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前

言

小学数学教学设计是教育部颁布!教师教育课程标准\"试行#$

\"教师%!\"##&$号#之后'依据国家标准新设置的高校小学教育专业

必修课程(由于该课程开设时间较短'所以适合使用的教材十分

匮乏(为此'我们邀请高校小学数学教育专家)小学名特优教师共

同开发了本教材'以满足小学教师职前培养的教学需要(

本教材以!教师教育课程标准\"试行#$为指导'以!义务教育数

学课程标准\"!\"##年版#$为依据'参照国内主要版本小学数学教科

书'坚持育人为本)实践取向)终身发展的理念'致力培养师范生的

小学数学教材解读与教学设计能力'为形成小学数学教学实践能

力奠定坚实基础(

根据高校教学安排特点和学时条件'本教材在体系架构上'依

据内容属性和知识容量'将小学数学课程内容整体划分成相对独

立)容量适中的若干模块'整体统筹*数与代数+*图形与几何+*统

计与概率+*综合与实践+四个学习领域'构建以小学数学课程内容

为主线的模块化教材体系'克服教学设计案例汇编类图书选题随

意)体系缺失'和同步分册教学设计案例类图书篇幅过长)耗时过

多的弊端'让师范生能够在较短时间内接触和熟悉小学数学课程

中各种类型)各种属性内容的教学设计思路和样式(

根据小学职前教师教学能力形成规律'本教材在编写思路上'

按*内容透析+*案例研讨+*要点提炼+*实践操作+组织模块内容'

构建*由理性认识到直观感知+*由特殊案例到一般要领+*由课堂

学习到实践操作+的小学数学教学设计能力训练路径'改变按教学

环节\"要素#分项设计类图书)教学设计理论类图书与课程内容研

!

小 学

数学教学设计

究割裂)与教学实践过程脱节的倾向'让师范生在对模块课程内容深度理解的基础上'获得

对同质内容教学设计要领的概括把握和教学设计实践的初步经验(

根据基础教育课程改革的最新要求'本教材在内容选择上'注意吸收小学数学研究的最

新成果'精心筛选反映小学数学课改前沿的优秀案例'并从数学科学和儿童学习的角度对所

选案例进行二次加工'通过设计说明)教学解析)问题讨论等多种方式'对所选案例展开多维

研讨'着力提高师范生的学科认知和教育理解水平'促使他们在较高的起点上形成和发展小

学数学教学设计能力(

本教材由孙国春任主编'负责全书的策划与构思)审阅与统稿'施永新负责后期的加工(

具体的编写人员及分工如下,顾娟\"第一章第一节#)仲爱云\"第一章第二节)第二章第二

节#)曹军\"第一章第三节#)于国海\"第二章第一节)第三节#)许卫兵\"第三章#)储冬生\"第四

章#)王海峰\"第五章#)朱艳峰\"第六章第一节#)沈红霞\"第六章第二节#)曹建全\"第七章第一节)第三节#)施永新\"第七章第二节#)顾新辉\"第八章#)杨新建\"第九章#)柳小梅\"第十章#(

全体编写人员以高度负责的精神参与本教材的编写工作'从立意到构思反复研讨'从选

材到表达仔细推敲'力求达到教材的既定目标(尽管我们非常用心'并数易其稿'但书中难

免存在疏漏)偏误'敬请广大读者批评指正(

\"

目

录

第一章 数的认识 !!

第一节 整数的认识 !!

第二节 分数的认识 !\"#

第三节 小数的认识 !$\"

第二章 数的运算 !\"#

第一节 整数的运算 !%&

第二节 小数的运算 !'\"

第三节 分数的运算 !(%

第三章 常见的量 !!$%

第四章 代数初步知识 !!&%

第五章 探索规律 !!'%

!

小 学

数学教学设计

第六章 图形的认识 !!\"(

第一节 平面图形的认识 !!%)

第二节 立体图形的认识 !!'!

第七章 测量 !!)*

第一节 长度测量与角的度量 !!('

第二节 平面图形的周长与面积 !!))

第三节 立体图形的表面积与体积 !\"!*

第八章 图形的运动和位置 !&&'

第九章 统计与概率 !&''

第十章 综合与实践 !&#(

\"

第一章 数 的 认 识

第一节 整 数 的 认 识

!整数\"是小学数学研究的基本对象之一#!认识整数\"是小学生数学学习的重要内容$

也是学习整数的四则运算%认识分数与小数等其他内容的重要基础#

人类最早认识的整数是自然数#自然数是一切等价有限集合共同特征的标记$可用以

计量事物数量或表示事物次序#数列!$\"$#$$$%$&$'$&$!$称为自然数列#在定义自

然数的同时也定义了加法$在加法的基础上又产生了减法%乘法和除法$统称为四则运算!#

然而自然数集合只对加法运算和乘法运算是封闭的$为保证减法运算的封闭性$引入了负整

数$把自然数集合扩充到整数集合#

不为!的自然数称为正整数$正整数对应的相反数称为负整数#负整数%!和正整数统

称为整数#整数集合可以表示为'\"#(&$$$$$#$$\"$!$\"$#$$$&)

内容透析

\" 学科维度

在小学数学的内容体系中$整数知识可以概括为%个基本方面'数的意义%计数方法%

数的表示法和基本性质#从学科维度透析整数这%个方面的知识$有利于我们从内容本质

和建构特点上对其进行归纳比较$梳理其纵向发展与横向联系的脉络$有助于我们对学科知

识的理解更深刻$对教学内容的思考更深入$对教学方法的探讨更透彻#

!\" 整数的意义

数起源于!数\"*!\"#+$来自!量\"*$%&'(+#远古时代$人类在与自然接触的过程中$逐渐

产生了!有与无\"!多与少\"的数量朦胧意识#这种原始数觉对人类萌生数概念起到了奠基

作用#

随着生产的发展和生活方式的变化$人类逐渐产生了比较多与少的需要#如在狩猎前$

想知道狩猎工具是否够用$就需要比较工具个数与狩猎人数的多少,在狩猎后$想知道食物

是否够分$就需要比较食物数量与人口数量的多少#在经历了很多数与量不断变化的具体

!

! 史宁中(基本概念与运算法则-).(北京'高等教育出版社$#!\"$'#!(

小 学

数学教学设计

情境后$人类借助原始数觉$创造了分辨数量*注'数量是有实际背景的%关于量的多少的表

达+!多与少的办法#

对于相同的物品$人们很容易分辨其数量的多与少#如比较%头牛与$头牛的多与少$

可从%头牛中去掉一头牛得到$头牛$没有去掉牛的数量当然比去掉一头牛的数量多$即%

头牛比$头牛多#

对于不同的物品$要分辨其数量的多少对古代人类来说就颇费周折了$如比较%头牛和

$颗石子的数量#人类最初是借助对应关系来比较数量多少的#

古希腊著名的/荷马史诗0讲述了独眼巨人波吕裴摩斯放羊的故事#早晨从山洞里每出

来一只羊$他就捡起一颗石子#晚上每返回一只羊$他就扔掉一颗石子#当早晨捡起的石子

都扔光时$他就能确信所有的羊都返回了山洞#波吕裴摩斯使用的方法$是把羊和石子相

对应#

借助对应方法$可以比较%头牛和$颗石子数量的多少#过程大致如此'把牛看作一个

集合$把石子也看作一个集合#从牛的集合中拿出一个$同时也从石子的集合中拿出一个#

重复这样的过程$最后牛的集合中还有剩余$说明牛的数量比石子多#

比较数量多少实现了对具体事物有关量的一种抽象#而当农业成为主要生产方式的时

候$人类的活动不再限于能通过一一对应比较多少%分配物品$还需要获知物品的具体数目%

记录日期等#于是$记数成为一种现实需要#

在记数的初期$人们用代表集合记录物体数目#人类在比较数量多少的过程中认识到$

能够建立一一对应关系的不同集合的元素个数相同#于是$产生了把同样多的元素集合归

为一类*等价集合类+的思想$并从中选用熟悉的%方便的%元素固定的集合作为代表集合$表

示等价集合类的共同特征$交流!物体有多少个\"#例如$用!一个人的耳朵\"作为代表集合来

表示元素个数是#的一类集合,用!一只手的手指\"作为代表集合来表示元素个数是&的一类集合#

随着越来越大的数目不断出现$耳%手%足等有限的代表集合已难以满足记数需要#伴

随着语言的发展$人类开始用代表集合的简称命名数#例如$将代表集合!一个人的耳朵\"简

称为!耳\"$表示两个#继而$随着文字的产生和使用$创造了用符号表达数的便捷方式#例

如$埃及人用!#\"!##\"!\"\"等象形数字符号分别表示!一\"!二\"!十\"等数,古希腊人开始用!#\"

!$\"!%\"等字母符号表示!一\"!二\"!三\"等数$最终发展为用阿拉伯数字!\"\"!#\"!$\"等记录数#

具体的代表集合最终以数字的抽象形式出现$至此$抽象的数概念已经形成#

对数量抽象的最初结果是自然数#这个标记一方面可以表示集合中元素的个数$通常

称为基数,另一方面$由于自然数在自然数列中是有序的$所以自然数还可以用来给集合中

的元素编号$表示某个有序集合中每个元素所占的位置$通常称为序数#因此$自然数具有

表达数量和次序的双重意义'基数意义和序数意义&#基数意义是自然数的本质属性$序数

意义是自然数的序数属性$二者彼此相通$共同反映了离散事物的记数特征#

负数的创造也是日常生活和生产实践的需要$它的形成源于对生活中完全相反的事物

数量的刻画$因而也有着明确的现实背景$本质上也是对数量的抽象#比如$用\"&!!表示

\"

!

&

史宁中(基本概念与运算法则-).(北京'高等教育出版社$#!\"$'%(

人民教育出版社小学数学室(基础数学-).(北京'人民教育出版社$#!\"$'$(

第一章

数 的 认 识

!收入\"&!!元\"$那么$就用*\"&!!表示!支出\"&!!元\"#数学上约定'在自然数的前面加

上符号!*\"表示负数#负数与对应的自然数在数量上相等*绝对值相等+$表示的意义相反#

负数的出现使得!零\"不仅可以表示!没有\"!$还可以作为正数和负数的界限#

引入负数$既是实际的需要$用以刻画现实世界中具有相反意义的量$也是数学自身发

展的需要$用以解决数集与运算封闭性的矛盾#

从数的起源和发展来看$正如史宁中教授所说$数量是对现实生活中事物量的抽象$数

是对数量的抽象#数量关系的本质是多与少$数之间最基本的关系是大与小#

#\" 整数的表示

随着认识数的范围不断扩大$人类不可能总以!逐个点数\"为基础$给每个新数都起一个

新名称$而是创造了!按群点数\"$逐次引进更高级计数单位的计数方法$并以此为基础建立

计数规则$完全解决自然数的表示问题#

例如$一开始人类以自然单位!一\"为基本计数单位$逐个点数,当点数比\"!更多的物体

时$每点满\"!就扎一捆$然后一捆一捆地按群点数$在事实上选择了比!一\"更高级的计数单

位!十\"*即\"!个一+,当点满\"!捆再扎一大捆$然后一大捆一大捆地点数&&这样$以自然

单位!一\"为基本计数单位$再按十进制*满十进一+规则逐次生成更高级的辅助计数单位'

十个一叫做十$十个十叫做百$十个百叫做千$十个千叫做万$十个万叫做十万$十个十万叫

做百万$十个百万叫做千万$十个千万叫做亿&&一*个+%十%百%千%万%十万%百万%千万%

亿&&都是计数单位$相邻两个计数单位之间的进率是十#当然$也可以!一\"为基本计数单

位$按二进制*满二进一+%六进制*满六进一+等规则生成更高级的其他辅助计数单位#不同

进制的计数单位不同$一般地$%*% $\"+进制的计数单位就是%!$%\"$%#$%$$&& 例

如$二进制的计数单位是#!$#\"$##$#$$&& 六进制的计数单位是'!$'\"$'#$'$$&&

以!按群点数\"得到的一系列计数单位为基础$通过如下计数规则$就可以用有限个数字

符号表示任意一个自然数#

以十进制为例#将计数单位一*个+%十%百%千%万%十万%百万%千万%亿&&按从左到右

顺序依次排列$它们所占的位置分别称为个位%十位%百位%千位%万位%十万位%百万位%千万

位%亿位&&$统称为数位,规定每个数位上数字表示的数值$由数字本身表示的数值和数字

所处数位的计数单位共同确定#如数字&本身表示的数值是&个一$在个位上仍然表示数

值&个一$但在十位上则表示&个十%在万位上则表示&个万#这样的计数规则称为位值

原则#

根据位值原则$任意一个自然数都可以按十进制规则$用\"!个数字!$\"$#$$$%$&$

'$+$,$-以及一*个+%十%百%千%万%十万%百万%千万%亿&&等计数单位表示成按权

\"!&*&为整数+展开的多项式''!'!$\"&'\"*\"!+#'!\"!!$\"('!$\"\"!!$#(&('#\"!\"('\"*'! %

!+$其中'!$'!$\"$&$'#$'\" & (!$\"$#$$$%$&$'$+$,$-)#一般地$根据位值原则$任

意一个自然数都可以按% 进制规则$用% 个数字以及相应的计数单位表示成按权%! *! 为

整数+展开的多项式$其中% 称为基数#为了区分不同进制$写数时通常在数的右下角标注

进位制的基数#例如$\"!# 表示二进制数\"!$#+\", 表示八进制数#+\"$十进制数一般不标记基

#

! \"--$年颁布的/中华人民共和国国家标准0*./$\"!!'$\"!# -$+/量和单位0*\"\" #(-+第$\"\"页$规定自然数包括!#

具体表述为'用!表示!一个物体也没有\"所对应的计数#

小 学

数学教学设计

数#

读数和写数时$通常采用四位分级法$即每%个计数单位组成一级$个%十%百%千称为个

级$万%十万%百万%千万称为万级$亿%十亿%百亿%千亿称为亿级$等等#同样是十进制$西方

很多国家采用三位分级法'个%十%百是个级$千%十千%百千是千级$密%十密%百密是密级$

等等#不同的分级法$虽然称呼不同$但表示数的符号是相同的#如$一万和十千$符号表示

都是\"!!!!#

读自然数的法则是'数字符号0计数单位#读万以内的数$从最高位起$顺次读出数名

和计数单位名#比如$$'表示$个十和'个一$读作三十六#读更大的数时$先从右往左四

位分级$再从最高位起$顺次读出各级里的数和级名#除个级不读级名外$其他每一级的级

名在这一级的末尾读出#每一级末尾的!不读$其他数位上有一个!或连续几个!$都只读一个零#

由此看来$数的符号反映着进制%计数单位以及一个量中分别包含几个不同的计数单位

等信息!#表示数的基本原理就是一个量中含有几个计数单位#

$\" 整数的性质

下面对整数性质的讨论$仅在自然数范围内进行#

*\"+自然数列及其性质#

现代数学中$普遍采用皮亚诺算术公理体系来定义自然数#这一体系利用!直接后继\"

的概念$在已经定义的自然数后面再加\"$得到后继自然数$从而清晰地揭示'数是一个一个

大起来#

像!$\"$#$$&&这样$全体自然数依次排列的一列数叫做自然数列#

自然数列有如下性质'

有始'自然数列最前面的一个是零#

有序'在自然数列里$每一个自然数后面都有且只有一个后继数,除零以外$每一个自

然数都有且只有一个先行数#在自然数列里$排在后面的数$比前面任何一个数都大,排在

前面的数$比后面任何一个数都小#

无限'自然数通过加\"$不断生成更大的自然数#自然数列里没有最后一个自然数$因

此$它是一个无限的数列#

*#+整除%倍数和因数#

对于整数'和正整数)$如果存在一个整数&$使得'#)*&$那么就说'能被)整除$也

可以说成)整除'#

如果整数'能被正整数)整除$商为&$那么称'是)的倍数*' 是)的&倍+,)是' 的

因数*约数+#

*$+自然数的分类#

小学数学教学内容中对自然数的分类主要有两种'一种是奇数与偶数,一种是质数*素

数+与合数#

偶数与奇数'能被#整除的数是偶数$记作#!*!为整数+#不能被#整除的数是奇数$

记作#!0\"*!为整数+#自然数中最小的偶数是!$最小的奇数是\"#偶数和奇数都有无限

$

! 王跃红(!数\"知识建构特点与课程教学建议-1.(课程1教材1教法$#!!,$#'%'(

第一章

数 的 认 识

多个#

质数与合数'在大于\"的自然数中$只有\"和它本身两个因数的自然数叫做质数$也称

素数#在大于\"的自然数中$除了\"和它本身$还有其他因数的自然数叫做合数#\"只有一个因数$它既不是质数$也不是合数#!有无限多个因数$不便于讨论#所以$自然数按其因

数有\"个%#个%有限多个和无限多个$分成!%\"%质数和合数%类#最小的质数是#$最小的

合数是%#质数和合数都有无限多个#

在所有的质数里只有#是偶数$其余都是奇数$但奇数不都是质数#在所有的偶数里$

只有#是质数$其他的都是合数$但合数不都是偶数#

\" 课标维度

/义务教育数学课程标准*#!\"\"年版+0*以下简称为/课标*#!\"\"年版+0+将!整数的认

识\"分散安排在两个学段$主要内容在第一学段完成$第二学段重点梳理十进制计数法#两

个学段的课程内容如下'

第一学段!\"'$年级\"#

\"2 在现实情境中理解万以内数的意义$能认%读%写万以内的数$能用数表示物体的个

数或事物的顺序和位置&

#2 能说出各数位的名称$理解各数位上的数字表示的意义'知道用算盘可以表示多

位数&

$2 理解符号'%3%$的含义$能用符号和词语描述万以内数的大小&

%2 在生活情境中感受!!大数的意义$并能进行估计&

&2 能运用数表示日常生活中的一些事物$并能进行交流&

第二学段#

\"2 在具体情境中$认识万以上的数$了解十进制计数法$会用万%亿为单位表示大数&

#2 结合现实情境感受大数的意义$并能进行估计&

$2 会运用数描述事物的某些特征$进一步体会!!数在日常生活中的作用&

%2 知道#$$$&的倍数的特征$了解公倍数和最小公倍数'在\"'\"!!的自然数中$能找

出\"!以内自然数的所有倍数$能找出\"!以内两个自然数的公倍数和最小公倍数&

&2 了解公因数和最大公因数'在\"'\"!!的自然数中$能找出一个自然数的所有因数$

能找出两个自然数的公因数和最大公因数&

'2 了解自然数%整数%奇数%偶数%质!素\"数和合数&

+2 在熟悉的生活情境中$了解负数的意义$会用负数表示日常生活中的一些量&!

从课标维度透析!整数的认识\"的课程内容$需要关注!认数情境\"!目标要求\"两个问题#

!\" 认数情境

/课标*#!\"\"年版+0两个学段都要求在情境中认数$但认数的范围%要求%学段不同$对

应的情境要求也不同#

第一学段!理解万以内数的意义&&\"$要求现实情境#一般认为$现实是与理想相对的

概念$因此$!现实世界中客观存在\"是现实情境最本质的特征#一方面$!万以内的数\"属于

认数知识模块的起始内容$它是客观存在的物体数量的直接抽象$因此与现实世界的关系十

%

! 中华人民共和国教育部(义务教育数学课程标准*#!\"\"版+-4.(北京'北京师范大学出版社$#!\"#'\"'2#!(

小 学

数学教学设计

分密切$在现实情境中认识万以内的数客观上存在可能性#另一方面$第一学段学生的思维

水平较低$总体上以具体形象思维为主$因此$认数学习只有联系学生身边具体的现实事物$

才能让学生在现实背景中理解数的意义#

第二学段!认识万以上的数&&\"$要求具体情境#具体是与抽象相对的概念$具体情

境的最大特点就是形象%易感#与第一学段相比$第二学段学生思维水平有了较大发展$

抽象思维能力逐渐增强#但是$万以上的数对小学生来说属于大数$因为在日常生活中很

少用到$因而不易找到与之匹配的直观原型$在认识这些大数时小学生仍感到抽象#在

教学中$创设!用方块表示数\"!用计算器或算盘表示数\"等具体情境$有利于学生直观

理解相应的计数单位%十进制计数法的数位顺序和位值原则$让抽象的学习对象看得

见%摸得着#

!感受大数意义$并能进行估计\"比较特殊$它不仅被安排在两个学段$而且两个学段对

认数情境的要求也不同#第一学段要求在生活情境中感受和估计$如/课标*#!\"\"年版+0附

录#中的例$'!\"#!!张纸大约有多厚3 你的\"#!!步大约有多长3 \"#!!名学生站成做广播

操的队形需要多大的场地3\"!第二学段要求在现实情境中感受和估计$如/课标*#!\"\"年

版+0附录#中的例#$'!如果一个人的寿命是+'岁$这个人一生的心跳大约有多少次3 光速

大约是$!万千米4秒$光从太阳到达地球大约需要多长时间3 如果把\"!!万张纸叠加起来$

会有珠穆朗玛峰那么高吗3\"&这样的安排$具有一定的合理性和科学性#第一学段的大数$

指的是万以内的相对大数,第二学段的大数$则是指万以上的绝对大数#因为两个学段给出

的大数标准不同$所以学习难度和认数情境也存在差异性#认识\"#!!这个万以内的相对大

数$只要通过\"#!!张纸的厚度%\"#!!步的长度%\"#!!个人排成广播操队形占地的面积等学

生熟悉的生活情境$就可以获得对这个大数的直观感受#但对于认识$#亿这个绝对大数$

因为小学生生活中几乎没有用到$无法通过创设生活情境$让学生感受其意义#因此$必须

扩大认数的情境范围$即把$#亿这个绝对大数的认数情境$拓展到人一生的心跳次数这个

现实情境#它虽然不是小学生熟悉的生活情境$但基于第二学段小学生的思维发展水平$借

助计算%推理%想象完全能够成为可理解%可感受的现实情境#

#\" 目标要求

数学课程内容!不仅包括数学的结果$也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方

法#\"(因此$/课标*#!\"\"年版+0在表述!整数的认识\"课程内容时$既使用了表示结果目标的

行为动词$又使用了表示过程目标的行为动词#正确解读内含其中的目标动词$是准确理解

课程内容的必然要求#

虽然/课标*#!\"\"年版+0附录\"对表示目标的所用行为动词的基本含义做了逐个介绍$

并列出了与相关行为动词同等程度的常用词语$但要准确把握课程内容相关表述中目标动

词的确切含义$需要根据表述的具体语境和相应的数学知识内容进行综合分析#

如对表述!在\"'\"!!的自然数中$能找出一个自然数的所有因数\"$其中包含与!掌

握\"同等水平的目标行为动词!能\"$附录\"对!掌握\"的释义是'!在理解的基础上$把对象

&

!

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中华人民共和国教育部(义务教育数学课程标准*#!\"\"年版+-4.(北京'北京师范大学出版社$#!\"#'+&(

中华人民共和国教育部(义务教育数学课程标准*#!\"\"年版+-4.(北京'北京师范大学出版社$#!\"#','(

义务教育数学课程标准修订组(义务教育数学课程标准*#!\"\"年版+解读-).(北京'北京师范大学出版社$#!\"#'#(

第一章

数 的 认 识

'的因数中最大的是'$'的倍数中最小的是','既是它本身的因数$也是它本身的

倍数#

$2 拓展思维#

根据要求写数'*\"+写出几个#的倍数,*#+写出几个&的倍数,*$+写出一个数$既是#

的倍数$又是&的倍数#

五! 回顾反思

知识收获与方法收获#

#问题与讨论$好的数学教学应当有引发知识!生长\"的过程#谈谈本节课是如何帮助学

生!长\"知识的3 再选一课题$尝试设计一个让知识!长\"起来的教学过程#

要点提炼

根据/课标*#!\"\"年版+0要求$基于儿童认数特点$结合教材具体编排$对!整数的认识\"

课程内容提出如下教学设计要点#

!\" 依托现实情境!建立整数概念

虽然小学生在入学前认识很多数$但并未形成数的概念#要让小学生在头脑中真正建

立起数的概念$必须回到抽象数的现实背景中去#因此$在教学设计中必须十分注重现实情

境的创设$并依托认数情境让小学生经历从物体数量到数的抽象过程$逐步形成数的概念#

如在认识数!#\"时$可出示由#个人%#棵树%#只羊%#条鱼组成的若干个实物圈$先让小学生

依次点数各个实物圈中的物体数量$再引导小学生用由#个算珠组成的实物圈统一表示上

述各个实物圈的点数结果*聚焦于各个实物圈的数量特征$舍去一切与数量无关的特性+$最

后用符号!#\"表示算珠实物圈所代表的实物圈的数量,在完成了从具体物体数量到数!#\"的

抽象过程后$引导小学生运用数!#\"表示日常生活中的一些事物$体会数!#\"所代表的实际含

义$初步建立起!#\"的概念#

#\" 丰富操作活动!突出计数原理

十进制计数法是认识整数的核心和关键$它不仅可以帮助人们认识更大的自然数$而且

可以只用有限个数字符号*\"!个数字+就能表示出所有的自然数#因此$在教学设计中$需

要根据小学生的年龄特点和认知水平$设计丰富的操作活动$让小学生借助多种操作体会十

进制计数法$理解其中的计数原理#

如在!认识\"\"'#!各数\"的教学中$可以设计!捆一捆\"的活动$将\"!根小棒棒捆成\"

捆$让小学生直观感知!\"!个一是\"个十\"$理解计数单位!十\"与!一\"之间的十进关系,设计 !圈一圈\"的活动$让小学生根据前面!捆一捆\"的经验$在数物品数量的过程中把\"!个物品

圈在一起$加深对!十\"这个计数单位的认识,通过!拨一拨\"的活动$在计数器上拨出珠子表

示数\"\"'#!之间的某一个自然数$如在十位拨一个珠子%个位拨两个珠子表示\"#$十位上的一个珠子表示!\"个十\"%个位上的两个珠子表示!#个一\"$让小学生直观体会位值原理#借

助上述操作活动$小学生获得了数位*个位%十位+和位值*个%十+的直观认识$为后续学习中

理解十进制计数法及其原理进行了必要准备#

!'

小 学

数学教学设计

$\" 结合认数内容!逐步建立数感

数感主要是指关于数与数量%数量关系%运算结果估计等方面的感悟#! 建立数感$

是!数与代数\"学习领域的重要目标$也是整数认识中必须重点发展的数学素养#在!整

数的认识\"部分$数感主要是指关于数与数量方面的感悟$不同的认数阶段和学习内容

有不同的含义和要求#因此$在教学设计中$应该结合课程内容$逐步建立小学生的

数感#

其一$在不同认数阶段采用不同方式理解整数的意义#如!认识\"!以内的数\"时$设计

从数量到数的抽象过程以及用数表示各种物体数量的具象过程$让小学生直观体会整数表

示的实际意义,在!认识万以内的数\"时$借助小棒%方块图%计数器等学具以及十进制计数法

原理$让小学生透过数的构成理解多位数的计数意义,在!认识万以上的数\"时$以已有整数

知识为基础$借助推理和想象让小学生理解大数的现实意义$如用一个人一生的心跳次数帮

助小学生理解$#亿这个绝对大数#

其二$对不同范围的整数创设不同情境感受相对大小#如对\"!以内的整数$可先画出

各数表示的实物图$再通过实物图之间对应连线让小学生直观感受谁大谁小,对稍后认识的

更大整数$通过数*!\"#+数的顺序让小学生理解其大小,对一般多位数$可通过先数位比较%

后数值比较的方法$让学生理解几个整数的相对大小#

其三$通过描述与解释活动$理解整数意义$提高整数运用的意识和能力#如根据某

小学一年级的新生人数$制定该年级的学号编制方案,通过某城市电话号码的位数$估

计该城市的人口量级,选择适当的整数和度量单位描述与解释现实生活中的简单现

象等#

实践操作

!认识多位数\"是小学数学课程的重要内容之一#认识的意义不只在于掌握数的意

义%读写方法%解决实际问题$还在于更深刻地感悟十进制计数法的本质#以下是苏教

版义务教育教科书/数学0*四年级下册+!认识多位数\"的内容$请完成一篇本课的教学

设计#

!(

! 中华人民共和国教育部(义务教育数学课程标准*#!\"\"年版+-4.(北京'北京师范大学出版社$#!\"#'&(

第一章

数 的 认 识

!*

小 学

数学教学设计

第二节 分 数 的 认 识

在小学!数的认识\"中$!分数的认识\"具有特殊地位#从整数到分数是小学数概念的第一次扩充$学习这部分内容对于小学生理解数学发展的根本原因%感受数学发展的巨大价

值$具有得天独厚的作用#分数概念是小学数学中比较抽象的知识$也是思想内涵十分丰富

的内容$学习这部分内容$对于发展小学生的符号意识%培养抽象思维能力$具有非常重要的

价值#

\")

第一章

数 的 认 识

内容透析

\" 学科维度

!\" 分数的产生

分数是人类历史最悠久的知识领域之一$它的产生源自实际度量和数学运算的需要#

在度量和均分的实践活动中$人们经常会碰到不能正好!量完\"!分完\"的情形$即被度量

或均分的量并非正好等于先前选择单位量的整数倍$而是介于这个单位量的两个相邻倍数

之间#发生这种情形时$人们就将原来的单位分成! 等份$将其中的一份作为一个新的单

位#如果被度量和均分的量恰好包含+ 个新单位$那么这个被度量%均分的量即为原来单

位的!分之+$这样就产生了分数#

从数系运算的需要看$在整数之间$加%减%乘$种运算可以无限制地进行$即任意两个

整数的和%差%积仍然是整数#但是在整数之间$除法运算却不是总能顺利进行$即有时两个

整数的商又可能超出了整数的范围$所以需要引进新的数扩充$这个新的数即为分数#

正如引进负数和!冲破了对于减法运算的限制一样$分数的引进为整数除法消除了类

似算术上的障碍$当整数+ 除以整数! 得到的商不能用整数表示时$我们就用分数+

!表示#

这样的规定和处理$解决了除法运算对于整数不封闭的问题$使得数系得以扩张成有理数

系$从而创造了一个令人满意的算术系统#

#\" 分数的意义

自然数的产生源自计数$每个自然数都能直接在现实世界中找到一个对应的数量,但是

分数却不同$它是在平均分割整体的过程中产生的$不能直接在现实世界中找到一个对应的

数量#因此$与自然数相比$分数的意义更丰富$理解也更困难#为此$许多研究者都通过对

分数意义分类的办法来获得对分数概念的理解$以历史顺序进行分类是一种较为常见的做

法#1(789:等人根据分数意义的历史演变$将其分为部分4整体%测量%除法%集合论%种

意义#!

*\"+部分4整体#公元前\"+!!年左右形成的阿梅兹草片文书中$记载着古埃及人使用

符号将整体的一部分表示为分数$此时的分数尤其注重将整体等分为部分这一形成过程#

这与当下小学分数入门教学时的含义一致'把一个月饼等分成&份$取其中\"份是\"

&%#份

是#

&#实质上$这里的分数表示部分与整体的关系$它是一个无量纲的数#最重要的分数应

该是真分数$它代表一个事物或一个整体的一部分$其本质在于它的无量纲性#比如$盘子

的\"

#与足球场的\"

#所代表的实际意义是不尽相同的$但是作为分数时它们又是相等的#即

分数的大小只与部分与整体的关系*整体等分的份数与取的份数+有关$而与整体本身的大

小无关#

\"!

! 王光明$李健$康玥媛(小学数学教材分数意义的呈现'历史顺序与!超回归\"倒序的统一-1.(课程1教材1教法$#!\"+

*&+'$%2$-(

小 学

数学教学设计

分数无量纲性的意义在于能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态#因此$分

数还可以表示两个事物之间的整数比$这里的比与数学上的比以及现实生活中的比这三者

之间有区别#例如$虽然两个分数#

$%\"

#分别等于两个比#;$%\";#$但二者的意义有所不

同$不能混为一谈#比如$甲乙两个队踢足球$第一场#;$$第二场\";#$描述总的结果时$

如果用分数加法计算$结果为#

$0\"

#3+

'$显然不合常理,如果用分子%分母分别相加$结果

为#0\"

$0#即*#0\"+'*$0#+倒比较合理#

*#+测量#测量与可公度性这一概念相关$公元前$!!!年$欧几里得认为$可以被相同

尺度测量的量即为可公度的#也就是说$对于实数,以及整数+ 和!$若'3+,$)3!,$则

称'与)是可公度的#由于,被视为'或)的一部分$所以欧几里得并不将,*若,不是整

数+视为一个数$而是将其视为!数的一部分\"#单位分数就被视为测量对应分数的基本单

位#例如$用单位分数\"

&来测量$

&量数为$#此外$以不同尺度为测量单位得到的相同度量

值$又可延伸出等值分数的概念#例如$分别用\"

,和\"

%测量\"

#得到%个\"

,和#个\"

%$从而可

知%

,与#

%都等于\"

#$三者就是互为等值分数#

上述单位分数就是现在小学俗称的分数单位#如可用\"

%作为分数单位$测量分数#

%$得

到#

%包含#个\"

%,如在数字线上标出#

%的分数点$就表示该分数点到!点的距离有#个\"

%的

长度#至此$分数不再只是表示某种关系$而且可以表示某一具体数量#根据分数的测量意

义$如果两个分数的分母相同$意味着分数单位相同$可以直接比较大小和加减运算,如果两

个分数的分母不同$意味着分数单位不同$需要先把原有两个分数单位各自进一步等分$直

到分数单位相同时才能比较大小和加减运算#

*$+除法#方程'-#)*'%)&+$'%!+的代数解体现了分数的除法意义#从除法意

义看$分数由乘法的逆运算得到#现行小学教材!分数与除法的关系\"部分出现的 !'.)#

'

)\"就体现了分数的除法意义#这时$分数已经不再只是表示操作过程而是可以表示运算结

果$从此拥有了同整数相当的地位$它被视为一个独立的数而存在#

*%+集合论#\"-世纪末#!世纪初$康托尔发明了集合论$并最终促成了有理数*分数+的

产生#集合论下的有理数定义为'/是由*+$!+组成的集合 *+%!&+$!%!+$对于/中的

元素*'$)+和*,$0+$当且仅当'0#),时$将*'$)+和*,$0+归为同一子集$二者即为同一分

数#随着时间的推移$这种定义淡化了其有序对的形式$用 (+

! +%! &+$! %!)表示#

这种集合论意义下的分数表现形式$已经被广泛接受#考虑到分数的这种意义直到中学阶

段才会提及$故不再赘述#

\"\"

第一章

数 的 认 识

$\" 分数的直观模型

上面用较大篇幅介绍了分数的%种意义$目的是为了深化教育者对分数概念的理解#

实际上$它们在小学数学中的地位和作用并不是等同的$其中!部分4整体\"是分数意义生成

的根本$在分数的概念发展中居首要地位!#为了减少小学生理解的难度$现行小学教材中

提供了$种分数的直观模型&#

图! ! 分数区域或面积模型

*\"+区域或面积模型#小学生最早是通过!部分 整

体\"来认识分数的$现行小学教材在初次引入分数概念时$

大多是通过平均分某个正方形或圆$取其中的一份或几份

*涂上阴影+认识分数的$这些即为分数的区域或面积直观

模型*如图\" \"+#

*#+长度或测量模型#它是用长度或其他测度代替上

述直观模型中区域或面积得到的分数直观模型*如图\"

#+#长度或测量模型中有一种特殊情形$称为数线模型*如图\" #中最后一幅图+#数线模

型是用数线上的点来刻画分数的$而数线是数轴的雏形#

图! # 分数长度或测量模型

*$+群组模型#它是把多个物体组成的群组看成整体$通过平均分割这个整体得到分

数*如图\" $+#群组模型的核心是把多个看作整体\"#

图! $ 分数群组模型

\"#

!

&

<=>9>?@A(@B>98C=D?8E?FGH>9ID?JC9FIC'KCJ>E>G>?CJ8?LG>IB8?=JGJ-1.(M>I>?CM>J>89IBD?NFGH>9O>89?=?P$

\"-,!'\"#& \"%-(

马云鹏(小学数学课程标准与教材研究-).(北京'高等教育出版社$#!\"''\"%'2\"%+(

第二章 数 的 运 算

第一节 整 数 的 运 算

运算能力是/课标*#!\"\"年版+0提出的\"!个核心概念*后有研究者称为!数学核心素

养\"!+之一#运算能力培养有助于学生理解运算的算理$寻求合理%简洁的运算路径解决问

题#儿童运算能力发展始于整数运算$在当前各版本小学教科书中$通常将整数的运算与 !整数的认识\"相融合$随着整数认识范围的扩大而适时%有序地安排$同时为后续小数及分

数四则运算的学习奠定知识与思维基础#

内容透析

\" 学科维度

整数的运算内容较多$包括加%减%乘%除运算以及四则混合运算$计算方式涉及口算%笔

算%估算与简便运算等$运算数据涉及一位数%两位数乃至多位数$知识技能方面则包含运算

法则%运算定律与运算性质等内容及相关运算技能训练等#儿童在学习小学数学之前就已

在感性层面上对运算建立了不同程度的初步认识#例如$一位学龄前儿童虽然不理解其中

的数学道理$但也可能熟练说出!\"0#3$\"或!二三得六\"等#某种程度上讲$儿童学习数学

始于认数与计算#因此在小学数学中$无论是学习内容还是学习时间$运算学习都占据着较

大份额#

!\" 整数四则运算的逻辑体系

小学数学中的!整数\"概念通常指自然数$在自然数基数理论基础上建立的整数加%减%

乘%除四则运算相互之间联系密切#从集合论角度看$整数加法是求两个不相交的有限集合

并集基数的运算,减法定义为加法的逆运算$也可视为求两个有限集合2 与3*3 *2 +的

差集基数的运算#乘法是求)*)是大于\"的整数+个相同加数'的和的运算$即可看作特殊

的加法,除法定义为乘法的逆运算$从集合论角度可理解为!一个有限集合2*基数为'+$能

够恰好分解成4个具有相同基数)的子集3$那么'.)#4\"# 因此$除法与减法也就存在

必然联系$可用同数连减来说明#具体说$把被除数'作为被减数$除数)作为相同减数$连

减的最多次数4就是'除以)所得的商$最后的差5如果不是零$就属于有余数除法运算#

%&

! 马云鹏(关于数学核心素养的几个问题-1.(课程1教材1教法$#!\"&*-+'$'2$-(

第二章

数 的 运 算

在整数四则运算定义基础上建立的运算系统层次清晰$逻辑严密#整数加减法包括口

算加减法与多位数加减法$\"!以内加减法及#!以内进位加法与退位减法通常强调口算$!做

减法%想加法\"是蕴含其中的核心思想,多位数加减法侧重笔算%估算与简便运算$但都必须

建立在已学计算尤其是口算基础上,整数乘除法主要包括表内乘除法口算%多位数乘除一位

数以及多位数乘除多位数笔算%估算与简便运算$也应以口算为基础#另外$虽然正确运算

的关键是严格遵循运算法则$但要理解其中的算理就必须对已学计算比较熟练$因为算理本

质上往往是通过运算性质转化为已学计算#

例如$计算#%6\"#$若看成\"#个#%相加就必须深刻理解乘法的意义,若把\"#分解为$

与%或#与'$则必须理解乘法结合律并能熟练地对两位数乘一位数进行计算,若把\"#分成

\"!与#$则必须熟练计算两位数乘整十数以及理解乘法分配律#显然$竖式计算时不理解算

理就容易产生计算错误#

#\" 整数四则运算的核心知识

运算性质%运算定律与运算法则是整数四则运算这部分学习内容的核心知识#!运算能

力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力#\"!因此$运算性质%运算定律与

运算法则的学习贯穿于运算能力培养的始终#

运算性质是人们依据大量计算实践经验通过理论概括获得的规律性认识&#运算性质

不仅能揭示运算的内在数学本质$还能反映各种量之间的逻辑相依关系#运算性质可用于

验算%简便运算及估算#运算性质教学对于学生形成验算意识%巧算意识%估算意识及发展

思维敏捷性与灵活性$都有重要价值#更为关键的是$运算性质的学习过程往往反映了一个

数学结论归纳%抽象与概括的过程$其中承载着丰富的数学核心素养#例如$性质!被除数与

除数同时扩大或缩小相同倍数$商不变\"的学习蕴含了归纳推理#

运算定律指可推导出其他运算性质的那些最基本运算性质#小学数学中的运算定律包

括'加法交换律%加法结合律%乘法交换律%乘法结合律%乘法分配律#其他运算性质都可根

据这些定律推理获得#

运算法则是完成运算获得结果的规则与逻辑顺序$通常表现为符合逻辑的一些人为规

定#运算法则一般将操作程序分成若干步$用文字表述$如两位数加两位数竖式运算法则 !先数位对齐$再从个位加起$满十进一\"$或者依据化归思想将当前运算转化归结为学生已

经掌握的运算$如整十%整百%整千乘一位数是化归为表内乘法运算#运算法则的理论根据

称为算理#算法规定了!怎么算\"$而算理则说明运算过程的理论依据或合理性$也即指出 !为什么这样算\"#因此$算理实质为算法提供了理论指导$算法则使算理具体化#

\" 课标维度

整数运算内容横跨两个学段$前后内容联系密切$每个环节的学习障碍都会直接影响后

续学习#由于计算器的引进$对整数运算内容的重视程度在实践中存在两种倾向'有人认

为对这部分内容不必给予重点关注$也有人注重训练所谓的!计算能手\"#实际上这部分内

容不仅仅涉及四则运算的知识技能$某种程度上涵盖了知识技能所承载的诸多!关键能力与

必备品格\"$即当前数学新课程所关注的数学核心素养#两个学段的课程目标如下'

%'

!

&

中华人民共和国教育部(义务教育数学课程标准*#!\"\"年版+-4.(北京'北京师范大学出版社$#!\"#''(

金成梁(小学数学疑难问题研究-).(南京'江苏教育出版社$#!\"!'+%(

小 学

数学教学设计

第一学段#

\"2 结合具体情境$体会整数四则运算意义&

#2 能熟练地口算#!以内的加减法和表内乘除法$能口算百以内加减法和一位数乘除

两位数&

$2 能计算两三位数的加减法$一位数乘三位数%两位数乘两位数的乘法$两位数与三位

数除以一位数的除法&

%2 认识小括号$能进行简单的整数四则混合运算!两步\"&

&2 经历与他人交流各自算法的过程&

'2 能结合具体情境选择适当单位进行简单估算$并会解释估算的过程&

+2 能运用数及数的运算解决生活中的简单问题$并能对结果实际意义作出解释&

第二学段#

\"2 能计算三位数乘两位数的乘法$三位数除以两位数的除法&

#2 认识中括号$能进行简单的整数四则混合运算!以两步为主$不超过$步\"&

$2 探索并了解运算律$会应用运算律进行一些简便运算&

%2 经历与他人交流各自算法的过程$并能表达自己的想法&

&2 在具体运算和解决简单实际问题过程中$体会加与减%乘与除的互逆关系&

'2 在解决问题过程中$能选择合适的方法进行估算&

+2 能借助计算器进行运算$解决简单实际问题$探索简单规律&

从各学段目标可知$/课标*#!\"\"年版+0更加注重整数运算教学中算理直观与算法抽

象%算法多样化与算法优化的结合$各部分内容目标明确具体$操作性强#另外$这部分内容

不仅是培养运算能力的重要路径$也是数感%推理能力%几何直观等其他数学核心素养培育

的载体$这些数学核心素养往往也是进一步学习数与代数及其他内容必须关注的方面#例

如$课程标准期望在精确计算前先引导学生估计大致范围$有利于发展学生的数感,在一些

运算性质%运算定律的学习中$强调经历结论的探索过程$有利于学生归纳%类比等合情推理

的发展,在运算法则如两位数加两位数运算法则的学习中$强调结合具体情境通过动手操作

等手段体会运算的意义则有利于几何直观的发展#另外$基本技能*主要是运算技能+是

这部分内容的另一个重点#课程标准一方面把!基本技能\"列为!四基\"课程目标之一$另一方面$在教学建议中明确指出'基本技能的形成$需要一定量的训练$但要适度$不能依

赖机械的重复操作$要注重训练的有效性#教师应把握技能形成的阶段性$根据内容的要

求和学生的实际$分层次落实!#无疑$这些精神对数的运算教学将会产生直接的%积极的

影响#

\" 教材维度

由于各版本教材中整数的认识编排有所不同$因此根据课标要求$整数运算内容在遵循

自身逻辑框架基础上也有细微差异$表现出各自编排的特色#例如苏教版小学数学教材'

第一学段'

一年级'结合#!以内数的认识安排#!以内加减法$通常又细分成\"!以内加减法及#!

以内进位加法与退位减法#

%(

! 中华人民共和国教育部(义务教育数学课程标准*#!\"\"年版+-4.(北京'北京师范大学出版社$#!\"#'%'(

第二章

数 的 运 算

二年级'依次安排两位数加减法%表内乘除法%有余数的除法$两三位数的加法与减法

及两位数乘除一位数#

三年级安排两三位数乘除一位数%两位数乘除两位数等#

在该学段$主要围绕运算法则安排相应学习内容$运算形式涉及口算%笔算与估算$并安

排简单的整数四则混合运算*两步+#

第二学段'

主要安排在四年级$包括两三位数除以两位数%整数四则混合运算%三位数乘两位数%用

计算器计算以及运算律$逐渐从运算法则的学习与应用过渡到整数四则运算理论$主要是运

算律的学习$另外该学段还安排了整数除法运算中商的变化规律等运算性质的内容#

可见$整数加减法第一学段学习重点是运算的意义与口算%笔算内容$第二学段侧重估

算与计算器探索规律以及进一步体会加减法的互逆关系,整数乘除法的口算与笔算大都安

排在第一学段$第二学段主要学习三位数乘除两位数以及估算%用计算器计算和进一步体会

乘除法之间的互逆关系#从苏教版与人教版等教材看$!创设情境 提出问题 解决问题 讨

论总结规律\"是这部分内容的主要呈现模式#运算定律与运算性质的学习注重从现实的解

题活动中归纳总结出结论$运算法则的获得不仅注重情景与问题引入$而且注重转化为已有

的运算法则#例如$#!以内的进位加法实质是通过!凑十法\"转化成\"!加几,#!以内的退位

减法是转化成加法或通过拆数转化成\"!以内加减法计算,表内乘法是转化成几个几相加$

表内除法是转化成用乘法口诀求商,有余数除法是转化成乘法与加法,两位数除以一位数是

转化成乘法$用乘法口诀求商,三位数乘一位数是转化成整百数乘一位数加上整十数乘一位

数$再加上个位数乘一位数,三位数除以一位数是转化成整百数整十数除以一位数$再加上

个位数除以一位数,两位数*三位数+乘两位数是转化成两位数*三位数+乘整十数与两位数

*三位数+乘一位数#可见$转化的思想方法贯穿于整数运算法则学习的始终$而运算法则内

容则通过转化建立了内在联系#

案例研讨

案例\" !! \"加法交换律和结合律#教学设计

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教学内容

教学内容

苏教版义务教育教科书/数学0*四年级下册+第&&'&'页#

教学目标

\"2 经历加法运算律的探索过程$理解并掌握加法交换律和结合律$初步

感知加法运算律的学习价值#

#2 在学习用符号%字母表示自己发现的运算律过程中$初步发展符号意

识$培养归纳推理的能力#

$2 在数学活动中获得成功的体验$进一步增强数学学习的兴趣和信心$发展探究问题

的意识和习惯#

教学重点

理解和掌握加法交换律%结合律$能正确用字母表示这两个运算律#

%*

小 学

数学教学设计

教学难点

经历加法交换律和加法结合律的探索过程$发现并概括出运算律#

教学过程一! 创设情境\"导入新课

\"2 情境'用课件出示教材第&&页主题图$请学生思考从图中可获取哪些数学信息#

*学生自由说+

谁能根据这些信息$提出一些用加法计算的问题3

*\"+跳绳的有多少人3

*#+参加活动的女生有多少人3

*$+参加活动的一共有多少人3

#2 导入'在过去学习中$我们做过很多加法运算$加法运算中蕴含着许多数学的基本规

律$今天我们一起来探索加法中的运算规律#*板书课题+

#设计说明#基于建构主义的教学设计非常重视学习环境的四大要素$即情境%协作%会

话和意义建构$并把情境创设视为教学设计最重要内容之一&同时$发现问题%提出问题的

能力是.课标!#!\"\"年版\"/提出的重要课程目标&因此利用主题图创设问题情境引导学生

发现问题%提出问题充分贯彻了新课程理念&$

二! 加法交换律的教学

\"2 问题'求跳绳的有多少人$可怎样列式计算3

*\"+学生列式解答#*教师板书两种方法+

方法一'#,(\"+#%&*人+

方法二'\"+(#,#%&*人+

*#+观察发现#

提问'这两道算式都是求什么3 结果都是多少3 再观察算式$说说它们有何相同点和

不同点#

引导学生发现'这两道算式都是求跳绳的总人数$加数相同$得数也一样$只不过调换

了两个加数位置#

引导'我们可用什么符号将这两道算式连起来呢3 *等号+

教师板书'#,(\"+#\"+(#,#

#2 发现规律#

让学生照样子试写等式$并投影展示#

提问'观察这些等式$同学们有什么发现3 *两个加数交换位置$和不变+

$2 用字母表示加法交换律#

*\"+指导学生用适当方法表示这种规律#

学生在练习本上表示规律后$交流各自的表示方法#用文字%符号%字母表示均可#

*#+用字母表示加法交换律#

教师指出'两个数相加$交换两个加数的位置$和不变#这就是加法交换律#*板书'加

法交换律+

明确如果用字母'%)分别表示两个加数$上面的规律可以写成''()#)('#

#设计说明#加法交换律虽然形式简单$但结论的获得同样要遵循科学的发现过程$这

&)

第二章

数 的 运 算

里根据规律发现的一般过程$运用经验归纳!或称不完全归纳\"对交换律的几个特例进行归

纳$从而发现共同特征$再引导学生从语言表述到符号表示$最后过渡到字母表示$逐步培养

学生抽象概括能力&由于学生思维水平客观上存在差异$因此设计时尊重学生多样化的表

示方法$用文字%符号%字母都可以$从而贯彻(以人为本)的教学理念&$

三! 加法结合律的教学

\"2 提出问题'参加活动的一共有多少人3

学生独立列式计算$教师巡视$注意不同的解答方法$并指名两人板演不同方法*注意板

书顺序+#

解法一'先算跳绳的有多少人#

*#,(\"++(#$

#%&(#$

#',*人+

解法二'先算女生有多少人#

#,(*\"+(#$+

##,(%!

#',*人+

提问'这两道算式有什么相同与不同的地方3

学生观察%比较这两个不同算式的计算结果#

这两道算式的结果相同$我们可以把它写成等式吗3 怎样写3

根据学生的回答$教师板书'*,(\"++(#$##,(*\"+(#$+#

#2 归纳例证$探索规律#

*\"+课件出示下面两组算式$让学生算一算$判断下面的)里能不能填等号#

*%&(#&+(\"')%&(*#&(\"'+

*$-(\",+(##)$-(*\",(##+

*#+组织观察'这几组算式有什么共同之处3 有什么不同的地方3 从这些例子中可以

发现什么3

学生交流得出'这$个算式中$$个加数分别相同$加数位置也相同,先把前两个数相

加$或者先把后两个数相加$和不变#

*$+提问'这个结论一般情况下也正确吗3 各小组同学不妨再仿写一些算式算算看*注

意学生仿写的算式是否符合上述规律+#

通过验证$学生发现一般情况下也是正确的#

*%+总结'$个数相加$先把前两个数相加$或者先把后两个数相加$和不变#这就是加

法结合律#*板书'加法结合律+

如果用字母'%)%,分别表示$个加数$这个规律可以怎样表示3 -教师板书'*'()+(

,#'(*)(,+.

#设计说明#加法结合律的教学过程严格遵循了数学规则一般认识步骤$即呈现例证

考察例证 归纳结论 验证结论&验证是一个必要环节$因为通过经验归纳法获得的结论其

正确性有待进一步确认$验证可以增加结论的可信度&这样设计不仅可引导学生经历科学

的发现过程$还能有效培育学生合情推理这一数学核心素养&$

&!

小 学

数学教学设计

四! 反馈完善

\"2 完成!练一练\"#

让学生说说每个等式各运用了什么运算律及其判断依据#

第三小题既交换了位置$又改变了运算顺序$因此该小题实质运用了加法交换律和加法

结合律#

#2 完成教科书第&,页!练习九\"第\"%#%$题#

*\"+第\"题中最后一小题运用了加法交换律和加法结合律#

*#+第#题运用加法交换律进行验算$在以前学习过$通过这几题练习进一步加深学生

的理解#

*$+第$小题让学生通过计算和观察%比较$进一步巩固加法交换律和结合律#

组织学生计算$并说说每组中两题的联系#

比较每组中的两题$说说哪一题计算起来更加简便#

#设计说明#好的练习设计应有助于巩固新授知识$也应能有效促进学生思维发展&因

此$设计层次性强的系列练习$可使学生在巩固知识的同时发展运算能力%推理能力等数学

核心素养$为后面简便运算教学夯实基础&$

五! 反思总结

通过本课学习$同学们有什么收获3 还有什么疑问吗3

#问题与讨论$推理直接反映了数学内部规律$广泛运用于数学科学体系建构与知识创造$

应是数学核心素养的关键要素之一#推理一般分成合情推理与演绎推理$合情推理主要包括归纳

与类比#从小学数学教材看$归纳推理是小学数学知识呈现的普遍模式$不仅体现在数与代数中$

也体现在图形与几何等学习内容中#教学中培养归纳推理能力要注意哪些问题呢3

案例\" \"! \"(的乘法口诀#教学设计!

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教学内容

教学内容

人教版义务教育教科书/数学0*二年级上册+第+&'+'页#

教学目标

\"2 经历,的乘法口诀编制过程$理解,的乘法口诀的意义,能记住,的

乘法口诀$比较熟练地运用口诀进行简单计算#

#2 通过讨论%交流等活动$发展儿童推理能力和语言表达能力$进一步

建立数感#

$2 通过自主编制口诀活动获得成功体验$逐步养成独立思考和主动探索的习惯#

教学重点

自主编制,的乘法口诀#

教学难点

熟记并能熟练运用,的乘法口诀解决问题#

&\"

! 该案例由唐正环设计(来源于BCCRJ'44S>?:F(H8=LF(IDG4T=>S4H+\"!%H+-88>8--,UIL##!>##(BCGE(收入本书时笔者略

作改动(

第二章

数 的 运 算

教学过程一! 创设情境\"引入新知

\"2 复习'小朋友们$我们已经学习了+的乘法口诀$老师想知道你们学得怎么样了3

*请一两位学生背+的乘法口诀#+

#2 引入'小朋友表现得都很好#现在一起看屏幕上这幅图$这是学校少先队仪仗队的

图片$请仔细观察'少先队仪仗队一共由多少人组成呢3

#设计说明#深挖新知生长点$唤起学生已有经验$为新知学习做好孕伏和铺垫$再通过

幻灯片切换到本课少先队仪仗队的主题图片$提出问题$实现认知主义与建构主义设计的有

机结合&$

二! 探索交流\"获得口诀

\"2 小组讨论#

围绕问题$组成学习小组进行讨论#教师可提议一行一行去算#引导学生得出'\"个,

是,,#个,是\"'&&,个,是'%#

#2 解决问题#

怎么才能很快说出几个,的结果是多少呢3 看$一只小狗蹦蹦跳跳地来了#

*\"+谈话'我们一起来看看小狗是怎么跳的$填出数轴上缺少的数#

思考'小狗是怎样跳的3

先从!跳到,$又从,跳到\"'&&$每次跳的长度都一样$所以每跳一次就加,$最后跳

到'%#

*#+提问'小狗跳一次就是\"个,$小朋友能把小狗每次跳的结果编成乘法算式吗3 *学

生动手在练习本上编写乘法算式#+

*$+交流*教师板书乘法算式+'

第\"次是\"个,$乘法算式是\"*,#,$,*\"#,#

第#次是#个,$乘法算式是#*,#\"'$,*##\"'#

&&

第+次是+个,$乘法算式是+*,#&'$,*+#&'#

第,次是,个,$乘法算式是,*,#'%#

$2 口诀编制#

*\"+为计算方便$我们可像以前一样给这些乘法算式编制口诀$根据以往编口诀的经

验$,的乘法口诀共有几句呢3 ,的乘法口诀里一定都有哪个字3 这个字在什么位置3

板书'* +八* +#

师'!八\"字前面可以是哪些数3 后面又是什么呢3

*#+小组合作试编#

*$+汇报交流*教师板书口诀+#

%2 口诀记忆#

*\"+小朋友们可以用自己喜欢的方式记忆口诀#

*#+检查口诀记忆情况'同桌接背$正着背$倒着背$乱着背#

*$+提问'如果某个口诀忘记了$怎么办呢3

#设计说明#通过师生共同探讨$认识\"个,是,$#个,是\"'$$个,是#%$--再通过

&#

小 学

数学教学设计

小组合作$应用以前掌握的编口诀方法$编制,的乘法口诀$引导学生经历乘法口诀的形成

过程$儿童在主动探索的过程中既可感悟到蕴含其中的数学思想!如函数思想\"$又可发展他

们类推能力&$

三! 巩固运用\"练习拓展

小朋友们真棒7 不但顺利编制了,的乘法口诀$还能迅速记住口诀#老师想考考你们$

敢接受老师的挑战吗3

\"2 请小朋友们打开课本第+&页$看!做一做\"*请同学校对答案$并说说怎么得来的+#

#2 课件展示'这是什么3 *螃蟹+

小朋友们和同桌合作$一起来念念儿歌#

\"只螃蟹一张嘴$*# +只眼睛$*, +条腿#

#只螃蟹二张嘴$* +只眼睛$* +条腿#

&&

,只螃蟹八张嘴$* +只眼睛$* +条腿#

#设计说明#学习兴趣是儿童非智力因素的关键成分$兴趣可使人产生学习驱动力$激

发对数学学习的欲望与动机&儿童学习兴趣的培养需要教师对教学活动进行丰富多样的组

织与设计&这里借助儿童喜欢的儿歌形式$让他们在快乐中学习$同时通过儿歌可强化儿童

对,的乘法口诀的记忆&$

四! 回顾反思\"总结提升

今天我们学了什么知识3 你学会了什么3 最后请小朋友们再把,的乘法口诀背一遍#

案例\" #! \"两位数乘两位数#教学片段

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教学内容

教学内容

苏教版义务教育教科书/数学0*三年级下册+第$'%页#

教学过程一! 创设情境\"引入新课

\"2 快速口算#

\"&*$!# #!*\"$# ##*#!#

$!*%!# #!*&!# %!*,!#

这些题有什么共同点3 你是如何计算的3

#2 想想填填#

*\"+#个十是* +$#!个十是* +$#%!是* +个十#

*#+#%乘\"!就是#%乘\"个十$是* +个十$是* +#

$2 谈话'在我们生活中有许多问题可用数学方法解决#请看大屏幕$阳光幼儿园最近

购买了一批迷你南瓜*课件出示主题图+#

提问'!从图中同学们能观察到哪些信息3 要解决这个问题$应怎样列算式呢3

&谁能先估算一下这些南瓜大约有多少个吗3 你是怎样估算的3

#设计说明#口算%笔算与估算等都是学生数感发展的重要路径&口算不仅是笔算与估算

的基础$而且在日常生活中应用广泛&估算也广泛用于日常生活$在许多问题情境中需要用到

&$

第二章

数 的 运 算

估算&因此$教学中应把口算%笔算与估算结合起来&教学笔算之前可先夯实口算基础$在笔

算前可先引导学生估计结果的大致范围$以培养学生的估算意识$逐步养成估算习惯&!$

二! 合作交流\"探究算法

\"2 提问'估算得正不正确呢3 谁有什么办法来检测3

#2 交流'学生独立思考$小组同学交流自己的方法#

$2 汇报'小组代表汇报$其他小组可补充#学生汇报时$教师注意有选择地板书计算方法#

!#%(#%(#%(&&(#%##,,*连加+#

& 将\"#分成两个数的积$即#*'或$*%$再连乘#如#%*##%,$%,*'##,,$或#%*

$#+#$+#*%##,,#

( 将\"#分成\"!(#'#%*\"!##%!$#%*##%,$#%!(%,##,,#

) 竖式计算#

请学生说说用前$种方法算的道理#如方法(表示先算\"!箱共有多少个$再算#箱有

多少个$最后合起来#学生在介绍方法时$教师应给予充分肯定$并顺势引导思考'能否把

这$步合并写在一个式子里呢3 由此引出竖式计算方法#

%2 研究笔算方法*可指名学生回答$教师板书+#

! 第一步算的是什么3 怎样算的3

用乘数个位上的#乘#%$得%,$,和乘数\"#个位上的#需对齐#

& 第二步算的是什么3 怎样算的3 为什么十位上的\"6#%得#%!3 !%\"应写在什么位

上3 !#\"呢3 用乘数十位上的\"乘#%$实质是#%6\"!$得#%个十$也就是#%!#写#%乘\"*个

十+的结果#%!时$通常写成#%*个十+$%应和乘数\"#十位上的\"对齐#

( 第三步算的是什么3 怎样算的3 书写时有没有更简便的方法呢3 为什么3

教师指出'把两个乘积加起来的时候$个位上应是计算,加!$!只起着占位作用$简便

起见$这个!可以省略不写*教师在板书上擦掉!!\"+#

) 谁能用自己的话再说说这道题的计算方法吗3 #%乘\"#的十位上的!\"\"得到的结果

在竖式中为什么也写成#%3

&2 归纳总结'引导学生归纳笔算乘法的方法#指出'两位数乘两位数笔算的本质是转

化为两位数乘一位数与两位数乘整十数来分别计算$再把两个得数相加#

#设计说明#在估算基础上通过多样化算法的讨论交流引出竖式计算两位数乘两位数$符

合学生的认识规律$在多样化算法的讨论中学生不仅可获得从不同角度进行数学思维的体验$

还可以领略到运算过程的算理$知其然还知其所以然$从而对运算法则获得更为深刻的理解&$

#问题与讨论$小学生学习整数的运算存在一个普遍现象$就是经常出现运算错误#对

此$一些家长甚至教师可能会归咎于!粗心\"#你怎么看呢3

要点提炼

!\" 情境与问题是教学设计的逻辑起点

情境与问题是联结抽象数学与现实世界的桥梁$小学数学与现实世界联系更为直接%密

&%

! 金成梁$刘久成(小学数学课程与教学-).(南京'南京大学出版社$#!\"$'#&-(

第七章 测 量

第一节 长度测量与角的度量

内容透析

\" 学科维度

!\" 度量思想

物体的长短%大小%轻重等量是可以度量的#所谓度量$是指把待度量的量与一个作为

标准的同类量进行比较的过程$也就是要得出待度量的量中含有多少个作为标准的同类量#

可见$度量是用一个数值来表示物体的某一属性#度量的关键是标准量即度量单位*也叫计

量单位+的选择#对于线段度量$通常选择某条线段作为度量标准$以它的长度作为计量单

位来测量线段的长度#在度量物体时$可以自定标准或度量单位$例如$度量一张课桌的长

度时$可以用某个文具盒的长度作为标准$也可以把某支铅笔的长度作为标准#但为了便于

交流$需要统一度量单位#在确定了度量单位以后$度量的实际操作就是测量#小学数学中

图形的测量包括长度%角度%面积与体积的度量#

#\" 长度测量

小学数学里$图形与几何领域关于测量的教学是从长度开始的#常用的长度单位有千

米%米%分米%厘米和毫米#其中$米是测量长度的基本单位$其余的都是由它派生出来的#

直接用长度单位去测量物体的长度有时并不方便#比如$要测量铅笔的长度$一般用厘

米作单位$也就是用\"厘米的线段去量$看一共量多少次$如果是\"#厘米的话$就要量\"#

次$这样既不方便也不准确$所以人类创造了各种测量长度的工具#

常用的测量长度的工具有游标卡尺%刻度尺%卷尺%螺旋测微器等$而刻度尺是测量物体

长度的基本工具#

使用刻度尺测量物体长度前$应做到!三看\"#即首先看刻度尺的零刻度是否磨损$如已

磨损则应重选一个刻度值作为测量的起点#其次看刻度尺的测量范围*即量程+#原则上测

长度要求一次测量$如果测量范围小于实际长度$势必要移动刻度尺测量若干次$否则可能

会产生较大的误差#最后应看刻度尺的最小刻度值#最小刻度代表的长度值不仅反映了刻

度尺不同的准确程度$而且还涉及测量结果的有效性#量程和最小刻度值应从实际测量要

求出发兼顾选择#

!('

小 学

数学教学设计

在用刻度尺具体测量时$则应做到%个正确$即正确放置%正确观察%正确读取%正确

记录#

正确放置的关键是做到'尺边对齐被测对象$必须放正重合$不能歪斜,尺的刻面必须

紧贴被测对象$不能!悬空\"#

正确观察的关键是视线在终端刻度线的正前方$视线与刻面垂直$看清大格及小格数#

正确读取#一般情况下应估读到最小刻度值的下一位$估读到最小刻度值的下一位也

是为了使结果更精确#如学生用的三角尺最小刻度是 GG$用它测量长#IG 的长度$若正

好对准在刻度线上时$正确记录应为#(!!IG$其中#(!IG 是尺面准确读出的数$由于无估

读数$所以需在尺面读数#(!末尾加!#

正确记录#值得注意的是记录测量结果时必须写上相应的单位$数据和单位共同组成

了测量结果$没有单位的数据是没有意义的#

在很多场合$没有测量工具或不需要得到精确值$这时可以利用人体某些部位的长度作

为度量单位来对一些物体的长度进行估测#例如$一拃*张开大拇指和中指两端的距离+%一庹*成人两臂左右平伸时两手之间的距离$约合&尺+%一脚%一步等#

$\" 角的度量

重合的两条射线中的一条绕着端点旋转$旋转到一定位置后$与未旋转的一条射线组成

的图形叫做角#按逆时针方向旋转所得角为正角$按顺时针方向旋转所得角为负角$不作任

何旋转的角为零角#根据旋转的方向及圈数的不同$可以得到任意大小的角#

表示角的大小的量叫做角度$通常用度或弧度表示#将圆周角平均分成$'!份$每一份

就是\"度的角$将\"度的角再平均分成'!份$每一份就是\"分的角$继续将\"分的角平均分

成'!份$每一份就是\"秒的角#即'\"\\3'!^$\"^3'!_# 以度%分%秒为度量标准去度量角的

大小的制度$叫做角度制#在同一个圆中$将弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做\"弧度

的角#以\"弧度为度量标准去度量角的制度叫做弧度制#在建立了弧度制之后$根据关系

式,#\",!\\$角的集合与实数集之间就能建立起一一对应关系*即任何一个角所对应的弧度

必定是一个实数,任一实数对应的一个弧度$必定是某个角的弧度数+#

与长度的测量一样$直接用角度单位去测量角的大小并不方便#于是人类创造了测量

角度的工具#在小学$最常见的量角工具是量角器#

如下图所示$量角器是一个半圆形$底部直径中点是量角器的中心$圆弧边区有两圈刻

度线#从中心到直径右端点的半径是内圈刻度的零刻度线$内圈刻度按逆时针方向依次从!

到\",!,从中心到直径左端点的半径是外圈刻度的零刻度线$外圈刻度按顺时针方向依次从

!到\",!#

量角器

!((

第七章

测 量

怎样用量角器量角3 首先把量角器放在角的上面$然后将量角器的中心和角的顶点重

合$一条零刻度线和角的一边重合$再看角的另一边落在与该零刻度线同圈的哪一个刻度线

上$该刻度线的刻度就是这个角的度数#

怎样用量角器画一个指定角度的角呢3

首先任意画一点作为角的顶点$然后以该点为端点画出角的一边$把量角器中心和所画

角的顶点重合$一条零刻度线和角的一边重合$再在与该零刻度线同圈的刻度线上找出与指

定角度等值的刻度线$在该刻度线与量角器圆弧边线的交点位置点一点$从角的顶点经过该

点画一条射线$就得到角的另一条边#

\" 课标维度

/课标*#!\"\"年版+0关于长度测量与角的度量部分的课程内容包括以下%条'

!\"\"结合生活实际$经历用不同方式测量物体长度的过程$体会建立统一度量单位的重

要性'

!#\"在实践活动中$体会并认识长度单位千米%米%厘米$知道分米%毫米$能进行简单的

单位换算$能恰当地选择长度单位'

!$\"能估测一些物体的长度$并进行测量'

!%\"能用量角器量指定角的度数$能画指定度数的角$会用三角尺画$!\\%%&\\%'!\\%

-!\\角&

从以上条款不难看出$/课标*#!\"\"年版+0对长度测量与角的度量教学提出了如下

要求#

!\" 经历测量过程!体会度量思想

测量本质上就是被测对象与度量单位之间的比较$用度量单位去度量被测对象#因

此$测量的首要任务就是选取度量单位#度量单位是测量教学的核心所在$度量单位的统一是使度量从个别的%特殊的测量活动成为一般化的%可以在更大范围内应用和交流的前

提#因此$在课堂教学中$应该为学生提供必要的机会$鼓励学生选择不同的方法测量$并

在相互交流的过程中发现单位的选择对测量结果的影响$进而体会建立统一度量单位的

重要性#

#\" 理解长度单位$角度单位的实际意义!建立良好的量感

长度*面积%体积%角+单位是一个抽象的概念$必须通过实践活动才能使小学生体会并

认识它的实际意义#例如$可通过测量寻找生活中哪些物体的长度大约为\"米%哪根手指指

甲的宽度大约为\"厘米等实践活动$帮助小学生理解米%厘米等长度单位的实际意义#

理解长度与角的度量单位的实际意义$对!长度测量与角的度量\"学习至关重要#只有

把握了各个度量单位的实际意义$才能对具体实物进行!量\"的估计$进而根据具体情境选择

适当的度量单位#比如$把握了厘米%毫米的实际意义后$在测量成人身高时小学生就会选

择厘米而不是毫米#在度量单位的换算教学中$仅仅套用公式得到正确结果是不够的$只有

真正理解了相关度量单位的实际意义$才能体会度量单位之间的大小关系#

$\" 能恰当选择度量单位$测量工具!形成长度与角的测量技能

学习测量的目的是为了实际应用$因此形成长度与角的测量技能是!长度测量与角的度

量\"教学的重要目标#能否根据具体的测量对象选择恰当的度量单位%合适的测量工具及合

理的测量方法$是衡量小学生是否形成测量技能的主要标志#比如$用直尺测量黑板的长度

!(*

小 学

数学教学设计

是合适的选择$但用它测量一栋大楼的长度就很不合适,用米测量跑道的长度是恰当的$但

用米测量课桌的长度就不恰当#

%\" 能根据具体情境物体长度的估测!沟通数学测量与现实生活的联系

估测对!长度测量与角的度量\"的学习而言不可或缺#一方面$在现实生活中$长度与角

度的估测结果已能满足需要#如从家到学校的距离大约有多远3 另一方面$测量结果正确

与否$有时通过估测就可以大致判断#如根据估测$单人课桌长度不足\"米$如果测得单人

课桌的长度为\"(#米$就可根据估测断定测量有误#

\" 教材维度

!\" 长度测量

例如$苏教版教材中$关于长度测量的内容$以长度单位的认识为主线分$次安排'第一次是在二年级上册认识!厘米和米\"#在小学生经历自选测量单位测量课桌长度的过程

后$引导他们思考!为什么得到的量数不同\"$从而让他们体会测量物体长度时统一长度单位

的必要性,在引入了长度单位厘米和米后$通过!看\"!比划\"!找\"等实践活动让小学生体会并

认识所学长度单位的实际意义$并运用直尺测量指定物体长度%画出指定长度的线段等操作

活动让小学生掌握长度测量的方法#第二次是在二年级下册认识!分米和毫米\"#除了继续

通过!看\"!比划\"!找\"等实践活动让小学生体会分米和毫米的实际意义外$教材通过研究分

米%毫米与过去所学长度单位厘米%米的数量关系$深化对分米和毫米的认识#第三次是在

三年级下册认识!千米\"#教材重点通过千米与米数量关系的研究让小学生理解千米的实际

含义#

#\" 角的度量

苏教版教材关于!角的度量\"安排在四年级上册!垂线和平行线\"单元#教材首先通过三

角尺上的$个角分别度量同一个角得出的不同测量结果$让小学生体会建立统一角度单位

的必要性#接着分$个层次学习角的测量'第一层次是在认识量角器的基础上$要求学生

用量角器度量指定角的度数,第二层次是通过测量得出直角%平角%周角分别为-!\\%

\",!\\%$'!\\$锐角小于-!\\%钝角大于-!\\,第三层次是用量角器画指定度数的角#角的度

量的关键是正确认识和使用量角器$对/课标*#!\"\"年版+0中提到的!会用三角尺画$!\\%

%&\\%'!\\%-!\\角\"$操作相对简单$只要知道两种三角尺各个角的度数即可轻松完成$故教

材中未曾提及#

案例研讨

案例' !! \"认识厘米#教学设计

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教学内容

教学内容

苏教版义务教育教科书/数学0*二年级上册+第'\"''$页#

教学目标

\"2 经历用不同方式测量物体长度的过程$体会建立统一长度单位的必

要性#

#2 在实践活动中$体会并认识长度单位厘米的实际意义#

!*)

第七章

测 量

$2 会用直尺和长度单位厘米测量物体的长度%画出指定长度的线段$会用厘米估测物

体的长度$发展初步的空间观念#

%2 在具体操作活动中积累长度测量的经验$培养认真细致的学习态度#

教学重点

建立\"厘米的长度观念,掌握运用长度单位厘米和直尺测量物体长度的方法#

教学难点

在建立\"厘米长度概念的基础上$较正确%灵活地估测出较小物体的长度#

教具学具

多媒体课件%学生尺%\"厘米长的小棒%方格纸%小方块等#

教学过程一! 创设情境\"用不同方式测量物体长度

谈话'我们班上的课桌使用了很长时间$学校想帮我们换成新的课桌#需要知道课桌

有多长$你打算怎样量呢3 先和同桌交流一下$再量一量*学生交流并进行实际测量+#

估计学生想到以下几种量法'

*\"+用数学书的长边来量$大约有&个长边长,

*#+用铅笔量$大约有,支铅笔长,

*$+用拃来量$大约有-拃长#

反思'量的都是课桌的长度$为什么大家量出的结果不一样3 *因为测量的方式不同$

所以需要统一测量工具和长度单位#+

提问'要测得统一标准的物体长度应该使用什么测量工具和长度单位呢3 *在测量物

体长度时$人们使用的测量工具通常是直尺$使用的长度单位是厘米%米等#+

揭示课题'这节课我们先来认识其中的一种长度单位222厘米*板书'认识厘米+#

#设计说明#安排测量课桌$一方面创设了小学生感兴趣的生活情境$可以激发学习动

机'另一方面$让小学生在经历用不同方式测量物体长度的过程中$发现用不同方式测量同一个长度得到的结果各不相同$从而体会到统一测量工具%测量单位的必要性&$

二! 认识!厘米

\"2 初步了解直尺的形成过程#

提问'在测量长度时$通常用直尺作为度量工具#在直尺还没有发明的时候$人们是怎

样测量长度的呢3

出示!你知道吗\"*图文结合$录音播放+'$!!!多年前$古埃及用人的前臂作为长度单

位$叫做腕尺,我国大禹治水时$禹用自己的身体长度作为长度标准进行治水工程的测量,唐

太宗李世民规定以他的左右脚各走一步作为长度单位$叫双步#

提问'古代人是怎样测量长度的3 用身体上的尺来测量长度$就像刚才我们用不同的

工具来测量课桌的长度一样$准确吗3 怎么办呢3

说明'人们想到$可以先规定一个长度单位*出示\"厘米长的细纸条+$比如以这根纸条

的长度作为单位$并且给它取名为\"厘米$于是$跟它一样长的物体长度就是\"厘米#

提问'量比它长的物体$比如铅笔$如果用\"厘米的纸条去量$怎么量3 *一次一次

地量+

引导'当物体较长时$这种逐次测量的方法方便吗3

!*!

小 学

数学教学设计

所以$人们想到把几根\"厘米的长度接在一起*演示'\"厘米的纸条拼接在一起+#我们一起数$纸条的长度分别是几厘米3 为了测量方便$人们想到将软的纸条改成塑料$做成现

在我们用的直尺#

#设计说明#介绍长度测量的数学史内容$既可增加数学课堂的趣味性$又可让小学生

进一步体会到(统一测量工具的必要性)&结合物体长度的测量操作过程体验直尺的形成过

程$既可展示测量工具的实践价值$又可培养小学生的创新意识&$

#2 认识直尺#

大家把自己的直尺拿出来看一看#你发现了什么3 *估计学生说看到一些数$刻度!$许

多小格&&+

相机说明'

*\"+IG表示厘米$读作厘米$就是我们刚才说的$国际上统一的一个长度单位#

*#+许多长长短短的线叫做刻度线#刻度从!开始$从左往右依次变大#

$2 体验\"厘米#

谈话'看着直尺$说说\"厘米有多长*!到\"之间的一段长\"厘米+#看老师手中的纸

条$你们每人也都有一根$长度都是\"厘米$先看一看#

要求'用左手拿住纸条$右手大拇指和食指比划一下\"厘米的长度#*片刻后+抽掉纸

条$看看两根手指之间的那一段长度$就是\"厘米#

提问'直尺上还有哪些数之间的长度也是\"厘米3 你能概括地说一说吗3 *相邻的两

个长刻度线之间的长度都是\"厘米#+

比较'老师看到有的小朋友的尺长$有的尺短$但是比比尺上的\"厘米$都是一样长

的吗3

启发'生活中哪些物体的长度大约是\"厘米3

学生交流后汇报$教师对学生的回答进行判断#相机说明'学生大拇指的宽度%图钉的

长度%田字格的边长等大约是\"厘米#

谈话'认识了\"厘米有多长$在尺上你能找到#厘米和&厘米各有多长吗3 你是怎样

想的3

小结'刚才我们认识了\"厘米$量比较短的物体长度时用它作为长度单位$就会得到统一的结果$大家交流起来也就方便了#

#设计说明#从观察直尺上的\"厘米有多长到夹住\"厘米长的纸条后用两根手指比划\"

厘米$再到寻找生活中\"厘米长的物体$通过多感官强化体验$让小学生头脑中形成\"厘米

长度的清晰表象$体会\"厘米的实际含义$发展小学生的量感&$

三! 量长度

\"2 在尝试中掌握量长度的方法#

提问'拿出课前老师发给你们的书签$量一量长边的长#

反馈'你是怎样量的3

展示学生的各种量法$教师相机示范正确量法'把直尺的!刻度线和书签长边的一个

端点重合$让直尺带有刻度线的一边紧贴书签长边$书签长边的另一端点刚好对准直尺的%

刻度线$所以书签长边的长度是%厘米#

#2 通过测量练习巩固长度测量方法#

!*\"

第七章

测 量

*\"+完成!想想做做\"第\"题#

长方形的长边长几厘米3 另外两幅图错在哪里3

*#+量一量书签短边的长#

*$+测量下面三条线段的长度*分别长,厘米%不到,厘米%,厘米多+#

指出'比,厘米少一些或者比,厘米多一些都可以说成大约,厘米#

#设计说明#先放手让学生去尝试$通过反馈纠错强化正确方法$再通过测量练习巩固

长度测量方法$训练长度测量技能&$

四! 画指定长度的线段

\"2 要求'画一条长%厘米的线段$先说说你准备怎么画#

指名回答后用课件演示正确的画法#

#2 做!想想做做\"第'题#

独立完成$之后同桌互相用直尺量#

五! 巩固练习

\"2 谈话'本课开始量课桌长度时$有的学生用自己的柞去量$!柞\"就是藏在自己身上的 !尺\"#其实身上还有很多!尺\"#你能分别量一量食指的宽%手掌的宽%食指的长和一柞的长

吗3 量好后记录下来$与同桌交流#

#2 完成!想想做做\"第&题#

交流'你是怎么估计的3

指出'估计中指的长$可以以食指的长为参照,数学书短边的长$可以想约有几个\"厘

米那么长3

#设计说明#估测是长度测量的重要学习目标$测量并记住身上一些(尺)的长度$不仅

可以根据实际需要随时随地进行长度估测$而且可以强化小学生对长度单位的认知$发展空

间观念&$

六! 拓展与应用

\"2 选择长度#

依次出示'&厘米%\"&厘米%&!厘米#

要求'先比划一下大约有多长$然后选择相应的长度#

*\"+铅笔的长大约是* +#

*#+小刀的长大约有* +#

*$+课桌的宽大约是* +#

#2 辨认图形#

出示一个长方形和正方形$提问'这两个图形分别是什么图形3 你能选择一个图形量一量四条边的长度吗3

!*#

小 学

数学教学设计

#设计说明#第\"题选择长度$旨在丰富小学生对长度经验的积累&第#题选择测量长

方形和正方形的边长$一方面是为了发展长度测量的技能$另一方面也是为在三年级探索长

方形和正方形的特征提前孕伏&$

七! 回顾总结

谈话'同学们$今天我们主要学习了什么内容3 量长度时要注意什么3 如何估计物体

或线段的长度3 还有什么问题吗3

案例' \"! \"角的度量#教学设计

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教学内容

教学内容

苏教版义务教育教科书/数学0*四年级上册+第+-',!页#

教学目标

\"2 使学生通过观察和交流$认识量角器$了解量角器的基本构造$知道

角的计量单位$初步学会用量角器量角#

#2 使学生在用三角尺上的角尝试量角的过程中$产生统一角的度量工

具以及计量单位的需要,通过用量角器量角$进一步认识角的大小$初步形

成角的大小的空间观念#

$2 使学生在认识量角器和探索量角方法的过程中$获得成功的体验$进一步产生对数

学学习的兴趣#

教学重点

掌握量角方法#

教学难点

正确使用量角器量角#

教具准备

教师准备活动角%量角器等教具$并为所有学生各准备一张画有'!\\角的练习纸$让学生

每人自己准备三角尺%量角器等#

教学过程一! 复习导入

*出示一个活动角+谈话'同学们$二年级时我们曾经初步认识了角#这是一个活动角$

旋转它的一条边可以得到大小不同的角$谁愿意上来试一试3

学生操作后$教师说明'角是有大小的$把角的两条边叉开得大一些$角就大一些,叉开

得小一些$角就小一些#怎样度量角的大小呢3 今天我们就来学习!角的度量\"*板书课题'

角的度量+#

#设计说明#通过转动活动角的边让学生进一步感知角的大小$并顺势引出度量角的大

小的问题$一方面使学生体会到新知学习是对已有认识的深化$同时操作活动也有利于激发

学生的学习兴趣&$

二! 认识量角器

\"2 引入量角器#

请学生拿出课前印发的练习纸*上面画有一个'!\\的角+$然后谈话'大家能用自己三角

!*$

第七章

测 量

尺上的角量出练习纸上的角有多大吗3 先自己试着量一量$再和同学交流#

通过交流比较$使学生体会到用三角尺上的角去量$只能知道被量的角与三角尺上的某

个角之间的大小关系不能得到统一的测量结果#

说明'为了准确测量角的大小$要有统一的度量工具和计量单位#量角器是人们专门

用来量角的工具#

#设计说明#指定一个角让学生尝试用三角尺上的角去量$由于没有规定用哪个角去

量$所以会得到不同的测量结果$由此引发学生要用统一的度量工具和计量单位进行测量的

需求&在此基础上$顺势说明量角器是专门用来量角的工具$可谓水到渠成&$

#2 认识量角器#

*\"+粗略了解量角器的基本构造#

请每个学生拿出自己的量角器$要求仔细观察量角器$然后说一说从量角器上看到了

什么#

预设'量角器是半圆形的,上面有很多刻度线$所有的刻度线都指向量角器的中心,上

面有两圈数$外圈读数按顺时针方向依次增大$内圈读数则按逆时针方向依次增大#

*#+认识\"\\的角#

提问'大家能看懂量角器上面的刻度吗3

预设'把半圆分成\",!等份$每一份所对的角都是\"度的角#度是角的计量单位$用符

号!\\\"表示$如\"度记作\"\\#

*$+请学生在量角器上找出指定度数的刻度线#

要求'在量角器上找出!\\%\"!\\%-!\\%\"$&\\%\",!\\的刻度线#

学生在找出指定度数的刻度线的过程中逐步明确量角器的中心%零刻度线%内外圈读数

的意义#

#设计说明#指导学生认识量角器的基本构造是学习用量角器量角的重要基础&由于

量角器的构造相对复杂$需要引导学生通过观察和交流逐步加深认识&这里对量角器的认

识分两个层次进行#先整体了解量角器的构成要素$再利用量角器认识\"\\的角$并了解量角

器的内%外两圈读数及它们的排列顺序&$

三! 用量角器量角

\"2 尝试量角#

*\"+让学生尝试用量角器量练习纸上的'!\\角$并交流量角的方法#

*#+再出示两个角*一个开口朝右%一个开口朝左+$学生尝试量$并交流量角的方法#

#2 示范量角#

教师示范量角的方法$并把测量结果记录在角中弧线的旁边#

$2 归纳并板书量角方法#

师生交流总结量角的方法$教师板书'

点对点222量角器的中心点与角的顶点重合,

线对边222!\\刻度线与角的一条边重合,

看刻度222看角的另一条边所对的刻度是多少$这个角就是多少度#

#设计说明#在完整地认识了量角器后$量角的方法由学生自己去探索$交流后教师示

范$接着引导学生归纳正确的量角方法$进一步深化对量角的认识'最后教师再板书$促进学

!*%

第八章 图形的运动和位置

!图形的运动和位置\"是!图形与几何\"领域的重要组成部分#关于图形的运动$小学数

学课程中有两种最基本的形式'一种是合同运动$即形状和大小保持不变$仅仅位置发生改

变$如平面图形的平移%旋转和轴对称,另一种是相似运动$形状不变而大小变化$如平面图

形的放大与缩小!#在小学数学中$确定位置有两种方法'一种是用数对确定位置$可以视

为直角坐标系的雏形,另一种是用方向和距离确定位置$可以视为极坐标系的雏形#

内容透析

\" 学科维度

!\" 图形的运动

小学数学中的图形运动包括平移%旋转%轴对称%放缩四种基本形式$统称为变换#对于

图形的运动$不仅要知道运动的结果$还需要想象运动的过程#

由于运动与静止是相对的$所以判断一个物体的运动需要参照物#借助参照物$%种图

形的运动定义如下'

以一条射线为参照物$如果图形上的所有点沿射线的方向移动相同的距离$则称图形的

这种运动为平移#

以一个点为参照物$如果图形上的所有点绕这个点转动了相同的角度$则称图形的这种

运动为旋转#

以一条直线为参照物$如果图形翻转到直线的另一侧后$图形上的所有点与其对应点的

连线被这条直线垂直平分$则称运动前后的两个图形关于这条直线轴对称#

以一个点作为参照物$如果图形上的所有点按照其与参照点的距离以相同的比例放大

或缩小$则称图形的这种运动为放缩#

图形运动的本质是点的运动$因为图形上点的运动导致了整个图形的运动$如图, \"%

图, #%图, $%图, %#

根据上述直观图示$对小学生来说$画出平面图形经过简单运动后的图形将不再是遥不

可及的事情#绘制一个平面图形经过平移运动后的图形$只要满足对应点的连线相互平行

且相等即可,绘制一个平面图形经过绕某个点顺时针*或逆时针+旋转-!\\后的图形$只要把

线段的旋转转化为点的旋转即可,绘制经过轴对称运动后的图形和放缩后的图形$只要找出

\"\"$

! 徐友新(图形运动的数学内涵及其教学价值-1.(小学数学教育$#!\"&*##+'$2&(

第八章

图形的运动和位置

特殊点*或关键点+运动后的对应点即可#

图+ ! 平移

图+ # 旋转

图+ $ 对称

图+ % 放大

#\" 图形与位置

确定图形的位置需要一些知识储备'比如对方向的认识$首先会用上%下%左%右%前%后

描述物体的相对位置$其中蕴含着参照物!我\",其次熟知东%南%西%北%个方向$更为重要的

\"\"%

小 学

数学教学设计

是$知道其中的一个方向$会辨认其余的方向*如指南针%地图+$!东南西北\"是!上下前后左

右\"这几个空间基本概念的发展$是学生由具体形象思维向抽象逻辑思维转化的关键#引导

学生从自身的方位出发来认识这%个方向$并知道东西是两个相对的方向$南北也是两个相

对的方向$然后再把这些方位与地图联系起来$让学生进一步认识地图上的方向222上北下

南左西右东!*可以形象记忆$!向北站立$俯卧地面\"对应!上北下南左西右东\"+$最后再应用

方位的知识解决生活中的实际问题#

参照系*物+是建立坐标系的认知基础#在具体的情境中$习惯于用!我\"作为参照物$然

后去观察物体#如果参照物不同$那么描述的具体位置就会大相径庭#如在教室里$要描述

某个同学的位置$从学生的角度和教师的角度描述的结果是不一样的#下面介绍与两种确

定位置方法对应的坐标系#

*\"+直角坐标系

用数对确定位置是直角坐标思想的雏形$人们用直角坐标刻画物体的位置大致经历了

如下发展过程'直尺/数线/数轴/平面直角坐标系/空间直角坐标系,直尺是测量长度

的实物工具$!数\"按照规定起点和方向在直尺上有序排列,!数线\"是对直尺的抽象$作为实

物工具的!尺\"有宽度$作为抽象概念的!线\"无宽度,!数轴\"是对!数线\"概念的进一步规范

化$它明确规定了起点%单位长度%方向等构成要素,从!数轴\"到!平面直角坐标系\"$对确定

位置来说是极为关键的一步$也是难度最大的一步$它需要经历!一排*或一行+人/座位图 /点子图/方格图/直角坐标系\"的逐步抽象过程$其中从!一排*或一行+人\"到!座位图\"是

人们认识视域从一维到二维的拓展$!座位图\"到!点子图\"是人们认识对象从具体实物到数

学符号*图形%点%方格+的符号化过程,!空间直角坐标系\"是对!平面直角坐标系\"的自然发

展#循着以上的认识过程$直角坐标思想便逐步建立起来了#

*#+极坐标系

用方向和距离确定位置是极坐标思想的雏形$对此可作两种理解'一是先确定距离$再确定

方向*如车载导航系统'前方#!!米$左转+,另一种是先确定方向$再确定距离*如台风预报'目前

台风中心位于本市东偏南$!\\方向%距离本市'!!千米的洋面上$正以#!千米4时的速度沿直线向

本市移动+#如图, &%图, '所示$必须已知方向和距离两个条件才能完全确定物体的位置#

图+ & 确定距离再取定方向 图+ ' 先确定方向再确定距离

此处的点= 为参照中心$圆的半径为距离$与水平参照线所成的角度即为方向#用方向

和距离确定图形的位置则为极坐标系的雏形#

上述两种方法蕴含了朴素的交轨法思想'例如$先确定距离再确定方向$其中距离为定值的

\"\"&

! 王跃(把握方向 准确定位222对/位置与方向0教学的思考和研究-1.(上海教育科研$#!\"!*-+','2,+(

第八章

图形的运动和位置

点的轨迹是以= 为圆心$以定值距离为半径的圆,而取定方向的点的轨迹是一条从= 出发的射

线$两个轨迹的交点即为所要确定的点的位置#这种思想在今后的解析几何学习中经常使用#

\" 课标维度

!\" 图形的运动

/课准*#!\"\"年版+0关于!图形的运动\"课程内容如下'

第一学段'

!\"\"结合实例$感受平移%旋转%轴对称现象&

!#\"能辨认简单图形平移后的图形&

!$\"通过观察%操作$初步认识轴对称图形&

第二学段'

!\"\"通过观察%操作等活动$进一步认识轴对称图形及其对称轴$能在方格纸上画出轴

对称图形的对称轴'能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形&

!#\"通过观察%操作等$在方格纸上认识图形的平移与旋转$能在方格纸上按水平或垂

直方向将简单图形平移$会在方格纸上将简单图形旋转-!\\&

!$\"能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小&

!%\"能从平移%旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案$并运用它们在方格纸上设计简

单的图案&

由此可见$小学阶段!图形的运动\"并不要求用严格定义来给出几何变换的概念$进而据

此研究图形的运动性质#只要求通过实例感受%辨认%初步认识相应的几何变换及基本特

征$能在方格纸上将简单图形按最简单的方式变换或画出变换后的图形$能从图形变换的角

度欣赏生活中的图案或设计简单图案!#因此$在解读课标内容时$主要关注以下&点#

*\"+紧密!结合实例\"

图形的运动来源于生活$又高于生活#第一学段$结合丰富多彩的实例$让学生感受平

移%旋转和轴对称现象#有些实例直接来自学生的实际生活体验$如乘坐电梯%开关窗户%拨

动算珠等,有些实例间接来自学生的生活$如一些重要建筑物*如故宫%人民大会堂%埃菲尔

铁塔等+图案%自然界中漂亮的彩虹%可爱的海星等#一方面它们的美丽%雄伟和壮观深深地

吸引着学生$另一方面确确实实与生活密切相关$这些激励着学生想去探索#

*#+注重!观察与操作\"

纸上得来终觉浅$许多知识需要通过操作活动$在亲历!做数学\"的过程中获得#皮亚杰

认为'!空间观念的形成不像拍照$要想建立空间观念$必须有动手做的过程#\"这个做的过

程$不仅是一个实践的过程$更是尝试%想象%推理%验证%思考%交流的过程#操作是儿童构

建空间表象的主要形式$儿童的几何不是论证几何$更多的是属于直观几何#因此$儿童获

得几何知识并形成空间观念$更多的是依靠他们的动手操作#动手操作是通过活动使学生

获得丰富的空间与图形的感性经验$是学生实现几何图形由具象到抽象转化的桥梁#图形

的运动只有通过实践操作来比较$才能将书本知识转化为学生的内在知识#

*$+重视!方格纸\"

在第二学段的课程内容中$,处出现!方格纸\"一词$可见其作用之非同一般#方格纸是

\"\"'

! 李淑民等(小学数学总复习指导策略-1.(教育实践与研究$#!\",*%+'#\"2$'(

小 学

数学教学设计

小学生熟知的材料$由水平和竖直方向间距相等的线段构成$它包含坐标系的雏形*只要取

定一个交点作为坐标原点$在水平和竖直方向上分别添上-%6 轴的箭头$则可创建一个直

角坐标系$它的单位长度就是一个格子的边长+#借助方格纸可以比较方便地操作%验证自

己的猜测#如平移教学中$到底平移几格两个图形才完全重合,旋转教学中观察对应点离旋

转中心的距离有几格,画轴对称图形时$关键点到对称轴的距离是几格3 图形的缩放可以通

过观察方格纸的格数来判断是否是数学意义上的缩放#借助方格纸$上述这些都清晰直观#

*%+注重!水平与竖直\"

图形的运动可以是平面的$也可以是空间的#空间的运动可以转化为平面的运动$而平

面的运动又可分解为水平方向和竖直方向运动的合成$因此在小学阶段只研究最为基本的

水平和竖直方向的运动#如在研究图形的平移时$我们可以先研究沿一个方向*水平或竖直

方向+的平移$再研究既有水平方向又有竖直方向的平移,在研究图形的旋转时$我们只涉及

简单的-!\\旋转$即从水平方向旋转到竖直方向或者从竖直方向旋转到水平方向$而对于其

他角度的旋转不作详细的研究#但可以在旋转的过程中进行适当的暂停$让学生体会到这

些也是旋转$只是角度不是-!\\而已,画轴对称图形时$我们也只研究补全一个关于水平或竖

直方向成轴对称的图形,至于图形的缩放$我们研究的是水平和竖直方向同时放大或缩小相

同的比例$对于只有单个方向缩放的不作深入研究#

*&+重视!简单图形\"

数学的一大特点就是简洁美$研究图形的运动也不例外#和研究方向只局限于水平和

竖直方向类似$对于图形的平移%旋转%轴对称或放缩运动$在研究时把研究对象局限于小学

生非常熟悉的三角形%长方形%梯形或者是它们的简单组合构成的图形#如图形的平移运

动$对象可以是三角形%长方形或者是两者组合而成的小木屋等,图形的旋转$对象则是直角

三角形或者长方形,画轴对称图形时$对象可以是任意的三角形,研究图形的缩放运动时$对

象为直角三角形或长方形等#

#\" 图形与位置

/标准*#!\"\"年版+0关于!图形与位置\"的课程内容如下'

第一学段'

!\"\"会用上%下%左%右%前%后描述物体的相对位置&

!#\"给定东%南%西%北%个方向中的一个方向$能辨认其余$个方向$知道东北%西北%东

南%西南%个方向$会用这些词语描绘物体所在的方向&

第二学段'

!\"\"了解比例尺'在具体情境中$会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算&

!#\"能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置&

!$\"会描述简单的路线图&

!%\"在具体情境中$能在方格纸上用数对!限于正整数\"表示位置$知道数对与方格纸上

点的对应&

容易看出$课标关于!图形与位置\"的课程内容在学段安排上具有明显的层次性#第一学段是!描述方位\"$即用'个方位词描述周围物体的相对位置$用%个偏方向词描绘周围物

体所在的方向$根据%个正方向中的一个方向辨认其余$个方向,第二学段是!确定位置\"$

即会按给定比例在图上表示实际距离$能根据具体情境选择直角坐标%极坐标确定物体的位

\"\"(

第八章

图形的运动和位置

置$会借助方位词%方向词%距离等表示位置的词语描述或画出简单路线#!描述方位\"只要

求指出物体的大致位置$接近生活经验$小学生的学习难度相对较小,!确定位置\"要求刻画

问题的准确位置$要求严谨规范$小学生的学习难度相对较大#因此$实施教学时$要准确把

握学段要求$避免!拔高\"和!降格\"两种偏向#

\" 教材维度

苏教版教材关于!图形的运动\"的内容编排如下'在三年级上册安排!平移%旋转和轴对

称\"单元$结合实例感知和辨认生活中的平移%旋转%轴对称现象,在四年级下册安排第二次 !平移%旋转和轴对称\"单元$通过观察%操作等活动$认识平移%旋转和轴对称运动的基本特

征$进一步认识轴对称图形及其对称轴$在方格纸上画对称轴或补完整简单的轴对称图形$

能从平移%旋转%轴对称的角度欣赏生活中的图案$并运用它们在方格纸上设计简单的图

案!,在六年级下册安排!比例\"单元$按照一定比例将简单图形放大或缩小#

苏教版教材关于!图形与位置\"的内容编排跨度比较大#在第一学段$一年级上册安排 !认位置\"单元*前后左右+%二年级下册安排!认识方向\"单元*东南西北%地图或平面图%东

北%西北%东南%西南+$主要是结合生活中的场景准确使用上%下%前%后%左%右描述物体的相

对位置,学会从前面%后面%左面%右面%里面%外面观察物体,结合前%后%左%右认识东%南%

西%北%个方向$结合上%下%左%右辨认东%南%西%北%个方向之间的关系,会辨认东北%西

北%东南%西南%个方向#在第二学段$四年级下册安排!确定位置\"单元*用数对确定位置+%

六年级下册安排!确定位置\"单元*用方向和距离确定位置+$要求辨认从前面%右面和上面观

察到的物体$用数对来确定位置$用方向和距离来确定物体的位置$等等#

关于!图形的运动\"!图形与位置\"$苏教版教材在编排上具有以下$个方面的特点#

在素材选择上$注意贴近学生的生活经验#例如$学习平移相关内容时$选择开关抽屉%推

拉窗户%拨动算珠%电梯升降等小学生非常熟悉的生活场景,学习旋转相关内容时$选择操作方

向盘%转动风车%螺旋桨的转动等小学生亲身经历的游乐场景,学习对称相关内容时$选择建筑

物%交通标识%企业标识等小学生容易理解的实物图片#再如$学习图形与位置相关内容时$借

助冰箱中的蔬菜摆放%茶壶与热水瓶的方位等来认识前后%左右%上下,从学生上学%放学等生活

场景辨认东南西北%个方位$感受与前后左右的区别与联系*东南西北是客观存在的$而前后左右

是相对的+,结合操场%公交路线图%公园指示图等辨认实际生活中的东南西北与平面图上的东南

西北的对应关系,借助教室的座位图来理解用数对表示位置#通过以上生动有趣的学习素材和生

活场景$为!图形的运动\"!图形与位置\"相关知识的学习提供丰富多样的现实背景#

在难度编排上$注意循序渐进$逐步抽象#如对!平移%旋转和轴对称\"内容的处理$在三

年级下册第一次学习时$教材借助$组生活场景!火车%电梯%升国旗\"!电风扇叶片%飞机的

螺旋桨%钟面上的指针\"!蝴蝶%天坛%飞机\"等生活场景$引导学生观察与感知平移%旋转现

象$初步认识轴对称现象,在四年级下册第二次学习时$除了通过转杆运动加深对图形旋转

的理解外$教材没有安排过多的直观场景$而是通过在方格纸上直接操作简单图形帮助小学

生在更高的抽象水平上认识平移%旋转%轴对称等图形运动的特征内涵#再如对!图形与位

置\"内容的处理$第一学段教材大量提供丰富多彩的生活场景或画面$让小学生直观感知!图

形与位置\"相关内容,在第二学段教材从实际情景过渡到图形%再过渡到点阵图与方格图$让

\"\"*

! 郭桂秋等(小学数学总复习指导策略-1.(教育实践与研究$#!\"+*%+'\"-2$&(

小 学

数学教学设计

小学生在逐渐抽象的过程中理解!图形与位置\"的本质内涵#

在练习设计上$注意发展空间观念#教材在设计练习时$除了常规性练习外$还设计了

综合运用图形运动的趣味性操作$让小学生在操作和交流中体会并描述图形的运动和变化

过程$发展空间观念#例如下面的图, +动手做$通过图片的还原操作可以加深小学生对

图形的平移和旋转本质内涵的理解$通过记录交流还原步骤可以提高小学生描述图形综合

运动和连续变化的能力#

图+ * 动手做

案例研讨

案例( !! \"认识方向#教学设计

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教学内容

教学内容

苏教版义务教育教科书/数学0*二年级下册+第\",'\"-页#

教学目标

\"2 会辨认东%南%西%北%个方向$会根据其中的一个方向$说出其他$

个方向#理解前后左右与东南西北方向的区别#

#2 经历实物观察%生活体验感知东南西北方向的过程$培养空间观念#

$2 体会数学与生活的密切联系$增强学习数学的积极性#

教学重点

会辨认东%南%西%北%个方向$会根据其中的一个方向说出其他$个方向#

教学难点

理解前后左右与东南西北方向的区别#

教学准备

房间布置的图画#

教学过程一! 故事激趣

介绍南辕北辙的故事%四大发明之一的指南针的作用$激起学生对认识方向的兴趣#点

题'认识方向#

#设计说明#通过生动的有关东南西北方向的故事$激发学生的学习热情和探究欲望&

\"#)

第八章

图形的运动和位置

尤其是我国古代四大发明之一的指南针$许多学生只是听说$至于为什么能够在航海中具有

辨别方向的作用$了解很少&$

二! 探究新知

师'大家知道太阳是从哪个方向升起的吗3

生'东方#

师'对$有个成语叫旭日东升$描述的就是这种自然现象#有关日落的成语$你们能说

出来吗3

生'夕阳西下%日落西山%日薄西山&&

在这些成语中都出现了一些描写方向的词$我们一起说说*东%西+#东*東+的字形是日

在木中$含义为旭日初升$也就是太阳出来的一边,它和西相对#

请大家想想太阳升起的方向$然后面向太阳升起的方向站立#此时$前面是东$后面

是222西#

#设计说明#如果条件允许$这节课可以在户外上$并且最好是早晨$这样能很好地观察

太阳升起&然后面向太阳站立$学生的记忆会更为深刻&$

南的字形外框是!木\"字的变形$里面的指方向#即草木接纳来自南方的充足阳光$就生

育得枝繁叶茂#所以$向阳处就是南方!#人们在设计住房时$为了保证足够的采光$通常也

把房屋的正门设计成朝南方向#

老师和学生一起朝东方向站立$指出左面是北$右面是222南*阳光经常透过南边的窗

户照进教室+#

#设计说明#学生的感性认识很重要$其实东南西北四个方向中$如果记住东%南两个方

向$那么其他两个方向也就容易记住&东是太阳升起的方向$南是教室中阳光经常照进的

方向&$

试一试'

\"2 在教室里$面向南站立$右手侧平举$说说右面是什么方向3 *西+

#2 在教室里$面向西站立$右手侧平举$说说右面是什么方向3 *北+

$2 在教室里$面向北站立$右手侧平举$说说右面是什么方向3 *东+

教师板书'

面向 右面 后面 左面

东 南 西 北

南 西 北 东

西 北 东 南

北 东 南 西

你能说说有什么发现吗3

生\"'站立时面向的方向不同$它的右面方向也不同#

生#'站立时面向的方向定了$那么它的右面方向也定了#

生$'东%南%西%北的方向不跟随我们站立的面向变化而变化#

生%'东一直是这个方向*用手指向太阳升起的方向+#

\"#!

! 佚名(我国风俗的演变(BCCR'44G(UD[#!!,(I?(

小 学

数学教学设计

必须贴近学生生活实际$是学生在日常生活可见%可闻%可感知的事物,第二$必须建立在学

生的认知基础之上$是学生易于理解%易于操作的内容,第三$最好是与学生本人密切相关的

事例$是学生感兴趣的点$与学生本人表现或利益相关的事情,第四$学习材料都只是学习的

载体$更重要的是蕴含于其中的统计意识%数据分析观念等思想方法和情感态度价值观的渗

透$形式要服从于思想方法与情感态度的统筹安排#围绕这类问题设计的学习活动$无需教

师刻意组织课堂教学$学生就能够迅速进入学习状态$切实经历真实的学习研究过程#让小

学生亲自经历统计活动的过程并获得成功或发现$能够充分满足学生的成就动机%养成良好

的生活习惯%培养正确的价值观$积累学习统计与概率问题的技能与方法#

#\" 创造思考空间!让学生在做中体验

从缄默知识观的角度看$一个人的显性知识与缄默知识的体量之比相当于一块冰山的

水面之上与水下部分之比$它们之间的关系好比果树的果实与根%茎%叶的关系#小学数学

统计与概率这个领域$充分显示出知识的显性与缄默的两面性$教材呈现的只是一些例子和

简单结果$大量的相关统计与概率的思想方法隐藏在结果之中$更多的是隐藏在自主生成结

果的过程之中#若教师照本宣科式地组织教学$学生也能够迅速掌握教材呈现的内容$甚至

学生还会觉得很简单$但对统计意识%数据分析观念%概率*可能性+的内涵可能几乎没有什

么体验#例如$!统计的必要性与价值\"!分类与分类标准的关系\"!如何恰当选用统计图\"!不

同的视角和分析方法可以获得数据中不同的信息\"等$这些知识不适宜以理论的形式冰冷地

呈现出来$更不能通过灌输传递给学生$只能通过学生亲自做出来$通过体验而认知#因此$

教学不能让学生依葫芦画瓢$而必须创造出空间引发学生的数学思考$引导学生在任务驱动

下体验思想方法的自主生成#例如$对于分类整理教学的处理$可以设计这样的思路'给定

数据给定分类标准2给定数据自定分类标准2自主选择数据自定分类标准$而且目标是最

后一个环节$通过学生的观察%思考与统计操作获取所需信息$从而达到统计观念的真正发

展#再如$统计图的教学$可以事先在方格纸上建立好需要的坐标系%把圆面适当地等分$从

而突出把!由数据变成图像\"核心的过程留给学生去体验$在做的过程中去思考发现该统计

图的特点$从而能够更好地体会统计图中蕴含的信息#

$\" 引领探索尝试!思辨之中启迪感悟 !统计与概率\"研究的是如何收集%整理和分析数据$并根据分析数据作出推断或预测以

及研究随机现象数量规律的科学#虽然小学阶段的统计与概率都是起步阶段最简单的知

识$但是统计的思想和概率的本质却无法简化$特别是!不确定性\"蕴含着大量的辩证思想$

对小学生来说很难把握#对这部分内容的教学$既不能通过理论灌输而让学生明了$也不能

通过机械的活动操作使学生明白$只有引导学生在积极参与教学活动的过程中$通过独立思

考%合作交流$逐步感悟数学思想#! 例如$对!可能性\"的理解要做好充分铺垫$将其辩证思

想的各个方面分层次让学生在操作中有序体会和感悟'体会事件的!可能\"!一定\"或!不可

能\"发生,感悟事件发生的可能性大小与总体中某种个体的多少相关,感悟可能性大的事件

不是必然事件$概率大的事件在某次试验中未发生是一种正常现象,感悟可能性极小的事件

也不是不可能事件$概率很小的事件在某次试验中发生了也是一种正常现象#进而感悟每

次试验结果的随机性与大量试验结果的规律性是辩证依存的$使学生真正能够体会并感悟

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第九章

统 计 与 概 率

这种朴素的理论概率与统计概率之间的辩证关系$建立对可能性*概率论的基本知识+的初

步理解和准确把握#

实践操作

\"2 数据分析观念的含义有哪些3 谈谈如何培养小学生的数据分析观念3

#2 以下是苏教版/数学0*五年级下册+!折线统计图\"的教材内容$请完成一篇本课的教

学设计#

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小 学

数学教学设计

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