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（2023 丰台二模——关联正方形）★★★★
28．对于⊙W 和⊙W 的弦 PQ，以 PQ 为边的正方形为 PQ 关于⊙W 的“关联正方形”．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 T（m，0），点 M（m，－1），以点 T 为圆心，TM 的长
为半径作⊙T，点 N 为⊙T 上的任意一点（不与点 M 重合）．
（1）当 m＝0 时，若直线 y＝x＋t 上存在点在 MN 关于⊙T 的“关联正方形”上，求 t 的取
值范围；
（2）若点 A 在 MN 关于⊙T 的“关联正方形”上，点 B（－m＋2，3）与点 A 的最大距离
为 d，当 d 取最小值时，直接写出此时 m 和 d 的值．
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吴老师图解
（1） − −2 2 3 t .
规律总结
先给出结论：
如图，
MN
关于
T
的“关联正方形”上的点在：图示阴影部分的内部或边界上！
该区域是由以
( 1,0) − 、(1,0)
为圆心，
2
为半径的圆，与以
( 1, 1) − − 、(1, 1) −为圆心，
1
为
半径的圆所覆盖到的区域！
下面给出分析过程：
如图，
1）在
T
上找一点
N
，作出 2 个正方形，我们以黄色的正方形为例，
2）根据“瓜豆原理”，易知点
R
在以
(1,0)
为圆心，
2
为半径的圆上，点
S
在以
(1, 1) −
为圆心，
1
为半径的圆上，
3）当点
N
运动时，易知边
MN
扫过的区域是
T
的内部，边
MS
扫过的区域是粉色圆的
内部！那么，边
NR
和
SR
扫过的区域如何理解呢？
x
y
M
T
x
y
M
T
N
x
y
R
S
M
T
N
x
y
R
S
M
T
N
x
y
90°
R
S
M
T
N
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规律总结
4）边
NR ， SR
扫过的区域为图示灰色阴影部分，其中右图可以用“定弦定角”解释边
SR
过绿圆与粉圆的交点！
备注：此处规律与[2020 门头沟二模——限距点]、[2022-2023 三帆中学九下月考·开学考
——二倍点]完全一致，只是叠加使用了 2 次！理论说明的难度增加了…
5）同理，绿色正方形扫过的区域与黄色正方形扫过的区域关于
y
轴对称，得出结论！
思路&图解
如图，
1）直线
y x t = +
与半径为
2
的
R
相切于点
G ，
易求得
K( 3,0) − ，代入直线解析式求得
t = 3，
2）直线
y x t = +
与半径为
1
的
S
相切于点
H ，
易求得
U(1 2, 1) + −
，代入直线解析式求得
t = − −2 2 .
综上所述：− −2 2 3 t .
（2）
m =1，d = + 17 1 .
分析
1】
T
的“关联正方形”
显然，此问与（1）的区别仅仅是点
T
在
x
轴上的位置不同，而
T
的“关联正方形”上
的点所在的区域是完全一样的，说白了就是这个区域随点
T
左右移动了，
x
y
M
T
N
x
y
M
T
x
y
U
H
K
G
S
R T
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分析
2】
AB
的最大值
d
的最小值
对于“
AB
的最大值
d
的最小值”，咋一听挺绕的，其实细细想想，也就是咱们课上讲
过的“极限距离”的问题，一般都是在“平衡”状态下取到极限值…
备注：类似题还有[2020 北京中考——平移距离]、[2021-2022 三帆中学九上月考·12 月
——相切距离]…
如图，易知当
BA BA 1 2
=
时，
d
取到最小值（
BA1
或
BA2
）！
3】
m
的值
由上一步知
d
取到最小值时，点
B
恰好在点
T
的正上方，
故有
m m = − + 2
，解得
m =1.
备注：同学们在考场上无需再换一个点
T
作图，要学会“忽视”
y
轴…
思路&图解
1）由【分析】知，当
m =1
时，
d
取最小值，
2）如图，
由勾股定理得
BS = 17
，即
AB = + 17 1.
综上所述：
m =1， d = + 17 1 .
x
y = 3
A2 A1
T
B
x
y = 3
A2 A1
T
B
x
y = 3
A
S M
T
B
