书

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第十一章 三角形 !\"#

１１．１ 与三角形有关的线段 !!!!! １ １

１１．１．１ 三角形的边 !!!!!!! １ １

１１．１．２ 三角形的高、中线与角平分线

!!!!!!!!!!!!!!!! ３ ４

１１．１．３ 三角形的稳定性 !!!!! ３ ４

１１．２ 与三角形有关的角 !!!!!! ６ ７

１１．２．１ 三角形的内角 !!!!!! ６ ７

第 １课时 三角形的内角和 !!!! ６ ７

第 ２课时 直角三角形的两个锐角互余

!!!!!!!!!!!!!!!! ８ ９

１１．２．２ 三角形的外角 !!!!!! １０ １１

１１．３ 多边形及其内角和 !!!!!! １２ １３

１１．３．１ 多边形 !!!!!!!!! １２ １３

１１．３．２ 多边形的内角和 !!!!! １２ １３

章末复习 !!!!!!!!!!!!! １４

第十二章 全等三角形

１２．１ 全等三角形 !!!!!!!!! １７ １７

１２．２ 三角形全等的判定 !!!!!! １９ ２１

第 １课时 边边边（ＳＳＳ）!!!!! １９ ２１

第 ２课时 边角边（ＳＡＳ）!!!!! ２１ ２４

第 ３课时 角边角（ＡＳＡ） 角角边（ＡＡＳ）

!!!!!!!!!!!!!!!! ２３ ２７

第 ４课时 斜边、直角边（ＨＬ）!!! ２５ ３０

１２．３ 角的平分线的性质 !!!!!! ２７ ３２

第 １课时 角的平分线的性质 !!! ２７ ３２

第 ２课时 角的平分线的判定 !!! ２９ ３５

章末复习 !!!!!!!!!!!!! ３１

第十三章 轴对称 !\"#

１３．１ 轴对称 !!!!!!!!!!! ３３ ３７

１３．１．１ 轴对称 !!!!!!!!! ３３ ３７

１３．１．２ 线段的垂直平分线的性质

!!!!!!!!!!!!!!!! ３５ ４０

第 １课时 线段的垂直平分线的性质和

判定 !!!!!!!!! ３５ ４０

第 ２课时 作轴对称图形的对称轴

!!!!!!!!!!!!!!!! ３７ ４２

１３．２ 画轴对称图形 !!!!!!!! ３８ ４５

第 １课时 画轴对称图形 !!!!! ３８ ４５

第 ２课时 用坐标表示轴对称 !!! ３９ ４７

１３．３ 等腰三角形 !!!!!!!!! ４１ ４９

１３．３．１ 等腰三角形 !!!!!!! ４１ ４９

第 １课时 等腰三角形的性质 !!! ４１ ４９

第 ２课时 等腰三角形的判定 !!! ４３ ５２

１３．３．２ 等边三角形 !!!!!!! ４５ ５４

第 １课时 等边三角形的性质与判定

!!!!!!!!!!!!!!!! ４５ ５４

第 ２课时 含 ３０°角的直角三角形的性质

!!!!!!!!!!!!!!!! ４７ ５７

１３．４ 课题学习 最短路径问题 !!! ４８ ５９

章末复习 !!!!!!!!!!!!! ５０

第十四章 整式的乘法与因式分解

１４．１ 整式的乘法 !!!!!!!!! ５３ ６２

１４．１．１ 同底数幂的乘法 !!!!! ５３ ６２

１４．１．２ 幂的乘方 !!!!!!!! ５４ ６４

１４．１．３ 积的乘方 ５５ ６６

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１４．１．４ 整式的乘法 !!!!!!! ５６ ６８

第 １课时 单项式与单项式相乘 !! ５６ ６８

第 ２课时 单项式与多项式相乘 !! ５７ ７０

第 ３课时 多项式与多项式相乘 !! ５８ ７２

第 ４课时 整式的除法 !!!!!! ６０ ７４

１４．２ 乘法公式 !!!!!!!!!! ６２ ７７

１４．２．１ 平方差公式 !!!!!!! ６２ ７７

１４．２．２ 完全平方公式 !!!!!! ６４ ７９

第 １课时 完全平方公式 !!!!! ６４ ７９

第 ２课时 添括号法则 !!!!!! ６６ ８１

１４．３ 因式分解 !!!!!!!!!! ６７ ８３

１４．３．１ 提公因式法 !!!!!!! ６７ ８３

１４．３．２ 公式法 !!!!!!!!! ６８ ８５

第 １课时 运用平方差公式因式分解

!!!!!!!!!!!!!!!! ６８ ８５

第 ２课时 运用完全平方公式因式分解

!!!!!!!!!!!!!!!! ７０ ８７

章末复习 !!!!!!!!!!!!! ７２

第十五章 分式

１５．１ 分式 !!!!!!!!!!!! ７４ ８９

１５．１．１ 从分数到分式 !!!!!! ７４ ８９

１５．１．２ 分式的基本性质 !!!!! ７６ ９２

第 １课时 分式的基本性质与约分

!!!!!!!!!!!!!!!! ７６

第 ２课时 分式的通分 !!!!!! ７８

１５．２ 分式的运算 !!!!!!!!! ８０ ９５

１５．２．１ 分式的乘除 !!!!!!! ８０ ９５

第 １课时 分式的乘除 !!!!!! ８０ ９５

第 ２课时 分式的乘方及乘除混合运算

!!!!!!!!!!!!!!!! ８２ ９７

１５．２．２ 分式的加减 !!!!!!! ８４ ９９

第 １课时 分式的加减 !!!!!! ８４ ９９

第 ２课时 分式的混合运算 !!!! ８６ １０１

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１５．２．３ 整数指数幂 !!!!!!! ８８ １０３

第 １课时 负整数指数幂 !!!!! ８８

第 ２课时 用科学记数法表示绝对值

小于 １的数 !!!!!! ８９

１５．３ 分式方程 !!!!!!!!!! ９０ １０６

第 １课时 分式方程 !!!!!!! ９０ １０６

第 ２课时 分式方程的应用 !!!! ９２ １０９

章末复习 !!!!!!!!!!!!! ９４

培优集训

培优集训１ 三角形边和角的相关计算 ! ９７

培优集训 ２ 全等三角形的判定技巧 ! ９９

培优集训 ３ 全等三角形的性质与判定的

综合 !!!!!!!!! １００

培优集训 ４ 角的平分线与线段的垂直平

分线 !!!!!!!!! １０２

培优集训５ 等腰三角形的性质与判定 ! １０３

培优集训 ６ 幂的运算 !!!!!!! １０５

培优集训 ７ 乘法公式的应用及整式的

运算 !!!!!!!!! １０６

培优集训 ８ 因式分解及其应用 !!! １０７

培优集训 ９ 分式的运算 !!!!!! １０９

培优集训 １０ 分式方程的解法及实际

应用 !!!!!!!! １１１

八年级上册检测卷（活页试卷）

第十一章 三角形 !!!!!!!!!!! 活页 １

第十二章 全等三角形 !!!!!!!!! 活页 ５

第十三章 轴对称 !!!!!!!!!!! 活页 ９

八年级上学期数学期中检测卷 !!!!! 活页 １３

第十四章 整式的乘法与因式分解 !!! 活页 １７

第十五章 分式 !!!!!!!!!!! 活页 ２１

八年级上学期数学期末检测卷（一） !!! 活页 ２５

八年级上学期数学期末检测卷（二） !!! 活页 ２９

八年级上学期数学期末检测卷（三） 活页 ３３

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书

第十一章 三角形

１１．１ 与三角形有关的线段

１１．１．１ 三角形的边

１．由不在 同一条直线 上的三条线段 首尾

顺次 相接所组成的图形叫做三角形．顶点

是 Ａ，Ｂ，Ｃ的三角形，记作 △ＡＢＣ ．

２．三角形分类：（１）按照三角形三个内角的大

小可以把三角形分为 锐角 三角形、

直角 三角形和 钝角 三角形；（２）按

边是否相等可以把三角形分为三边都不相

等的三角形和 等腰三角形 （又可以分为

等边 三角形和 底边和腰不相等 的

等腰三角形）．

３．三角形两边的和 大于 第三边；三角形两

边的差 小于 第三边．

知识点 １ 三角形的相关概念

１．一位同学用三根火柴棒组成的下列图形中，

符合三角形的概念的是 （ Ｂ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

２．如图，以 ＡＢ为边的

三角形有 ３ 个，

分 别 是 △ＡＢＤ，

△ＡＢＥ和 △ＡＢＣ ，

以∠ＡＥＤ为内角的三角形有 ２ 个，分别

是 △ＡＥＤ和△ＡＥＢ ，在△ＡＢＥ中，ＡＢ边

所对的角是 ∠ＡＥＢ ，∠Ｂ所对的边是

ＡＥ ．

知识点 ２ 三角形的分类

３．下列说法正确的是 （ Ｃ ）

①等腰三角形是等边三角形；

②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角

形和不等边三角形；

③等腰三角形至少有两边相等；

④三角形按角应分为锐角三角形、直角三角

形和钝角三角形．

Ａ．①② Ｂ．①②③④

Ｃ．③④ Ｄ．①②④

知识点 ３ 三角形的三边关系

４．（２０２３昆明市名校期中）每组数分别是三

根小木棒的长度，用它们能摆成三 角 形

的是 （ Ｃ ）

Ａ．３ｃｍ，４ｃｍ，８ｃｍ

Ｂ．８ｃｍ，７ｃｍ，１５ｃｍ

Ｃ．１３ｃｍ，１２ｃｍ，２０ｃｍ

Ｄ．５ｃｍ，５ｃｍ，１１ｃｍ

１．（２０２２昭通市期中）若一个等腰三角形的两

边长分别为 ３和 ７，则它的周长是 （ Ｄ ）

Ａ．７ Ｂ．１３

Ｃ．１３或 １７ Ｄ．１７

２．如图，Ａ，Ｂ是湖边上的两个点，Ｏ是湖面外

一点，测得 ＯＡ＝１５米，ＯＢ＝１０米，则 Ａ，Ｂ

间的距离不可能是 （ Ｄ ）

Ａ．１０米 Ｂ．１５米 Ｃ．２０米 Ｄ．２５

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３．小明想做一个三角形的框架，他有两根长度

分别为 ６ｃｍ和 ８ｃｍ的细木条，需要将其中

一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头

部分，那么可以分成两段的是 （ Ｂ ）

Ａ．６ｃｍ的木条 Ｂ．８ｃｍ的木条

Ｃ．两根都可以 Ｄ．两根都不行

４．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，

其中不能判断三角形类型的是 （ Ｃ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

５．如图，

（１）∠Ｂ是△ＡＢＣ中 ＡＣ 边的对角，又是

△ＡＢＤ中 ＡＤ 边的对角；

（２）在△ＡＤＣ中，∠Ｃ的对边是 ＡＤ ，在

△ＡＢＣ中，∠Ｃ的对边是 ＡＢ ；

（３）ＡＤ是△ＡＢＤ和△ＡＤＣ的 公共边 ．

６．已知 ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ的三边长，且满足

ａ＋ｂ＝３ｃ－２，ａ－ｂ＝２ｃ－６．

（１）求 ｃ的取值范围；

（２）若△ＡＢＣ的周长为 １２，求 ｃ的值．

解：（１）∵ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ的三边长，

ａ＋ｂ＝３ｃ－２，ａ－ｂ＝２ｃ－６，

∴

３ｃ－２＞ｃ，

{２ｃ－６＜ｃ．

解得 １＜ｃ＜６．

（２）∵ △ＡＢＣ的 周 长 为 １２，ａ＋ｂ＝

３ｃ－２，

∴ａ＋ｂ＋ｃ＝４ｃ－２＝１２．

解得 ｃ＝７

２．

７．按要求完成下列各题．

（１）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝２，ＡＣ的长为

偶数，求△ＡＢＣ的周长；

（２）已知△ＡＢＣ的三边长分别为 ３，５，ａ，化

简 ａ＋１ － ａ－８ －２ａ－２．

解：（１）由三角形的三边关系可知，

８－２＜ＡＣ＜８＋２，即 ６＜ＡＣ＜１０．

∵ＡＣ的长为偶数，∴ＡＣ＝８．

∴△ＡＢＣ的周长为 ８＋２＋８＝１８．

（２）∵△ＡＢＣ的三边长分别为 ３，５，ａ，

∴５－３＜ａ＜５＋３，即 ２＜ａ＜８．

∴ ａ＋１ － ａ－８ －２ａ－２

＝ａ＋１－（８－ａ）－２（ａ－２）

＝ａ＋１－８＋ａ－２ａ＋４＝－３．

８．（２０２２普洱市名校期中）长度为 １ｃｍ，２ｃｍ，

３ｃｍ，４ｃｍ，５ｃｍ的五条线段，若以其中的三

条线段为边构成三角形，可以构成不同的三

角形的个数共有 （ Ｂ ）

Ａ．２个 Ｂ．３个

Ｃ．４个 Ｄ．５个

９．【核心素养 · 推 理 能 力】已 知 ａ，ｂ，ｃ是

△ＡＢＣ的三边长．

（１）若 ａ，ｂ，ｃ满足 ａ－ｂ ＋ ｂ－ｃ ＝０，试判

断△ＡＢＣ的形状；

（２）若 ａ，ｂ，ｃ满足（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＝０，试判

断△ＡＢＣ的形状．

解：（１）∵ ａ－ｂ ＋ ｂ－ｃ ＝０，

∴ａ－ｂ＝０且 ｂ－ｃ＝０．

∴ａ＝ｂ＝ｃ．

∴△ＡＢＣ为等边三角形．

（２）∵（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＝０，

∴ａ－ｂ＝０或 ｂ－ｃ＝０或 ａ－ｂ＝０，

ｂ－ｃ＝０．

∴ａ＝ｂ或 ｂ＝ｃ或 ａ＝ｂ＝ｃ．

∴△ＡＢＣ为底边和腰不相等的等腰三角

形或等边三角形

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·２·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１１．１．２ 三角形的高、中线与角平分线

１１．１．３ 三角形的稳定性

１．如图１，从△ＡＢＣ的顶点 Ａ向它所对的边 ＢＣ

所在的直线作垂线，垂足为 Ｄ，所得的线段

ＡＤ 是△ＡＢＣ的边 ＢＣ上的高，则∠ＡＤＢ＝

ＡＤＣ＝ ９０° ．△ＡＢＣ有 三 条高．

２．如图 ２，连接△ＡＢＣ的顶点 Ｃ和它所对的边

ＡＢ的中点 Ｅ，所得的线段 ＣＥ 叫做△ＡＢＣ

的边 ＡＢ上 的 中 线，则 ＡＥ＝ ＢＥ ＝

１

２ ＡＢ ．三角形三条中线的交点叫做三角

形的 重心 ．

３．如图 ３，画∠Ｂ的平分线 ＢＦ，交∠Ｂ所对的边

ＡＣ于点 Ｆ，所得的线段 ＢＦ叫做△ＡＢＣ的

角平分线 ，则∠ＡＢＦ＝ ∠ＣＢＦ ＝

１

２ ∠ＡＢＣ ．

４．三角形的三条边长确定后，三角形的形状就

唯一确定，这就是三角形的 稳定性 ．四

边形具有不稳定性．

知识点 １ 三角形的高

１．（２０２２昭通市期中）下面四个图形中，线段

ＢＥ是△ＡＢＣ的高的是 （ Ｂ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

２．如图，∠ＡＣＢ＞９０°，ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＥ⊥ＡＣ，ＣＦ⊥

ＡＢ，垂足分别为 Ｄ，Ｅ，Ｆ，在△ＡＢＣ中，ＡＣ边

上的高是 （ Ｂ ）

Ａ．ＣＦ Ｂ．ＢＥ Ｃ．ＡＤ Ｄ．ＣＤ

知识点 ２ 三角形的中线

３．如图，ＡＥ是△ＡＢＣ的中线，Ｄ是 ＢＥ上一点，

若 ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，则 ＣＥ的长为 （ Ｃ ）

Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８

第 ３题图 第 ４题图

４．（２０２３昭通市昭阳区期中）如图，已知 ＡＤ为

△ＡＢＣ的中线，ＡＢ＝９ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，△ＡＣＤ的

周长为１８ｃｍ，则△ＡＢＤ的周长为 ２１ ｃｍ．

知识点 ３ 三角形的角平分线

５．如图，若∠１＝∠２，∠３＝∠４，则下列结论中

错误的是 （ Ｄ ）

Ａ．ＢＤ是△ＡＢＣ的角平分线

Ｂ．ＣＥ是△ＢＣＤ的角平分线

Ｃ．∠３＝１

２∠ＡＣＢ

Ｄ．ＣＥ是△ＡＢＣ

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 的角平分线

·３·

第十一章 三角形

知识点 ４ 三角形的稳定性

６．下列运用了三角形的稳定性的有 （ Ｃ ）

①自行车的三角形车架；

②校门口的自动伸缩栅栏门；

③照相机的三脚架；

④长方形门框的斜拉条．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

７．（２０２２昆明市西山区期中）图①是将木条用

钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木

架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所

蕴含的数学原理是 三角形具有稳定性，四

边形没有稳定性 ．

１．（２０２３曲靖市期末）在数学实践课上，小亮

经研究发现：在如图所示的△ＡＢＣ中，连接

点 Ａ和 ＢＣ上的一点 Ｄ，线段 ＡＤ等分△ＡＢＣ

的面积，则 ＡＤ是△ＡＢＣ的 （ Ｂ ）

Ａ．高线 Ｂ．中线

Ｃ．角平分线 Ｄ．对角线

第 １题图 第 ２题图

２．如图，ＡＣ⊥ＢＣ于点 Ｃ，ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，则图

中可以作为三角形“高”的线段有 （ Ｄ ）

Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．５条

３．（２０２３昆明市官渡区期末）“停课不停学，学

习不延期”．居家网课期间，元元将一平板保

护套展开放置在水平桌面上，如图所示，平

板能保持平稳，这是运用了 （ Ｃ ）

Ａ．三角形内角和等于 １８０°

Ｂ．两点之间，线段最短

Ｃ．三角形具有稳定性

Ｄ．三角形的一个外角等于与它不相邻的两

个内角之和

４．（２０２２昆明市西山区期中）如图，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ

依次是△ＡＢＣ的高、中线和角平分线，下列

表达式中错误的是 （ Ｃ ）

Ａ．ＡＥ＝ＣＥ Ｂ．∠ＡＤＣ＝９０°

Ｃ．∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ Ｄ．∠ＡＣＢ＝２∠ＡＣＦ

５．（２０２３昆明市名校期中）如图，已知 Ｄ是 ＢＣ

的中点，Ｅ是 ＡＤ的中点，若△ＡＢＣ的面积为

１２，则△ＣＤＥ的面积为 ３ ．

６．如 图，ＡＤ 是 △ＡＢＣ的 角 平 分 线，ＡＥ是

△ＡＢＤ的 角 平 分 线．若 ∠ＢＡＣ＝８０°，则

∠ＥＡＤ的度数是 ２０° ．

７．如 图，六 根 木 条 钉 成 一 个 六 边 形 框 架

ＡＢＣＤＥＦ，根据三角形的稳定性要使框架稳

固且不活动，至少还需要添 ３ 根木条．

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·４·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

８．（２０２２昭通市期中）如图所示，ＡＤ，ＣＥ是

△ＡＢＣ的两条高，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，

ＣＥ＝９ｃｍ．

（１）求△ＡＢＣ的面积；

（２）求 ＡＤ的长．

解：（１）根据题意，得

Ｓ△ＡＢＣ ＝１

２ＡＢ·ＣＥ＝１

２×６×９＝２７（ｃｍ

２

）．

（２）∵Ｓ△ＡＢＣ ＝１

２·ＢＣ·ＡＤ，

∴２７＝１

２·ＡＤ×１２．

∴ＡＤ＝９

２（ｃｍ）．

９．（２０２２红河州名校期末）如图，在△ＡＢＣ中，

ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ为 △ＡＢＣ的 中 线，且 ＢＤ将

△ＡＢＣ的周长分为 １２ｃｍ与 １５ｃｍ两部分，

求三角形各边的长．

解：∵ＤＢ为△ＡＢＣ的中线，

∴ＡＤ＝ＣＤ．

设 ＡＤ＝ＣＤ＝ｘ，则 ＡＢ

＝２ｘ．

分两种情况讨论：

①当 ｘ＋２ｘ＝１２，ＢＣ＋ｘ

＝１５时．

解得 ｘ＝４，ＢＣ＝１１．

此时△ＡＢＣ的三边长为 ＡＢ＝ＡＣ＝８ｃｍ，

ＢＣ＝１１ｃｍ；

②当 ｘ＋２ｘ＝１５，ＢＣ＋ｘ＝１２时．

解得 ｘ＝５，ＢＣ＝７．

此时 △ＡＢＣ的 三 边 长 为 ＡＢ＝ＡＣ＝

１０ｃｍ，ＢＣ＝７ｃｍ．

综上所述，ＡＢ＝ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＣ＝１１ｃｍ

或 ＡＢ＝ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝７ｃｍ．

１０．下列说法正确的个数有 （ Ａ ）

①三角形的中线、角平分线、高都是线段；

②三角形的三条角平分线、三条中线、三条

高都在三角形内部；

③直角三角形只有一条高；

④三角形的三条角平分线、三条中线、三条

高分别交于一点．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

１１．【核心素养·推理能力】如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ

中，ＡＢ⊥ＣＢ，点 Ｄ沿 ＢＣ方向，从点 Ｂ向点

Ｃ运动（点 Ｄ与点 Ｂ，Ｃ不重合），作 ＢＥ⊥

ＡＤ于点 Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ的延长线于点 Ｆ．在点

Ｄ的运动过程中，判断 ＢＥ＋ＣＦ的值如何

变化，并说明理由．

解：ＢＥ＋ＣＦ的值逐渐变小．

理由如下：由 Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＣＤ ＋Ｓ△ＡＢＤ，得

１

２ＡＢ·ＢＣ＝１

２ＡＤ·ＣＦ＋

１

２ＡＤ·ＢＥ＝

１

２ＡＤ·（ＣＦ＋ＢＥ）．

∴ＢＥ＋ＣＦ＝ＡＢ·ＢＣ

ＡＤ ．

∵△ＡＢＣ的面积不变，∴ＡＢ·ＢＣ不变．

当点 Ｄ从点 Ｂ运动到点 Ｃ过程中，ＡＤ

的长度逐渐变大，

∴ＢＥ＋ＣＦ的值逐渐变小

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第十一章 三角形

１１．２ 与三角形有关的角

１１．２．１ 三角形的内角

第 １课时 三角形的内角和

三角形内角和定理：三角形三个内角的和

等于 １８０° ．

知识点 １ 三角形内角和定理

１．一个缺损的三角形 ＡＢＣ残片如图所示，测

得∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝７５°，则这个三角形残缺

前的∠Ｃ的度数为 （ Ｃ ）

Ａ．７５° Ｂ．６０° Ｃ．４５° Ｄ．４０°

２．如图，若∠Ａ＋∠Ｃ＝８０°，∠Ｄ＝３０°，则∠Ｂ

的度数为 （ Ｃ ）

Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５°

３．已知∠Ａ＝４０°，∠Ｂ＝５３°，则△ＡＢＣ为 （ Ａ ）

Ａ．锐角三角形 Ｂ．钝角三角形

Ｃ．直角三角形 Ｄ．以上都有可能

知识点 ２ 利用三角形内角和计算与证明

４．（２０２２昭通市期中）在△ＡＢＣ中，若∠Ａ∶

∠Ｂ∶∠Ｃ＝２∶３∶４，则∠Ｃ的度数为 （ Ａ ）

Ａ．８０° Ｂ．７０° Ｃ．６０° Ｄ．５０°

５．（２０２２昭通市昭阳区期中）如图，Ｏ是△ＡＢＣ

内一点，∠Ａ＝６０°，ＢＯ，ＣＯ分别是∠ＡＢＣ和

∠ＡＣＢ的平分线，则∠ＢＯＣ等于 （ Ｂ ）

Ａ．１１０° Ｂ．１２０°

Ｃ．１３０° Ｄ．无法确定

第 ５题图 第 ６题图

６．如 图，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ ＢＣ，∠１＝∠２，

∠Ｃ＝６８°，则∠ＢＡＣ的度数为 （ Ｂ ）

Ａ．６８° Ｂ．６７° Ｃ．７７° Ｄ．７８°

知识点 ３ 三角形内角和定理的实际应用

７．（２０２３昆明市名校期中）如图所示，Ｂ处在 Ａ

处的南偏西 ６０°方向，Ｃ处在 Ａ处的南偏东

２０°方向，∠ＤＢＣ＝１００°，则∠ＡＣＢ的度数是

６０° ．

８．【核心素养·应用意识】如图，物理课上，老

师和同学们做了如下实验：平面镜 ａ与 ｂ之

间的夹角为 １２０°，光线经平面镜 ａ反射到平

面镜 ｂ上，再反射出去，若∠１＝∠２，则∠１

的度数为 ３０° ．

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝４∠Ｃ，则∠Ｃ

等于 （ Ａ ）

Ａ．３２° Ｂ．３６° Ｃ．４０° Ｄ．２０°

２．（２０２２曲靖市名校期中）若△ＡＢＣ的三个内

角之比是 １∶２∶３，则△ＡＢＣ是 （ Ｂ ）

Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形

Ｃ．钝角三角形 Ｄ．无法确定

３．如图，△ＡＢＣ平移后得到△ＤＥＦ，若∠Ａ＝

５５°，∠Ｂ＝４５°，则∠ＤＦＥ的度数是 （ Ｃ ）

Ａ．５５° Ｂ．４５° Ｃ．８０° Ｄ．１００°

第 ３题图 第 ４题图

４．如图，在△ＡＢＣ中，∠１＝∠２，∠ＡＢＣ＝８０°，

则∠Ｄ的度数是 （ Ｂ ）

Ａ．１１０° Ｂ．１００° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０°

５．在一个三角形中，至少有 ２ 个锐角，至

多有 １ 个直角或钝角．

６．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝１

３∠Ｃ，则∠Ａ＝

３６° ．

７．（２０２２昭通市期中）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ａ＋

３０°，∠Ｃ＝４０°，求∠Ａ和∠Ｂ的度数．

解：∵∠Ｃ＝４０°，

∴∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°－４０°＝１４０°．

又∵∠Ｂ＝∠Ａ＋３０°，

∴∠Ａ＋∠Ａ＋３０°＝１４０°．

解得∠Ａ＝５５°．

∴∠Ｂ＝８５°．

８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分

线，ＤＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，若∠Ｂ＝４２°，∠Ｃ＝５８°．

求∠ＡＤＥ的度数．

解：∵ ∠Ｂ ＝４２°，

∠Ｃ＝５８°，

∴ ∠ＢＡＣ ＝

１８０°－４２°－

５８°＝８０°．

∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，

∴∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝４０°．

∵ＤＥ⊥ＡＣ，

∴∠ＡＥＤ＝９０°．

∴∠ＡＤＥ＝１８０°－９０°－∠ＤＡＣ＝５０°．

９．在△ＡＢＣ中，２（∠Ａ＋∠Ｂ）＝３∠Ｃ，则∠Ｃ

的补角等于 １０８° ．

１０．如图，在△ＡＢＣ中，ＣＦ⊥ＡＢ于点 Ｆ，ＤＥ∥

ＣＦ，∠１＝∠２．

（１）求证：ＦＧ∥ＢＣ；

（２）若∠Ａ＝５５°，∠１＝３０°，求 ∠ＦＧＣ的

度数．

（１）证明：∵ＤＥ∥ＣＦ，

∴∠１＝∠ＢＣＦ．

又∵∠１＝∠２，

∴∠２＝∠ＢＣＦ．

∴ＦＧ∥ＢＣ．

（２）解：∵ＣＦ⊥ＡＢ，∠Ａ＝５５°，

∴∠ＦＣＡ＝１８０°－９０°－５５°＝３５°．

∵∠１＝∠２＝３０°，

∴∠ＦＧＣ＝１８０°－∠２－∠ＦＣＧ

＝１８０°－３０°－３５°＝１１５

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第十一章 三角形

第 ２课时 直角三角形的两个锐角互余

１．直角三角形的两个锐角 互余 ．

２．有两个角互余的三角形是 直角 三角形．

３．直角三角形 ＡＢＣ写成 Ｒｔ△ＡＢＣ ．

知识点 １ 直角三角形的性质

１．（２０２２昭通市期中）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，

∠Ｃ＝９０°．若∠Ａ＝２２°，则∠Ｂ等于 （ Ｃ ）

Ａ．４２° Ｂ．６７° Ｃ．６８° Ｄ．７７°

第 １题图 第 ２题图

２．如图，∠Ｃ＝∠Ａ＝９０°，∠Ｂ＝２５°，则∠Ｄ的

度数是 （ Ｃ ）

Ａ．５５° Ｂ．３５° Ｃ．２５° Ｄ．２０°

３．在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝２∠Ａ，则

∠Ａ＝ （ Ｂ ）

Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０°

知识点 ２ 直角三角形的判定

４．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ－∠Ｂ＝∠Ｃ，则此三角

形是 （ Ｂ ）

Ａ．钝角三角形 Ｂ．直角三角形

Ｃ．锐角三角形 Ｄ．等腰三角形

５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，∠１＝∠Ｂ．求

证：△ＡＢＣ是直角三角形．

证明：∵ＡＤ⊥ＢＣ，

∴∠１＋∠Ｃ＝９０°．

又∵∠１＝∠Ｂ，

∴∠Ｂ＋∠Ｃ＝９０°．

∴△ＡＢＣ是直角三角形．

１．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝２５°，则∠Ａ的

度数为 （ Ｄ ）

Ａ．２５° Ｂ．７５° Ｃ．５５° Ｄ．６５°

２．（教 材 第 １４页 练 习 第 １题 改 编）如 图，

△ＡＢＣ是直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥

ＡＢ于点 Ｄ，则与∠１互余的角是 （ Ｃ ）

Ａ．∠Ｂ Ｂ．∠Ａ

Ｃ．∠ＢＣＤ和∠Ａ Ｄ．∠ＢＣＤ

第 ２题图 第 ３题图

３．（２０２３昆明市西山区期末）如图，在△ＡＢＣ

中，∠Ａ＝９０°，点 Ｄ在 ＡＣ边上，ＤＥ∥ＢＣ．若

∠Ｂ＝６５°，则∠１的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．１２５° Ｂ．１３５° Ｃ．１４５° Ｄ．１５５°

４．下列说法：

①若∠Ａ ＋∠Ｂ ＝∠Ｃ，则△ＡＢＣ是直角三

角形；②若∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝１∶２∶３，则△ＡＢＣ

是直角三角形；③若∠Ａ ＋∠Ｂ ＝９０°，则

△ＡＢＣ是直角三角形；④有一个角是直角的

三角形是直角三角形．

正确的个数有 （ Ｄ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

５．（２０２３昭通市昭阳区期中）在 △ＡＢＣ中，

∠Ａ＝９０°，∠Ｂ－∠Ｃ＝３０°，那么∠Ｂ的度数

为 ６０° ．

６．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠ＢＡＣ的

平分线交 ＢＣ于点 Ｄ，作 ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，若

∠ＡＤＣ＝６５°，则∠Ｂ＝ ４０° ．

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

７．（２０２２昭通市期中）如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的

高，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交 ＡＤ于点 Ｅ，若∠Ｃ＝

６０°，∠ＢＥＤ＝７０°．求∠ＢＡＣ的度数．

解：∵ ＡＤ 是 △ＡＢＣ

的高，

∴∠ＡＤＢ＝９０°．

∵在 Ｒｔ△ＥＢＤ中，

∠ＢＥＤ＝７０°，

∴∠ＤＢＥ＝２０°．

∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，

∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ＝２０°．

∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＤ＝４０°．

∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠Ｃ＝１８０°－

４０°－６０°＝８０°．

８．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝６０°，ＣＥ

平分∠ＡＣＢ．

（１）求∠ＡＣＥ的度数；

（２）若 ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，∠ＣＤＦ＝７５°．求证：

△ＣＦＤ是直角三角形．

（１）解：∵在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝６０°，

∴∠ＡＣＢ＝１８０°－３０°－６０°＝９０°．

又∵ＣＥ平分∠ＡＣＢ，

∴∠ＡＣＥ＝１

２∠ＡＣＢ＝４５°．

（２）证明：∵ＣＤ⊥ＡＢ，∠Ｂ＝６０°，

∴∠ＢＣＤ＝９０°－６０°＝３０°．

由（１）知∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＥ＝４５°．

∴∠ＤＣＦ＝∠ＢＣＥ －∠ＢＣＤ＝１５°．

∵∠ＣＤＦ＝７５°，

∴∠ＣＤＦ＋∠ＤＣＦ＝９０°，

∴△ＣＦＤ是直角三角形．

９．（２０２２普洱市名校期中）在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝

５０°，∠Ｂ＝３０°，点 Ｄ在 ＡＢ边上，连接 ＣＤ，

若△ＡＣＤ为直角三角形，则∠ＢＣＤ的度数

为 ６０°或 １０° ．

【解 析 】 在 △ＡＢＣ 中，∠Ａ ＝５０°，∠Ｂ ＝３０°，

∴∠ＡＣＢ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｂ＝１００°．∵△ＡＣＤ为直

角三角形，∴如图 １，当∠ＡＤＣ＝９０°时，∠ＡＣＤ＝

９０°－∠Ａ＝４０°，∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＤ＝６０°；

图 １ 图 ２

如 图 ２，当 ∠ＡＣＤ ＝９０°时，∠ＢＣＤ ＝∠ＡＣＢ－

∠ＡＣＤ＝１０°．故答案为 ６０°或 １０°．

１０．如图 １，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＣＥ⊥

ＡＢ于点 Ｅ．

（１）猜测∠１与∠２的关系，并说明理由；

（２）如图 ２，如果是钝角△ＡＢＣ，那么（１）中

的结论是否还成立？并说明理由．

图 １ 图 ２

解：（１）∠１＝∠２．

理由如下：∵ＡＤ⊥ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＢ，

∴△ＡＢＤ和△ＣＢＥ都是直角三角形．

∴∠２＋∠Ｂ＝９０°，∠１＋∠Ｂ＝９０°．

∴∠１＝∠２．

（２）结论∠１＝∠２仍然成立．

理由如下：∵ＡＤ⊥ＣＢ，ＣＥ⊥ＡＢ，

∴∠Ｄ＝∠Ｅ＝９０°．

∴∠２＋∠３＝９０°，∠１＋∠４＝９０°．

又∵∠３＝∠４，

∴∠１＝∠２

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第十一章 三角形

１１．２．２ 三角形的外角

１．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，

叫做三角形的 外角 ．

２．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角

的 和 ．

３．三角形的外角和等于 ３６０° ．

知识点 １ 三角形外角的定义

１．关于三角形的外角，下列说法中错误的是

（ Ａ ）

Ａ．一个三角形只有三个外角

Ｂ．三角形的每个顶点处都有两个外角

Ｃ．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻

补角

Ｄ．一个三角形共有六个外角

２．如图，下列选项中是△ＡＣＤ的外角的是

（ Ｃ ）

Ａ．∠ＥＡＤ Ｂ．∠ＢＡＣ

Ｃ．∠ＡＣＢ Ｄ．∠ＣＡＥ

知识点 ２ 三角形外角的性质

３．（２０２２文山州名校期末）如图，在△ＡＢＣ中，

Ｄ为 ＢＣ边延长线上一点，若∠ＡＣＤ＝７５°，

∠Ａ＝４５°，则∠Ｂ的度数为 ３０° ．

第 ３题图 第 ４题图

４．如图，∠Ａ＝４５°，∠ＡＢＤ＝１２０°，则∠ＡＣＥ的

度数为 １０５° ．

知识点 ３ 三角形的外角和

５．（２０２２昆明市名校期中）如图，将一个三角

形剪去一个角后，∠１＋∠２＝２４０°，则∠Ａ

等于 （ Ｃ ）

Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５°

６．如图，射线 ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ构成∠１，∠２，∠３，则

∠１＋∠２＋∠３等于 ３６０° ．

１．在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｃ与∠Ｂ的外角度数如

图所示，则 ｘ的值是 （ Ｃ ）

Ａ．６０ Ｂ．６５ Ｃ．７０ Ｄ．８０

２．如图，下列说法中错误的是 （ Ｃ ）

Ａ．∠１不是三角形 ＡＢＣ的外角

Ｂ．∠ＡＣＤ是三角形 ＡＢＣ的外角

Ｃ．∠ＡＣＤ＞∠Ａ＋∠Ｂ

Ｄ．∠Ｂ＜∠１＋∠２

第 ２题图 第 ３题图

３．（２０２３昆明市名校期中）如图，∠ＡＣＤ是

△ＡＢＣ的 外 角，ＣＥ平 分 ∠ＡＣＤ，若 ∠Ａ＝

６０°，∠Ｂ＝４０°，则∠ＥＣＤ等于 （ Ｃ ）

Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５

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·１０·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

４．在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的三个外角度数

的比为 ４∶５∶６，则∠Ａ＝ （ Ｂ ）

Ａ．９６° Ｂ．８４° Ｃ．４８° Ｄ．２４°

５．（２０２２昆明市名校期中）如图，ＡＢ∥ ＣＤ，

∠Ｅ＝３７°，∠Ｃ＝２０°，则∠Ａ＝ （ Ｄ ）

Ａ．１７° Ｂ．２０° Ｃ．３７° Ｄ．５７°

６．（２０２２普洱市名校期中）将一副三角板按如

图所示的方式叠放，∠１＝３０°，∠２＝４５°，则

∠３＝ ７５ °．

第 ６题图 第 ７题图

７．如图，在△ＡＢＣ中，延长 ＡＢ至点 Ｄ，延长 ＢＣ

至点 Ｅ，如果∠Ａ＝５０°，那么∠１＋∠２＝

２３０° ．

８．（２０２２昆明市名校期中）如图，求证：∠ＢＤＣ＝

∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ．

【答案】

证明：如图，延长 ＢＤ交 ＡＣ于点 Ｅ．

∵∠ＢＥＣ是△ＡＢＥ的外角，

∴∠ＢＥＣ＝∠Ａ＋∠Ｂ．

又∵∠ＢＤＣ是△ＣＥＤ的外角，

∴ ∠ＢＤＣ＝∠Ｃ＋∠ＤＥＣ＝∠Ｃ＋

∠Ａ＋∠Ｂ．

９．（２０２３昆明市五华区期末）如图所示，在

△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝２５°，∠ＢＡＣ＝３１°，过点 Ａ

作 ＢＣ边上的高，交 ＢＣ的延长线于点 Ｄ，

∠ＡＣＤ的平分线交 ＡＤ于点 Ｅ．求∠ＡＥＣ的

度数．

解：∵ ∠ＡＣＤ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＣ，∠Ｂ＝２５°，

∠ＢＡＣ＝３１°，

∴∠ＡＣＤ＝２５°＋３１°＝５６°．

∵ＡＤ是 ＢＣ边上的高，

∴ＡＤ⊥ＢＤ．∴∠Ｄ＝９０°．

∵ＣＥ平分∠ＡＣＤ，

∴∠ＥＣＤ＝１

２∠ＡＣＤ＝２８°．

∴∠ＡＥＣ＝∠ＥＣＤ＋∠Ｄ＝２８°＋９０°＝１１８°．

１０．如图，若∠Ａ＝３１°，那么∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋

∠Ｄ＋∠Ｅ等于 （ Ｄ ）

Ａ．９０° Ｂ．１８０° Ｃ．２１１° Ｄ．２４２°

第 １０题图 第 １１题图

１１．【核心素养·推理能力】如图是四条互相

不平行的直线 ｌ１，ｌ２，ｌ３，ｌ４所截出的七个角，

关于这七个角的数量关系，下列结论中正

确的是 （ Ｂ ）

Ａ．∠２＝∠４＋∠７

Ｂ．∠３＝∠１＋∠７

Ｃ．∠１＋∠４＋∠６＝１８０°

Ｄ．∠２＋∠３＋∠５＝３６０

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第十一章 三角形

１１．３ 多边形及其内角和

１１．３．１ 多边形

１１．３．２ 多边形的内角和

１．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的

封闭图形叫做 多边形 ．如果一个多边形

由 ｎ条边（或线段）组成，这个多边形就叫

做 ｎ边形 ，其中 三角形 是最简单的

多边形．

２．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做

多边形的 对角线 ．从 ｎ（ｎ≥３且为整

数）边形的每个顶点出发可以作 ｎ－３ 条

对角线，把 ｎ边形分成 ｎ－２ 个三角形．

３．各个角都 相等 ，各条边都 相等 的多

边形叫做正多边形．

４．ｎ边形的内角和等于 （ｎ－２）·１８０° ，多

边形的外角和等于 ３６０° ．

知识点 １ 多边形与正多边形

１．下列图形中，属于多边形的是 （ Ｄ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

２．下列说法错误的是 （ Ｃ ）

Ａ．正多边形的每个内角都相等

Ｂ．正多边形的每条边都相等

Ｃ．正多边形的每条对角线都相等

Ｄ．正多边形一定是凸多边形

知识点 ２ 多边形的对角线

３．（２０２３玉溪市名校期中）一个六边形共有 ｍ

条对角线，则 ｍ的值为 （ Ｃ ）

Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０

【解 析 】ｎ边 形 对 角 线 的 总 条 数 为 ｎ（ｎ－３）

２

( ｎ≥３，且 ｎ为整数)，则六边形的对角线的条数为

９，故选 Ｃ．

４．（２０２２普洱市名校期中）七边形从一个顶点

出发有 ４ 条对角线．

知识点 ３ 多边形的内角和与外角和

５．（２０２３昆明市五华区期末）若一个正多边形

的一个内角是 １４４°，则这个正多边形的边

数是 （ Ｃ ）

Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ．１０ Ｄ．１１

６．（２０２２普洱市名校期中）如图，∠１＋∠２＋

∠３＋∠４＝２９０°，则∠５＝ ７０ °．

１．（２０２３昆明市名校期中）下列多边形中，内

角和与外角和相等的是 （ Ｂ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

２．若正多边形的一个外角是 ４５°，则该正多边

形的内角和为 （ Ｃ ）

Ａ．７２０° Ｂ．５４０° Ｃ．１０８０° Ｄ．９００°

３．已知一个多边形的内角和与外角和之和为

１６２０°，则这个多边形的边数为 （ Ｃ ）

Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０

４．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个

内角与一个外角的度数之比是 ３∶１，这个多

边形的边数是 （ Ａ ）

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

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５．（２０２３昭通市昭阳区期中）一个多边形的内

角和比它的外角和的 ２倍少 １８０°，这个多边

形的边数是 （ Ａ ）

Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．４ Ｄ．６

６．（２０２２普洱市名校期中）一个四边形，剪掉

一个 角 后 得 到 的 新 多 边 形 的 外 角 和 为

３６０° ．

７．如图所示，∠１是五边形的一个外角．若

∠１＝７０°，则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ的度数

为 ４３０° ．

第 ７题图 第 ８题图

８．（２０２２昆明市西山区期中）如图，小林从 Ｐ

点向西直走 ８米后，向左转，转动的角度为

α，再走 ８米，如此重复，小林共走了 ７２米回

到 Ｐ点，则 α为 ４０° ．

９．（２０２２普洱市名校期中）过 ｎ边形的一个顶

点有 ５条对角线，则这个多边形的内角和为

１０８０° ．

１０．如图是一个凹多边形，∠Ａ＝９０°，∠Ｃ＝

１０６°，∠Ｄ＝１１６°，∠Ｅ＝１００°，求∠１＋∠２

的值．

解：如图，连接 ＢＦ．

∵∠Ａ＝９０°，∴∠ＡＦＢ＋∠ＡＢＦ＝９０°．

∵五边形 ＢＣＤＥＦ的内角和为（５－２）×

１８０°＝５４０°，

∴∠１＋∠２＋∠ＡＦＢ＋∠ＡＢＦ＋∠Ｃ＋

∠Ｄ＋∠Ｅ＝５４０°，

即 ∠１＋∠２＋９０°＋１０６°＋１１６°＋

１００°＝５４０°．

∴∠１＋∠２＝１２８°．

１１．【核心素养·推理能力】请根据对话回答

问题．

（１）小明为什么说这个凸多边形的内角和

不可能是 ２０２０°？

（２）小敏求的是几边形的内角和？

解：（１）∵ｎ边形的内角和是（ｎ－２）×１８０°，

∴多边形的内角和一定是 １８０°的整

倍数．

∵２０２０÷１８０＝１１……４０，

∴多边形的内角和不可能为 ２０２０°．

（２）设小敏求的是 ｎ边形的内角和，这

个外角为 ｘ°，则 ０＜ｘ＜１８０．

根据题意，得（ｎ－２）×１８０＝２０２０－ｘ，

∴ｘ＝２０２０－（ｎ－２）×１８０°＝２３８０－

１８０ｎ．

∵０＜ｘ＜１８０，∴０＜２３８０－１８０ｎ＜１８０．

∴１２２

９＜ｎ＜１３２

９．

∵ｎ为正整数，∴ｎ＝１３．

∴小敏求的是十三边形的内角和

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第十一章 三角形

章末复习

１．分类讨论思想

（２０２２昆明市名校期中）若 ＡＤ是△ＡＢＣ的

高，∠ＢＡＤ＝７０°，∠ＣＡＤ＝２０°，则∠ＢＡＣ的

度数为 ９０°或 ５０° ．

【解析】题目没有明确三角形的高 ＡＤ是否在三角

形内部，需要分不同情况讨论：①如图 １，当高 ＡＤ

在△ＡＢＣ的内部时，∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝

７０°＋２０°＝９０°；

②如图 ２，当高 ＡＤ在△ＡＢＣ的外部时，∠ＢＡＣ＝

∠ＢＡＤ－∠ＣＡＤ ＝７０°－２０°＝５０°．综 上 所 述，

∠ＢＡＣ的度数为 ９０°或 ５０°．

２．方程思想

在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝１

２∠Ｃ．

（１）求∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的度数；

（２）△ＡＢＣ按边分类，属于什么三角 形？

△ＡＢＣ按角分类，属于什么三角形？

解：（１）设∠Ａ＝∠Ｂ＝ｘ，则∠Ｃ＝２ｘ．

根据三角形的内角和定理知，

ｘ＋ｘ＋２ｘ＝１８０°．

解得 ｘ＝４５°．

∴∠Ａ＝∠Ｂ＝４５°，∠Ｃ＝９０°．

（２）△ＡＢＣ按边分类，属于等腰三角形；

△ＡＢＣ按角分类，属于直角三角形．

１．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，将三角形沿

ＣＤ折叠，使点 Ｂ恰好落在边 ＡＣ上的点 Ｅ

处，若∠Ｂ＝６５°，则∠ＡＤＥ的度数为 （ Ａ ）

Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６５° Ｄ．７５°

２．（２０２３昆明市五华区期末）在下列长度的三

条线段中，不能组成三角形的是 （ Ｃ ）

Ａ．２ｃｍ，３ｃｍ，４ｃｍ Ｂ．３ｃｍ，６ｃｍ，６ｃｍ

Ｃ．２ｃｍ，４ｃｍ，６ｃｍ Ｄ．５ｃｍ，６ｃｍ，

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３．下列说法中正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．平分三角形内角的射线叫做三角形的角

平分线

Ｂ．三角形的中线是经过顶点和对边中点的

直线

Ｃ．钝角三角形的三条高都在三角形外

Ｄ．三角形的三条中线总在三角形内

４．（２０２３昆明市官渡区期末）某科技小组制作

一个机器人，它能根据指令要求进行行走和

旋转．某一指令规定：机器人先向前行走 １

米，然后左转 ４５°，若机器人反复执行这一指

令，则从出发到第一次回到原处，机器人共

走了 （ Ｃ ）

Ａ．６米 Ｂ．７米 Ｃ．８米 Ｄ．９米

５．（２０２３昆明市五华区期末）如图，在四边形

纸片 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝８０°，∠Ｂ＝７０°，将纸片

沿着 ＭＮ折叠，使 Ｃ，Ｄ分别落在直线 ＡＢ上

的 Ｃ′，Ｄ′处，则∠ＡＭＤ′＋∠ＢＮＣ′等于 （ Ｃ ）

Ａ．８０° Ｂ．７０° Ｃ．６０° Ｄ．５０°

第 ５题图 第 ６题图

６．（２０２２曲靖市名校期中）如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝

６８°，∠Ｅ＝２０°，则∠Ｄ的度数为 ４８ °．

７．如图，将多边形分割成三角形，图①中可分

割成 ２个三角形；图②中可分割成 ３个三角

形；图③中可分割成 ４个三角形，由此你能

猜测出，ｎ边形可以分割成 （ｎ－１） 个三

角形．

８．一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个

内角和为 ２３４０°的新多边形，求原多边形的

边数．

解：设原多边形的边数为 ｎ，则分三种情况：

①若剪后为（ｎ＋１）边形，则

（ｎ＋１－２）·１８０＝２３４０，解得 ｎ＝１４；

②若剪后为 ｎ边形，则

（ｎ－２）·１８０＝２３４０，解得 ｎ＝１５；

③若剪后为（ｎ－１）边形，则

（ｎ－１－２）·１８０＝２３４０，解得 ｎ＝１６．

综上所述，原多边形的边数为 １４或 １５

或 １６边．

９．（２０２３昆明市官渡区期末）如图，ＡＤ，ＡＥ，ＡＦ

分别是△ＡＢＣ的高线、角平分线和中线．

（１）下 列 结 论：① ＢＦ＝ＡＦ；② ∠ＢＡＥ＝

∠ＣＡＥ；③Ｓ△ ＡＢＦ ＝１

２Ｓ△ ＡＢＣ；④∠Ｃ与∠ＣＡＤ

互余．其中错误的是 ① （只填序号）；

（２）若 ∠Ｃ＝６２°，∠Ｂ＝３０°，求 ∠ＤＡＥ的

度数．

解：∵∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ＝１８０°－

６２°－３０°＝８８°，ＡＥ平分∠ＢＡＣ，

∴∠ＥＡＣ＝１

２∠ＢＡＣ＝４４°．

∵ＡＤ是△ＡＢＣ的高线，∴∠ＡＤＣ＝９０°．

又∵∠Ｃ＝６２°，

∴∠ＤＡＣ＝９０°－∠Ｃ＝２８°．

∴∠ＤＡＥ＝∠ＥＡＣ－∠ＤＡＣ＝４４°－２８°＝１６

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第十一章 三角形

１０．（２０２２普洱市名校期中）如图所示，已知

ＡＤ，ＡＥ分别是△ＡＤＣ和△ＡＢＣ的高和中

线，ＡＢ＝６ｃｍ，ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，

∠ＣＡＢ＝９０°．试求：

（１）ＡＤ的长；

（２）△ＡＢＥ的面积；

（３）△ＡＣＥ和△ＡＢＥ的周长的差．

解：（１）∵ ∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ是 边 ＢＣ上

的高，

∴根据△ＡＢＣ的面积公式，得

１

２ＡＢ·ＡＣ＝１

２ＢＣ·ＡＤ．

∴ＡＤ＝ＡＢ·ＡＣ

ＢＣ ＝６×８

１０ ＝２４

５（ｃｍ），

即 ＡＤ的长为２４

５ｃｍ．

（２）∵ＡＥ是△ＡＢＣ的中线，∴ＢＥ＝ＥＣ．

∴Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＣＥ ＝１

２Ｓ△ＡＢＣ ＝１

４ＡＢ·ＡＣ＝

１

４×６×８＝１２（ｃｍ

２

）．

∴△ＡＢＥ的面积是 １２ｃｍ

２

．

（３）∵ＡＥ为 ＢＣ边上的中线，

∴ＢＥ＝ＣＥ．

∴△ＡＣＥ的周长 －△ＡＢＥ的周长 ＝ＡＣ＋

ＡＥ＋ＣＥ－（ＡＢ＋ＢＥ＋ＡＥ）＝ＡＣ－ＡＢ＝

８－６＝２（ｃｍ）．

∴△ＡＣＥ和△ＡＢＥ的周长的差是 ２ｃｍ．

１．（２０２１云南中考）一个 １０边形的内角和

等于 （ Ｃ ）

Ａ．１８００° Ｂ．１６６０°

Ｃ．１４４０° Ｄ．１２００°

２．（２０１５昆明中考）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝

４０°，过点 Ｃ作 ＣＤ∥ ＡＢ，∠ＡＣＤ＝６５°，则

∠ＡＣＢ的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．６０° Ｂ．６５°

Ｃ．７０° Ｄ．７５°

３．（２０１７云南中考）若一个多边形的内角和为

９００°，则这个多边形是 （ Ｃ ）

Ａ．五边形 Ｂ．六边形

Ｃ．七边形 Ｄ．八边形

４．（２０１８曲靖中考）若一个正多边形的内角

和为７２０°，则这个多边形的每一个内角是

（ Ｄ ）

Ａ．６０° Ｂ．９０°

Ｃ．１０８° Ｄ．１２０°

５．（２０１６云南中考）若一个多边形的边数为 ６，

则这个多边形的内角和为 ７２０ 度

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第十二章 全等三角形

１２．１ 全等三角形

１．能够 完全重合 的两个图形叫做全等

形．两个图形是否全等只与这两个图形的

形状 和 大小 有关，与位置无关．

２．能够完全重合的两个三角形叫做 全等

三角形 ．平移、翻折、旋转前后的图形

全等 ．把两个全等的三角形重合到一

起，重合的顶点叫做 对应顶点 ，重合

的边 叫 做 对 应 边 ，重 合 的 角 叫 做

对应角 ．全等用符号“ ≌ ”表示，

读作“ 全等于 ”，记两个三角 形 全 等

时，表示对应顶点的字母要写在 对应位

置 上．

３．全等三角形的 对应边 相等，全等三角形

的 对应角 相等．

知识点 １ 全等形

１．关于全等图形的描述，下列说法正确的是

（ Ｃ ）

Ａ．形状相同的图形

Ｂ．面积相等的图形

Ｃ．能够完全重合的图形

Ｄ．周长相等的图形

２．与下左图所示图形全等的是 ①②④ （选

填序号）．

知识点 ２ 全等三角形

３．如图，图中有两对三角形全等．

（１）△ＣＤＯ≌ △ＥＢＯ ，其中 ＣＤ的对应

边是 ＥＢ ，ＤＯ的对应边是 ＢＯ ，ＯＣ

的对应边是 ＯＥ ；

（２）△ＡＢＣ≌ △ＡＤＥ ，其中∠Ａ的对应角

是 ∠Ａ ，∠Ｂ的 对 应 角 是 ∠Ｄ ，

∠ＡＣＢ的对应角是 ∠ＡＥＤ ．

知识点 ３ 全等三角形的性质

４．（２０２３昆 明 市 西 山 区 期 末）如 图，已 知

△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ，ＡＢ＝１０，∠Ａ＝６０°，∠ＡＢＣ＝

８０°，那么下列结论中正确的是 （ Ａ ）

Ａ．∠Ｄ＝６０° Ｂ．∠ＤＢＣ＝５０°

Ｃ．∠ＡＣＤ＝６０° Ｄ．ＢＥ＝１０

５．（２０２２昆明市名校期中）下列命题中正确

的是 （ Ｄ ）

Ａ．全等三角形的高相等

Ｂ．全等三角形的中线相等

Ｃ．全等三角形的角平分线相等

Ｄ．全等三角形的对应角平分线相等

６．如图，△ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，∠Ｂ＝１２５°，∠Ｆ＝

２０°，则∠Ｄ＝ ３５ °．

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１．如图，下列图形中全等形的组数是 （ Ｂ ）

Ａ．３组 Ｂ．４组 Ｃ．５组 Ｄ．６组

２．（２０２３楚雄州双柏县期中）如图，若△ＡＢＣ

≌△ＤＥＦ，Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｆ四个点在同一直线上，

ＢＣ＝７，ＥＣ＝５，则 ＣＦ的长是 （ Ａ ）

Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．７

３．如图，已知△ＡＢＣ≌△ＣＤＥ，∠Ｂ＝９０°，Ｃ为

线段 ＢＤ上一点，则∠ＡＣＥ的度数为 （ Ｃ ）

Ａ．９４° Ｂ．９２° Ｃ．９０° Ｄ．８８°

第 ３题图 第 ４题图

４．（２０２２昆明市名校期中）如图所示，△ＡＯＣ≌

△ＢＯＤ．∠Ａ的对应角是 ∠Ｂ ，∠Ｃ的对

应角是 ∠Ｄ ，边 ＡＣ的对应边是 ＢＤ ．

５．（易错题）如图，△ＡＢＣ在平面直角坐标系

中，且点 Ａ（０，１），点 Ｂ（３，１），点 Ｃ（４，３），如

果要使△ＡＢＤ与△ＡＢＣ全等，那么点 Ｄ的坐

标是 （４，－１），（－１，３）或（－１，－１） ．

６．已知在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝８，ＡＣ＝

６，△ＤＥＦ≌ △ＡＢＣ，则 △ＤＥＦ 的 面 积 是

２４ ．

７．（２０２２普洱市名校期中）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝

∠Ｃ，与△ＡＢＣ全等的三角形有一个角是

１００°，那么在△ＡＢＣ中与这 １００°角对应相等

的角是 （ Ａ ）

Ａ．∠Ａ Ｂ．∠Ｂ

Ｃ．∠Ｃ Ｄ．∠Ｂ或∠Ｃ

【解析】在△ＡＢＣ中，三角形的内角和等于 １８０°，∵

∠Ｂ＝∠Ｃ，∴ ∠Ｂ或 ∠Ｃ不能等于 １００°，∴ 在

△ＡＢＣ中与这个 １００°的角对应相等的角只能是

∠Ａ．故选 Ａ．

８．如图，已知△ＡＢＣ≌ △ＡＤＥ，∠ＤＡＣ＝６０°，

∠ＢＡＥ＝１００°，ＢＣ与 ＤＡ相交于点 Ｇ，与 ＤＥ

相交于点 Ｆ，求∠ＤＦＢ的度数．

解：∵△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，

∴∠Ｂ＝∠Ｄ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ．

又∵∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ －∠ＣＡＤ，

∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ －∠ＣＡＤ，

∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．

∴∠ＢＡＤ＝１

２（∠ＢＡＥ －∠ＤＡＣ）

＝１

２（１００°－６０°）＝２０°．

在△ＡＢＧ和△ＦＤＧ中，

∵∠Ｂ＝∠Ｄ，∠ＡＧＢ＝∠ＦＧＤ，

∴∠ＤＦＢ＝∠ＢＡＤ＝２０

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１２．２ 三角形全等的判定

第 １课时 边边边（ＳＳＳ）

１．三边分别 相等 的两个三角形全等，可以

简写成“ 边边边 ”或“ ＳＳＳ ”．

２．用没有刻度的 直尺 和 圆规 作图的

方法称为尺规作图．

知识点 １ 用“ＳＳＳ” 判定两个三角形全等

１．如图所示，点 Ｂ，Ｄ，Ｃ，Ｆ在同一条直线上，且

ＢＣ＝ＦＤ，ＡＢ＝ＥＦ，若要根据“ＳＳＳ”来判定

△ＡＢＣ≌ △ＥＦＤ，则 需 要 添 加 的 条 件 是

ＡＣ＝ＥＤ ．

２．如图所示，当 ＡＢ＝ＡＤ，ＢＥ＝ＤＥ时，用“ＳＳＳ”可

证明 △ＡＢＥ ≌ △ＡＤＥ ；当 ＡＢ＝ＡＤ，

ＢＣ＝ＤＣ时，用 “ＳＳＳ”可 证 明 △ＡＢＣ ≌

△ＡＤＣ ；当 ＢＣ＝ＤＣ，ＢＥ＝ＤＥ时，用“ＳＳＳ”

可证明 △ＢＣＥ ≌ △ＤＣＥ ．

知识点 ２ “ＳＳＳ” 判定的应用

３．（２０２３曲靖市期末）工人师傅常用角尺平

分一个任意角，做法如下：如图，∠ＡＯＢ是

一个任意角，在边 ＯＡ，ＯＢ上分别取 ＯＭ＝

ＯＮ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分

别与点 Ｍ，Ｎ重合，过角尺顶点 Ｃ作射线

ＯＣ，由 此 便 可 得 △ＮＯＣ≌ △ＭＯＣ，其 依

据是 （ Ｄ ）

Ａ．ＳＡＳ Ｂ．ＡＡＳ Ｃ．ＡＳＡ Ｄ．ＳＳＳ

４．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，ＣＡ＝

４，ＤＥ＝４，ＥＦ＝３，要使△ＡＢＣ和△ＤＥＦ全

等，则 ＤＦ＝ ２ ．

知识点 ３ 尺规作图

５．如 图，已 知 ∠ＣＡＥ是 △ＡＢＣ的 外 角．在

∠ＣＡＥ内部作∠ＥＡＤ＝∠ＡＢＣ（尺规作图，

不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】

解：如图所示，∠ＥＡＤ即为所作．

１．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＥＢ＝ＥＣ，则由

“ＳＳＳ”直接可以判定 （ Ｂ ）

Ａ．△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ Ｂ．△ＡＢＥ≌△ＡＣＥ

Ｃ．△ＢＤＥ≌△ＣＤＥ Ｄ．

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 以上答案都不对

·１９·

第十二章 全等三角形

２．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是 ＢＣ的中点，

连接 ＡＣ，ＡＥ，若 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＥ，

则图中的全等三角形有 （ Ｄ ）

Ａ．０对 Ｂ．１对 Ｃ．２对 Ｄ．３对

３．如图，点 Ｂ，Ｃ，Ｅ在同一直线上，且 ＡＢ＝ＡＤ，

ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＤＥ．若∠１＋∠２＋∠３＝９４°，

则∠３的度数为 （ Ｂ ）

Ａ．４９° Ｂ．４７° Ｃ．４５° Ｄ．４３°

第 ３题图 第 ４题图

４．如图，ＡＤ＝ＣＢ，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝６５°，则∠Ｃ＝

６５° ．

５．（２０２３昆明市西山区期末）放风筝是中国民

间的传统游戏之一，风筝又称风琴、纸鹞、鹞

子、纸鸢．如图 １，小华制作了一个风筝，示

意图如图 ２所示，ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，他发现

ＡＤ不仅平分∠ＢＡＣ，且平分∠ＢＤＣ，你觉得

他的发现正确吗？请说明理由．

图 １ 图 ２

解：他的发现正确．

理由如下：在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，

ＡＢ＝ＡＣ，

ＢＤ＝ＣＤ，

ＡＤ＝ＡＤ { ，

∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ（ＳＳＳ）．

∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ．

∴ＡＤ不仅平分∠ＢＡＣ，且平分∠ＢＤＣ．

６．【核心素养·推理能力】如图，ＡＤ＝ＣＢ，Ｅ，Ｆ

是 ＡＣ上的两个动点，且有 ＤＥ＝ＢＦ．

（１）若点 Ｅ，Ｆ运动至如图 １所示的位置，且

有 ＡＦ＝ＣＥ，求证：△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ；

（２）若点 Ｅ，Ｆ运动至如图 ２所示的位置，仍

有 ＡＦ＝ＣＥ，则△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ还成立吗？

为什么？

（３）若点 Ｅ，Ｆ不重合，则 ＡＤ与 ＣＢ平行吗？

请说明理由．

（１）证明：∵ＡＦ＝ＣＥ，

∴ＡＦ＋ＥＦ＝ＣＥ＋ＥＦ，即 ＡＥ＝ＣＦ．

在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，

ＡＤ＝ＣＢ，

ＤＥ＝ＢＦ，

ＡＥ＝ＣＦ { ，

∴△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＳＳ）．

（２）解：△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ成立．

理由如下：∵ＡＦ＝ＣＥ，

∴ＡＦ－ＥＦ＝ＣＥ－ＥＦ，即 ＡＥ＝ＣＦ．

在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，

ＡＤ＝ＣＢ，

ＤＥ＝ＢＦ，

ＡＥ＝ＣＦ { ，

∴△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＳＳ）．

（３）解：ＡＤ与 ＣＢ不一定平行．

理由如下：在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，仅有

ＡＤ＝ＣＢ，ＤＥ＝ＢＦ，因此不能判定它们全

等，即不能得出∠Ａ＝∠Ｃ．

故 ＡＤ与 ＣＢ不一定平行

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·２０·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

第 ２课时 边角边（ＳＡＳ）

两边和它们的 夹角 分别相等的两个

三角形全等，可以简写成“ 边角边 ”或

“ ＳＡＳ ”

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：有两边和其中一边的对角分别相等

的两个三角形 不一定 全等．

知识点 １ 用“ＳＡＳ” 判定两个三角形全等

１．（２０２３楚雄州双柏县期中）如图，ＡＣ与 ＢＤ

相交于点 Ｏ，ＯＡ＝ＯＤ，ＯＢ＝ＯＣ，不添加辅助

线，判定△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ的依据是 （ Ａ ）

Ａ．ＳＡＳ Ｂ．ＡＡＳ Ｃ．ＳＳＳ Ｄ．ＨＬ

２．【核心素养·推理能力】如图，ａ，ｂ，ｃ分别表

示△ＡＢＣ的三边长，则下面与△ＡＢＣ一定全

等的三角形是 （ Ｂ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

知识点 ２ “ＳＡＳ” 判定的应用

３．如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的高，ＡＤ＝ＢＤ，ＤＥ＝ＤＣ，

∠ＤＡＣ＝３０°，则∠ＤＢＥ的度数是 （ Ｃ ）

Ａ．１０° Ｂ．１５° Ｃ．３０° Ｄ．４５°

４．如图，有一池塘，要测池塘两端 Ａ，Ｂ两点之

间的距离，可先在平地上取一个可以直接到

达 Ａ，Ｂ两点的点 Ｃ，连接 ＡＣ并延长 ＡＣ到

点 Ｄ，使 ＣＤ＝ＣＡ，连接 ＢＣ并延长 ＢＣ到点

Ｅ，使 ＣＥ＝ＣＢ，连接 ＤＥ，那么量出 ＤＥ

的长就等于 ＡＢ的长．这是根据 ＳＡＳ 方

法判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ．

１．如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ

和 ＡＤ延长线上的点，且 ＤＥ＝ＤＦ，连接 ＢＦ，

ＣＥ．下列说法：

①ＣＥ＝ＢＦ；②△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的面积相等；

③ＢＦ∥ＣＥ；④△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ．

其中正确的说法有 （ Ｄ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

２．（２０２３昆明市名校期中）如图，把两根钢条

的中点连在一起，可以做成一个测量工件内

槽宽 的 工 具 （卡 钳）．在 图 中，若 测 量 得

Ａ′Ｂ′＝１０ｃｍ，则工件内槽宽 ＡＢ为 （ Ｂ ）

Ａ．１１ｃｍ Ｂ．１０ｃｍ Ｃ．９ｃｍ Ｄ．８ｃｍ

第 ２题图 第 ３题图

３．（２０２２昭通市期中）如图，点 Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｆ在一

条直线上，ＡＢ＝ＤＥ，ＢＥ＝ＣＦ，请添加一个条

件 ∠Ｂ＝∠ＤＥＦ（或 ＡＣ＝ＤＦ） ，使△ＡＢＣ

≌△

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 ＤＥＦ．

·２１·

第十二章 全等三角形

４．（２０２３楚雄州双柏县期中）如图，Ｃ是线段 ＡＢ

的中点，ＣＤ＝ＢＥ，ＣＤ∥ＢＥ．求证：∠Ｄ＝∠Ｅ．

证明：∵Ｃ是线段 ＡＢ的中点，

∴ＡＣ＝ＣＢ．

∵ＣＤ∥ＢＥ，∴∠ＡＣＤ＝∠Ｂ．

在△ＡＣＤ和△ＣＢＥ中，

ＡＣ＝ＣＢ，

∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，

ＣＤ＝ＢＥ { ，

∴△ＡＣＤ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ）．

∴∠Ｄ＝∠Ｅ．

５．（２０２３曲靖市期末）如图，已知点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ

在一条直线上，ＥＡ∥ＦＢ，ＥＡ＝ＦＢ，ＡＢ＝ＣＤ．

（１）求证：ＥＣ＝ＦＤ；

（２）若∠Ａ＝４０°，∠Ｄ＝８０°，求∠Ｅ的度数．

（１）证明：∵ＥＡ∥ＦＢ，∴∠Ａ＝∠ＦＢＤ．

∵ＡＢ＝ＣＤ，

∴ＡＢ＋ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＣ，即 ＡＣ＝ＢＤ．

在△ＡＥＣ和△ＢＦＤ中，

ＡＥ＝ＢＦ，

∠Ａ＝∠ＦＢＤ，

ＡＣ＝ＢＤ { ，

∴△ＡＥＣ≌△ＢＦＤ（ＳＡＳ）．

∴ＥＣ＝ＦＤ．

（２）解：∵△ＡＥＣ≌△ＢＦＤ，

∴∠ＡＣＥ＝∠Ｄ＝８０°．

∴∠Ｅ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＣＥ＝１８０°－

４０°－８０°＝６０°．

６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ，∠ＡＢＣ＝

∠Ｃ＝６０°，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与 ＢＥ相交于点 Ｆ，

则∠ＡＦＥ＝ ６０° ．

７．如图，Ｃ是线段 ＡＢ的中点，ＣＤ平分∠ＡＣＥ，

ＣＥ平分∠ＢＣＤ，ＣＤ＝ＣＥ．

（１）求证：△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ；

（２）若∠Ｄ＝５０°，求∠Ｂ的度数．

（１）证明：∵Ｃ是线段 ＡＢ的中点，

∴ＡＣ＝ＢＣ．

又∵ＣＤ平分∠ＡＣＥ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ，

∴∠１＝∠２，∠２＝∠３．∴∠１＝∠３．

在△ＡＣＤ和△ＢＣＥ中，

ＣＤ＝ＣＥ，

∠１＝∠３，

ＡＣ＝ＢＣ { ，

∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）．

（２）解：∵∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，

∴∠１＝∠２＝∠３＝６０°．

∵△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，

∴∠Ｅ＝∠Ｄ＝５０°．

∴ ∠Ｂ＝１８０°－∠Ｅ－∠３＝１８０°－

５０°－６０°＝７０

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·２２·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

第 ３课时 角边角（ＡＳＡ） 角角边（ＡＡＳ）

１．两角和它们的夹边分别 相等 的两个三

角形全等，可以简写成 “ 角边角 ”或

“ ＡＳＡ ”．

２．两角和其中一个角的 对边 分别相等的两

个三角形全等，可以简写成“ 角角边 ”或

“ ＡＡＳ ”．

知识点 １ 用“ＡＳＡ” 判定两个三角形全等

１．（２０２３玉溪市名校期中）如图，某同学把一

块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻

璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事

的方法是 （ Ｃ ）

Ａ．带①去 Ｂ．带②去

Ｃ．带③去 Ｄ．带①和②去

２．（２０２３昆明市五华区期末）如图所示，已知

∠１＝∠２，∠３＝∠４．求证：ＢＤ＝ＢＣ．

证明：∵ ∠３＝∠４，∠ＡＢＤ＝１８０°－∠３，

∠ＡＢＣ＝１８０°－∠４，

∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ．

在△ＡＢＤ和△ＡＢＣ中，

∠１＝∠２，

ＡＢ＝ＡＢ，

∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ { ，

∴△ＡＢＤ≌△ＡＢＣ（ＡＳＡ）．

∴ＢＤ＝ＢＣ．

知识点 ２ 用“ＡＡＳ” 判定两个三角形全等

３．如图，ＢＣ⊥ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＤ，垂

足分别是 Ｃ和 Ｄ．若要根据

“ＡＡＳ” 判 定 △ＡＢＣ ≌

△ＡＢＤ，应添加的一个条件

是 ∠ＣＡＢ ＝∠ＤＡＢ（或

∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ） ．

知识点 ３ 三角形全等的判定及应用

４．（２０２２昆明市名校期中）如图，要测量河两

岸相对两点 Ａ，Ｂ间的距离，先在过点 Ｂ的

ＡＢ的垂线上取两点 Ｃ，Ｄ，使 ＣＤ＝ＢＣ，再在

过点 Ｄ的垂线上取点 Ｅ，使 Ａ，Ｃ，Ｅ三点在

一条直线上，可证明△ＥＤＣ≌△ＡＢＣ，所以

测得 ＥＤ的长就是 Ａ，Ｂ两点间的距离，这里

判定△ＥＤＣ≌△ＡＢＣ的理由是 ＡＳＡ ．

１．如图，已知∠１＝∠２，若要用“ＡＡＳ”证明

△ＡＣＢ≌△ＢＤＡ，则还需添加的条件是 （ Ｃ ）

Ａ．ＡＤ＝ＢＣ Ｂ．ＢＤ＝ＡＣ

Ｃ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｄ．∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＡ

第 １题图 第 ２题图

２．如图，已知 ＢＥ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，则下列结论

错误的是 （ Ｄ ）

Ａ．△ＢＥＦ≌△ＤＣＦ Ｂ．△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ

Ｃ．ＡＢ＝ＡＤ Ｄ．ＤＦ＝

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 ＡＣ

·２３·

第十二章 全等三角形

３．如图，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＣ与 ＢＤ相交于点

Ｏ，ＥＦ过点 Ｏ并分别交 ＡＤ，ＢＣ于点 Ｅ，Ｆ，则

图中的全等三角形共有 （ Ｃ ）

Ａ．１对 Ｂ．２对 Ｃ．３对 Ｄ．４对

４．（２０２３昭通市昭阳区期中）如图，已知点 Ｂ，

Ｅ，Ｃ，Ｆ在同一直线上，ＡＢ＝ＤＥ，∠Ａ＝∠Ｄ，

ＡＣ∥ＤＦ．

（１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ；

（２）若 ∠ＡＣＢ＝４０°，∠Ｄ＝８０°，求 ∠Ｂ的

度数．

（１）证明：∵ＡＣ∥ＤＦ，∴∠Ｆ＝∠ＡＣＢ．

在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，

∠ＡＣＢ＝∠Ｆ，

∠Ａ＝∠Ｄ，

ＡＢ＝ＤＥ { ，

∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＡＳ）．

（２）解：∵∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｄ＝８０°，

∴∠Ａ＝８０°．

又∵∠ＡＣＢ＝４０°，

∴∠Ｂ＝１８０°－８０°－４０°＝６０°．

５．（２０２２昆明市西山区期中）一天课间，顽皮

的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，

不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所

示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有

了下 面 这 道 题：如 果 每 块 砖 的 厚 度 ａ＝

８ｃｍ，则 ＤＥ的长为 （ Ｃ ）

Ａ．４０ｃｍ Ｂ．４８ｃｍ

Ｃ．５６ｃｍ Ｄ．６４ｃｍ

【解析】根据题意，得∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ＝∠ＡＣＢ＝

９０°，ＡＣ＝ＣＢ，∴∠ＡＣＤ＝９０°－∠ＢＣＥ＝∠ＣＢＥ，用

ＡＡＳ可 证 明 △ＡＣＤ≌ △ＣＢＥ．∴ ＣＤ＝ＢＥ＝３ａ，

ＡＤ＝ＣＥ＝４ａ．∵ａ＝８ｃｍ，∴ＤＥ＝ＣＤ＋ＣＥ＝３ａ＋

４ａ＝７ａ＝５６ｃｍ，即 ＤＥ＝５６ｃｍ．故选 Ｃ．

６．如图，操场上有两根旗杆相距 １２ｍ，小强同

学从 Ｂ点沿 ＢＡ走向 Ａ点，一段时间后他到

达 Ｍ点，此时他测得 ＣＭ和 ＤＭ的夹角为

９０°，且 ＣＭ＝ＤＭ，已知旗杆 ＡＣ的高为 ３ｍ，

小强同学行走的速度为 ０．５ｍ／ｓ，则：

（１）请你求出另一旗杆 ＢＤ的高度；

（２）小强从 Ｍ点到达 Ａ点还需要多长时间？

解：（１）∵ＣＭ和 ＤＭ的夹角为 ９０°，

∴∠１＋∠２＝９０°．

∵∠Ｂ＝９０°，

∴∠２＋∠Ｄ＝９０°．

∴∠１＝∠Ｄ．

在△ＣＡＭ和△ＭＢＤ中，

∠Ａ＝∠Ｂ，

∠１＝∠Ｄ，

ＣＭ＝ＭＤ { ，

∴△ＣＡＭ≌△ＭＢＤ（ＡＡＳ）．

∴ＡＭ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＭ．

∵ＡＣ＝３ｍ，∴ＢＭ＝３ｍ．

∵ＡＢ＝１２ｍ，∴ＡＭ＝９ｍ．

∴ＢＤ＝９ｍ．

（２）９÷０．５＝１８（ｓ）．

答：小强从 Ｍ点到达 Ａ点还需要 １８ｓ

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·２４·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

第 ４课时 斜边、直角边（ＨＬ）

１． 斜边 和一条直角边分别相等的两个直

角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”

或“ ＨＬ ”．

２．判定两个直角三角形全等的方法有 ＳＳＳ ，

ＳＡＳ ， ＡＳＡ ， ＡＡＳ ， ＨＬ ．其中 ＨＬ

只适用于 两个直角三角形全等的判定 ，

对于一般三角形全等的判定不适用．

知识点１ 用“ＨＬ” 判定两个直角三角形全等

１．如图，已知 ＡＣ⊥ＢＤ，垂足为 Ｏ，ＡＯ＝ＣＯ，

ＡＢ＝ＣＤ，则证明 Ｒｔ△ＡＯＢ≌Ｒｔ△ＣＯＤ的方

法为 （ Ａ ）

Ａ．ＨＬ Ｂ．ＳＡＳ Ｃ．ＡＳＡ Ｄ．ＡＡＳ

２．（２０２２昭通市昭阳区期中）如图，已知 ＡＢ＝

ＣＤ，ＢＥ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°．求证：ＡＢ∥ＣＤ．

证明：∵ＢＥ＝ＤＦ，

∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＤＦ＋ＥＦ，即 ＢＦ＝ＤＥ．

∵∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，

∴△ＡＢＦ和△ＤＣＥ是直角三角形．

在 Ｒｔ△ＡＢＦ和 Ｒｔ△ＣＤＥ中，

ＢＦ＝ＤＥ，

{ＡＢ＝ＣＤ，

∴Ｒｔ△ＡＢＦ≌Ｒｔ△ＣＤＥ（ＨＬ）．

∴∠Ｂ＝∠Ｄ．

∴ＡＢ∥ＣＤ．

知识点 ２ 直角三角形全等的综合判定

３．如图，已知 ＢＥ⊥ＣＤ于点 Ｅ，ＢＥ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＤＡ．

（１）求证：△ＢＥＣ≌△ＤＥＡ；

（２）求证：ＢＣ⊥ＦＤ．

证明：（１）∵ＢＥ⊥ＣＤ，

∴∠ＢＥＣ＝∠ＤＥＡ＝９０°．

在 Ｒｔ△ＢＥＣ和 Ｒｔ△ＤＥＡ中，

ＢＣ＝ＤＡ，

{ＢＥ＝ＤＥ，

∴Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ（ＨＬ）．

（２）由（１）知△ＢＥＣ≌△ＤＥＡ，

∴∠Ｂ＝∠Ｄ．

∵∠ＢＥＤ＝９０°，

∴∠Ｄ＋∠ＤＡＥ＝９０°．

又∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＦ，

∴∠ＢＡＦ＋∠Ｂ＝９０°．

∴∠ＢＦＡ＝９０°，即 ＢＣ⊥ＦＤ．

１．下列说法中，正确的个数有 （ Ｃ ）

①有一个角和一边对应相等的两个直角三

角形全等；

②有两边对应相等的两个直角三角形全等；

③有两边和一角对应相等的两个直角三角

形全等；

④有两角和一边对应相等的两个直角三角

形全等．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４

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第十二章 全等三角形

２．如图所示，若要用“ＨＬ”证明 Ｒｔ△ＡＢＣ≌

Ｒｔ△ＡＢＤ，则还需补充的条件是 （ Ｂ ）

Ａ．∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ

Ｂ．ＡＣ＝ＡＤ或 ＢＣ＝ＢＤ

Ｃ．ＡＣ＝ＡＤ且 ＢＣ＝ＢＤ

Ｄ．以上都不对

３．如图，ＤＡ⊥ＡＢ，ＣＢ⊥ＡＢ，垂足分别为 Ａ，Ｂ，

ＢＤ＝ＡＣ，根据这些条件，不能推出的结论是

（ Ｃ ）

Ａ．ＡＤ∥ＢＣ Ｂ．ＡＤ＝ＢＣ

Ｃ．ＡＣ平分∠ＤＡＢ Ｄ．∠Ｃ＝∠Ｄ

４．（２０２３楚雄州双柏县期中）如图，已知 ＡＢ⊥

ＢＤ，ＥＤ⊥ＢＤ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＥ．

（１）ＡＣ与 ＣＥ有什么位置关系？

（２）请证明你的结论．

（１）解：ＡＣ⊥ＣＥ．

（２）证明：∵ＡＢ⊥ＢＤ，ＥＤ⊥ＢＤ，

∴∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．

在 Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＣＤＥ中，

ＡＣ＝ＣＥ，

{ＡＢ＝ＣＤ，

∴Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＣＤＥ（ＨＬ）．

∴∠Ａ＝∠ＥＣＤ．

∵∠Ａ＋∠ＡＣＢ＝９０°，

∴∠ＥＣＤ＋∠ＡＣＢ＝９０°．

∴∠ＡＣＥ＝９０°．∴ＡＣ⊥ＣＥ．

５．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直

的墙上，其中左边滑梯的高度 ＡＣ与右边滑

梯水平方向的长度 ＤＦ相等．若 ＤＦ＝６ｍ，

ＤＥ＝８ｍ，ＡＤ＝４ｍ，则 ＢＦ＝ １８ ｍ．

６．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２，

ＭＮ＝ＡＢ，Ｍ，Ｎ分别在 ＡＣ和过点 Ａ且垂直

于 ＡＣ的射线 ＡＰ上运动．问：点 Ｍ运动到什

么位置时，才能使△ＡＢＣ和△ＭＮＡ全等？

请证明你的结论．

解：当点 Ｍ与点 Ｃ重合或 ＡＭ＝２时，两个

三角形全等．

证明如下：∵ＰＡ⊥ＡＣ，∠Ｃ＝９０°，

∴∠Ｃ＝∠ＭＡＮ＝９０°．

当点 Ｍ与点 Ｃ重合时，则有 ＡＭ＝ＡＣ．

在 Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＭＮＡ中，

ＡＢ＝ＭＮ，

{ＡＣ＝ＭＡ，

∴Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＭＮＡ（ＨＬ）．

当 ＡＭ＝ＢＣ＝２时，

在 Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＮＭＡ中，

ＡＢ＝ＮＭ，

{ＢＣ＝ＭＡ，

∴Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＮＭＡ（ＨＬ）．

综上所述，当点 Ｍ与点 Ｃ重合或 ＡＭ＝２

时，两个三角形全等

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１２．３ 角的平分线的性质

第 １课时 角的平分线的性质

１．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折

叠法和尺规作图法．

２．角的平分线上的点到角的

两边的距离 相等 ．

用符号描述为（如图）：

∵点 Ｐ在∠ＡＯＢ的 平分

线 上，ＰＥ ⊥ ＯＡ，ＰＦ ⊥ ＯＢ，

∴ＰＥ＝ＰＦ．

３．一般情况下，证明一个几何命题时，可以按

照以下的步骤进行：

（１）明确命题中的 已知 和 求证 ；

（２）根据题意，画出 图形 ，并用 符号

表示已知和求证；

（３）经过分析，找出由已知推出要证的结论

的途径，写出 证明过程 ．

知识点 １ 角平分线的作法

１．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师

用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

作法：① 在 ＯＡ，ＯＢ上

分别 截 取 ＯＤ，ＯＥ，使

ＯＤ＝ＯＥ；②分别以 Ｄ，

Ｅ为圆心，以大于 １

２ＤＥ

的长为半径作弧，两弧

在∠ＡＯＢ内交于点 Ｃ；

③作射线 ＯＣ，则 ＯＣ就

是∠ＡＯＢ的平分线

小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板

也可以作角平分线，方法如下：

作法：①利用三角板

上的刻度，在 ＯＡ，ＯＢ

上 分 别 截 取 ＯＭ，

ＯＮ，使 ＯＭ ＝ＯＮ；

②分别以 Ｍ，Ｎ为垂

足，作 ＯＭ，ＯＮ的垂

线，交于点 Ｐ；③ 作

射线 ＯＰ，则 ＯＰ就是

∠ＡＯＢ的平分线

根据以上情境，解决下列问题：

（１）李老师用尺规作角平分线时，用到的三

角形全等的判定方法是 ＳＳＳ ；

（２）小聪的作法正确吗？请说明理由．

解：小聪的作法正确．

理由如下：∵ＰＭ⊥ＯＭ，ＰＮ⊥ＯＮ，

∴∠ＯＭＰ＝∠ＯＮＰ＝９０°．

在 Ｒｔ△ＯＭＰ和 Ｒｔ△ＯＮＰ中，

ＯＰ＝ＯＰ，

{ＯＭ＝ＯＮ，

∴Ｒｔ△ＯＭＰ≌Ｒｔ△ＯＮＰ（ＨＬ）．

∴∠ＭＯＰ＝∠ＮＯＰ．

∴ＯＰ平分∠ＡＯＢ．

知识点 ２ 角平分线的性质

２．如图，Ｐ是∠ＢＡＣ的平分线 ＡＤ上的一点，

ＰＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，已知 ＰＥ＝９，则点 Ｐ到 ＡＢ

的距离是 （ Ｄ ）

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 Ａ．１８ Ｂ．１２ Ｃ．６ Ｄ．９

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第十二章 全等三角形

知识点 ３ 命题的证明

３．求证：三角形三条内角平分线的交点到三边

的距离相等．

已知：如 图，在 △ＡＢＣ

中，ＡＰ平分∠ＣＡＢ，ＢＰ

平分∠ＣＢＡ，ＰＤ⊥ＡＢ，

ＰＥ⊥ ＡＣ，ＰＦ⊥ ＢＣ，垂

足分别为 Ｄ，Ｅ，Ｆ．

求证：ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ．

证明：∵ＡＰ平分∠ＣＡＢ，ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ，

∴ＰＤ＝ＰＥ（角平分线上的点到角两边

的距离相等）．

同理：ＰＤ＝ＰＦ．

∴ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ（等式性质）．

１．下列说法：

①角的内部任意一点到角的两边的距离相

等；②角的平分线上任意一点到角的两边的

距离相等；③△ＡＢＣ中∠ＢＡＣ的平分线上任

意一点到三角形三边的距离相等．

其中正确的个数有 （ Ｂ ）

Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个

２．（２０２３昭通市昭阳区期中）如图所示，在

Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ交

ＢＣ于点 Ｄ，若 ＡＢ＝８，△ＡＢＤ的面积为 １６，

则 ＣＤ的长为 （ Ｂ ）

Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８

第 ２题图 第 ３题图

３．（２０２３昆明市西山区期末）如图所示，在

Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝８ｃｍ，ＤＣ＝

１

３ＡＤ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，则点 Ｄ到 ＡＢ的距

离为 （ Ａ ）

Ａ．２ｃｍ Ｂ．３ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．６ｃｍ

４．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＢＡ和

ＣＤ的延长线交于点 Ｅ，若点 Ｐ使得 Ｓ△ ＰＡＢ ＝

Ｓ△ ＰＣＤ，则满足此条件的点 Ｐ （ Ｄ ）

Ａ．有且只有 １个

Ｂ．有且只有 ２个

Ｃ．组成∠Ｅ的角平分线

Ｄ．组成∠Ｅ的角平分线所在的直线（Ｅ点除

外）

５．（２０２２大理州期末）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，

∠Ｃ＝９０°，以顶点 Ａ为圆心，以适当长为半

径画弧，分别交 ＡＣ，ＡＢ于点 Ｍ，Ｎ，再分别以

点 Ｍ，Ｎ为圆心，以大于１

２ＭＮ的长为半径画

弧，两弧交于点 Ｐ，作射线 ＡＰ交边 ＢＣ于点

Ｄ，若 ＣＤ＝３，ＡＢ＝８，则△ＡＢＤ的面积是

１２ ．

６．如 图，已 知 ＡＩ，ＢＩ，ＣＩ分 别 平 分 ∠ＢＡＣ，

∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ，ＩＤ⊥ ＢＣ，△ＡＢＣ的周长为

１８，ＩＤ＝４，则△ＡＢＣ的面积为 （ Ｃ ）

Ａ．１８ Ｂ．３０ Ｃ．３６ Ｄ．７２

【答案】

【解析】如图，过点 Ｉ作 ＩＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，ＩＦ⊥ＡＣ于

点 Ｆ．∵ＡＩ，ＢＩ，ＣＩ分别平分∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ，

∴ＩＥ＝ＩＦ＝ＩＤ＝４．∴Ｓ△ ＡＢＣ ＝Ｓ△ ＡＢＩ＋Ｓ△ ＩＢＣ ＋Ｓ△ ＩＡＣ

＝１

２×ＡＢ×４＋

１

２ ×ＢＣ×４＋

１

２ ×ＡＣ×４＝２×

（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）＝２×１８＝３６．故选 Ｃ

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

第 ２课时 角的平分线的判定

角的内部到角的两边的距离相等的点在

角的平分线 上．

用符号描述为（如图）：

∵ＰＥ ⊥ ＯＡ，ＰＦ ⊥

ＯＢ，ＰＥ ＝ ＰＦ．

∴ 点 Ｐ 在 ∠ＡＯＢ 的 平 分

线上．

知识点 １ 角平分线的判定

１．如图，点 Ｐ在 ∠ＡＯＢ内，因 为 ＰＭ⊥ ＯＡ，

ＰＮ⊥ＯＢ，垂足分别是 Ｍ，Ｎ，ＰＭ＝ＰＮ，所以

ＯＰ平分∠ＡＯＢ，理由是 角的内部到角的

两边距离相等的点在这个角的平分线上 ．

２．如图，ＣＤ⊥ＡＢ，ＢＥ⊥ＡＣ，垂足分别为 Ｄ，Ｅ，

ＢＥ，ＣＤ相交于点 Ｏ，且 ＯＢ＝ＯＣ．求证：点 Ｏ

在∠ＢＡＣ的平分线上．

证明：∵ＣＤ⊥ＡＢ，ＢＥ⊥ＡＣ，

∴ ∠ＯＤＢ ＝ ∠ＯＥＣ

＝９０°．

在△ＯＤＢ和

△ＯＥＣ中，

∠ＯＤＢ＝∠ＯＥＣ，

∠ＤＯＢ＝∠ＥＯＣ，

ＯＢ＝ＯＣ { ，

∴△ＯＤＢ≌△ＯＥＣ（ＡＡＳ）．

∴ＯＤ＝ＯＥ．

∴点 Ｏ在∠ＢＡＣ的平分线上．

知识点 ２ 角平分线的性质与判定的应用

３．如 图，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ 平 分

∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，ＤＥ＝４，ＢＣ＝９，则

ＢＤ的长为 （ Ｂ ）

Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．３

４．（２０２３楚雄州南华县期末）如图，Ｐ是△ＡＢＣ

内一点，点 Ｐ到 ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ三边的距离

ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ，∠ＢＰＣ＝１４０°，则∠Ａ的度

数为 （ Ｃ ）

Ａ．１２０° Ｂ．８０° Ｃ．１００° Ｄ．７０°

１．如图，点 Ｐ在射线 ＢＤ上，ＰＡ⊥ＡＢ，ＰＣ⊥ＢＣ，

垂足分别为 Ａ，Ｃ，且 ＰＡ＝ＰＣ，下列结论错误

的是 （ Ａ ）

Ａ．ＡＤ＝ＣＰ

Ｂ．点 Ｄ在∠ＡＢＣ的平分线上

Ｃ．△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ

Ｄ．∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ

２．三角形内到三角形各边的距离相等的点必

在三角形的 （ Ｂ ）

Ａ．中线上 Ｂ．角平分线上

Ｃ．高线上 Ｄ．

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 边的中垂线上

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第十二章 全等三角形

３．如图，ＡＢ∥ＣＤ，Ｏ为∠ＢＡＣ，∠ＡＣＤ的平分

线的交点，ＯＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ．若 ＯＥ＝２，则 ＡＢ

与 ＣＤ之间的距离是 （ Ｂ ）

Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８

４．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＤＥ⊥ＡＢ于点

Ｅ，ＣＤ＝ＤＥ，∠ＣＢＤ＝２８°，则∠Ａ的度数为

（ Ａ ）

Ａ．３４° Ｂ．３６° Ｃ．３８° Ｄ．４０°

第 ４题图 第 ５题图

５．如图，Ｐ是∠ＡＯＢ内一点，ＰＣ⊥ＯＡ于点 Ｃ，

ＰＤ⊥ＯＢ于点 Ｄ，且 ＰＤ＝ＰＣ，点 Ｅ在 ＯＡ上，

∠ＡＯＢ＝５０°，∠ＯＰＥ＝３０°，则∠ＰＥＣ的度

数是 （ Ｂ ）

Ａ．５０° Ｂ．５５° Ｃ．４５° Ｄ．６０°

６．（２０２２昆 明 市 期 末）如 图，已 知 点 Ｐ在

∠ＡＯＢ的平分线上，点 Ｃ在射线 ＯＡ上，若

点 Ｄ在射线 ＯＢ上，且满足 ＰＤ＝ＰＣ，则

∠ＯＤＰ与∠ＯＣＰ的数量关系是 ∠ＯＤＰ＝

∠ＯＣＰ或∠ＯＤＰ＋∠ＯＣＰ＝１８０° ．

第 ６题图 第 ７题图

７．如图，已知点 Ｐ到 ＢＥ，ＢＤ，ＡＣ的距离恰好相

等，则点 Ｐ的位置：①在∠Ｂ的平分线上；

②在∠ＤＡＣ的平分线上；③在∠ＥＣＡ的平分

线上；④恰是∠Ｂ，∠ＤＡＣ，∠ＥＣＡ三个角平分

线的交点．上述结论中，正确的有 ４ 个．

８．（２０２２昆明市西山区期中）如图，已知 ＢＤ

为∠ＡＢＣ的平分线，ＡＢ＝ＣＢ，点 Ｐ在 ＢＤ

上，ＰＭ⊥ＡＤ于点 Ｍ，ＰＮ⊥ＣＤ于点 Ｎ．求证：

ＰＭ＝ＰＮ．

证明：∵ＢＤ为∠ＡＢＣ的平分线，

∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．

在△ＡＢＤ和△ＣＢＤ中，

ＡＢ＝ＣＢ，

∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，

ＢＤ＝ＢＤ { ，

∴△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．

∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ，即 ＤＢ平分∠ＡＤＣ．

∵点 Ｐ在 ＤＢ上，ＰＭ⊥ＡＤ，ＰＮ⊥ＣＤ，

∴ＰＭ＝ＰＮ．

９．如图，直线 ｌ１，ｌ２，ｌ３表示三条相互交叉的公

路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公

路的距离相等，则可选择的地址有 （ Ｄ ）

Ａ．１处 Ｂ．２处 Ｃ．３处 Ｄ．４处

【答案】

【解析】作直线 ｌ１，ｌ２，ｌ３所围成的三角形的外角平

分线和内角平分线，外角平分线相交于点 Ｐ１，Ｐ２，

Ｐ３，内角平分线相交于点 Ｐ４，根据角平分线的性质

可得到这 ４个点到三条公路的距离分别相等．故

选

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

章末复习

１．转化思想

（２０２２昆明市名校期中）用尺规作图，不能

作出唯一三角形的是 （ Ｂ ）

Ａ．已知两角和夹边

Ｂ．已知两边和其中一边的对角

Ｃ．已知两边和夹角

Ｄ．已知两角和其中一角的对边

２．数形结合思想

如图，在平面直角坐标系中，已知△ＡＯＢ≌

△ＣＯＤ，则点 Ｄ的坐标是 （－２，０） ．

１．下列所给条件能画出唯一△ＡＢＣ的是 （ Ｂ ）

Ａ．ＡＣ＝３，ＡＢ＝４，ＢＣ＝８

Ｂ．∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＢ＝２

Ｃ．∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝９

Ｄ．ＡＣ＝４，ＡＢ＝５，∠Ｂ＝６０°

２．（２０２３昭通市昭阳区期中）如图，下列推理

不能求证△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ的是 （ Ｄ ）

Ａ．ＤＢ＝ＤＣ，ＡＢ＝ＡＣ

Ｂ．∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ，ＤＢ＝ＤＣ

Ｃ．∠Ｃ＝∠Ｂ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ

Ｄ．∠Ｃ＝∠Ｂ，ＤＢ＝ＤＣ

３．（２０２３昆明市名校期中）如图，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝

ＡＥ，∠１＝∠２．则下列结论中：①∠ＢＡＣ＝

∠ＤＡＥ；②ＢＣ＝ＤＥ；③∠Ｅ＝∠Ｃ；④∠Ｂ＝

∠Ｄ，正确结论的个数是 （ Ｄ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

４．如 图，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ 平 分

∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，点 Ｆ在 ＡＣ上，且 ＤＦ＝

ＢＤ，若 ＣＦ＝１，ＡＦ＝３，则 ＡＢ的长为 （ Ｃ ）

Ａ．４ Ｂ．４．

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 ５ Ｃ．５ Ｄ．６

·３１·

第十二章 全等三角形

５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＥ⊥ＡＣ，垂足

分别为 Ｄ，Ｅ，ＡＤ与 ＢＥ相交于点 Ｆ．若 ＢＦ＝

ＡＣ，ＡＤ＝１２ｃｍ，则 ＢＤ的长为 １２ｃｍ ．

第 ５题图 第 ６题图

６．（２０２２红河州名校期末）如图，ＡＤ是△ＡＢＣ

中∠ＢＡＣ的平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，Ｓ△ＡＢＣ ＝

７ｃｍ

２

，ＤＥ＝２ｃｍ，ＡＢ＝４ｃｍ，则 ＡＣ的长为

３ｃｍ ．

７．（２０２３玉溪市峨山县期末）如图，在△ＡＢＣ

中，Ｄ是边 ＡＢ上一点，Ｅ是边 ＡＣ的中点，作

ＣＦ∥ＡＢ交 ＤＥ的延长线于点 Ｆ．

（１）证明：△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ；

（２）若 ＡＢ＝ＡＣ，ＣＥ＝６，ＣＦ＝８，求 ＤＢ的长．

（１）证明：∵Ｅ是边 ＡＣ的中点，

∴ＡＥ＝ＣＥ．

又∵ＣＦ∥ＡＢ，

∴∠Ａ＝∠ＡＣＦ，∠ＡＤＦ＝∠Ｆ．

在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中，

∠ＡＤＦ＝∠Ｆ，

∠Ａ＝∠ＡＣＦ，

ＡＥ＝ＣＥ { ，

∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（ＡＡＳ）．

（２）解：∵△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ，ＣＦ＝８，

∴ＡＤ＝ＣＦ＝８．

∵ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是边 ＡＣ的中点，ＣＥ＝６．

∴ＡＢ＝ＡＣ＝２ＣＥ＝１２．

∴ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝１２－８＝４．

１．（２０２２云南中考）如图，ＯＢ平分∠ＡＯＣ，Ｄ，

Ｅ，Ｆ分别是射线 ＯＡ，射线 ＯＢ，射线 ＯＣ上的

点，Ｄ，Ｅ，Ｆ与 Ｏ点都不重合，连接 ＥＤ，ＥＦ．

若添加下列条件中的某一个，就能使△ＤＯＥ

≌△ＦＯＥ．你认为要添加的那个条件是

（ Ｄ ）

Ａ．ＯＤ＝ＯＥ Ｂ．ＯＥ＝ＯＦ

Ｃ．∠ＯＤＥ＝∠ＯＥＤ Ｄ．∠ＯＤＥ＝∠ＯＦＥ

２．（２０２１云南中考）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，

ＡＤ＝ＢＣ，ＡＣ＝ＢＤ，ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｅ．求

证：∠ＤＡＣ＝∠ＣＢＤ．

证明：在△ＤＡＣ和

△ＣＢＤ中，

ＡＤ＝ＢＣ，

ＡＣ＝ＢＤ，

ＣＤ＝ＤＣ { ，

∴△ＤＡＣ≌△ＣＢＤ（ＳＳＳ）．

∴∠ＤＡＣ＝∠ＣＢＤ．

３．（２０２０昆明中考）如图，ＡＣ是∠ＢＡＥ的平分

线，Ｄ是线段 ＡＣ上的一点，∠Ｃ＝∠Ｅ，ＡＢ＝

ＡＤ．求证：ＢＣ＝ＤＥ．

证 明：∵ ＡＣ 是

∠ＢＡＥ 的

平分线，

∴ ∠ＢＡＣ

＝∠ＤＡＥ．

在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，

∠Ｃ＝∠Ｅ，

∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，

ＡＢ＝ＡＤ { ，

∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＡＡＳ）．

∴ＢＣ＝

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 ＤＥ．

·３２·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

第十三章 轴对称

１３．１ 轴对称

１３．１．１ 轴对称

１．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫

做 轴对称图形 ，这条直线就是它的

对称轴 ，也称这个图形关于这条直线

（成轴）对称．

２．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能

够与 另一个图形重合 ，那么就说这两个

图形关于这条 直线（成轴）对称 ，这条直

线叫做 对称轴 ，折叠后重合的点是对应

点，叫做 对称点 ．

３．经过线段 中点 并且 垂直于 这条线段

的直线，叫做这条线段的 垂直平分线 ，也

称作中垂线．如果两个图形关于某条直线对

称，那么对称轴是任何一对 对应点 所连线

段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任

何一对对应点所连线段的 垂直平分线 ．

知识点 １ 轴对称图形

１．（２０２３昆明市五华区期末）下列四个冬奥会

的图标中，是轴对称图形的是 （ Ｄ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

２．（２０２２昆明市期末）下列图形对称轴条数最

多的是 （ Ａ ）

Ａ．等边三角形 Ｂ．长方形

Ｃ．等腰三角形 Ｄ．线段

３．沿着直线折叠后能够重合的图形是 ②③ ．

知识点 ２ 轴对称及性质

４．如图，直线 ＭＮ是四边形 ＡＭＢＮ的对称轴，

Ｐ是直线 ＭＮ上的点，下列判断错误的是

（ Ｂ ）

Ａ．ＡＭ＝ＢＭ Ｂ．ＡＰ＝ＢＮ

Ｃ．∠ＭＡＰ＝∠ＭＢＰ Ｄ．∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ

第 ４题图 第 ５题图

５．如图，若△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于直线 ｌ对称，

则∠Ｂ的度数为 １００° ．

１．（２０２２昆明市西山区期中）现实世界中，对称

现象无处不在，中国的方块字中有些也具有

对称性，下列汉字是轴对称图形的是 （ Ｃ ）

Ａ．爱 Ｂ．我 Ｃ．中 Ｄ．华

２．下列图形中，不一定是轴对称图形的是

（ Ａ ）

Ａ．直角三角形 Ｂ．等腰梯形

Ｃ．锐角 Ｄ．

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 等腰三角形

·３３·

３．【核心素养·应用意识】（２０２３曲靖市期末）

围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已

有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的

图案是轴对称图形的是 （ Ｄ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

４．下列说法中，正确的个数有 （ Ｂ ）

①关于一条直线对称的两个图形一定能重

合；②两个能重合的图形一定关于某条直线

对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对

称轴；④成轴对称的两个图形的对应点一定

在对称轴两侧．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

５．如图是 ３×３的正方形网格，其中已有 ２个

小方格涂成了黑色，现在要从编号为① ～④

的小方格中选出 １个也涂成黑色，使黑色部

分依然是轴对称图形，不能选择的是

（ Ｄ ）

Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④

６．如 图，ＯＡ＝ＯＢ，ＯＥ是 ∠ＡＯＢ的 平 分 线，

ＢＤ⊥ＯＡ于点 Ｄ，ＡＣ⊥ＢＯ于点 Ｃ，则关于直

线 ＯＥ对称的三角形共有 （ Ｃ ）

Ａ．２对 Ｂ．３对 Ｃ．４对 Ｄ．５对

７．（２０２３玉溪市名校期中）在镜子中看到的一

串数 字 是 “ ”，则 这 串 数 字 是

８９６５３２１ ．

８．如图，已知四边形 ＡＢＣＤ与四边形 ＥＦＧＨ关

于直线 ＭＮ对称，∠Ｂ＝１２５°，∠Ａ＋∠Ｄ＝

１５５°，ＡＢ＝３ｃｍ，ＥＨ＝４ｃｍ．

（１）试写出 ＥＦ，ＡＤ的长度；

（２）求∠Ｇ的度数；

（３）连接 ＢＦ，线段 ＢＦ与直线 ＭＮ有什么

关系？

解：（１）ＥＦ＝３ｃｍ，ＡＤ＝４ｃｍ．

（２）在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝１２５°，

∠Ａ＋∠Ｄ＝１５５°，

∴∠Ｃ＝３６０°－∠Ｂ－（∠Ａ＋∠Ｄ）＝

３６０°－１２５°－１５５°＝８０°．

∴∠Ｇ＝∠Ｃ＝８０°．

（３）∵对称轴垂直平分对称点的连线，

∴直线 ＭＮ垂直平分线段 ＢＦ．

９．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角

上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个

球按图中所示的方向被击出（球可以经过多

次反射），则该球最后将落入的球袋是

（ Ｃ ）

Ａ．１号袋 Ｂ．２号袋

Ｃ．３号袋 Ｄ．４号袋

【答案】

【解析】根据轴对称的性质可知，台球走过的路径

如图所示．故选

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Ｃ．

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本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１３．１．２ 线段的垂直平分线的性质

第 １课时 线段的垂直平分线的性质和判定

１．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端

点的 距离相等 ．

２．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条

线段的 垂直平分线 上．

知识点 １ 线段的垂直平分线的性质

１．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ垂直平

分 ＢＤ，垂足为 Ｅ，下列结论不一定成立的是

（ Ｃ ）

Ａ．ＡＢ＝ＡＤ Ｂ．ＣＡ平分∠ＢＣＤ

Ｃ．ＡＢ＝ＢＤ Ｄ．△ＢＥＣ≌△ＤＥＣ

第 １题图 第 ２题图

２．（２０２２昆明市盘龙区期末）如图，在△ＡＢＣ

中，ＤＥ是 ＡＣ的垂直平分线且分别交 ＢＣ，

ＡＣ于点 Ｄ和 Ｅ，∠Ｂ＝６０°，∠Ｃ＝２５°，则

∠ＢＡＤ的度数为 ７０° ．

知识点 ２ 线段的垂直平分线的判定

３．（２０２２曲靖市名校期中）如图，ＡＤ是△ＡＢＣ

的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分别为

Ｅ，Ｆ，连接 ＥＦ，ＥＦ与 ＡＤ相交于点 Ｇ．求证：

ＡＤ是 ＥＦ的垂直平分线．

证明：∵ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ，

ＤＦ⊥ＡＣ，

∴ＤＥ＝ＤＦ，∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ＝９０°．

在 Ｒｔ△ＡＥＤ和 Ｒｔ△ＡＦＤ中，

ＡＤ＝ＡＤ，

{ＤＥ＝ＤＦ，

∴Ｒｔ△ＡＥＤ≌Ｒｔ△ＡＦＤ（ＨＬ）．

∴ＡＥ＝ＡＦ．

∴点 Ａ和点 Ｄ分别在 ＥＦ的垂直平分

线上．

∴ＡＤ垂直平分 ＥＦ．

知识点 ３ 过直线外一点作已知直线的垂线

４．如图，在钝角△ＡＢＣ中，∠Ａ是钝角，求作

ＡＣ边上的高 ＢＨ．

【答案】

解：如图，①延长 ＣＡ至点 Ｅ，任意取一点 Ｋ，

使点 Ｋ和点 Ｂ在 ＣＥ两侧；②以点 Ｂ为

圆心，ＢＫ长为半径作弧，交 ＣＥ于点 Ｆ，

Ｇ；③分别以点 Ｆ和 Ｇ为圆心，大于１

２ＦＧ

的长为半径画弧，两弧交于点 Ｍ；④连接

ＢＭ交 ＣＥ于点 Ｈ，线段 ＢＨ就是所求作

ＡＣ边上的高

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．

·３５·

第十三章 轴对称

１．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＥＤ垂直平分

ＡＢ，连接 ＡＥ，若 ＣＥ＝３，ＢＣ＝１２，则 ＡＥ的

长为 （ Ｄ ）

Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．７ Ｄ．９

２．（２０２２昆明市期末）如图，在△ＡＢＣ中，ＤＥ是

ＡＢ的垂直平分线，△ＡＢＣ的周长为２４ｃｍ，

△ＢＣＤ的周长为１６ｃｍ，则 ＢＥ的长为 （ Ｂ ）

Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ

Ｃ．５ｃｍ Ｄ．６ｃｍ

３．（２０２３曲 靖 市 期 末）如 图，在 △ＡＢＣ中，

∠ＢＡＣ＝１１０°，ＥＦ是边 ＡＢ的垂直平分线，

垂足为 Ｅ，交 ＢＣ于点 Ｆ，ＭＮ是边 ＡＣ的垂

直平分线，垂足为 Ｍ，交 ＢＣ于点 Ｎ．连接

ＡＦ，ＡＮ，则∠ＦＡＮ的度数是 （ Ｃ ）

Ａ．７０° Ｂ．５５° Ｃ．４０° Ｄ．３０°

４．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ为 ＡＢ上的一点，且 ＤＥ

垂直平分 ＡＣ，∠Ｂ＝１１５°，∠ＡＣＤ∶∠ＢＣＤ＝

５∶３，则∠ＡＣＢ＝ ４０ °．

【解析】∵ＤＥ垂直平分 ＡＣ，∴∠Ａ＝∠ＡＣＤ．又∵

∠ＡＣＤ∶∠ＢＣＤ＝５∶３，∴∠ＡＣＤ∶∠ＡＣＢ＝５∶８．∴

∠Ａ∶∠ＡＣＢ＝５∶８．又∵∠Ｂ＝１１５°，∴∠Ａ＋∠ＡＣＢ

＝６５°．∴∠ＡＣＢ＝６５°×

８

１３＝４０°．故答案为 ４０．

５．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ边的垂直平分线 ＤＥ

与∠ＢＡＣ的平分线交于点 Ｅ，ＥＦ⊥ＡＢ交 ＡＢ

的延长线于点 Ｆ，ＥＧ⊥ＡＣ于点 Ｇ．求证：

（１）ＢＦ＝ＣＧ；

（２）ＡＦ＝１

２（ＡＢ＋ＡＣ）．

【答案】

证明：（１）如图，连接 ＢＥ，ＣＥ．

∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，ＥＦ⊥ＡＢ，ＥＧ⊥ＡＣ，

∴ＥＦ＝ＥＧ．

∵ＤＥ垂直平分 ＢＣ，∴ＥＢ＝ＥＣ．

在 Ｒｔ△ＥＦＢ和 Ｒｔ△ＥＧＣ中，

ＥＢ＝ＥＣ，

{ＥＦ＝ＥＧ，

∴Ｒｔ△ＥＦＢ≌Ｒｔ△ＥＧＣ（ＨＬ）．

∴ＢＦ＝ＣＧ．

（２）∵ＢＦ＝ＣＧ，

∴ＡＢ＋ＡＣ＝ＡＢ＋ＣＧ＋ＡＧ＝ＡＢ＋

ＢＦ＋ＡＧ＝ＡＦ＋ＡＧ．

在 Ｒｔ△ＡＥＦ和 Ｒｔ△ＡＥＧ中，

ＡＥ＝ＡＥ，

{ＥＦ＝ＥＧ，

∴Ｒｔ△ＡＥＦ≌Ｒｔ△ＡＥＧ（ＨＬ）．

∴ＡＦ＝ＡＧ．

∴ＡＦ＝１

２（ＡＢ＋ＡＣ）

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·３６·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

第十四章 整式的乘法与因式分解

１４．１ 整式的乘法

１４．１．１ 同底数幂的乘法

１．ａｍ·ａｎ ＝ ａｍ＋ｎ （ｍ，ｎ都是正整数），即

同底 数 幂 相 乘，底 数 不 变 ，指 数

相加 ．

２．ａｍ＋ｎ＝ ａｍ·ａｎ （ｍ，ｎ都是正整数）

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

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殯

殯 殯

殯

．

注意：（１）三个及三个以上同底数幂相乘，

上述规则依然适用；（２）底数可以是一个

数 或一个字母，也可以是 单项式

或多 项 式；（３）ａ＝ａ

１

；（４）（－ａ）ｎ ＝

ａｎ （ｎ为偶数），

{ －ａｎ （ｎ为奇数）．

知识点 １ 同底数幂的乘法法则

１．下列各项中的两个幂是同底数幂的是 （ Ｃ ）

Ａ．－ｘ

２

与（－ｘ）３ Ｂ．（－ｘ）２

与 ｘ

２

Ｃ．－ｘ

２

与 ｘ

３ Ｄ．（ａ－ｂ）５

与（ｂ－ａ）５

２．计算：

（１） －１ ( ２)

２

· －１ ( ２)

３

；

解：原式 ＝ －１ ( ２)

２＋３

＝ －１ ( ２)

５

＝－１

３２

．

（２）（ａ－ｂ）３

·（ｂ－ａ）２

·（ａ－ｂ）４

．

解：原式 ＝（ａ－ｂ）３

·（ａ－ｂ）２

·（ａ－ｂ）４

＝（ａ－ｂ）３＋２＋４

＝（ａ－ｂ）９

．

知识点 ２ 同底数幂的乘法法则的逆用

３．式子 ａ

２ｍ＋３

不能写成 （ Ｃ ）

Ａ．ａ

２ｍ·ａ

３ Ｂ．ａｍ·ａｍ＋３

Ｃ．ａ

２ｍ ＋３ Ｄ．ａｍ＋１

·ａｍ＋２

１．下列各式中能用同底数幂乘法的运算法则

进行运算的是 （ Ｂ ）

Ａ．（ｘ－ｙ）２

·（ｘ＋ｙ）２

Ｂ．（－ｘ－ｙ）·（ｘ＋ｙ）２

Ｃ．（ｘ＋ｙ）２＋（ｘ＋ｙ）２

Ｄ．－（ｘ－ｙ）２

·（－ｘ－ｙ）

２．若 ａｍ ＝６，ａｎ＝７，则 ａｍ＋ｎ

的值是 （ Ｃ ）

Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．４２ Ｄ．４５

３．若 ａ

４·ａ（ ） ＝ａ

１２

，则“（ ）”内应填的整

数是 （ Ｄ ）

Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８

４．下列各式中计算结果为 ｘ

８

的是 （ Ｃ ）

Ａ．ｘ

５＋ｘ

３ Ｂ．ｘ

４

·ｘ

２

Ｃ．ｘ

５

·ｘ

３ Ｄ．ｘ

１０＋ｘ

２

５．已知 ｎ是大于 １的自然数，则（－ｃ）ｎ－１·

（－ｃ）ｎ＋１

等于 （ Ｂ ）

Ａ．（－ｃ）ｎ２－１ Ｂ．ｃ

２ｎ

Ｃ．－２ｎｃ Ｄ．－ｃ

２ｎ

６．已知 ｘｍ－ｎ·ｘ

２ｎ＋１ ＝ｘ

１１

，ｙｍ－１·ｙ

４－ｎ ＝ｙ

５

，求

（－２）ｍ·（－１）ｎ

的值．

解：根据题意，得 ｘｍ＋ｎ＋１＝ｘ

１１

，ｙｍ＋３－ｎ＝ｙ

５

，

∴

ｍ＋ｎ＋１＝１１，

{ｍ＋３－ｎ＝５．解得

ｍ＝６，

{ｎ＝４．

∴原式 ＝（－２）６

·（－１）４＝６４

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·５３·

１４．１．２ 幂的乘方

１．（ａｍ）ｎ ＝ ａｍｎ （ｍ，ｎ都是正整数），即幂

的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ．

２．ａｍｎ ＝（ ａｍ ）ｎ ＝（ ａｎ ）ｍ（ｍ，ｎ都是正

整数）．

知识点 １ 幂的乘方的运算法则

１．一个正方体的棱长是（１－２ｂ）３

，那么这个正

方体的体积是 （ Ｃ ）

Ａ．（１－２ｂ）６ Ｂ．（１－２ｂ）８

Ｃ．（１－２ｂ）９ Ｄ．（１－２ｂ）１２

２．如果（３ｎ

）２＝３１６

，则 ｎ的值为 （ Ｃ ）

Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１４

３．计算：

（１）（ａｍ）２＝ ａ

２ｍ ；

（２）（－ａ

４

）３＝ －ａ

１２

；

（３）［（－ｂ）３

］５＝ －ｂ１５

；

（４）（ｂ３－ｍ）２＝ ｂ６－２ｍ ．

知识点 ２ 幂的乘方的运算法则的逆用

４．ｘ

１８

不能写成 （ Ａ ）

Ａ．（ｘ

２

）１６ Ｂ．（ｘ

２

）９

Ｃ．（ｘ

３

）６ Ｄ．ｘ

９

·ｘ

９

１．计算（－ａ

２

）３

·ａ

３

的结果是 （ Ａ ）

Ａ．－ａ

９ Ｂ．ａ

９ Ｃ．－ａ

８ Ｄ．ａ

８

２．（ａｍ）ｍ·（ａｍ）２

不能写成 （ Ｃ ）

Ａ．（ａｍ＋２

）ｍ Ｂ．（ａｍ·ａ

２

）ｍ

Ｃ．ａｍ２＋ｍ２

Ｄ．（ａｍ）３

·（ａｍ－１

）ｍ

３．下列计算正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．ａ

２

·ａ

３＝ａ

６ Ｂ．（ａ

３

）２＝ａ

５

Ｃ．（－ａ

３

）２＝ａ

６ Ｄ．（－ａ

２

）３＝ａ

６

４．已知 １００ａ＝２０，１０００ｂ＝５０，则 ａ＋

３

２ｂ－３

２的

值是 （ Ａ ）

Ａ．０ Ｂ．５

２ Ｃ．３ Ｄ．９

２

５．（２０２３昆明市名校期中）已知 ａｘ＝－２，ａｙ＝

３，则 ａ

３ｘ＋２ｙ

等于 （ Ｃ ）

Ａ．１ Ｂ．７２ Ｃ．－７２ Ｄ．－３６

６．已知 ｍ，ｎ均为正整数，且 ２ｍ＋３ｎ＝５，则

４ｍ·８ｎ＝ ３２ ．

７．计算：ｘ

４

·ｘ

５

·（－ｘ）７＋５（ｘ

４

）４－（ｘ

８

）２

．

解：原式 ＝－ｘ

１６＋５ｘ

１６－ｘ

１６＝３ｘ

１６

．

８．（１）若 ４ａ＋３ｂ＝３，求 ９２ａ

·２７ｂ

；

（２）已知 ３×９ｍ ×２７ｍ ＝３２１

，求 ｍ的值．

解：（１）∵４ａ＋３ｂ＝３，

∴９２ａ

·２７ｂ＝３４ａ

·３３ｂ＝３４ａ＋３ｂ＝３３＝２７．

（２）∵３×９ｍ ×２７ｍ ＝３×３２ｍ ×３３ｍ ＝

３１＋２ｍ＋３ｍ ＝３２１

，

∴１＋２ｍ＋３ｍ＝２１．

解得 ｍ＝４．

９．【核心素养·运算能力】比较 ２１００和 ３７５的

大小．

解：∵２１００＝（２４

）２５＝１６２５

，

３７５＝（３３

）２５＝２７２５

，

且２７２５＞１６２５

，

∴２１００＜３７５

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·５４·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１４．１．３ 积的乘方

１．（ａｂ）ｎ＝ ａｎ

ｂｎ （ｎ为正整数），即积的乘

方，等于把积的每一个因式分别 乘方 ，

再把所得的幂 相乘 ．

２．ａｎ

ｂｎ＝ （ａｂ）ｎ （ｎ为正整数）．

知识点 １ 积的乘方法则

１．计算（－２ｘ

２

ｙ）３

的结果是 （ Ｃ ）

Ａ．８ｘ

２

ｙ Ｂ．－８ｘ

６

ｙ

Ｃ．－８ｘ

６

ｙ

３ Ｄ．８ｘ

６

ｙ

３

２．下列运算正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．（ａｂ２

）２＝ａｂ４ Ｂ．（３ｃｄ）３＝９ｃ

３

ｄ３

Ｃ．（－３ａ

３

）２＝－９ａ

６ Ｄ．（－ｘ

３

ｙ）３＝－ｘ

９

ｙ

３

知识点 ２ 积的乘方法则的逆用

３．计算 ６５×

１

( ６)

５

的结果是 （ Ｃ ）

Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．１ Ｄ．１

６

４．计算 ０．２５２０２０×４２０２１

的结果是 （ Ｂ ）

Ａ．０．２５ Ｂ．４ Ｃ．１ Ｄ．２０２０

１．下列各式中，错误的个数有 （ Ｂ ）

①（２ａ

２

）３＝６ａ

６

；②（ｘ

３

ｙ

３

）２＝ｘ

６

ｙ

６

；

③ ３

２( ａ) ２

３

＝２７ａ

６

２ ；④（－３ｘ

２

ｙ

２

）４＝８１ｘ

８

ｙ

８

．

Ａ．１个 Ｂ．２个

Ｃ．３个 Ｄ．４个

２．已知 ｘ

３＝ｍ，ｘ

５＝ｎ，用含有 ｍ，ｎ的式子表示

ｘ

１４

的结果正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．ｍｎ

３ Ｂ．ｍ

２

ｎ

３

Ｃ．ｍ

３

ｎ Ｄ．ｍ

３

ｎ

２

３．如果（ａ

３

ｂ４

）ｎ＝ａ

６

ｂｍ，那么 ｍ，ｎ的值分别为

（ Ａ ）

Ａ．ｍ＝８，ｎ＝２ Ｂ．ｍ＝４，ｎ＝２

Ｃ．ｍ＝６，ｎ＝２ Ｄ．ｍ＝８，ｎ＝１

４．若 ｘ

２ｎ＝２，ｙ

３ｎ＝３，则（ｘｙ）６ｎ＝ ７２ ．

５．计算：

（１）（ａ

２

ｂ）３＝ ａ

６

ｂ３

；

（２）（－ａ

２

ｂ３

）３＝ －ａ

６

ｂ９

；

（３）（２ｘ

２

）２

·ｘ

３＝ ４ｘ

７

；

（４） －１

３ ( ａ) ３

[ ]

２ ２

＝ ａ

１２

８１ ．

６．计 算：（－３ａ）３ · ａ

３ ＋（－４ａ）２ · ａ

７ －

（５ａ

３

）３

．

解：原式 ＝－２７ａ

３

·ａ

３＋１６ａ

２

·ａ

７－１２５ａ

９

＝－２７ａ

６＋１６ａ

９－１２５ａ

９

＝－２７ａ

６－１０９ａ

９

．

７．已知 ｎ是正整数，且 ｘ

３ｎ ＝２，求（３ｘ

３ｎ

）３ ＋

（－２ｘ

２ｎ

）３

的值．

解：（３ｘ

３ｎ

）３＋（－２ｘ

２ｎ

）３

＝３３×（ｘ

３ｎ

）３＋（－２）３×（ｘ

３ｎ

）２

．

∵ｘ

３ｎ＝２，

∴原式 ＝２７×２３＋（－８）×２２＝１８４．

８．计算下列各题：

（１）当 ａｂ＝１

２，ｍ＝５，ｎ＝３时，求（ａｍｂｍ）ｎ

的值；

（２）当 ａ

３

ｂ２＝７２时，求 ａ

６

ｂ４

的值；

（３）当 ３ｍ＋２ｎ＝８时，求 ８ｍ·４ｎ

的值．

解：（１）（ａｍｂｍ）ｎ＝（ａｂ）ｍｎ＝ １

( ２)

１５

＝１

２１５．

（２）ａ

６

ｂ４＝（ａ

３

ｂ２

）２＝７２２＝５１８４．

（３）８ｍ·４ｎ＝（２３

）ｍ·（２２

）ｎ＝２３ｍ·２２ｎ＝

２３ｍ＋２ｎ＝２８＝２５６

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·５５·

第十四章 整式的乘法与因式分解

１４．１．４ 整式的乘法

第 １课时 单项式与单项式相乘

１．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的

系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，则连同它的指

数作为积的一个 因式 ，多个单项式相乘

依然如此．

２．单项式与单项式相乘的结果仍然是 单项式 ．

知识点 １ 单项式乘单项式

１．计算（－３ｘ）·（－２ｘ

３

）的结果是 （ Ａ ）

Ａ．６ｘ

４ Ｂ．－６ｘ

４ Ｃ．６ｘ

３ Ｄ．－３６ｘ

５

２．计算：

（１）２ａ

３

·３ａ

２＝ ６ａ

５

；

（２）８ｘｙ·１

４ｘ＝ ２ｘ

２

ｙ ；

（３） １

３ａ

３

( ｂ) ·（－２ｂｃ

２

）＝ －２ａ

３

ｂ２

ｃ

２

３ ．

知识点 ２ 单项式乘法法则的应用

３．如果单项式 －３ｘ

４ａ－ｂ

ｙ

２

与 １

３ｘ

３

ｙａ＋ｂ

的和仍然

是单项式，则这两个单项式的积为 （ Ａ ）

Ａ．－ｘ

６

ｙ

４ Ｂ．ｘ

６

ｙ

４

Ｃ．ｘ

３

ｙ

２ Ｄ．６ｘ

３

ｙ

２

４．一个直角三角形的两直角边的长分别是 ２ａ

和 ３ａ，则这个直角三角形的面积是 ３ａ

２

；

当 ａ＝２时，这个直角三角形的面积等于

１２ ．

１．下列计算不正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．（－２．５ｘ

３

）·（－４ｘｙ

２

）＝１０ｘ

４

ｙ

２

Ｂ．（－ａ

２

ｂ）２

·（－ａｂ３

）５

·（－ａｂ）４＝ａ

１３

ｂ２１

Ｃ．（－ｘ）·２ｘ

２

·（－ｘ）＝２ｘ

４

Ｄ．（ａｘ

２

）ｎ

·（２ａｘｎ

）３＝８ａｎ＋３

ｘ

５ｎ

２．已知单项式 ３ｘ

２

ｙ

３

与 －２ｘｙ

２

的积为 ｍｘ

３

ｙｎ

，那

么 ｍ，ｎ的值分别为 （ Ｂ ）

Ａ．ｍ＝－６，ｎ＝６

Ｂ．ｍ＝－６，ｎ＝５

Ｃ．ｍ＝１，ｎ＝６

Ｄ．ｍ＝１，ｎ＝５

３．若 ｘ

３

ｙｍ－１

·ｘｍ＋ｎ

·ｙ

２ｎ＋２＝ｘ

９

ｙ

９

，则 ４ｍ－３ｎ＝

（ Ｃ ）

Ａ．８ Ｂ．９

Ｃ．１０ Ｄ．无法确定

４．若 ａ－２ ＋（ｂ＋１）２ ＝０，则 （－３ａｂ）２·

（－ａｂ）＝ ７２ ．

５．若 ｍ为正偶数，则（ａ－ｂ）ｍ·（ｂ－ａ）ｎ与

（ｂ－ａ）ｍ＋ｎ

的结果 相等 （选填“相等”或

“互为相反数”）．

６．计算：

（１） １

( ３ａ)

２

·（３ａ）３＝ ３ａ

５

；

（２）（２ｘ）２

·（－３ｘｙ

２

）＝ －１２ｘ

３

ｙ

２ ．

７．已知 ｘ＝４，ｙ＝－１

８，求１

７ｘｙ

２

·１４（ｘｙ）２

·１

４ｘ

５

的值．

解：原式 ＝１

２ｘ

１＋２＋５

ｙ

２＋２＝１

２ｘ

８

ｙ

４＝１

２（ｘ

２

ｙ）４

，

当 ｘ＝４，ｙ＝－１

８时，

原式 ＝１

２× ４２× －１ [ ( ８) ]

４

＝８

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·５６·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

第 ２课时 单项式与多项式相乘

１．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单

项式去乘多项式的 每一项 ，再把所得

的积 相加 ，即ｐ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ ｐａ＋

ｐｂ＋ｐｃ ．

２．单项式与多项式相乘，结果仍然是 多项式 ，

计算时要注意每一项的 符号 ，有同类项

的必须 合并 同类项．

知识点 １ 单项式与多项式相乘

１．若（ｙ

２－ｋｙ＋２）（－ｙ）的展开式中 ｙ

２项的系

数为 －４，则 ｋ的值为 （ Ｄ ）

Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－４

２．计算：

（１）２ｘ（３ｘ

２＋１）＝ ６ｘ

３＋２ｘ ；

（２）ａ（ａ－ｂ）＋ａｂ＝ ａ

２

；

（３）（－２ｘ＋１）（－３ｘ

２

）＝ ６ｘ

３－３ｘ

２

；

（４）（－３ｘ）·（２ｘ

２ －５ｘ－１）＝ －６ｘ

３ ＋

１５ｘ

２＋３ｘ ．

知识点 ２ 化简求值

３．已知 ａｂ２ ＝ －４，求 －ａｂ（ａ

２ｂ５ －ａｂ３ －ｂ）

的值．

解：∵ａｂ２＝－４，

∴原式 ＝－ａ

３

ｂ６＋ａ

２

ｂ４＋ａｂ２

＝－（ａｂ２

）３＋（ａｂ２

）２＋ａｂ２

＝－（－４）３＋（－４）２＋（－４）

＝７６．

１．若一个长方体的长、宽、高分别是 ２ｘ，ｘ，３ｘ－

４，则长方体的体积为 （ Ｃ ）

Ａ．３ｘ

３－４ｘ

２ Ｂ．６ｘ

２－８ｘ

Ｃ．６ｘ

３－８ｘ

２ Ｄ．６ｘ

３－８ｘ

２．已知 ２ａ

２－７ａ－１＝０，则代数式 ａ（２ａ－７）＋

５的值为 （ Ａ ）

Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．－４

３．要使（ｘ

２＋ａｘ＋５）·（－６ｘ

３

）的展开式中不

含 ｘ

４的项，则 ａ应等于 （ Ｂ ）

Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１

６ Ｄ．１

４．若 Ｍ和 Ｎ表示单项式，且 ２ｘ（Ｍ－６ｘ）＝

４ｘ

２

ｙ

３＋Ｎ，当 Ｍ＝２ｘｙ

３

时，Ｎ＝ －１２ｘ

２ ．

５．先化简，再求值：３ａ

２

（ａ

３

ｂ２－２ａｂ）－３ａ（－ａ

２

ｂ）２

，

其中 ａ＝２，ｂ＝－１１．

解：原式 ＝３ａ

５

ｂ２－６ａ

３

ｂ－３ａ

５

ｂ２

＝－６ａ

３

ｂ，

当 ａ＝２，ｂ＝－１１时，

原式 ＝－６×２３×（－１１）＝５２８．

６．某同学在计算一个多项式乘 －３ｘ

２

时，算成

了加上 －３ｘ

２

，得到的答案是 ｘ

２ －１

２ｘ＋１．那

么正确的计算结果是多少？

解：设这个多项式为 Ａ，则 Ａ＝４ｘ

２－１

２ｘ＋１．

∴Ａ·（－３ｘ

２

）＝ ４ｘ

２－１

２ ( ｘ＋１) （－３ｘ

２

）

＝－１２ｘ

４＋

３ｘ

３

２ －３ｘ

２

．

７．已知 ｘ（ｘ－ｍ）＋ｎ（ｘ＋ｍ）＝ｘ

２＋５ｘ－６对任

意数都成立，求 ｍ（ｎ－１）＋ｎ（ｍ＋１）的值．

解：∵ｘ（ｘ－ｍ）＋ｎ（ｘ＋ｍ）

＝ｘ

２＋（ｎ－ｍ）ｘ＋ｍｎ，

根据题意，得

ｎ－ｍ＝５，

{ｍｎ＝－６．

∴ｍ（ｎ－１）＋ｎ（ｍ＋１）＝ｎ－ｍ＋２ｍｎ

＝５＋２×（－６）＝－７

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·５７·

第十四章 整式的乘法与因式分解

第 ３课时 多项式与多项式相乘

１．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个

多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｐ＋ｑ）＝

ａｐ＋ａｑ＋ｂｐ＋ｂｑ ．

２．多项式与多项式相乘，所得结果仍然为

多项式 ，在合并同类项之前，积的项数

应该 等于 两个多项式项数之积．

知识点 １ 多项式与多项式相乘

１．计算（２ｘ－３）（３ｘ＋４）的结果是 （ Ｄ ）

Ａ．－７ｘ＋４ Ｂ．－７ｘ－１２

Ｃ．６ｘ

２－１２ Ｄ．６ｘ

２－ｘ－１２

２．如图，甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图

所示（ａ＞１），则两个长方形面积 Ｓ甲 与 Ｓ乙 的

大小关系是 （ Ｂ ）

Ａ．Ｓ甲 ＝Ｓ乙 Ｂ．Ｓ甲 ＞Ｓ乙

Ｃ．Ｓ甲 ＜Ｓ乙 Ｄ．无法确定

３．计算下列各题：

（１）（２０２２昆明市期末）（２ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）；

解：原式 ＝２ｘ

２＋２ｘｙ－ｘｙ－ｙ

２

＝２ｘ

２＋ｘｙ－ｙ

２

．

（２）（ｘ

２＋２ｘ＋３）（２ｘ－５）．

解：原式 ＝２ｘ

３＋４ｘ

２＋６ｘ－５ｘ

２－１０ｘ－１５

＝２ｘ

３－ｘ

２－４ｘ－１５．

知识点 ２ （ｘ＋ｐ）（ｘ＋ｑ）＝ｘ

２＋（ｐ＋ｑ）ｘ 

＋

ｐｑ的应用

４．下列计算中，计算结果是 ｘ

２＋７ｘ－１８的是

（ Ａ ）

Ａ．（ｘ－２）（ｘ＋９） Ｂ．（ｘ＋２）（ｘ＋９）

Ｃ．（ｘ－３）（ｘ＋６） Ｄ．（ｘ－１）（ｘ＋１８）

５．若（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ

２ －５ｘ＋６，则 ａ＋ｂ的

值为 （ Ａ ）

Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．－４ Ｄ．４

１．若（５ｘ＋２）（３－ｘ）＝－５ｘ

２ ＋ｋｘ＋ｐ，则代数

式（ｋ－ｐ）２

的值为 （ Ｂ ）

Ａ．９８ Ｂ．４９ Ｃ．１４ Ｄ．７

２．已知长方形的长为（ａ－２）ｃｍ，宽为（３ａ＋

１）ｃｍ，那么它的面积是 （ Ａ ）

Ａ．（３ａ

２－５ａ－２）ｃｍ

２

Ｂ．（３ａ

２－５ａ＋２）ｃｍ

２

Ｃ．（３ａ

２＋５ａ－２）ｃｍ

２

Ｄ．（３ａ

２＋ａ－２）ｃｍ

２

３．三个连续奇数，若中间一个数为 ｎ，则它们

的积为 （ Ｃ ）

Ａ．６ｎ

３－６ｎ Ｂ．４ｎ

３－ｎ

Ｃ．ｎ

３－４ｎ Ｄ．ｎ

３－ｎ

４．如图，下列是长方形面积的四种表示方法：

①（ｍ＋ｎ）（ａ＋ｂ）；②ｍ（ａ＋ｂ）＋ｎ（ａ＋ｂ）；

③ａ（ｍ ＋ｎ）＋ｂ（ｍ ＋ｎ）；④ ｍａ＋ｍｂ＋

ｎａ＋ｎｂ．

其中正确的是 ①②③④ （填序号）．

５．计算：

（１）（ｍ－２ｎ）（－ｍ－ｎ）；

解：原式 ＝－ｍ

２－ｍｎ＋２ｍｎ＋２ｎ

２

＝－ｍ

２＋ｍｎ＋２ｎ

２

．

（２）（ａ－ｂ）（ａ

２＋ａｂ＋ｂ２

）；

解：原式 ＝ａ

３＋ａ

２

ｂ＋ａｂ２－ａ

２

ｂ－ａｂ２－ｂ３

＝ａ

３－ｂ３

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·５８·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

（３）ｘ（ｘ

２＋ｘ－１）－（２ｘ

２－１）（ｘ－４）．

解：原式 ＝ｘ

３＋ｘ

２－ｘ－（２ｘ

３－８ｘ

２－ｘ＋４）

＝ｘ

３＋ｘ

２－ｘ－２ｘ

３＋８ｘ

２＋ｘ－４

＝－ｘ

３＋９ｘ

２－４．

６．（２０２２普洱市名校期中）先化简，再求值：

３ｘ（ｘ＋１）－（ｘ＋１）（２ｘ－１），其中 ２ｘ

２ ＋

４ｘ＝－１．

解：原式 ＝３ｘ

２＋３ｘ－２ｘ

２＋ｘ－２ｘ＋１

＝ｘ

２＋２ｘ＋１，

∵２ｘ

２＋４ｘ＝－１，∴ｘ

２＋２ｘ＝－１

２．

∴原式 ＝－１

２＋１＝１

２．

７．如图，某小区有一块长为（２ａ＋３ｂ）米，宽为

（３ａ＋２ｂ）米的长方形地块，物业公司计划

在小区内修一条平行四边形小路，小路的底

边宽为 ａ米，将阴影部分进行绿化．

（１）用含有 ａ，ｂ的式子表示绿化的总面

积 Ｓ；

（２）若 ａ＝２，ｂ＝４，求出此时绿化的总面

积 Ｓ．

解：（１）由题意，得

Ｓ＝（３ａ＋２ｂ）（２ａ＋３ｂ）－ａ（３ａ＋２ｂ）

＝６ａ

２＋９ａｂ＋４ａｂ＋６ｂ２－３ａ

２－２ａｂ

＝（３ａ

２＋１１ａｂ＋６ｂ２

）平方米．

（２）当 ａ＝２，ｂ＝４时，

Ｓ＝３×２２ ＋１１×２×４＋６×４２ ＝１９６（平

方米）．

８．若（ｘ

２＋ｘ＋ｂ）·（２ｘ＋ｃ）＝２ｘ

３＋７ｘ

２－ｘ＋ａ，

则 ａ，ｂ，ｃ的值分别为 （ Ａ ）

Ａ．ａ＝－１５，ｂ＝－３，ｃ＝５

Ｂ．ａ＝－１５，ｂ＝３，ｃ＝－５

Ｃ．ａ＝１５，ｂ＝３，ｃ＝５

Ｄ．ａ＝１５，ｂ＝－３，ｃ＝－５

９．甲、乙两人分别计算（３ｘ＋ａ）（４ｘ＋ｂ）．甲抄

错 ａ的符号，得到的结果是 １２ｘ

２ ＋１７ｘ＋６，

乙漏抄第二个括号中 ｘ的系数，得到的结果

是 ３ｘ

２＋７ｘ－６，问：

（１）ａ，ｂ分别是多少？

（２）该题的正确答案是多少？

解：（１）∵乙漏抄第二个括号中 ｘ的系数，得

到的结果是 ３ｘ

２＋７ｘ－６，

∴（３ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝３ｘ

２＋７ｘ－６．

即 ３ｘ

２＋３ｂｘ＋ａｘ＋ａｂ＝３ｘ

２＋（３ｂ＋ａ）ｘ＋

ａｂ＝３ｘ

２＋７ｘ－６．

∴３ｂ＋ａ＝７．

∵甲抄错 ａ的符号，得到的结果是 １２ｘ

２＋

１７ｘ＋６，

∴（３ｘ－ａ）（４ｘ＋ｂ）＝１２ｘ

２＋１７ｘ＋６．

即 １２ｘ

２＋３ｂｘ－４ａｘ－ａｂ＝１２ｘ

２ ＋（３ｂ－

４ａ）ｘ－ａｂ＝１２ｘ

２＋１７ｘ＋６．

∴３ｂ－４ａ＝１７．

∴

３ｂ＋ａ＝７，

{３ｂ－４ａ＝１７．

解得

ａ＝－２，

{ｂ＝３．

（２）（３ｘ＋ａ）（４ｘ＋ｂ）

＝（３ｘ－２）（４ｘ＋３）

＝１２ｘ

２＋９ｘ－８ｘ－６

＝１２ｘ

２＋ｘ－６．

∴该题的正确答案是 １２ｘ

２＋ｘ－６

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·５９·

第十四章 整式的乘法与因式分解

第 ４课时 整式的除法

１．ａｍ ÷ａｎ＝ ａｍ－ｎ （ａ≠０，ｍ，ｎ都是整数，并且

ｍ＞ｎ），即同底数幂相除，底数 不变 ，指数

相减 ．特别地，当 ｍ＝ｎ时，ａｍ ÷ａｎ＝ａｍ－ｎ＝

ａ

０＝ １ （ａ≠０），即任何不等于 ０的数的 ０

次幂都等于 １ ．

２．单项式相除，把 系数 和 同底数幂 分

别相除作为商的 因式 ，对于只在被除式

里含有的字母，则连同它的 指数 作为商

的一个因式．

３．多项式除以单项式，先把这个多项式的每

一项除以这个 单项式 ，再把所得的商

相加 ．

知识点 １ 同底数幂相除

１．计算 ａ

６÷ａ

２

的结果是 （ Ｂ ）

Ａ．ａ

３ Ｂ．ａ

４

Ｃ．ａ

８ Ｄ．ａ

１２

２．若 ３ｘ＝１５，３ｙ＝５，则 ３ｘ－ｙ＝ （ Ｂ ）

Ａ．５ Ｂ．３

Ｃ．１５ Ｄ．１０

３．计算（－ａ）６÷（－ａ

３

）等于 （ Ｄ ）

Ａ．ａ

２ Ｂ．－ａ

２

Ｃ．ａ

３ Ｄ．－ａ

３

知识点 ２ 零指数幂

４．关于代数式（ａ＋１）０

，下列说法正确的是

（ Ｄ ）

Ａ．（ａ＋１）０

的值一定是 ０

Ｂ．（ａ＋１）０

的值一定是 １

Ｃ．当 ａ≠０时，（ａ＋１）０

有意义

Ｄ．当 ａ≠ －１时，（ａ＋１）０

有意义

知识点 ３ 单项式相除

５．下列计算中，正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．８ｘ

９÷２ｘ

３＝４ｘ

３

Ｂ．４ａ

２

ｂ３÷４ａ

２

ｂ３＝０

Ｃ．２ａｂ２

ｃ÷

１

２ａｂ２＝４ｃ

Ｄ．－１２ｘ

５

ｙ

３

ｚ÷２ｘ

２

ｙ＝－６ｘ

３

ｙ

３

ｚ

知识点 ４ 多项式除以单项式

６．下列计算中，正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．（６ｘ

４－２４ｘ

３

）÷（－３ｘ

２

）＝－２ｘ

２－８ｘ

Ｂ．（３ｘ

３

ｙ－ｘ

２

ｙ

２

）÷２ｘｙ＝３

２ｘ

２－１

２ｘｙ

Ｃ．（４ａ

２

ｂ３－２ａｂ２

）÷２ａｂ２＝２ａｂ

Ｄ．（ａ

４

ｂ５＋２ａ

５

ｂ４

）÷（－ａｂ）４＝２ａ－ｂ

７．若多项式 Ｎ与 －１

２ａｂ的积为 －４ａ

２

ｂ３＋３ａ

３

ｂ－

１

２ａｂ，则 Ｎ＝ （ Ｂ ）

Ａ．－８ａｂ２＋６ａ

２＋１ Ｂ．８ａｂ２－６ａ

２＋１

Ｃ．８ａｂ－６ａ

２ Ｄ．２ａｂ２－３

２ａ

２－１

知识点 ５ 整式的混合运算

８．计算：

（１） ２

３ｘ

２

( ｙ)

３

÷

１

( ３ｘｙ)

２

·３

４ｘ

３

ｙ

２

；

解：原式 ＝８

２７

ｘ

６

ｙ

３÷

１

９ｘ

２

ｙ

２

·３

４ｘ

３

ｙ

２

＝８

３ｘ

４

ｙ·３

４ｘ

３

ｙ

２

＝２ｘ

７

ｙ

３

．

（２）－２４ （ｍ

２

ｎ）２ ÷（２ｍ）３

ｎ－２ｍ（－３ｍ＋

２ｎ）－（ｍ＋５ｎ）（ｍ－５ｎ）．

解：原式 ＝－１６ｍ

４

ｎ

２ ÷８ｍ

３

ｎ＋６ｍ

２ －４ｍｎ－

ｍ

２＋２５ｎ

２

＝－２ｍｎ＋５ｍ

２－４ｍｎ＋２５ｎ

２

＝５ｍ

２－６ｍｎ＋２５ｎ

２



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·６０·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

１．若 ８ｘ

６

ｙ

４

ｚ÷! ＝４ｘ

２

ｙ

２

，则!里应填 （ Ｃ ）

Ａ．３２ｘ

８

ｙ

４

ｚ Ｂ．２ｘ

４

ｙ

２

Ｃ．２ｘ

４

ｙ

２

ｚ Ｄ．２ｘ

３

ｙ

２

ｚ

２．已知 ８ａ

３

ｂｍ ÷８ａｎ

ｂ２＝ｂ２

，那么 ｍ，ｎ的值为

（ Ａ ）

Ａ．ｍ＝４，ｎ＝３ Ｂ．ｍ＝４，ｎ＝１

Ｃ．ｍ＝１，ｎ＝３ Ｄ．ｍ＝２，ｎ＝３

３．某市计划在市内的一块长方形空地上种植

某种草皮，以美化环境．已知长方形空地的

面积为（３ａｂ＋２ｂ）平方米，宽为 ｂ米，则这块

空地的长为 （ Ａ ）

Ａ．（３ａ＋２）米 Ｂ．（３ａｂ＋ｂ）米

Ｃ．（３ａｂ＋３ｂ）米 Ｄ．（３ａｂ２＋２ｂ２

）米

４．若 ａ为正整数，且 ｘ

２ａ＝５，则（２ｘ

３ａ

）２÷４ｘ

４ａ

的

值为 （ Ａ ）

Ａ．５ Ｂ．５

２ Ｃ．２５ Ｄ．１０

５．（２０２２昆明市期末）若 ｍ＞０，ｍｘ＝３，ｍｙ＝２，

则 ｍｘ－３ｙ

的值为 （ Ｄ ）

Ａ．３

２ Ｂ．－３

２ Ｃ．１ Ｄ．３

８

６．已知长方形的面积为 ６ｙ

４ －３ｘ

２

ｙ

３ ＋ｘ

２

ｙ

２

，它

的一边长为 ３ｙ

２

，则这个长方形的另外一边

长为 ２ｙ

２－ｘ

２

ｙ＋

ｘ

２

３ ．

７．计算：

（１）（２０２１曲靖市期末）（４ｘ

２

ｙ

２ －６ｘ

３

ｙ

２

）÷

（ｘｙ）２

；

解：原式 ＝（４ｘ

２

ｙ

２－６ｘ

３

ｙ

２

）÷ｘ

２

ｙ

２＝４－６ｘ．

（２）（２０２２昆明市盘龙区期末）ｍ

８ ÷ｍ

２ －

（３ｍ

３

）２＋２ｍ

２

·ｍ

４

；

解：原式 ＝ｍ

６－９ｍ

６＋２ｍ

６＝－６ｍ

６

．

（３）（－２ｍ＋３ｎ）２＋（－２ｍｎ）３÷（－４ｍ

３

ｎ）－

（９ｍ

３

ｎ－３ｍｎ

３

）÷（－３ｍｎ）．

解：原 式 ＝９ｎ

２ －１２ｍｎ＋４ｍ

２ －８ｍ

３

ｎ

３ ÷

（－４ｍ

３

ｎ）－（－３ｍ

２＋ｎ

２

）

＝９ｎ

２－１２ｍｎ＋４ｍ

２＋２ｎ

２＋３ｍ

２－ｎ

２

＝１０ｎ

２－１２ｍｎ＋７ｍ

２

．

８．（１）（２０２２昆明市嵩明县期末）化简：（ａ＋

２ｂ）（ａ－ｂ）＋（ａ

２

ｂ２－２ａｂ３

）÷（－ａｂ）；

解：原式 ＝ａ

２＋ａｂ－２ｂ２＋（－ａｂ＋２ｂ２

）

＝ａ

２＋ａｂ－２ｂ２－ａｂ＋２ｂ２

＝ａ

２

．

（２）化简求值：ｂ（２ａ＋ｂ）＋（２ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）－

４ａ

２

ｂ÷ｂ，其中 ａ，ｂ满足：（ａ－１）２＋ ｂ＋２ ＝０．

解：原 式 ＝２ａｂ＋ｂ２ ＋２ａ

２ ＋２ａｂ－ａｂ－

ｂ２－４ａ

２

＝３ａｂ－２ａ

２

，

由（ａ－１）２＋ ｂ＋２ ＝０，得

ａ－１＝０，

{ｂ＋２＝０．

解得

ａ＝１，

{ｂ＝－２．

∴原式 ＝３×１×（－２）－２×１２＝－８．

９．【核心素养·应用意识】点点同学在复习

《整式的除法》时发现自己的课堂笔记中

有一部分被墨水弄污了．具体情况如下：

（１５ｘ

３

ｙ

５－★ －２０ｘ

３

ｙ

２

）÷（－５ｘ

３

ｙ

２

）＝▲ ＋

２ｘｙ

２＋４，被除式的第二项被墨水弄污成

★，商的第一项也被墨水弄污成▲，请你求

出这两处被弄污的内容★和▲．

解：∵（１５ｘ

３

ｙ

５－★ －２０ｘ

３

ｙ

２

）÷（－５ｘ

３

ｙ

２

）＝

▲ ＋２ｘｙ

２＋４，

∴▲ ＝１５ｘ

３

ｙ

５÷（－５ｘ

３

ｙ

２

）＝－３ｙ

３

，

－★ ＝２ｘｙ

２

·（－５ｘ

３

ｙ

２

）＝－１０ｘ

４

ｙ

４

．

∴★ ＝１０ｘ

４

ｙ

４

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·６１·

第十四章 整式的乘法与因式分解

１４．２ 乘法公式

１４．２．１ 平方差公式

（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ ａ

２－ｂ２ ，即两个数的

和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平

方差 ，这个公式叫做 平方差 公式

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

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殯

殯 殯

殯

．

注意：公式中的字母 ａ，ｂ可以表示具体的

数，也可以表示单项式或 多项式 ，实

际应用中注意观察各项的系数、符号 、

前后 位置 ．

知识点 １ 平方差公式

１．下列各式能运用平方差公式计算的是 （ Ｄ ）

Ａ．（ｍ＋ｎ）（－ｍ－ｎ）

Ｂ．（ａ＋１）（１＋ａ）

Ｃ．（２ｘ＋３）（ｘ－３）

Ｄ．（４ｘ＋３）（３－４ｘ）

２．能够用下图中已有图形的面积说明的等

式是 （ Ｄ ）

Ａ．ａ（ａ＋４）＝ａ

２＋４ａ

Ｂ．（ａ＋４）（ａ－４）＝ａ

２－１６

Ｃ．（ａ＋２）２＝ａ

２＋４ａ＋４

Ｄ．（ａ＋２）（ａ－２）＝ａ

２－４

知识点 ２ 运用平方差公式进行简便计算

３．若 ａ＋ｂ＝２，ａ

２－ｂ２＝６，则 ａ－ｂ＝ ３ ．

４．用乘法公式计算：

（１）（２０２２普洱市名校期中）９９×１０１；

解：原式 ＝（１００－１）×（１００＋１）

＝１００２－１

＝９９９９．

（２）１２４×１２２－１２３２

；

解：原式 ＝（１２３＋１）×（１２３－１）－１２３２

＝１２３２－１－１２３２

＝－１．

（３）１４２

３×１５１

３．

解：原式 ＝ １５－１ ( ３) １５＋

１ ( ３)

＝１５２－ １

( ３)

２

＝２２４８

９．

１．下列计算正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．（２ｘ＋３）（２ｘ－３）＝２ｘ

２－９

Ｂ．（ｘ＋４）（ｘ－４）＝ｘ

２－４

Ｃ．（ｘ＋５）（ｘ－６）＝ｘ

２－３０

Ｄ．（－１＋４ｂ）（－１－４ｂ）＝１－１６ｂ２

２．计算 ２０２０２－２０２１×２０１９的结果是 （ Ｃ ）

Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．４０３８

３．（２０２３昆明市名校期中）已知（ｘ＋２）（ｘ－

２）－２ｘ＝１，则 ２ｘ

２－４ｘ＋３的值为 （ Ｄ ）

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 Ａ．－３ Ｂ．５ Ｃ．８ Ｄ．１３

·６２·

本土攻略·数学 八年级上册（ＲＪ 

）

４．对于任意正整数 ｍ，能整除式子（ｍ＋３）

（ｍ－３）－（ｍ＋２）（ｍ－２）的整数是 （ Ｄ ）

Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５

５．为了运用平方差公式计算（ｘ＋３ｙ－ｚ）（ｘ－

３ｙ＋ｚ），下列变形正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．［ｘ－（３ｙ＋ｚ）］２

Ｂ．［（ｘ－３ｙ）＋ｚ］［（ｘ－３ｙ）－ｚ］

Ｃ．［ｘ－（３ｙ－ｚ）］［ｘ＋（３ｙ－ｚ）］

Ｄ．［（ｘ＋３ｙ）－ｚ］［（ｘ－３ｙ）＋ｚ］

６．如图，从边长为（ａ＋４）ｃｍ的正方形纸片中

剪去一个边长为（ａ＋１）ｃｍ的正方形（ａ＞

０），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不

重叠无缝隙），则矩形的面积为 （ Ｄ ）

Ａ．（２ａ

２＋５ａ）ｃｍ

２ Ｂ．（３ａ＋１５）ｃｍ

２

Ｃ．（６ａ＋９）ｃｍ

２ Ｄ．（６ａ＋１５）ｃｍ

２

７．若（ｘ＋ｙ

２

）（ｘ－ｙ

２

）（ｘ

２ ＋ｙ

４

）＝ｘｍ －ｙｎ

，则

ｍ＝ ４ ，ｎ＝ ８ ．

８．计算：

（１）（３ｘ＋２）（３ｘ－２）＋ｘ（ｘ－２）；

解：原式 ＝９ｘ

２－４＋ｘ

２－２ｘ

＝１０ｘ

２－２ｘ－４．

（２）［（ｘ＋３ｙ）（ｘ－３ｙ）－ｘ

２

］÷９ｙ；

解：原式 ＝（ｘ

２－９ｙ

２－ｘ

２

）÷９ｙ

＝－９ｙ

２÷９ｙ

＝－ｙ．

（３）（２０２２昆明市官渡区期末）（ｘ＋２ｙ）（ｘ－

２ｙ）－（４ｘ

３

ｙ－８ｘｙ

３

）÷２ｘｙ．

解：原式 ＝ｘ

２－４ｙ

２－（２ｘ

２－４ｙ

２

）

＝ｘ

２－４ｙ

２－２ｘ

２＋４ｙ

２

＝－ｘ

２

．

９．先化简，再求值：（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－ｘ（ｘ＋ｙ）＋

２ｘｙ，其中 ｘ＝（３－π）０

，ｙ＝２．

解：原式 ＝ｘ

２－ｙ

２－ｘ

２－ｘｙ＋２ｘｙ

＝ｘｙ－ｙ

２

，

∵ｘ＝（３－π）０＝１，ｙ＝２，

∴原式 ＝１×２－２２＝－２．

１０．【核心素养·运算能力】我们在计算（２＋

１）（２２ ＋１）（２４ ＋１）（２８ ＋１）（２１６ ＋１）

（２３２＋１）时，发现直接运算很麻烦，如果在

算式前乘（２－１），即 １，原算式的值不变，

且还使整个算式能用乘法公式计算．解答

如下：

原式 ＝（２－１）（２＋１）（２２ ＋１）（２４ ＋１）

（２８＋１）（２１６＋１）（２３２＋１）

＝（２２－１）（２２＋１）（２４＋１）（２８＋１）（２１６＋

１）（２３２＋１）

＝（２４－１）（２４＋１）（２８＋１）（２１６＋１）（２３２＋

１）

＝……

＝２６４－１．

你能用上述方法算出（３＋１）（３２＋１）（３４＋

１）（３８＋１）（３１６＋１）的值吗？请试试看！

解：原式 ＝１

２（３－１）（３＋１）（３２＋１）（３４ ＋

１）（３８＋１）（３１６＋１）

＝１

２（３２－１）（３２＋１）（３４＋１）

（３８＋１）（３１６＋１）

＝……

＝３３２－１

２

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·６３·

第十四章 整式的乘法与因式分解