＝

２x＋１

x－３

;

(３)y＝２x－ x－１;

(４)y＝ x＋１＋ x－１．

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训练 (１)函数y＝

２x－３

２x＋３

的值域是 ．

(２)(２０２３?长春检测)函数y＝１＋x－ １－２x

的值域为 ．

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２４５页

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— ２１ —

第二章 函 数

第２节 单调性与最大（小）值

考试要求 １? 借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解其实际意义．２? 会运用基本初

等函数的图象分析函数的性质．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?函数的单调性

(１)单调函数的定义

增函数 减函数

定义

一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,且

I⊆D

如果对任意x１,x２∈I,

当x１＜x２ 时,都有

,则称y＝f(x)在

I上是增函数

如果对任意x１,x２∈I,

当 x１ ＜x２ 时,都

有 ,

则称y＝f(x)在I

上是减函数

图象

描述

自 左 向 右 看 图 象 是

上升的

自左向右看图象是下

降的

(２)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I 上是增函数或

,那 么 就 说 函 数 y＝f(x)在 区 间

具有单调性,区间 称为函数

y＝f(x)的单调区间．

２? 函数的最大(小)值

(１)一般地,设函数f(x)的定义域为 D,且x０

∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)

f(x０),则称f(x)的最大值为f(x０),而x０ 称

为f(x)的最大值点;

(２)如 果 对 任 意 x∈D,都 有f(x)

f(x０),则称f(x)的最小值为f(x０),而x０ 称

为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为

最值,最大值点和最小值点统称为 ．

[常用结论]

１?有关单调性的常用结论

在公共定义域内,增函数＋增函数＝增函数;减

函数＋减函数＝减函数;增函数－减函数＝增函

数;减函数－增函数＝减函数．

２?函数y＝f(x)(f(x)≠０)在公共定义域内与y＝

－f(x),y＝

１

f(x)

的单调性相反．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)对于函数y＝f(x),若f(１)＜f(３),则f(x)

为增函数． ( )

(２)函数y＝f(x)在[１,＋∞)上是增函数,则函

数的单调递增区间是[１,＋∞)． ( )

(３)函数y＝

１

x

的单调递减区间是(－∞,０)∪(０,

＋∞)． ( )

(４)对于函数f(x),x∈D,若对任意x１,x２∈D,

且x１≠x２ 有(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０,则函

数f(x)在区间D 上是增函数． ( )

２?函数f(x)＝ x

２－２x的单调递增区间是 ．

３?函数f(x)＝

２

x－１

(x∈[２,６]),则f(x)的最小值

为 ,最大值为 ．

４?函数y＝f(x)是定义在[－２,２]上的减函数,且

f(a＋１)＜f(２a),则实数a的取值范围是 ．

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— ２２ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点突破·题型剖析

考点一 函数的单调性(区间)

例１ (１)设 函 数 f(x)＝

１,x＞０,

０,x＝０,

－１,x＜０,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

g(x)＝

x

２f(x－１),则函数g(x)的递减区间是 ．

(２)试讨论函数f(x)＝

ax

x－１

(a≠０)在(－１,１)

上的单调性．

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感悟提升 １?求函数的单调区间,应先求定义域,

在定义域内求单调区间．

２?(１)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;

③利用已知函数的单调性;④导数法．

(２)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝

f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断,遵循“同增

异减”的原则．

易错警示 函数在两个不同的区间上单调性相同,

一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”．

训练１ (１)函数y＝ x

２＋２x－２４的单调递减

区间是 ．

(２)已知函数f(x)＝

２x－１

x＋１

．判断f(x)在[０,

＋∞)上单调递增还是单调递减,并证明你的

判断．

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考点二 求函数的最值

例２ (１)函数f(x)＝

１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

－log２(x＋４)在区间

[－２,２]上的最大值为 ．

(２)对于任意实数a,b,定义min{a,b}＝

a,a≤b,

{b,a＞b．

设函数f(x)＝－x＋３,g(x)＝log２x,则函数

h(x)＝min{f(x),g(x)}的最大值是 ．

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— ２３ —

第二章 函 数

感悟提升 １?求函数最值的三种基本方法:

(１)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求

最值．

(２)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最

低点,求出最值．

(３)均值不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正

二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值．

２?对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间

上的极值,最后结合端点值,求出最值．

训练２ (１)设函数f(x)＝

２x

x－２

在区间[３,４]上的

最大值和最小值分别为M,m,则

m

２

M

＝ ．

(２)(２０２３?宁波调研)设f(x)＝

x＋

２

x

－３,x≥１,

x

２＋１,x＜１．

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

则f(f(－１))＝ ,f(x)的 最 小 值

是 ．

考点三 函数单调性的应用

角度１ 比较函数值的大小

例３ 已知f(x)＝２

x －

１

x－１

,a＝f(２),b＝

f(３),c＝f(５),则 ( )

Aa．＞b＞c Ba．＞c ＞b

Cc．＞a＞b Dc．＞b＞a

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角度２ 解函数不等式

例４ 已知函数f(x)＝lnx＋２

x ,若f(x

２－４)＜２,

则实数x 的取值范围是 ．

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角度３ 求参数的取值范围

例５ (２０２３?湖北鄂西北四校联考)已知f(x)＝

(３a－１)x＋４a,x≤１,

a

２x－１＋

１

２

,x＞１

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

满足对于任意实数x１≠x２,

都有

f(x１)－f(x２)

x１－x２

＜０成立,则实数a 的取值

范围是 ．

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感悟提升 １? 比较函数值的大小时,转化到同一

个单调区间内,然后利用函数的单调性解决．

２?求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变

量间的大小关系,应注意函数的定义域．

３?利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性

直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得

到其图象的升降,再结合图象求解．对于分段函数,

要注意衔接点的取值．

训练３ (１)(２０２２?昆明诊断)已知函数f(x)＝

lgx－

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

,f(m)＝１,且０＜p＜m＜n,则( )

Af．(n)＜１且f(p)＞１ Bf．(n)＞１且f(p)＞１

Cf．(n)＞１且f(p)＜１ Df．(n)＜１且f(p)＜１

(２)设函数f(x)＝

－x

２＋４x,x≤４,

{log２x,x＞４,

若函数

y＝f(x)在区间(a,a＋１)上单调递增,则实数

a的取值范围是 ．

(３)已知函数f(x)＝

１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

－log２(x＋２),若

f(a－２)＞３,则a的取值范围是 ．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２４７页

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— ２４ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第３节 奇偶性、对称性与周期性

考试要求 １? 理解函数奇偶性的含义．２? 了解函数的最小正周期的含义．３? 会利用函数的奇偶性、单调性、对

称性、周期性解决函数性质的综合问题．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?函数的奇偶性

奇偶性 定义 图象特点

偶函数

一般地,设函数y＝f(x)的定义

域为D,如果对D 内的任意一个

x,都有－x∈D,且 ,则

称y＝f(x)为偶函数

关 于

对称

奇函数

一般地,设函数y＝f(x)的定义

域为D,如果对D 内的任意一个

x,都有－x∈D,且 ,则

称y＝f(x)为奇函数

关 于

对称

２? 函数的周期性

(１)周期函数:对于函数y＝f(x),如果存在

一个非零常数 T,使得当x 取定义域内的任

何值时,都有f(x＋T)＝ ,那么就称

函数y＝f(x)为周期函数,称 T 为这个函数

的周期．

(２)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有

周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正

数就叫做f(x)的 正周期．

[常用结论]

１?函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x:

(１)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝２a(a＞０)．

(２)若f(x＋a)＝

１

f(x)

,则T＝２a(a＞０)．

(３)若f(x＋a)＝－

１

f(x)

,则T＝２a(a＞０)．

２?对称性的四个常用结论

(１)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝f(x)

的图象关于直线x＝a对称．

(２)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,则函数y＝f(x)

的图象关于点(b,０)中心对称．

(３)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则

y＝f(x)的图象关于直线x＝

a＋b

２

对称．

特别地,当a＝b 时,即f(a＋x)＝f(a－x)或

f(x)＝f(２a－x)时,则y＝f(x)的图象关于直

线x＝a对称．

(４)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(２a－x)＝２b,

则y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称．特别地,当

b＝０时,即f(a＋x)＋f(a－x)＝０或f(x)＋

f(２a－x)＝０时,则y＝f(x)的图象关于点(a,０)

对称．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)函数y＝x

２ 在x∈(０,＋∞)上是偶函数．( )

(２)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(０)＝０．( )

(３)若T 是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,

n≠０)也是函数f(x)的周期． ( )

(４)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x),

则函数f(x)的图象关于点

a＋b

２

,０

æ

è

ç

ö

ø

÷对称．( )

２?(多选)给出下列函数,其中是奇函数的为 ( )

A．f(x)＝x

４ B．f(x)＝x

５

C．f(x)＝x＋

１

x

D．f(x)＝

１

x

２

３?设奇函数f(x)的定义域为

[－５,５],若当x∈[０,５]时,

f(x)的图象如图所示,则

不等式f(x)＜０的 解 集

为 ．

４?已知f(x)为定义在 R上的奇函数,当x≥０时,

f(x)＝２

x ＋m,则f(－３)＝ ．

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— ２５ —

第二章 函 数

第一课时 奇偶性、对称性与周期性

考点一 函数的奇偶性

角度１ 判断函数的奇偶性

例１ 判断下列函数的奇偶性:

(１)f(x)＝ ３－x

２ ＋ x

２－３;

(２)f(x)＝

x

２＋x,x＜０,

－x

２ { ＋x,x＞０;

(３)f(x)＝log２(x＋ x

２＋１)．

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感悟提升 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备

条件:

(１)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数．

(２)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断

奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等

量关系式(f(x)＋f(－x)＝０(奇函数)或f(x)－

f(－x)＝０(偶函数))是否成立．

角度２ 函数奇偶性的应用

例２ (１)已知函数f(x)为奇函数且定义域为 R,

当x＞０时,f(x)＝x＋１,则当x＜０时,f(x)

＝ ．

(２)(２０２２?全国乙卷)若f(x)＝lna＋

１

１－x

＋b

是奇函数,则a＝ ,b＝ ．

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感悟提升 １?利用函数的奇偶性可求函数值或参

数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已

知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思

想求参数的值．

２?画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其

对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题．

训练１ (１)已知函数f(x)＝ln(２＋２x)＋ln(３－３x),

则f(x) ( )

A．是奇函数,且在(０,１)上单调递增

B．是奇函数,且在(０,１)上单调递减

C．是偶函数,且在(０,１)上单调递增

D．是偶函数,且在(０,１)上单调递减

(２)(２０２３?重庆巴蜀中学质检)已知函数f(x)

＝

π

４

＋cosx?ln(x＋ １＋x

２ )在区间[－５,５]

上的最大值是 M,最小值是m,则f(M＋m)的

值等于 ( )

A０． B１．０ C．

π

４

D．

π

２

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— ２６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点二 函数的周期性及应用

例３ (１)函数f(x)满足f(x－２)＝f(x＋２),当

x∈(０,２)时,f(x)＝x

２,则f(２０２５)＝ ．

(２)函数f(x)满足f(x)f(x＋２)＝１３,且f(１)

＝２,则f(２０２３)＝ ．

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感悟提升 １? 求解与函数周期有关的问题,应根

据题目特征及周期定义,求出函数的周期．

２?利用函数的周期性,可将其他区间的求值、求零

点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而

解决问题．

训练２ (１)已知f(x)是定义在R上的函数,并

且f(x＋３)＝－

１

f(x)

,当１＜x≤３时,f(x)＝

cos

πx

３

,则f(２０２４)＝ ．

(２)(２０２３?金华调研)定义在R上的函数f(x)

满足f(x＋６)＝f(x),当－３≤x＜－１时,

f(x)＝－(x＋２)２,当－１≤x＜３时,f(x)＝x,则

f(１)＋f(２)＋f(３)＋?＋f(２０２４)＝ ．

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考点三 函数的对称性

例４ (１)(多选)(２０２３?承德模拟)已知函数f(x)的

定义域为R,对任意x都有f(２＋x)＝f(２－x),

且f(－x)＝f(x),则下列结论正确的是 ( )

Af．(x)的图象关于直线x＝２对称

Bf．(x)的图象关于点(２,０)对称

Cf．(x)的周期为４

Dy．＝f(x＋４)为偶函数

(２)已知函数y＝f(x)－２为奇函数,g(x)＝

２x＋１

x

,且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x１,

y１),(x２,y２),?,(x６,y６),则y１＋y２＋?＋y６

＝ ．

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感悟提升 １? 求解与函数的对称性有关的问题

时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的

对称轴或对称中心．

２?解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图

象,利用对称性解决求值或参数问题．

训练３ (１)(多选)关于函数f(x)＝sinx＋

１

sinx

有如下四个命题,其中正确的是 ( )

Af．(x)的图象关于y轴对称

Bf．(x)的图象关于原点对称

Cf．(x)的图象关于直线x＝

π

２

对称

Df．(x)的图象关于点(π,０)对称

(２)已知函数f(x)的定义域为R,当x∈[－２,２]

时,f(x)单调递减,且函数y＝f(x＋２)为偶函

数,则下列结论正确的是 ( )

Af．(π)＜f(３)＜f(２)Bf．(π)＜f(２)＜f(３)

Cf．(２)＜f(３)＜f(π) Df．(２)＜f(π)＜f(３)

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— ２７ —

第二章 函 数

抽象函数

我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件

或特征的函数称为抽象函数,一般用y＝f(x)表

示,抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性

质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图

象集于一身,是考查函数的良好载体．解决这类问题

一般采用赋值法解决．

一、抽象函数求值

例１ (１)设函数y＝f(x)的定义域为(０,＋∞),

f(xy)＝f(x)＋f(y),若f(８)＝３,则f(２)＝

．

(２)已知定义在R上的函数f(x)满足f(１)＝１,且

f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋１,则f(４)＝ ．

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二、抽象函数的性质

例２ (１)(多选)(２０２２?威海调研)定义在 R上的

函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当

x＜０时,f(x)＞０,则函数f(x)满足 ( )

Af．(０)＝０

By．＝f(x)是奇函数

Cf．(x)在[１,２]上有最大值f(２)

Df．(x－１)＞０的解集为{x|x＜１}

(２)(２０２３?绍兴质检)已知f(x)是定义在区间

(０,＋∞)上的增函数,且f

x

y

æ

è

ç

ö

ø

÷＝f(x)－f(y),

f(２)＝１,如果x 满足f(x)－f

１

x－３

æ

è

ç

ö

ø

÷≤２,则

x 的取值范围为 ．

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训练 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠０},且

满足对于任意x１,x２ ∈D,有f(x１?x２)＝

f(x１)＋f(x２)．

(１)求f(１)的值;

(２)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

(３)如果f(４)＝１,f(x－１)＜２,且f(x)在(０,＋∞)

上是增函数,求x 的取值范围．

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提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２４９页

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— ２８ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第二课时 函数性质的综合应用

考点一 单调性与奇偶性

例１ (１)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)

＝xf(x)．若a＝g(－log２５．１),b＝g(２

０．８),c＝

g(３),则a,b,c的大小关系为 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜b＜a

Cb．＜a＜c Db．＜c＜a

(２)(２０２３?济南、德州七校联考)已知函数f(x)

＝

２

x －１,x≥０,

－

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

＋１,x＜０,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

若∀x∈[２－t,２＋t]都有

f(x)＋f(t

２－２x)≥０成立,则实数t的取值范

围是 ( )

A．(－∞,－２]∪[１,＋∞) B．[１,＋∞)

C．(－∞,－１]∪[２,＋∞) D．[２,＋∞)

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感悟提升 １? 解抽象函数不等式,先把不等式转

化为f(g(x))＞f(h(x)),利用单调性把不等式的

函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组)．

２?比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的

两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间

上,进而利用其单调性比较大小．

训练１ (１)(２０２３?衡阳模拟)已知函数f(x)＝

２

x －

１

２

x＋lg

x＋３

３－x

,则 ( )

Af．(１)＋f(－１)＜０ Bf．(－２)＋f(２)＞０

Cf．(１)－f(－２)＜０ Df．(－１)＋f(２)＞０

(２)(２０２３?湖北九师联盟质检)设函数f(x)＝

x x

２－cos

x

３

＋２

æ

è

ç

ö

ø

÷(－３＜x＜３),则 不 等 式

f(１＋x)＋f(２)＜f(１－x)的解集是 ．

考点二 周期性与奇偶性

例２ (１)已知函数f(x)的图象关于原点对称,且

周期为４,f(３)＝－２,则f(２０２５)等于 ( )

A２． B０． C．－２ D．－４

(２)(２０２３?青岛质检)已知函数f(x)的定义域

为R,且f(２x＋１)是偶函数,f(x－１)是奇函

数,则下列结论正确的个数是 ( )

①f(x)＝f(x－１６);②f(１１)＝０;

③f(２０２４)＝f(０);④f(２０２３)＝f(３)．

A１． B２． C３． D４．

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感悟提升 周期性与奇偶性结合的问题多考查求

值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求

函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域

内求解．

训练２ (１)(多选)(２０２３?湖州模拟)函数f(x)

的定义域为 R,若f(x＋１)与f(x－１)都是偶

函数,则 ( )

Af．(x)是偶函数 Bf．(x)是奇函数

Cf．(x＋３)是偶函数 Df．(x)＝f(x＋４)

(２)(２０２１?全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R,

f(x＋１)为奇函数,f(x＋２)为偶函数,当x∈

[１,２]时,f(x)＝ax

２＋b．若f(０)＋f(３)＝６,则

f

９

２

æ

è

ç

ö

ø

÷＝ ( )

A．－

９

４

B．－

３

２

C．

７

４

D．

５

２

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— ２９ —

第二章 函 数

考点三 对称性、单调性与周期性

例３ (１)(２０２３?成都诊断)设f(x)为定义在R上

的函数,对∀x∈R都有f(x)＝f(－x),f(x)

＝f(２－x),且f(x)在[０,１]上单调递增．设a＝

f

２０２３

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,b＝f(log４３),c＝f －

１

４

æ

è

ç

ö

ø

÷,则下列结

论正确的是 ( )

Ac．＜b＜a Bb．＜c＜a

Cc．＜a＜b Db．＜a＜c

(２)(２０２２?全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的

定义域均为R,且f(x)＋g(２－x)＝５,g(x)－

f(x－４)＝７．若y＝g(x)的图象关于直线x＝２

对称,g(２)＝４,则∑

２２

k＝１f(k)＝ ( )

A．－２１ B．－２２ C．－２３ D．－２４

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感悟提升 解决此类问题的难点在于推出函数的

周期性并能应用,事实上,对于函数的对称轴、对称

中心和周期,知道其中两个即可推得第三个．

训练３ (１)(２０２２?东北师大附中摸底)函数

f(x)(x∈R)满足f(x＋６)＋f(x)＝２f(３),函

数y＝f(x－１)的图象关于点(１,０)对称,则

f(２０２２)＝ ( )

A．－１６ B．－８ C．－４ D０．

(２)(２０２３?凉山州一诊)已知定义在 R上的函

数y＝f(x)满足下列三个条件:①当－１≤x≤０

时,f(x)＝２x－e

x ＋

１

e

x;②y＝f(x＋１)的图象

关于y 轴对称;③∀x∈R,都有f(x＋２)＝

f(２－x)．则f

２

３

æ

è

ç

ö

ø

÷,f

５

２

æ

è

ç

ö

ø

÷,f

１１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷的大小关系

是 ．

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函数性质中的二级结论

一、奇函数的最值性质

若函数f(x)为奇函数,则函数g(x)＝f(x)＋a

(a为常数)有以下性质:

①g(－x)＋g(x)＝２a;②g(x)min＋g(x)max＝２a．

例１ 函数f(x)＝asinx＋blog２

１＋x

１－x

＋２(a,b∈R),

若f(x)在(０,１)上有最小值为－４,则f(x)在

(－１,０)上有 ( )

A．最大值８B．最大值６C．最大值４D．最大值２

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训练１ 已知定义域为 R的函数f(x)＝a＋

３sinx

２＋cosx

(a∈R)有最大值和最小值,且最大值

与最小值的和为６,则a＝ ( )

A１． B２． C３． D４．

二、函数周期性问题

函数y＝f(x)满足对定义域内任一实数x(其中a

为常数),

(１)若f(x)＝f(x＋a),则y＝f(x)是以T＝a 为

周期的周期函数;

(２)若f(x＋a)＝－f(x),则f(x)是以T＝２a 为

周期的周期函数;

(３)若f(x＋a)＝±

１

f(x)

,则f(x)是以T＝２a 为

周期的周期函数;

(４)若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠０),则f(x)是以２a

为周期的周期函数;

(５)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠０,b≠０),则f(x)是

以T＝|b－a|为周期的周期函数;

(６)函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)(a＞０),

若f(x)为奇函数,则其周期为T＝４a,若f(x)为

偶函数,则其周期为T＝２a;

(７)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a 和

x＝b(a＜b)都对称,则函数f(x)是以２(b－a)为

周期的周期函数．

例２ 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f

３

２

－x

æ

è

ç

ö

ø

÷

＝f(x),f(－２)＝３,则f(２０２２)＋f(２０２４)

＝ ．

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训练２ 已知函数f(x＋１)为奇函数,函数f(x－１)

为偶函数,且f(０)＝２,则f(４)＝ ( )

A．－１ B１． C．－２ D２．

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２５１页

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— ３０ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第４节 幂函数与几类特殊函数

考试要求 １? 了解幂函数的概念;结合函数y＝x,y＝x

２,y＝x

３,y＝x

１

２ ,y＝

１

x

的图象,了解它们的变化情况．

２? 了解对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、最值函数和一次分式函数的图象与性质．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?幂函数

(１)幂函数的定义

一般地,函数 称为幂函数,其中x 是自

变量,α是常数．

(２)常见的五种幂函数的图象

(３)幂函数的性质

①幂函数在(０,＋∞)上都有定义;

②当α＞０时,幂函数的图象都过点(１,１)和(０,０),

且在(０,＋∞)上单调递增;

③当α＜０时,幂函数的图象都过点(１,１),且在

(０,＋∞)上单调递减．

２?对勾函数y＝ax＋

b

x

(a＞０,b＞０)

(１)性质

①奇偶性:奇函数;

②单调性:

单增区间:－∞,－

b

a

æ

è

ç

ö

ø

÷ , b

a

,＋∞

æ

è

ç

ö

ø

÷ ;

单减区间:－

b

a

,０

æ

è

ç

ö

ø

÷ ,０,

b

a

æ

è

ç

ö

ø

÷ ．

③渐近线:y＝ax 和x＝０．

(２)图象

３?飘带函数y＝ax－

b

x

(a＞０,b＞０)

(１)性质

①奇偶性:奇函数．

②单调性:在(－∞,０),(０,＋∞)上单调递增．

③渐近线:x＝０．

(２)图象

４?高斯函数y＝[x]

(１)定义:不超过实数x 的最大整数称为x 的整

数部分,记作[x],例如,[３．４]＝３,[－２．１]＝－３,

这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y＝

[x]称为高斯函数,又称取整函数．

(２)性质

①定义域:R;值域:Z．

②不具有单调性、奇偶性、周期性．

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— ３１ —

第二章 函 数

(３)图象

５?狄利克雷函数D(x)＝

１,x∈Q,

０,x∉Q { 的性质

(１)定义域R;值域{０,１}．

(２)奇偶性:偶函数．

(３)周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正

周期．

(４)无法画出函数的图象,但其图象客观存在．

６?最值函数的概念

设 min{a,b}＝

a,a≤b,

{b,a＞b,

max{a,b}＝

a,a≥b,

{b,a＜b．

直观上来说 min{a,b}的作用就是求a,b的最小

值,我们将其称为最小值函数,同样的,max{a,b}

用来表示a,b的最大值,称作最大值函数．

７?一次分式函数

(１)定义:我们把形如y＝

cx＋d

ax＋b

(a≠０,ad≠bc)

的函数称为一次分式函数．

(２)图象

(３)性质

①定义域:xx≠－

b

{ a} ;值域 yy≠

c

{ a} ;

②对称中心:－

b

a

,

c

a

æ

è

ç

ö

ø

÷;

③渐近线方程:x＝－

b

a

和y＝

c

a

;

④单调性:当ad＞bc时,函数在区间 －∞,－

b

a

æ

è

ç

ö

ø

÷ 和

－

b

a

,＋∞

æ

è

ç

ö

ø

÷单调递减;当ad＜bc时,函数在区间

－∞,－

b

a

æ

è

ç

ö

ø

÷和 －

b

a

,＋∞

æ

è

ç

ö

ø

÷单调递增．

[常用结论]

１?(１)幂函数y＝x

α 中,α的取值影响幂函数的定义

域、图象及性质;

(２)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定

不会出现在第四象限．

２?对勾函数y＝ax＋

b

x

(ab＞０)极值与图象的拐点

可利用均值不等式求得．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)函数y＝２x

１

３ 是幂函数． ( )

(２)当α＞０时,幂函数y＝x

α 在(０,＋∞)上是增

函数． ( )

(３)当n是偶数时,幂函数y＝x

n

m (m,n∈Z,且m

是奇数)是偶函数． ( )

(４)函数y＝x＋

m

x

的单调增区间是(－∞,－ m),

(m,＋∞)． ( )

２?若幂函数y＝f(x)的图象过点(４,２),则幂函数

y＝f(x)的大致图象是 ( )

３?函数f(x)＝

x＋１

x＋２

的图象的对称中心为 ．

４?设max{a,b}＝

a,a≥b,

{b,a＜b,

则函数f(x)＝max{x,x

２}

的最小值为 ．

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— ３２ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点突破·题型剖析

考点一 幂函数的图象与性质

例１ (１)已知幂函数y＝x

p

q

(p,q∈N

∗ ,q＞１ 且 p,q

互质)的图象如图所示,则

( )

Ap．,q均为奇数,且

p

q

＞１

Bq．为偶数,p 为奇数,且

p

q

＞１

Cq．为奇数,p 为偶数,且

p

q

＞１

Dq．为奇数,p 为偶数,且０＜

p

q

＜１

(２)若a＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

３

,b＝

１

５

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

３

,c＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

１

３

,则a,b,c

的大小关系是 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜a＜b

Cb．＜c＜a Db．＜a＜c

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感悟提升 １? 对于幂函数图象的掌握只要抓住

在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域,

即x＝１,y＝１,y＝x 所分区域．根据α＜０,０＜

α＜１,α＝１,α＞１的取值确定位置后,其余象限

部分由奇偶性决定．

２?在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选

择适当的函数,借助其单调性进行比较．

训练１ (１)已知幂函数f(x)＝mx

n 的图象过

点(２,２ ２),设a＝f(m),b＝f(n),c＝

f(ln２),则 ( )

Ac．＜b＜a Bc．＜a＜b

Cb．＜c＜a Da．＜b＜c

(２)若幂函数y＝x

－１,y＝

x

m 与y＝x

n 在第一象限

内的图象如图所示,则

( )

A．－１＜m＜０＜n＜１ B．－１＜n＜０＜m＜２

C．－１＜m＜０＜n＜２ D．－１＜n＜０＜m＜１

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考点二 几类特殊函数

角度１ 对勾函数、飘带函数

例２ (多选)已知函数f(x)＝x－

a

x

(a≠０),下列

说法正确的是 ( )

A．当a＞０时,f(x)在定义域上单调递增

B．当a＝－４时,f(x)的单调递增区间为(－∞,

－２),(２,＋∞)

C．当a＝－４时,f(x)的值域为(－∞,－４]∪

[４,＋∞)

D．当a＞０时,f(x)的值域为R

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— ３３ —

第二章 函 数

角度２ 高斯函数、狄利克雷函数、最值函数

例３ (１)(多选)(２０２３?金华调研)高斯是德国

著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有

“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯

函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x 的最

大整 数,则 y＝ [x]称 为 高 斯 函 数,例 如:

[－３．５]＝－４,[２．１]＝２．已知函 数f(x)＝

e

x

１＋e

x －

１

２

,函数g(x)＝[f(x)],则下列命

题中为真命题的是 ( )

Ag．(x)图象关于x＝０对称

Bf．(x)是奇函数

Cf．(x)在R上是增函数

Dg．(x)的值域是{－１,０,１}．

(２)(多选)(２０２３?济南质检)德国数学家狄利克

雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数

f(x)＝

１,x∈Q,

{０,x∈∁RQ,

称为狄利克雷函数,则关于

函数f(x)的叙述,正确的是 ( )

A．函数y＝f(x)的图象是两条直线

Bf．(f(x))＝１

Cf．(３)＞f(１)

D．∀x∈R,都有f(１－x)＝f(２＋x)

(３)若函数f(x)＝ sinx＋

２

３＋sinx

＋t (x,

t∈R)的最大值记为g(t),则函数g(t)的最小

值为 ．

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角度３ 一次分式函数

例４ 已知函数f(x)＝

ax＋２－a

x＋１

,其中a∈R．

(１)当函数f(x)的图象关于点P(－１,３)成中

心对称时,求a的值;

(２)若函数f(x)在(－１,＋∞)上单调递减,求a

的取值范围．

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感悟提升 这几类特殊的函数问题实质上都属于

函数中的新定义问题,解题时需仔细理解题意,并

与函数的性质相结合,同时注意其特殊性．

训练２ (１)函数y＝

１

１－x

的图象与函数y＝

２sinπx(－２≤x≤４)的图象所有交点的横坐标

之和等于 ( )

A２． B４． C６． D８．

(２)设x∈R,用[x]表示不超过x 的最大整数,

则y＝[x]称为高斯函数,例如:[－０５．]＝－１,

[１５．]＝１,已知函数f(x)＝４

x－

１

２ －３×２

x ＋４(０＜

x＜２),则函数y＝[f(x)]的值域为 ( )

A．－

１

２

,

３

２

é

ë

ê

ê

ö

ø

÷ B．{－１,０,１}

C．{－１,０,１,２} D．{０,１,２}

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２５３页

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— ３４ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

第５节 指数与对数的运算

考试要求 １? 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质．２? 理解对数的概念

和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?根式的概念及性质

(１)概念:式子

n

a称为 ,这里n 称为根指

数,a称为被开方数．

(２)性质:① 没有偶次方根．

②０的任意正整数次方根都是０,记作

n

０＝ ．

③(

n

a)n ＝ (n∈N

∗ ,且n＞１)．

④当n为 时,

n

a

n ＝a．

⑤当n为偶数时,

n

a

n ＝|a|．

２?分数指数幂

规定:正数的正分数指数幂的意义是a

m

n ＝

(a＞０,m,n∈N

∗ ,且n＞１);正数的负分数指数

幂的意义是a

－

m

n ＝ (a＞０,m,n∈N

∗ ,

且n＞１);０的正分数指数幂等于 ;

０的负分数指数幂没有意义．

３?实数指数幂的运算性质

a

sa

t ＝ ,(a

s )t ＝ ,(ab)s ＝

,其中a＞０,b＞０,s,t∈R．

４?对数的概念

在表达式a

b ＝N(a＞０且a≠１,N∈(０,＋∞))

中,当a与N 确定之后,只有唯一的b能满足这

个式子,此时,幂指数b 称为以a 为底 N 的对

数,记作b＝ ,其中a 称为对数的

,N 称为对数的 ．

５?对数的性质、运算性质与换底公式

(１)对数的性质

①a

logaN ＝ ;②logaa

b ＝b(a＞０,且a≠１)．

(２)对数的运算性质

如果a＞０且a≠１,M＞０,N＞０,那么

①loga(MN)＝ ;

②loga

M

N

＝ ;

③logaM

α＝ (α∈R)．

(３)换底公式:logab＝ (a＞０,且a≠１,

b＞０,c＞０,且c≠１)．

[常用结论]

换底公式的两个重要结论

(１)logab＝

１

logba

(a＞０,且a≠１;b＞０,且b≠１)．

(２)logamb

n ＝

n

m

logab(a＞０,且a≠１;b＞０;m,n∈R,且

m≠０)．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)

４ (－４)４ ＝－４． ( )

(２)分数指数幂a

m

n 可以理解为

m

n

个a相乘．( )

(３)log２x

２＝２log２x． ( )

(４)若MN＞０,则loga(MN)＝logaM＋logaN．( )

２?设a＝lg２,b＝lg３,则log１２１０＝ ( )

A．

１

２a＋b

B．

１

２b＋a

C．２a＋b D．２b＋a

３?已知a

１

２ ＋a

－

１

２ ＝３,则a＋a

－１＝ ;

a

２＋a

－２＝ ．

４?计算:π

０＋２

－２× ２

１

４

æ

è

ç

ö

ø

÷

１

２

＋log２３－log２６＝ ．

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— ３５ —

第二章 函 数

考点突破·题型剖析

考点一 指数幂的运算

例１ (１)(２０２３?杭州调研)化简

a

３b

２

３

ab

２

(a

１

４b

１

２ )４?

３

b

a

(a＞０,b＞０)的结果是 ( )

A．

b

a

B．

a

b

C．

a

２

b

D．

b

２

a

(２)计算:２７

－

１

３ － －

１

７

æ

è

ç

ö

ø

÷

－２

＋２５６

３

４ －３

－１＋(２－１)０

＝ ．

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感悟提升 １? 指数幂的运算首先将根式、分数指

数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应

注意:

(１)必须同底数幂相乘,指数才能相加．

(２)运算的先后顺序．

２? 当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为

正数．

３?运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能

既有分母又含有负指数．

训练１ (１)计算:

１

４

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

１

２

?

(４ab

－１)３

(０１．)－１?(a

３?b

－３)

１

２

＝ (a＞０,b＞０)．

(２)已知a

２x ＝５,则

a

３x －a

－３x

a

x －a

－x ＝ ．

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考点二 对数的运算

例２ (１)log３８１－log９８?log２３－２

log２３ ＋lg ２＋

lg５＝ ．

(２)计算:

(１－log６３)２＋log６２?log６１８

log６４

＝ ．

(３)已知lg２＝a,lg３＝b,用a,b 表示log１８１５

＝ ．

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感悟提升 １? 在对数运算中,先利用幂的运算把

底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使

幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并．

２?先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,

然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的

积、商、幂再运算．

３?a

b ＝N⇔b＝logaN(a＞０,且a≠１)是解决有关指

数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化．

训练２ (１)(２０２３?豫北名校联考)已知２

a ＝７

b

＝k,若

２

a

＋

１

b

＝１,则k的值为 ( )

A２．８ B．

１

１４

C１．４ D．

１

７

(２)计 算:log５３５＋２log１

２ ２－log５

１

５０

－log５１４

＝ ．

(３)计算:

８

２７

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

２

３

＋e

ln３ ＋log１

４ ２－log３４?log２３

＝ ．

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— ３６ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

考点三 指数与对数运算的实际应用

角度１ 指数运算的实际应用

例３ (１)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位:小

时h)与储藏的温度t(单位:℃)满足的函数关系

为T＝e

kt＋b(k,b为常数,其中e＝２７．１８２８?),超

过有效保存时间,疫苗将不能使用．若在０℃时

的有效保存时间是１０８０h,在１０℃时的有效保

存时间是１２０h,则该疫苗在１５℃时的有效保

存时间为 ( )

A１．５h B３．０h C４．０h D６．０h

(２)(２０２０?新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R０ 与

世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．

基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世

代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在

新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)

＝e

rt 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:

天)的变化规律,指数增长率r与R０,T 近似满

足R０＝１＋rT．有学者基于已有数据估计出R０

＝３２．８,T＝６．据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,

累计感染病例数增加１倍需要的时间约为

(ln２≈０６．９) ( )

A１．２．天 B１．８．天 C２．５．天 D３．５．天

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角度２ 对数运算的实际应用

例４ (１)(２０２２?临汾三模)我国在防震减灾中取

得了伟大成就,并从２００９年起,将每年５月

１２日定为全国“防灾减灾日”．尽管目前人类还

无法准确预报地震,但科学家经过研究,已经对

地震有所了解,地震学家查尔斯?里克林提出

了关系式:lgE＝４．８＋１．５M,其中E 为地震释

放出的能量,M 为地震的里氏震级．已知２００８年

５月１２日我国发生的汶川地震的里氏震级为

８０．级,２０１７年８月８日我国发生的九寨沟地震

的里氏震级为７．０级,可知汶川地震释放的能

量约为九寨沟地震的(参考数据:

３

１００

２ ≈２１５．,

１０００≈３１６．) ( )

A９．６．倍 B２．１５．倍 C３．１６．倍 D４．７４．倍

(２)(２０２２?北京卷)在

北京冬奥会上,国家速

滑馆“冰丝带”使用高

效环保的二氧化碳跨

临界直冷制冰技术,为

实现绿色冬奥作出了

贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的

状态与T 和lgP 的关系,其中T 表示温度,单

位是K;P 表示压强,单位是bar．下列结论中正

确的是 ( )

A．当T＝２２０,P＝１０２６时,二氧化碳处于液态

B．当T＝２７０,P＝１２８时,二氧化碳处于气态

C．当T＝３００,P＝９９８７时,二氧化碳处于超临

界状态

D．当T＝３６０,P＝７２９时,二氧化碳处于超临界

状态

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感悟提升 解决指数、对数运算实际应用问题的

步骤

(１)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系;

(２)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算,

把题目条件转化为所求．

训练３ (１)(２０２３?江西名校联考)法国数学家

马林?梅森是研究素数的数学家中成就很高的

一位,人们将“２

p －１(p 为素数)”形式的素数称

为“梅森素数”,目前仅发现５１个“梅森素数”,

可以估计,２

６７－１这个“梅森素数”的位数为(参

考数据:lg２≈０３．０１) ( )

A１．９ B２．０ C２．１ D２．２

(２)果农采摘水果,采摘下来的水果会慢慢失去

新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘

后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m?a

t ．

若采摘后１０天,这种水果失去的新鲜度为

１０％,采摘后２０天,这种水果失去的新鲜度为

２０％．那么采摘下来的这种水果多长时间后失

去４０％新鲜度 ( )

A２．５天 B３．０天 C３．５天 D４．０天

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２５５页

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第二章 函 数

第６节 指数函数

考试要求 １? 通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象．

２? 理解指数函数的单调性,特殊点等性质,并能简单应用．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?指数函数的概念

函数y＝ 称为指数函数,其中a 是常

数,a＞０且a≠１．

２?指数函数的图象与性质

a＞１ ０＜a＜１

图象

定义域 R

值域

性质

过定点 ,即x＝０时,y＝１

当x＞０时, ;

当x＜０时,

当x＜０时, ;

当x＞０时,

在(－ ∞,＋ ∞)上 是 在(－∞,＋∞)上是

y＝a

x 与y＝

１

a

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

的图象关于y 轴对称

[常用结论]

１?画指数函数y＝a

x (a＞０,且a≠１)的图象,应抓

住三个关键点:(１,a),(０,１),－１,

１

a

æ

è

ç

ö

ø

÷．

２?指数函数y＝a

x (a＞０,且a≠１)的图象和性质跟

a的取值有关,要特别注意应分a＞１与０＜a＜１

来研究．

３?在第一象限内,指数函数y＝a

x (a＞０,且a≠１)

的图象越高,底数越大．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)函数y＝２

x－１是指数函数． ( )

(２)函数y＝a

x

２＋１(a＞１)的值域是(０,＋∞)．

( )

(３)２

－３＞２

－４． ( )

(４)若a

m ＜a

n (a＞０,且a≠１),则m＜n．( )

２?函数f(x)＝１－e

|x|的图象大致是 ( )

３?已知a＝０．７５

０．１,b＝１．０１

２．７,c＝１．０１

３．５,则 ( )

Aa．＞b＞c Ba．＞c＞b

Cc．＞b＞a Dc．＞a＞b

４?函数y＝２

１

x－１的值域为 ．

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考点突破·题型剖析

考点一 指数函数的图象及应用

例１ (１)(２０２３?长春模拟)已

知函数f(x)＝(x－a)?(x

－b)(其中a＞b)的图象如

图所示,则函数g(x)＝a

x ＋

b的图象是 ( )

(２)(２０２３?深圳质检)若直线y＝２a与函数y＝

|a

x －１|(a＞０且a≠１)的图象有两个交点,则

a的取值范围是 ．

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— ３８ —

高考总复习 数学(配人教B版)∗

感悟提升 １? 对于有关指数型函数的图象问题,

一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平

移、伸缩、对称变换得到．特别地,当底数a与１的大

小关系不确定时应注意分类讨论．

２?有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相

应的指数型函数图象,数形结合求解．

训练１ (１)已知函数f(x)＝２

x －x－１,则不等

式f(x)＞０的解集是 ( )

A．(－１,１) B．(－∞,－１)∪(１,＋∞)

C．(０,１) D．(－∞,０)∪(１,＋∞)

(２)(多选)(２０２３?福州调研)已知实数a,b满足等

式２０２３

a ＝２０２４

b ,下列等式可以成立的是 ( )

Aa．＝b＝０ Ba．＜b＜０

C０．＜a＜b D０．＜b＜a

考点二 指数函数的性质及应用

角度１ 比较大小

例２ (１)(２０２３?苏州模拟)若a＝０．３

０．７,b＝０７．

０．３,

c＝１２．

０．３,则a,b,c的大小关系是 ( )

Aa．＞b＞c Bc．＞b＞a Cb．＞c＞a Da．＞c＞b

(２)若e

a ＋π

b ≥e

－b ＋π

－a ,下列结论一定成立

的是 ( )

Aa．＋b≤０ Ba．－b≥０

Ca．－b≤０ Da．＋b≥０

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角度２ 解简单的指数方程或不等式

例３ (１)已知y＝４

x －３?２

x ＋３的值域为[１,７],

则x 的取值范围是 ( )

A．[２,４] B．(－∞,０)

C．(０,１)∪[２,４] D．(－∞,０]∪[１,２]

(２)(２０２３?邯郸质检)不等式１０

x －６

x －３

x ≥１

的解集为 ．

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角度３ 指数函数性质的综合应用

例４ (１)(多选)(２０２２?潍坊期末)已知函数f(x)＝

e

x ＋e

－x

e

x －e

－x,则下列结论中正确的是 ( )

Af．(x)的定义域为R

Bf．(x)是奇函数

Cf．(x)在定义域上是减函数

Df．(x)无最小值,无最大值

(２)已知函数f(x)＝２

|２x－m| (m 为常数),若

f(x)在区间[２,＋∞)上是增函数,则m 的取值

范围是 ．

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感悟提升 １?比较指数式的大小的方法是:

(１)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调

性比较大小;(２)不能化成同底数的,一般引入“０或

１”等中间量比较大小．

２?指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的

单调性进行转化．

３?涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数

相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、

单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这

一性质分析判断．

易错警示 在研究指数型函数的单调性时,当底数

a与“１”的大小关系不确定时,要分类讨论．

训练２ (１)(２０２３?河南名校联考)若a＝２

１．９,

b＝２

１．５,c＝３

１．９,则 ( )

Ac．＞a＞b Bb．＞a＞c

Ca．＞c＞b Da．＞b＞c

(２)(多选)(２０２３?广州模拟)已知函数y＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

２＋４x＋３

,则下列说法正确的是 ( )

A．定义域为R

B．值域为(０,２]

C．在[－２,＋∞)上单调递增

D．在[－２,＋∞)上单调递减

提醒:课后完成«一轮对点７１练»第２５７页

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— ３９ —

第二章 函 数

第７节 对数函数

考试要求 １? 通过实例,了解对数函数的概念,会画具体对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点．

２? 了解指数函数y＝a

x 与对数函数y＝logax(a＞０,且a≠１)互为反函数．

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

１?对数函数及其性质

(１)概念:函数y＝logax 称为对数函数,其中a是

常数,a＞０且a≠１．

(２)对数函数的图象与性质

a＞１ ０＜a＜１

图象

性质

定义域:

值域:

当x＝１时,y＝０,即过定点

当x＞１时,y＞０;

当０＜x＜１时,y＜０

当x＞１时,y＜０;

当０＜x＜１时,y＞０

在(０,＋∞)上是 在(０,＋∞)上是

２?反函数

指数函数y＝a

x (a＞０,且a≠１)与对数函数

(a＞０,且a≠１)互为反函数,它们的图

象关于直线 对称．它们的定义域和值域

正好互换．

[常用结论]

对数函数的图象与底数大小的比较

如图,作直线y＝１,则该直线

与四个函数图象交点的横坐

标为相应的底数．

故０＜c＜d＜１＜a＜b．

由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右

底数逐渐增大．

【诊断自测】

１?思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(１)函数y＝log２(x＋１)是对数函数． ( )

(２)函数y＝ln

１＋x

１－x

与y＝ln(１＋x)－ln(１－x)

的定义域相同． ( )

(３)当x＞１时,若logax＞logbx,则a＜b．( )

(４)函数y＝log２x与y＝log１

２

１

x

的图象重合．( )

２?设a＝log０．２６,b＝log０．３６,c＝log０．４６,则 ( )

Aa．＞b＞c Ba．＞c＞b

Cb．＞c＞a Dc．＞b＞a

３?在同一直角坐标系中,函数y＝

１

a

x,y＝loga x＋

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

(a＞０,且a≠１)的图象可能是 ( )

４?函数y＝loga(x－２)＋２(a＞０或a≠１)的图象恒

过定点 ．

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