住房和城乡建设部 “十四五” 规划教材

高等学校土木工程专业应用型人才培养系列教材

“十三五” 江苏省高等学校重点教材 (编号: 2019-1-103)

流体力学

(第二版)

延克军 甄树聪 主 编

郝 勇 副主编

图书在版编目 (CIP)数据

流体力学/延克军,甄树聪主编;郝勇副主编.—

2版.—北京:中国建筑工业出版社,2021.11

住房和城乡建设部 “十四五”规划教材 高等学校土

木工程专业应用型人才培养系列教材 “十三五”江苏省

高等学校重点教材

ISBN978-7-112-26706-4

Ⅰ.①流… Ⅱ.①延… ②甄… ③郝… Ⅲ.①流体力

学-高等学校-教材 Ⅳ.①035

中国版本图书馆CIP数据核字 (2021)第208968号

本书是在第一版的基础上修订而成,是根据 《高等学校土木工程本科指导性专业规

范》及 《高等学校给排水科学与工程本科指导性专业规范》中对流体力学的要求,立足于

高等学校土木工程及给排水科学与工程本科应用型人才培养需要而编写的教材,被评为住

房和城乡建设部 “十四五”规划教材,“十三五”江苏省高等学校重点教材。全书共8章:

绪论,流体静力学,流体动力学基础,流动形态与水头损失,有压流动,渠道及桥涵,渗

流、渗渠和井,波浪理论基础。各章编写有本章要点及学习目标、正文、本章小结、思考

与练习题;本书配套有教学课件及习题详解 (扫描书中二维码),便于教学。

为了更好地支持教学,我社向采用本书作为教材的教师提供课件,有需要者可与出版

社联系,索取方式如下:建工书院http://edu.cabplink.com,邮箱jckj@cabp.com.cn,

电话 (010)58337285。

* * *

责任编辑:仕 帅 吉万旺 王 跃

责任校对:赵 菲

住房和城乡建设部 “十四五”规划教材

高等学校土木工程专业应用型人才培养系列教材

“十三五”江苏省高等学校重点教材 (编号:2019-1-103)

流体力学

(第二版)

延克军 甄树聪 主 编

郝 勇 副主编

*

中国建筑工业出版社出版、发行 (北京海淀三里河路9号)

各地新华书店、建筑书店经销

霸州市顺浩图文科技发展有限公司制版

印刷厂印刷

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开本:787毫米×1092毫米 1/16 印张:12⅟? 字数:307千字

2021年12月第二版 2021年12月第一次印刷

定价:38.00元 (赠教师课件及习题详解)

ISBN978-7-112-26706-4

(38569)

版权所有 翻印必究

如有印装质量问题,可寄本社图书出版中心退换

(邮政编码100037)

出 版 说 明

党和国家高度重视教材建设。2016年,中办国办印发了 《关于加强和改进新形势下

大中小学教材建设的意见》,提出要健全国家教材制度。2019年12月,教育部牵头制定

了 《普通高等学校教材管理办法》和 《职业院校教材管理办法》,旨在全面加强党的领导,

切实提高教材建设的科学化水平,打造精品教材。住房和城乡建设部历来重视土建类学科

专业教材建设,从 “九五”开始组织部级规划教材立项工作,经过近30年的不断建设,

规划教材提升了住房和城乡建设行业教材质量和认可度,出版了一系列精品教材,有效促

进了行业部门引导专业教育,推动了行业高质量发展。

为进一步加强高等教育、职业教育住房和城乡建设领域学科专业教材建设工作,提高

住房和城乡建设行业人才培养质量,2020年12月,住房和城乡建设部办公厅印发 《关于

申报高等教育职业教育住房和城乡建设领域学科专业 “十四五”规划教材的通知》(建办

人函 〔2020〕656号),开展了住房和城乡建设部 “十四五”规划教材选题的申报工作。

经过专家评审和部人事司审核,512项选题列入住房和城乡建设领域学科专业 “十四五”

规划教材 (简称规划教材)。2021年9月,住房和城乡建设部印发了 《高等教育职业教育

住房和城乡建设领域学科专业 “十四五”规划教材选题的通知》(建人函 〔2021〕36号)。

为做好 “十四五”规划教材的编写、审核、出版等工作,《通知》要求:(1)规划教材的

编著者应依据 《住房和城乡建设领域学科专业 “十四五”规划教材申请书》(简称 《申请

书》)中的立项目标、申报依据、工作安排及进度,按时编写出高质量的教材;(2)规划

教材编著者所在单位应履行 《申请书》中的学校保证计划实施的主要条件,支持编著者按

计划完成书稿编写工作;(3)高等学校土建类专业课程教材与教学资源专家委员会、全国

住房和城乡建设职业教育教学指导委员会、住房和城乡建设部中等职业教育专业指导委员

会应做好规划教材的指导、协调和审稿等工作,保证编写质量;(4)规划教材出版单位应

积极配合,做好编辑、出版、发行等工作;(5)规划教材封面和书脊应标注 “住房和城乡

建设部 ‘十四五’规划教材”字样和统一标识;(6)规划教材应在 “十四五”期间完成出

版,逾期不能完成的,不再作为 《住房和城乡建设领域学科专业 “十四五”规划教材》。

住房和城乡建设领域学科专业 “十四五”规划教材的特点:一是重点以修订教育部、

住房和城乡建设部 “十二五”“十三五”规划教材为主;二是严格按照专业标准规范要求

编写,体现新发展理念;三是系列教材具有明显特点,满足不同层次和类型的学校专业教

学要求;四是配备了数字资源,适应现代化教学的要求。规划教材的出版凝聚了作者、主

审及编辑的心血,得到了有关院校、出版单位的大力支持,教材建设管理过程有严格保

障。希望广大院校及各专业师生在选用、使用过程中,对规划教材的编写、出版质量进行

反馈,以促进规划教材建设质量不断提高。

住房和城乡建设部 “十四五”规划教材办公室

2021年11月

第二版前言

本书第一版是住房城乡建设部土建类学科专业 “十三五”规划教材,是高等学校土木

工程专业应用型人才培养规划教材,是根据 《高等学校土木工程本科指导性专业规范》及

《高等学校给排水科学与工程本科指导性专业规范》对流体力学的基本要求,专门为土建

类学科应用型人才培养编写的教材,也可作为道路桥梁工程、交通工程、城市地下空间工

程、地质工程及机械类设计等相关专业与技术人员的教材和学习参考用书,以及相关注册

类考试复习参考书。

借本书入选住房和城乡建设部 “十四五”规划教材以及 “十三五”江苏省高等学校重

点教材 (修订)之际,根据出版以来各使用院校的反馈意见、江苏省立项重点教材审定专

家组意见及出版社的要求,对第一版教材进行相应修订再版。

本次修订保持教材原有的内容体系,由盐城工学院延克军教授、甄树聪副教授担任主

编,内蒙古工业大学郝勇高级工程师担任副主编。具体编写分工为:盐城工学院延克军

(第1章、第8章);江苏海洋大学肖淑杰 (第2章);泰州职业技术学院左滨 (第3章);

盐城工学院周友新 (第4章);徐州工程学院张林军 (第5章);内蒙古工业大学郝勇 (第

6章);盐城工学院甄树聪 (第7章)。

由于编者水平有限,不足或不妥之处在所难免,恳请读者批评指正。

编 者

2021年7月

第一版前言

本书是根据 《高等学校土木工程本科指导性专业规范》及 《高等学校给排水科学与工

程本科指导性专业规范》中对流体力学的要求,立足于高等学校土木工程及给排水科学与

工程本科应用型人才培养需要而编写的教材,也可作为道路桥梁、交通工程、机械设计等

相关专业与技术人员学习参考用书,以及相关注册类考试复习参考书。

在编写过程中,广泛汲取了优秀流体力学及水力学等相关教材的精华,结合编者教学

实践的体会,力求在内容衔接、内容结构及基本概念、基本理论、基本应用的阐述等方面

有所发展和提高。本书具有以下几个方面的特点:按照 《高等学校土木工程本科指导性专

业规范》对流体力学的要求,增加了风荷载和波浪理论基础;将量纲分析和模型设计作为

流体力学研究的基本方法编排在绪论之中;将速度的分解编排在速度场之后;明渠改为更

通用的渠道,并与堰流编排在同一章;渗流与渗渠和井编排在了同一章;本章小结对知识

点及应用的掌握与理解更简洁明了;思考与练习题从工程现象及生活常识入手,以求达到

对本章内容的理解与应用融会贯通;简化了部分公式的推导,注重工程应用的理解与方

法;更贴近于工程应用。

本书由盐城工学院延克军教授、甄树聪副教授担任主编并统稿,南京工程学院王伟副

教授担任副主编,扬州大学何成达教授担任主审。具体编写分工为:盐城工学院延克军

(第1章、第8章);淮海工学院肖淑杰 (第2章);扬州大学左滨 (第3章);南京工程学

院王伟 (第4章);徐州工程学院张林军 (第5章);盐城工学院张静红 (第6章);盐城

工学院甄树聪 (第7章)。

本书为方便各位读者使用提供了课件及习题解答集。课件可发送邮件至jiangongkejian@163.com 索取。习题解答集获得:登陆中国建筑工业出版社官网 http://www.

cabp.com.cn,输入书名或征订号,点选图书,点击配套资源即可下载。提示:下载配套

资源需注册网站用户。

由于编者水平所限,在内容的编排、选取及论述等方面如有不妥和不足之处,恳请读

者批评指正。

编 者

2017年7月

目 录

第1章 绪论 ………………………………… 1

本章要点及学习目标 …………………… 1

1.1 流体的基本定义 …………………… 1

1.1.1 流体的定义与表观特征…………… 1

1.1.2 流体的连续介质模型……………… 2

1.2 流体的基本物理属性 …………… 2

1.2.1 惯性………………………………… 2

1.2.2 重力………………………………… 2

1.2.3 流体的热胀性和压缩性…………… 3

1.2.4 液体的表面张力和毛细现象……… 5

1.2.5 汽化………………………………… 6

1.3 流体的黏性和牛顿内摩擦

定律…………………………………… 6

1.3.1 流体的黏性………………………… 6

1.3.2 牛顿内摩擦定律…………………… 7

1.4 作用在流体上的力 ……………… 11

1.4.1 质量力 …………………………… 11

1.4.2 表面力 …………………………… 11

1.5 模型设计与量纲分析 …………… 12

1.5.1 模型设计 ………………………… 12

1.5.2 量纲分析 ………………………… 15

本章小结 …………………………………… 17

思考与练习题 …………………………… 17

第2章 流体静力学 ……………………… 20

本章要点及学习目标 …………………… 20

2.1 流体静压强及其特性 …………… 20

2.1.1 流体静压强 ……………………… 20

2.1.2 流体静压强的特性 ……………… 20

2.2 流体的欧拉平衡微分方程……… 22

2.2.1 欧拉平衡微分方程 ……………… 22

2.2.2 静压强的全微分式 ……………… 23

2.2.3 微分方程的积分式 ……………… 23

2.2.4 等压面 …………………………… 24

2.3 重力作用下的流体静压强分布

规律 ………………………………… 24

2.3.1 流体静力学基本方程 …………… 24

2.3.2 压强的度量 ……………………… 25

2.3.3 测压管高度、测压管水头 ……… 26

2.3.4 液体静压强分布图 ……………… 27

2.4 相对平衡下的流体中的压强

分布 ………………………………… 28

2.4.1 等加速度直线运动容器中液体的

相对平衡 ………………………… 28

2.4.2 等角速度旋转容器中液体的相对

平衡 ……………………………… 29

2.5 静止液体作用在平面上的

总压力 ……………………………… 31

2.5.1 解析法 …………………………… 31

2.5.2 图算法 …………………………… 34

2.6 静止液体作用在曲面上的

总压力 ……………………………… 36

2.6.1 总压力的大小和方向 …………… 36

2.6.2 总压力的作用点 ………………… 37

2.6.3 压力体 …………………………… 37

2.7 液体作用在潜体和浮体上的

总压力 ……………………………… 40

2.7.1 浮力的原理 ……………………… 40

2.7.2 浮体与潜体的稳定性 …………… 40

本章小结 …………………………………… 41

思考与练习题 …………………………… 41

第3章 流体动力学基础 ………………… 46

本章要点及学习目标 …………………… 46

3.1 描述流体运动的方法 …………… 46

3.1.1 拉格朗日法 ……………………… 46

3.1.2 欧拉法 …………………………… 47

3.2 流体运动的分解 ………………… 48

3.2.1 流体微团运动的分析 …………… 48

3.2.2 流体微团运动的分解 …………… 48

3.2.3 有旋流动和无旋流动 …………… 50

3.3 欧拉法的基本概念 ……………… 50

3.3.1 流动的分类 ……………………… 50

3.3.2 流管和流束、过流断面、元流和

总流 ……………………………… 53

3.3.3 流量、断面平均流速 …………… 53

3.3.4 湿周、水力半径 ………………… 54

3.4 连续性方程………………………… 54

3.4.1 连续性微分方程 ………………… 55

3.4.2 一元恒定流连续性方程 ………… 56

3.4.3 流动有分流和合流时的连续性

方程 ……………………………… 56

3.5 理想流体运动微分方程 ………… 57

3.5.1 理想流体运动微分方程———欧拉

运动微分方程 …………………… 57

3.5.2 理想流体运动微分方程的积分———

伯努利方程 ……………………… 58

3.5.3 伯努利方程的物理意义与几何

意义 ……………………………… 58

3.6 实际流体运动的能量方程……… 59

3.6.1 实际流体恒定元流的能量方程 … 59

3.6.2 实际流体恒定总流的能量方程 … 60

3.7 恒定流总流动量方程 …………… 64

3.7.1 动量方程建立的依据 …………… 64

3.7.2 恒定一元流元流的动量方程 …… 64

3.7.3 恒定一元流总流的动量方程 …… 65

3.7.4 恒定一元流总流动量方程应用

条件 ……………………………… 66

3.7.5 恒定一元流总流动量方程应用

事项 ……………………………… 66

3.8 恒定平面势流的流速势函数、

流函数和流网 …………………… 68

3.8.1 流速势函数 ……………………… 68

3.8.2 流函数 …………………………… 69

3.8.3 势流叠加概念 …………………… 70

3.8.4 流网 ……………………………… 70

本章小结 …………………………………… 71

思考与练习题 …………………………… 71

第4章 流动形态与水头损失 ………… 78

本章要点及学习目标 …………………… 78

4.1 流动阻力和水头损失分类……… 78

4.1.1 沿程阻力与沿程水头损失 ……… 78

4.1.2 局部阻力与局部水头损失 ……… 79

4.1.3 管路的总水头损失 ……………… 80

4.2 切应力与沿程水头损失的

关系 ………………………………… 80

4.2.1 均匀流动的基本方程式 ………… 80

4.2.2 均匀流动圆管过流断面上切应力的

分布 ……………………………… 82

4.3 雷诺实验与流态 ………………… 82

4.3.1 雷诺实验 ………………………… 82

4.3.2 流态与沿程水头损失 …………… 83

4.3.3 流态的判断 ……………………… 84

4.4 圆管中的层流运动 ……………… 86

4.4.1 流速分布 ………………………… 86

4.4.2 圆管层流的特征 ………………… 87

4.4.3 圆管层流中的沿程阻力系数 …… 87

4.5 紊流运动 …………………………… 87

4.5.1 紊流运动特性与时均化 ………… 87

4.5.2 紊流切应力及流速分布 ………… 89

4.5.3 黏性底层 ………………………… 90

4.6 紊流沿程水头损失计算 ………… 91

4.6.1 尼古拉兹实验 …………………… 91

4.6.2 尼古拉兹实验曲线分析 ………… 92

4.6.3 紊流沿程阻力系数的计算公式 … 93

4.7 局部水头损失计算 ……………… 95

4.7.1 局部水头损失的计算公式 ……… 95

4.7.2 几种典型的局部水头损失系数 … 95

4.8 减小阻力的措施 ………………… 97

4.9 边界层概念与绕流阻力 ………… 97

4.9.1 边界层概念 ……………………… 98

4.9.2 曲面边界层的分离 ……………… 99

4.9.3 绕流阻力………………………… 101

4.9.4 悬浮速度………………………… 101

4.10 风荷载计算的基本原理 ……… 102

4.10.1 基本风压 ……………………… 102

4.10.2 风荷载 ………………………… 102

本章小结 ………………………………… 103

思考与练习题 …………………………… 103

第5章 有压流动 ………………………… 108

本章要点及学习目标 ………………… 108

5.1 孔口出流 ………………………… 108

5.1.1 孔口的类型……………………… 108

5.1.2 薄壁孔口恒定出流……………… 109

5.1.3 大孔口恒定出流………………… 111

5.2 管嘴出流 ………………………… 112

5.2.1 圆柱形外管嘴自由出流………… 112

5.2.2 圆柱形外管嘴内的真空度……… 112

5.2.3 管嘴分类………………………… 113

5.2.4 孔口与管嘴的非恒定出流……… 114

5.3 短管的水力计算 ………………… 115

5.3.1 短管的水力计算………………… 115

5.3.2 短管水力计算问题……………… 117

5.3.3 几种常见短管的水力计算……… 117

5.4 长管的水力计算 ………………… 121

5.4.1 简单长管………………………… 121

5.4.2 串联管路………………………… 123

5.4.3 并联管路………………………… 124

5.4.4 沿程均匀泄流管道的水力

计算……………………………… 125

5.5 管网水力计算基础……………… 127

5.5.1 枝状管网………………………… 127

5.5.2 环状管网………………………… 129

5.6 有压管道中的水击……………… 131

5.6.1 水击产生的原因………………… 131

5.6.2 水击传播过程…………………… 132

5.6.3 水击压强的计算………………… 133

5.6.4 水击危害的预防………………… 133

5.7 泵及泵装置系统 ………………… 134

5.7.1 泵的类型………………………… 134

5.7.2 泵的性能参数…………………… 135

5.7.3 泵的性能曲线…………………… 136

5.7.4 水泵运行工况…………………… 137

5.7.5 混凝土泵………………………… 139

本章小结 ………………………………… 140

思考与练习题 …………………………… 141

第6章 渠道及桥涵……………………… 146

本章要点及学习目标 ………………… 146

6.1 渠道的基本概念 ………………… 146

6.1.1 渠道的基本类型………………… 146

6.1.2 明渠恒定均匀流………………… 147

6.1.3 明渠恒定流流态及基本判断…… 152

6.1.4 断面比能、临界水深及临界

坡度……………………………… 153

6.1.5 水跃与跌水……………………… 155

6.1.6 明渠非均匀渐变流水面曲线

分析……………………………… 157

6.2 堰流的概念 ……………………… 161

6.2.1 堰的定义及分类………………… 161

6.2.2 堰流的水力计算………………… 162

6.3 桥涵的概念 ……………………… 166

本章小结 ………………………………… 167

思考与练习题 …………………………… 167

第7章 渗流、渗渠和井 ……………… 171

本章要点及学习目标 ………………… 171

7.1 渗流的基本概念 ………………… 171

7.1.1 渗流概念及应用………………… 171

7.1.2 地下水的类型…………………… 172

7.1.3 地下土壤的水力特性…………… 172

7.2 渗流基本定律 …………………… 173

7.2.1 渗流模型………………………… 173

7.2.2 达西渗流定律…………………… 174

7.3 地下无压水的渐变渗流 ……… 175

7.3.1 渐变渗流的基本公式…………… 175

7.3.2 渐变渗流的基本微分方程……… 175

7.3.3 渐变渗流浸润曲线分析………… 176

7.4 渗渠、井和井群 ………………… 176

7.4.1 渗渠……………………………… 176

7.4.2 井………………………………… 178

7.4.3 井群……………………………… 179

7.5 渗透破坏和渗流控制 ………… 179

7.5.1 渗透破坏………………………… 179

7.5.2 渗流控制………………………… 180

7.5.3 扬压力…………………………… 181

本章小结 ………………………………… 181

思考与练习题 …………………………… 181

第8章 波浪理论基础 ………………… 184

本章要点及学习目标 ………………… 184

8.1 波浪的基本概念 ………………… 184

8.1.1 波浪运动………………………… 184

8.1.2 波浪的分类……………………… 184

8.1.3 波浪的要素及特征量…………… 185

8.2 波浪的基本方程 ………………… 186

8.2.1 波浪运动方程…………………… 186

8.2.2 波浪基本方程…………………… 186

8.3 波能与波的作用力……………… 187

8.3.1 波能……………………………… 187

8.3.2 波的作用力……………………… 187

本章小结 ………………………………… 188

思考与练习题 …………………………… 189

主要参考文献 ……………………………… 190

第1章 绪 论

本章要点: 主要介绍流体的基本概念、 流体的基本物理属性、 流体的受力分析、 流

体力学中的模型假设以及模型设计与量纲分析等。

学习目标: 通过本章的学习, 学生应理解流体的基本表征 (易流动性) 和流体的重

要属性 (黏性) 以及它们在工程应用中的作用与意义, 理解隔离体概念; 掌握牛顿内摩

擦定律以及作用在流体上的力的分解和三个假设模型的提出与目的, 理解模型设计的准

则和基本的量纲分析法。

流体力学是力学的一个分支学科,是用实验和理论及数值分析的方法来研究流体的平

衡与机械运动的规律及其在工程中应用的一门学科。流体力学在土木工程、冶金机械、航

空航海、水利水电、环境工程等领域得到了空前广泛的应用。例如,土木工程,市政工程

的设计与施工及运行管理过程中地表水与地下水的排除、输送、受力分析,隧道中的通

风,建筑物风振与风荷载的计算等都离不开流体力学。

本书主要介绍流体力学的基本概念、基本理论及在土木工程中的基本应用。

1.1 流体的基本定义

1.1.1 流体的定义与表观特征

自然界的物质通常以固态、液态和气态三种聚集状态的形式存在,处在这三种状态下

的物质分别称为固体、液体和气体。

固体中分子间的距离小,分子间引力大,分子热运动的无序倾向弱,能够承受一定范

围内的各种外力,而保持其原有形状和体积。液体和气体中分子间的空隙大,分子间的相

互作用力小,分子运动强烈,没有固定的形状,几乎不能承受拉力,静止状态下难以抵抗

剪切力,易于变形,具有一定的流动性。

1.流体的定义

在任何微小剪切力的持续作用下能够连续不断变形的物质,称为流体。因此,液体和

气体统称为流体。

气体与液体相比较,气体在受到压强或温度及空间容积发生变化时,体积会有较大的

变化,总是充满它能达到的全部空间;液体体积的变化则相对较小或保持不变,能够形成

自由表面。

2

2.流体的表观特征

易流动性是流体的主要表观特征,压力可各向同性地进行传递,可用各种方法、途径

和容器很方便地进行流体的输送与储存。

1.1.2 流体的连续介质模型

由于流体是由大量做热运动的分子所组成,分子间有间隙,因而从微观角度看,流体

是不连续的,是不能用数学中的连续函数来分析与描述的。流体力学研究的是宏观流体的

机械运动,分子之间的间隙和宏观流体的尺寸相比是无限小,不考虑流体分子间的间隙对

绝大多数流体宏观运动的分析所产生的误差完全可以忽略不计,但高空稀薄气体以及高真

空中的分子距离与设备尺寸可以比拟,不能忽略不计。

为了研究的方便,引入流体微团或流体质点的概念:包含有无数不可计量的流体分

子,并能体现流体宏观特性的无限小的流体体积称为流体微团或流体质点。这样就可把流

体视为由无数流体微团或流体质点所组成的没有任何空隙的连续介质,从而可以引用连续

函数的解析方法等数学工具来研究和描述流体的平衡和运动规律。

1.2 流体的基本物理属性

任何事物的发展都是内因和外因共同作用的结果,外因只能通过内因起作用。因此,

必须首先从宏观角度来了解和认识体现内在因素的流体物理属性。

1.2.1 惯性

维持原有运动状态的能力称为惯性。质量是度量惯性大小的物理量,表征某一流体惯

性的大小可用该流体的质量或密度。单位体积的质量称为密度,即:

ρ=

m

V ρ=lim

ΔV→0

Δm

ΔV

=

dm dV (1-1)

式中 ρ———流体的密度 (kg/m

3);

V———流体的体积 (m

3);

m———流体的质量 (kg)。

各点密度相同的流体称为均质流体,各点密度不同的流体称为非均质流体。

1.2.2 重力

重力是流体受地球引力作用的特征,一般用重度表示,即单位体积的重量:

γ=

G

V

=

mg

V

=ρg (1-2)

式中 γ———重度 (N/m

3);

G———重力 (N);

g———重力加速度 (m/s

2)。

显然,流体的重力和重度与重力加速度有关,随位置变化而变化,而流体的质量与密

度则与地理位置无关。在本书中重力加速度取9.81m/s

2。

3

流体的密度和重度是随压强和温度的变化而变化的,液体的变化很小,而气体的变化

较大,所以一般工程计算中液体的密度和重度可视为常数。

在土建工程实际应用中,一般取一个标准大气压下、某温度时的值为计算值。如水的密度

和重度通常为温度为4℃时蒸馏水的密度和重度值:ρ=1000kg/m

3,γ=9810N/m

3

;温度为

0℃时水银的密度和重度值:ρHg=13600kg/m

3,γHg=133416N/m

3

;温度为20℃时空气的密度

和重度值:ρa=1.21kg/m

3,γa=11.77N/m

3。不同温度时水的重度及密度见表1-1。

一个标准大气压下不同温度时水的重度及密度 表1-1

温度

(℃)

重度

(kN/m3)

密度

(kg/m3)

温度

(℃)

重度

(kN/m3)

密度

(kg/m3)

温度

(℃)

重度

(kN/m3)

密度

(kg/m3)

0 9.806 999.9 30 9.755 995.7 70 9.590 977.8

5 9.807 1000.0 40 9.731 992.2 80 9.529 971.8

10 9.805 999.7 50 9.690 988.1 90 9.467 965.3

20 9.790 998.2 60 9.645 983.2 100 9.399 958.4

1.2.3 流体的热胀性和压缩性

随着温度的升高,流体体积膨胀,密度减小;随着压强的增加,流体体积缩小,密度

增大;这是所有流体的共同属性,即流体的热胀性和压缩性。

1.液体的热胀性和压缩性

1)液体的热胀性

一定压强下,液体的体积随温度的升高而增大 (密度减小)的性质称为液体的热胀

性。液体热胀性的大小用体积热胀系数αv 来表示,它表示当压强不变时,升高一个单位

温度所引起液体体积的相对增加量,即:

αv=

dV/V

dT

=-

dρ/ρ dT (1-3)

式中 αv———液体的膨胀系数 (1/℃);

dT———液体的温度增量 (℃);

dV———液体的体积增量 (m

3);

dρ———液体的密度增量 (kg/m

3);

其他符号同前。

液体的体积膨胀系数很小,随温度和压强而变化,在常温下,温度每升高1℃,水的

体积相对增量仅为万分之一点五,水的体积膨胀系数见表1-2;对于大多数液体,随压强

的增加,体积膨胀系数稍为减小。尽管水的体积膨胀系数很小,但当体积很大时,其热胀

性不可忽视,必须加以考虑。如温度变化较大的冷热水输送管网及热水采暖系统中必须设

置膨胀罐或膨胀水箱。

水的体积膨胀系数 (×10

-6/℃) 表1-2

t(℃)

p(kPa)

1~10 10~20 40~50 60~70 90~100

98 14 150 422 556 719

196 43 165 422 548 704

4

2)液体的压缩性

在一定的温度下,液体的体积随压强升高而缩小的性质称为液体的压缩性。液体压缩

性的大小用体积压缩系数χ 来表示,它表示当温度保持不变时,单位压强增量引起液体

体积的相对缩小量,即:

χ=-

dV/V

dp

=

dρ/ρ dp (1-4)

式中 χ———液体的压缩系数 (m

2/N);

dp———液体的压强增量 (N/m

2);

其他符号同前。

由于压强增加时,液体的体积减小,压强的变化dp 和体积的变化dV 符号始终是相

反的,故在上式中加个负号,以使体积压缩系数恒为正值。

χ 值越大,液体的压缩性越大。压缩系数χ 的倒数为1/χ,称为液体的弹性模量,以

E 表示,即:

E=

1

χ=-

dp

dV/V

(1-5)

式中 E———液体的弹性模量 (N/m

2)。

E 值愈大,表示液体愈不易被压缩。液体种类不同,χ 或E 值亦不同。同一液体的χ

值随温度和压强的增大而变小,但变化甚微。表1-3为水在不同温度、不同压强下的压缩

系数。

水的压缩系数 (×10

-9/kPa) 表1-3

p(kPa)

t(℃)

490 980 1960 3920 7840

0 540 537 531 523 515

10 523 518 507 497 492

20 515 505 495 480 460

2.气体的热胀性和压缩性

气体与液体相比较,具有显著的热胀性和压缩性。这是由于气体的密度随着温度和压

强的改变将发生显著的变化。对于完全气体 (如工程中常见的空气、氧气、氮气及二氧化

碳等),其密度与温度和压强的关系可用热力学中的状态方程表示,即:

p

ρ

=RT (1-6)

式中 p———气体的绝对压强 (N/m

2);

ρ———气体的密度 (kg/m

3);

T———气体的热力学温度 (K),对应0℃时的T0=273K;

R———气体常数 [J/(kg·K)];标准状态下,R=8314/n,其中n 为气体的分子

量;对于空气,n=28.97,R=287。

1)气体的压缩性

在等温情况下,RT=C1 (常数),故有:

5

p1

ρ1

=

p2

ρ2

(1-7)

气体的压缩性都很大。从式 (1-7)中可知,当温度不变时,完全气体的密度与压强

成正比,压强增大,体积缩小,密度增大。由于气体有一个极限密度,故压力增大到极限

密度时的压力称为极限压强,此时无论压力再如何增大,气体的密度将保持不变。

2)气体的热胀性

在等压情况下,p/R=C2,故有:

ρT=ρ0T0 (1-8)

气体的热胀性亦比较大。当压强不变时,温度升高1℃,体积就比0℃时的体积膨胀

1/273。

在实际工程中,不同压强和温度下气体的密度可按下式计算:

ρ=ρ0· 273

273+t

· p

101.325

(1-9)

式中 ρ0———标准状态 (0℃,101.325kN/m

2)下某种气体的密度 (kg/m

3);

ρ———在温度为t (℃)、压强为p (kN/m

2)下某种气体的密度 (kg/m

3)。

3.流体的不可压缩模型

压缩性是流体的基本属性,当温度和压强发生变化时,流体的密度亦随之变化,是一

个变量,给数学分析过程带来许多不便。由前述分析知,液体的压缩性和热胀性都非常的

小,虽然气体具有较大的压缩性和热胀性,但在大多数情况下速度远小于音速,其影响也

可以忽略,流体的密度可认为是一个常数。

把dρ/dt=0 (ρ=常数)的流体称为不可压缩流体。把密度可近似认为是一个常数的

简化分析流体的这种方法称为不可压缩流体模型。

工程实际中的水和空气以及土建隧道中的气流、供热、供燃气及通风管道中的气体流

速远小于68m/s时均可按不可压缩流体来考虑。但在水泵及大型输水工程中的水击压强

的计算与防治、供热系统中水的热胀性以及速度接近或超过音速时,必须考虑其压缩性和

热胀性。

1.2.4 液体的表面张力和毛细现象

当液体与其他流体或固体接触时,在分界面上会出现一些特殊现象。例如,水滴悬在

水龙头出口而不滴落,细管中的液体自动上升或下降一个高度,铁针浮在液面上而不下

沉,空气中固体平面上的水银滴粒几乎为球状,而水滴却呈扁平状,液体的自由表面好像

一个被拉紧了的弹性薄膜。这是由于液体分子间以及与边界分子间的吸引力不同所致,称

为液体的表面张力特性。

1.表面张力

液体内部分子间的内聚吸引力各向同性,处于平衡状态,而表面上的分子却缺失了与

表面正交方向的吸引力,为了平衡,只能寻求相邻分子间与表面平行方向的相互吸引,从

而产生了沿表面方向的拉力,单位长度上的这种拉力称为表面张力,用表面张力系数σ表

示其大小,其单位为 “N/m”。表面张力系数随液体种类和温度而异,表面张力越大,液

滴就越接近球形。

6

2.毛细现象

液体在细管中能上升或下降的现象称为毛细现象,如图1-1所示。液体分子与边界分

子之间的吸引力称为液体的附着力。当液体分子间的内聚力小于附着力时,细管内的液面

呈凹状,液面高于管外的液面,如图1-1 (a)所示;当液体分子间的内聚力大于附着力

时,细管内的液面呈凸状,液面低于管外的液面,如图1-1 (b)所示。

图1-1 毛细现象

(a)水;(b)汞

液体的表面张力和毛细现象对实际工程的影响,一般不予考虑;在实验室用玻璃管测

量压强时,要注意毛细现象引起的误差,且玻璃管管径不小于10mm。

1.2.5 汽化

液态分子转化为气态分子的过程称为汽化,气态分子转化为液态分子的过程称为凝

结。在液态中,汽化与凝结同时存在,两者达到平衡时的液体压强称为饱和蒸气压强,或

汽化压强。液体的汽化压强随温度的升高而增大,水的汽化压强见表1-4。

水在不同温度下的汽化压强pe (kN/m

2) 表1-4

t(℃) 0 5 10 20 30 40

pe 0.61 0.87 1.23 2.34 4.24 7.38

t(℃) 50 60 70 80 90 100

pe 12.33 19.92 31.16 47.34 70.10 101.33

当水流某处 (如水泵入口处、管道弯曲部分的顶部等)的实际压强低于汽化压强时,

在该处就会发生汽化,形成空化现象。如产生气塞,则影响水流的正常输送;如汽化产生

的气泡随水流进入高压区,会对固体边界产生汽蚀现象,即在接触的固体壁边界上溃破,

使固体表面造成疲劳并剥落,缩短寿命,影响运行。

1.3 流体的黏性和牛顿内摩擦定律

在实际工程中,输送流体的能量远远大于其提升的高度所需的势能和动能,绝大部分

是流体间以及流体与固体边界之间动量交换以及摩擦发热将机械能损失所致。

1.3.1 流体的黏性

流体与固体的最明显的表征区别就是易于流动,即在任何微小剪切力的持续作用下,

7

流体要发生连续不断地变形。不同的流体在相同的剪切力作用下其变形速度是不同的,它

反映了抵抗剪切变形能力的差别。这种抵抗剪切变形的能力属性就是流体的黏性。

流体的黏性是流体固有的最重要的物理属性,由于其要抵抗剪切变形运动,所以是流

体运动过程中产生机械能损失的根本的内在因素。

1.黏性的具体表现

流体内部各微团之间发生相对运动时,流层间会产生一对大小相等、方向相反的内摩

擦力,将对变形起到阻碍作用,被称为黏滞力,是流体黏性在流体内部的具体体现。而实

际流体运动中的机械能损失则是流体黏性的宏观显现。

2.影响黏性的因素

运动流体中的黏滞力是流体分子间的动量交换和内聚力相互作用的结果。

1)温度是影响流体黏滞力的主要因素。液体之所以具有相对固定的体积和自由表面,

是因为分子内聚力在起主要作用。因此当液体温度升高时,体积膨胀,密度减小,分子间

距增大,分子间的吸引力或内聚力降低,黏滞力或内摩擦力减小,从而黏度下降。也就是

说液体的黏性随其温度的升高而变小。

气体之所以具有不确定的体积和自由表面,是因为分子热运动在起主要作用。因此当

气体温度升高时,分子热运动加剧,分子间的碰撞频率加快,动量交换增加,黏滞力或内

摩擦力增大,从而黏度上升。也就是说,气体的黏性随其温度的升高而变大。

2)压力对流体黏性的影响不大,一般忽略不计。

1.3.2 牛顿内摩擦定律

流体的黏性可通过牛顿平板实验来加以说明。

1.牛顿平板实验

将相距h、面积A 足够大 (与h 相比较)的两块水平放置平板内充满某种液体,使

下板固定不动,上板在拉力F 作用下以匀速u0 向右平行移动,如图1-2 (a)所示。由于

流体与平板间有附着力,紧贴上板的一薄层液体将以速度u0 跟随上板一起向右运动,而

紧贴下板的一薄层液体质点的速度为零,将和下板一样静止不动。两板之间的各液体薄层

在上板的带动下,都作平行于平板的运动,其运动速度自上而下逐层递减,由上板的u0

减小到下板的零。

图1-2 牛顿平板实验

(a)速度分布;(b)剪切变形

8

显然,由于各流层速度不同,流层间就有相对运动,速度较大的上层液层带动速度较

小的下层液层向前运动,速度较小的下层液体则阻碍上层液层运动,从而产生切向作用

力,称其为内摩擦力。按照牛顿第三定律,作用在两个液体层接触面上的内摩擦力总是成

对出现的,即大小相等、方向相反。

当h或u0 不是很大时,实验表明板间液体流动的速度u 沿y 方向呈线性分布 (u=

kh=ky)。通常情况下,液体流动的速度并不按直线变化,而是按曲线变化,如图1-2

(a)虚线所示。速度沿流层法线方向的变化率称为速度梯度。

2.牛顿内摩擦定律

实验表明,在纯剪切流动 (层状流动)中大多数液体存在如下关系:

T∝A

du

dy

(1-10)

引入实验系数μ,写成等式为:

T=μA

du

dy

或τ=

T

A

=μ

du

dy

(1-11a)

h或u0 很小时,即切向应力τ沿h方向等值分布,式 (1-11a)也可表示为:

τ=

T

A

=μ

du

dy

≈μ

u

y

,或τ=μk=c (1-11b)

式中 T———流层接触面上的内摩擦力 (N);

A———流层间的接触面积 (m

2);

du/dy———垂直于流动方向上的速度梯度 (1/s);

μ———动力黏性系数 (N·s/m

2 或Pa·s);

τ———切向应力 (N/m

2 或Pa)。

为了更好地理解流体抵抗剪切变形的能力属性,即黏性的意义,由图1-2 (b)可得:

dθ≈tandθ=

dudt

dy

或

du

dy

=

dθ

dt

故: τ=μ

du

dy

=μ

dθ

dt

(1-12)

式 (1-11a)、式 (1-11b)或式 (1-12)称为牛顿内摩擦定律,它反映了流体的黏性与

速度梯度及液体微团的剪切变形速度间的关系。在给定切应力的条件下,液体的黏性越

大,抵抗剪切变形的能力就越强,液体微团的变形也就越小,流动性越差;反之,液体微

团的变形也就越大,表观现象就是液体越易流动。

流体的黏性是固有属性,黏性系数是其大小的度量表征,不管流体是静止还是处于运

动状态,其黏性始终是存在的,但只有在流体质点间有相对运动时才会表现出来。

牛顿内摩擦定律在流体力学研究分析过程中有着非常重要的应用,根据其原理还可以

制作测定流体黏性的仪器。

3.运动黏性系数

在流体的研究与工程应用中,除了使用动力黏性系数 (μ)外,还常用到运动黏性系

9

数 (ν):

ν=

μ

ρ

(1-13)

式中 ν———运动黏性系数 (m

2/s);

其他同前。

一个标准大气压下不同温度时水和空气的黏性系数分别见表1-5、表1-6。

标准大气压下不同温度时水的黏性系数 表1-5

t(℃) μ(10-3Pa·s) ν(10-6m2/s) t(℃) μ(10-3Pa·s) ν(10-6m2/s)

0 1.792 1.792 40 0.654 0.659

5 1.519 1.519 50 0.549 0.556

10 1.310 1.310 60 0.469 0.478

15 1.145 1.146 70 0.406 0.415

20 1.011 1.009 80 0.357 0.367

25 0.895 0.897 90 0.317 0.328

30 0.800 0.803 100 0.284 0.296

标准大气压下不同温度时空气的黏性系数 表1-6

t(℃) μ(10-6Pa·s) ν(10-6m2/s) t(℃) μ(10-6Pa·s) ν(10-6m2/s)

-40 14.9 9.8 40 19.0 16.8

-20 16.1 11.5 60 20.0 18.7

0 17.1 13.2 80 20.9 20.9

10 17.6 14.1 100 21.8 23.1

20 18.1 15.0 200 25.8 34.5

30 18.6 16.0 300 29.8 49.9

4.理想流体模型

实际流体都具有黏性 (μ≠0),所产生的切应力使得流体运动的分析变得非常复杂。

图1-3 各种流体的流变曲线

为了简化理论分析过程,在流体力学中引入不考

虑黏性作用的理想流体 (μ=0),即理想流体模

型,此时黏性切应力τ=0。通过理想流体模型分

析得出的结论,必须对黏性的影响加以修正后才

能应用到实际流体中。

5.牛顿流体

并非所有的流体都符合牛顿内摩擦定律。实

际流体的内摩擦定律可表示为:

τ=τ0+μ

du dy

m

(1-14)

流变曲线如图1-3所示。

1)牛顿流体。式 (1-14)中τ0=0,m =1

10

时,即得式 (1-12)牛顿内摩擦定律。凡是符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体,如

气体、水、汽油、煤油、乙醇等。

2)宾汉型塑性流体。符合式 (1-14)中τ0>0、m=1时的流体,如新拌水泥砂浆、

新拌混凝土、泥浆、牙膏、油漆等。对这类流体施加的切应力大于其屈服应力 (τ0)时,

才能流动起来,且流动过程中切应力与剪切变形呈线性关系。

3)伪塑性流体。符合式 (1-14)中τ0=0、m<1时的流体,如高分子聚合物溶液、

血浆等。特征是随着剪切变形速度的增大,流体变稀,黏度降低,流动性增大。

4)膨胀性流体。符合式 (1-14)中τ0=0、m>1时的流体,如高含沙水流、淀粉

糊、树胶溶液等。特征是随着剪切变形速度的增大,流体变稠,黏度增大,流动性降低。

【例1-1】 如图1-4所示,气缸内壁的直径D=12cm,活塞的直径d=11.96cm,活

塞的长度l=14cm,活塞往复运动的速度为v=1m/s,润滑油液的μ=0.1Pa·s,试问作

用在活塞上的黏滞力为多少?

图1-4 活塞运动的黏性

(a)活塞运动;(b)润滑层内速度分布

图1-5 旋转黏度计

【解】 由于活塞与气缸的间隙h很小,速度分布图近似为

放大后图1-4中 (b)直线分布,故:

du

dy

=

v

h

=

100

1

2

×(12-11.96)

=5×10

3

则: τ=μ

du

dy

=0.1×5×10

3=5×10

2N/m

2

所以: T =Aτ=πdlτ=π×0.1196×0.14×5×10

2=26.5N

【例1-2】 图1-5为旋转圆筒黏度计,外筒固定,内筒由

同步电机带动旋转。内外筒间隙充入实验液体。已知内筒半径

r1=1.93cm,外筒半径r2=2cm,内筒高h=7cm。实验测得

内筒转速n=10r/min,转轴上扭矩M=0.0045N·m。试求该

实验液体的黏度。

【解】 充入内外筒间隙的实验液体,在内筒带动下作圆周

运动,速度近似直线分布。内筒壁的切应力为:

τ=μ

du

dy

=μ

ωr1

δ

11

ω=

2πn

60

,δ=r2-r1

扭矩: M=τAr1=τ×2πr1h×r1

则有:μ=

τδ

ωr1

=

15Mδ

π

2r

3

1hn

=

15×0.0045×(2-1.93)

π

2×(1.93×10

2)3×7×10

=0.952Pa·s

1.4 作用在流体上的力

流体处于静止或相对运动是由作用在其上的合力所决定,要研究流体的机械运动,就

必须分析合力的构成,流体力学中一般用隔离体的受力来进行分析。所谓隔离体,就是在

流体中假想的分离出由一封闭曲面所包围的具有一定体积的流体,这个隔离体具有质量和

表面,所以它的受力就分为质量力和表面力两大类。

1.4.1 质量力

质量力是指作用在隔离体内每个流体质点上的力,其大小与流体的质量成正比,由于

质量与体积成正比,所以质量力也称为体积力。重力和惯性力是最常见的质量力。

由于流体处于地球的重力场中,受到地心的引力作用,因此流体的全部质点都有重力

(G=mg)这个质量力。

当用达朗伯 (D'Alembert)原理使动力学问题变为静力学问题时,虚加在流体质点

上的惯性力也属于质量力。惯性力的大小等于质量与加速度的乘积,其方向与加速度方向

相反。另外,带电流体所受的静电力以及有电流通过的流体所受的电磁力也是质量力,一

般忽略不计。

为了方便应用,常用作用在单位质量流体上的质量力来度量。设均质流体中隔离体的

总质量为m,总质量力为W,则单位质量力f 为:

f=

W

m

(1-15)

在直角坐标系中,若质量力在各坐标轴上的投影分别为Wx、Wy、Wz,则单位质量

力在各坐标轴的分量分别为:

fx=

Wx

m

;fy=

Wy

m

;fz=

Wz

m

(1-16)

或 f=fxi+fyj+fzk (1-17)

单位质量力具有与加速度相同的单位 (m/s

2)。只有重力质量力时,单位质量力的数

值就等于重力加速度g。

1.4.2 表面力

表面力是指作用在隔离体表面上的力,也就是隔离体表面周围的流体或固体作用在其

上的力。表面力可分解成与隔离体表面正交的法向力P 和与隔离体表面平行的切向力T

两个分力。在流体力学中用单位表面积上所作用的表面力 (称为应力)来表示,对应为法

向应力 (压应力)p 和切向应力 (切应力)τ两种。

12

图1-6 作用在流体上的表面力

如图1-6所示,在隔离体表面积上围绕点A

取一微元面积 ΔA,设作用在其上的表面力 ΔF

为任意方向,则ΔF 可以分解为法向力 ΔP 和切

向力 ΔT,对应于A 点压应力p 和切应力τ 分

别为:

p=lim

ΔA→0

ΔP

ΔA

=

dP

dA

(1-18)

τ=lim

ΔA→0

ΔT

ΔA

=

dT

dA

(1-19)

应力的单位为N/m

2 或Pa。

1.5 模型设计与量纲分析

模型实验和量纲分析是流体力学研究中最基本的常用方法。

1.5.1 模型设计

自然界及大多数实际流体工程的尺寸都非常大,不便于观察研究。如将拟建工程或实

体工程依据一定的准则,按比例进行模型设计,然后在实验室进行研究就方便节约得多

了。为了能使模型中观测到的流动现象和数据换算到原型中去,就必须保证模型与原型相

似———实现流动相似。

流动相似:即模型与原型两个流动中,对应点上同名物理量具有各自一定的比例。流

动相似包含三类表征流动过程的物理量的相似:流场的几何形状 (包括边界层)、流体微

团的运动状态、流体微团的动力性质。

1.相似的基本概念

1)几何相似 (原型:Prototype,模型:Model),是指原型与模型的任何一个相应

线性长度保持一定的比例关系。

长度比尺: λl=

Lp

Lm

(1-20)

面积比尺: λA=

Ap

AM

=

L

2

p

L

2

m

=λ

2

l (1-21)

体积比尺: λV=

Vp

VM

=

L

3

p

L

3

m

=λ

3

l (1-22)

2)运动相似,即两个流动的速度场 (或加速度场)是几何相似的。

设时间比尺: λt=

tp

tm

(1-23)

则速度比尺: λv=

vp

vM

=

Lp/tP

LM/tM

=

λl

λt

(1-24)

加速度比尺: λa=

ap

aM

=

Lp/tP

2

LM/t

2

M

=

λl

λ

2

t

(1-25)

13

3)动力相似,是指原型和模型流动中任何对应点上作用着的同名力的方向相同、大

小比例相等,即力的封闭多边形相似。在工程流体力学中,影响流动的力主要有黏滞力

T、重力G、压力P 和惯性力I等。

T+G+P+…+I=0 (1-26)

TP

TM

=

GP

GM

=

PP

PM

=…=

IP

IM

(1-27)

λG=λT=λS=λP=λI (1-28)

如能保证上述三个相似,则说明流动相似。从分析可看出,几何相似是流动力学相似

的前提条件,动力相似是决定运动相似的主导因素,运动相似是几何相似和动力相似的表

现或是必然结果。

2.相似准则

只要有外力存在,必有惯性力,惯性力比尺:

λI=

(Ma)p

(Ma)m

=

(ρVa)p

(ρVa)m

=λρλ

3

lλa=λρλ

2

lλ

2

v (1-29)

1)雷诺准则———黏滞力相似

λT=

Tp

Tm

=

μ

du

dy A p

μ

du

dy A m

=λρλνλlλv=λI或λρλνλlλv=λρλ

2

lλ

2

v

λlλv

λν

=1或 vl ν p

=

vl ν m

(1-30)

(Re)p=(Re)m

无量纲数Re=

vl

ν

称为雷诺数。雷诺数反映了惯性力与黏滞力的比值,说明两流动相

似,雷诺数必相等。

2)弗汝德准则———重力相似

λG=

Gp

Gm

=

(mg)p

(mg)m

=λρλgλ

3

l=λI或λρλgλ

3

l=λρλ

2

lλ

2

v

λ

2

v

λgλl

=1或

v

2 gl p

=

v

2 gl m

(1-31)

(Fr)p=(Fr)m

无量纲数Fr=

v

gl

称为弗汝德数。弗汝德数反映了惯性力与重力的比值,说明两流

动相似,弗汝德数必相等。

3)欧拉准则———压力相似

λP=

Pp

Pm

=

(pA)p

(pA)m

=λpλ

2

l=λI或λpλl

2=λρλl

2λ

2

v

λp

λρλ

2

v

=1即

p ρv

2 p

=

p ρv

2 m

或

Δp ρv

2 p

=

Δp ρv

2 m

(1-32)

(Eu)p= Eu m

14

无量纲数Eu=

p

ρv

2称为欧拉数。欧拉数反映了惯性力与压强力的比值,说明两流动相

似,欧拉数必相等。

在考虑不可压缩流体运动的动力相似时,决定流体平衡的主要为黏滞力、压力、重力

和惯性力,其他力的影响可忽略。如此,构成力的封闭多边形为四个边,只要黏滞力、重

力和惯性力三个边相似,第四个边压力必相似。即只要雷诺准则和弗汝得准则相似,欧拉

准则就自动相似。一般:雷诺准则、弗汝得准则称为独立准则,欧拉准则称为导出准则。

3.模型设计

1)模型律的选择

为了实现模型与原型完全相似,上述两个独立准则应同时满足,但实际是很困难的。

如模型取与原型相同的流体,由雷诺准则可得λν=1、λv=λ

-1

l ,弗汝德准则得λg=1、

λv=λ

1

2

l ,即得λl=1,模型与原型尺寸相同,失去了模型实验的意义。因此,在模型设计

中,只能满足起主要作用的力的相似,如压力流满足雷诺准则 (雷诺数相等),重力流满

足弗汝德准则 (弗汝德数相等)。

模型律的选择就是相似准则的选择。

2)模型设计

制作模型,确定流体介质与流量。

(1)确定长度比尺λl:根据制作费用和实验场地确定;

(2)根据λl 设计制作模型;

(3)确定模型流介质,一般取λν=λρ=1;

(4)选定模型律,确定λv;

(5)计算模型流量:

Qp

Qm

=

(vA)p

(vA)m

=λ

2

lλv,Qm=

Qp

λ

2

lλv

。

3)模型的类型

按几何比尺及介质性质划分。

(1)正太模型:各向几何比尺相同;

(2)变态模型:各向几何比尺不同;

(3)同类相似:模型取与原型相同的介质;

(4)异类相似:模型取与原型异类的介质。

【例1-3】 一水平管道,流速vp=3m/s,水温t=0℃,管径dp=7.5cm。在长lp=

12m上,压强差 Δpp=1.4N/cm

2。现用几何相似的直径dm=2.5cm 的水平管作模型,

管中流动的是汽油。已知vp=0.0178cm

2/s,vm =0.006cm

2/s,ρm =670kg/m

3。求:

(1)vm;(2)lm=4m长模型管道上的压强差。

【解】 (1)流动为压力流,应满足雷诺准则

vd ν p

=

vd ν m

故: vm=

3×7.5×0.006

2.5×0.0178

=3.04m/s

15

(2)lm=4m长模型管道上的压强差

由欧拉准则有: (Eu)p=(Eu)m

即:

Δp ρv

2 p

=

Δp ρv

2 m

所以: Δpm =

1.4×3.04

2×670

3

2×1000

=0.96N/cm

2

1.5.2 量纲分析

在多数实验过程中可以观察发现影响因素,而不能明确数学函数关系,或后续实验影

响因素过多而使得实验过于繁琐。量纲分析为函数的建立或简化实验过程提供了行之有效

的科学方法,为流体力学理论和实验之间的联系搭建了桥梁。

1.量纲的基本概念

1)基本量

彼此互为独立的物理量称为基本量,其量度单位称为基本单位。可用基本量表示的称

为导出量,相应的单位称为导出单位。

在物理研究中,通常取长度l、流速v、密度ρ 为基本量,则任意物理量 A 可表

示为:

A=kl

av

b

ρ

c (1-33)

2)量纲、基本量纲

物理量单位的种类称为量纲,具有独立性的量纲称为基本量纲,其他由基本量纲导出

的称为导出量纲。

对于不可压缩流体力学,常采用的基本量纲为长度L、时间T 和质量M。任意物理

量A 的量纲用符号及如下形式来表示:

dimA=L

αTβM

γ (1-34)

3)物理方程量纲一致性原则

任何一个完整正确的物理方程中各项的量纲必定相同,称为量纲的一致性原则或齐次

性。因此,物理方程必然可写成无量纲形式的方程,即物理方程由无量纲的项 (无量纲

数)组成。

2.量纲分析法

按照量纲一致性,量纲分析法有瑞利法和π定理法两种。

1)瑞利法

建立变量和因变量指数式,然后利用物理方程一致性原则求出指数。

【例1-4】 实验发现,球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD 与球体直径d、球体

运动速度v、流体的密度ρ和动力黏度μ 有关,试用瑞利法量纲分析法建立FD 的公式

结构。

【解】 建立函数关系为:FD=f(d,v,ρ,μ)

写成指数式: FD=kd

α1v

α2ρ

α3μ

α4

带入各物理量量纲:

16

[MLT

-2]=[L]

α1[LT

-1]

α2[ML

-3]

α3[ML

-1T

-1]

α4

量纲一致性有:

M:1=α3+α4

L:1=α1+α2-3α3-α4

T:-2=-α2-α4

?

?

?

??

??

α1=2-α4

α2=2-α4

α3=1-α4

?

?

?

??

??

三个方程,四个未知数,需将α4 设为待定数,将各数值带入指数式得:

FD =kd

α1v

α2ρ

α3μ

α4 =kd

2-α4v

2-α4ρ

1-α4μ

α4

=k μ ρvd

α4

ρv

2d

2=k

ν vd

α4

ρv

2d

2=k

1 Re

α4

ρv

2d

2

=f(Re)ρv

2d

2=CDρv

2d

2

式中,CD=f(Re)称为绕流阻力系数,还与绕流物体形状有关。

由该例题可知,当因变量超过四个时,就会出现待定指数,增加了不确定因素,而π

定理法能够较好地解决这个问题。

2)π定理法

如果一个物理过程涉及m 个物理量和n 个基本量,则这个物理过程可以由n 个基本

量组成的 (m-n)个无量纲量的π函数关系来描述。

F(x1,x2,…,xn)=0,即f(π1,π2,…,πm-n)=0 (1-35)

π定理法的四个步骤:(1)选取基本变量,如长度l、流速v、密度ρ;(2)建立无量

纲π数,根据式 (1-33)有任意物理量 A=kl

av

b

ρ

c,即k=l

-av

-b

ρ

-cA,令 π=k=

l

a0v

b0ρ

c0A;(3)按量纲一致性求指数;(4)根据需要整理函数式。

【例1-5】 试用π定理法建立 【例1-4】中的FD 公式结构。

【解】 设f0(FD,ρ,v,d,μ)=0,函数式中有m=5个物理量,选ρ、v、d (n=3)

个基本量,可列出m-n=2个无量纲π数来:π1、π2,则f(π1,π2)=0。

其中:

π1=ρ

α1 ·v

β1 ·d

γ1 ·FD

π2=ρ

α2 ·v

β2 ·d γ2 ·μ

写成量纲式:

[MLT]0=[ML

-3]

α1 ·[LT

-1]β1 ·[L]

γ1 ·[MLT

-2]

[MLT]0=[ML

-3]

α2 ·[LT

-1]β2 ·[L]

γ2 ·[ML

-1T

-1]

量纲一致性:

M:0=α1+1

L:0=-3α1+β1+γ1+1

T:0=-β1-2

?

?

?

??

??

α1=-1

β1=-2

γ1=-2

?

?

?

??

??

π1=

FD

ρv

2d

2

M:0=α2+1

L:0=-3α2+β2+γ2-1

T:0=-β2-1

?

?

?

??

??

α2=-1

β2=-1

γ2=-1

?

?

?

??

??

π2=

μ

ρvd

=

1

Re

则: f(π1,π2)=f

FD

ρv

2d

2 ,1 Re =0

17

解出:

FD

ρv

2d

2=f1

1 Re =f2(Re)

FD=f2(Re)ρv

2d

2=CDρv

2d

2

这一结果与 【例1-1】所得结论一致。可见当因变量较多时,用π定理法较方便。

本章小结

流体与固体的根本区别是对外力的抵抗不同,表象就是流体没有固定形状、易于

流动。

流体的平衡与运动是由内因和外因相互作用的结果。内因即流体主要的物理性质:重

力、惯性、黏性、压缩性和热胀性等;外因即作用在流体上的力:质量力和表面力两

大类。

黏性是流体抵抗剪切变形的能力属性,与温度的相关性较大,黏性越小越易流动,反

之黏性越大越不易流动。黏性是流体运动过程中产生机械能损失的根本内在因素。抵抗剪

切变形的能力可用牛顿内摩擦定律来描述,牛顿内摩擦定律适用于层流运动,符合牛顿内

摩擦定律的流体称为牛顿流体。

引入连续介质模型的目的是为了使用连续函数理论,引入理想流体模型和不可压缩流

体模型是为了简化分析过程。

模型实验和量纲分析法是常用的研究方法。模型实验必须综合实验场地、制作成本,

并合理选择实验介质和模型律;量纲分析可总结实验结果,并指导简化实验过程,量纲分

析法离不开实验测试及实验观察。

本书研究的流体特性是:由没有任何空隙的、无数流体质点所组成的、不可压缩的、

易于流动的连续介质,符合牛顿内摩擦定律的牛顿流体。

思考与练习题

1-1 在运输方式上固体与流体有没有区别?

1-2 流体的密度与重度是否与海拔高度有关?

1-3 是否无论什么样的情况下都要考虑流体的压缩性和热胀性?

1-4 水滴与水银滴的外形有何不同?

1-5 为什么海拔越高的地方水的沸点越低?

1-6 只有层状流动的牛顿流体具有黏性吗? 流体在输送过程中产生机械能损失的内

因是什么? 温度升高时流体的黏性如何变化?

1-7 流体质点的特性是什么? 三个流体力学模型提出的目的是什么?

1-8 整个流体边界所包围的流体是不是隔离体? 作用在流体上的力分为几类? 单位

质量的水和水银所受重力是否相同?

1-9 何为流动相似? 模型设计步骤是什么? 量纲分析法的意义是什么?

1-10 本书研究的流体具有哪些特性?

1-11 已知容积为5L的容器盛满密度为ρ=980kg/m

3 的溶液,该溶液的质量和重量

18

分别为多少?

1-12 在温度不变的情况下,压强由1at增加到4.5at时,某液体的体积由5L变为

4.98L,试求该液体的压缩系数和弹性模量。

1-13 如图1-7所示为一自然循环热水采暖系统,运行开始首先充满冷水,然后开始

加热,因加热后水体膨胀,故系统中需设置膨胀水箱。如系统内总容积为V=100m

3,初

始水温为tc=15℃,正常运行系统内平均温度为tz=80℃。如水的膨胀系数为αv=510×

10

-6/℃,试求膨胀水箱的最小容积。

1-14 一平板距另一固定平板δ=0.5mm,两板水平放置,其间充满流体,上板在单

位面积上为τ=2N/m

2 力的作用下、以u=0.25m/s的速度移动,如图1-8所示,求该流

体的动力黏度。

图1-7 题1-13图 图1-8 题1-14图

1-15 质量为6kg、面积为40cm×60cm 的木板,沿着涂有1mm 厚润滑油的斜面

(与水平面呈30°)以1m/s的速度等速下滑,如图1-9所示,求润滑油的动力黏度。

1-16 装有液体的某容器,放在地球上时,单位质量液体的质量力为多少? 若从空中

自由下落时又为多少?

1-17 某溢流坝流量为Q=400m

3/s,拟进行长度比尺为50的模型试验,如图1-10

所示。试求:(1)模型的流量为多少? (2)如模型堰上水头 Hm=5cm,则原型堰上水头

H0 应为多少?

图1-9 题1-15图 图1-10 题1-17图

1-18 用长度比尺为60的防浪堤进行模型试验,测定浪的压力为120N,试计算实际

防浪堤所受浪的压力。

1-19 在风洞中进行风对高层建筑物影响的模型实验,当风速为9m/s时,测得迎风

19

面压强为42N/m

2,背风面压强为-20N/m

2。如温度不变,风速增大到12m/s时迎风面

图1-11 题1-21图

压强和背风面压强为多少?

1-20 已知管流的特征流速vc 与流体的密度ρ、

动力黏度μ和管径d 有关,试用瑞利量纲分析法建立

vc 的公式结构。

1-21 有一孔口出流,如图1-11所示,经试验认

为孔口流速v 与下列因素有关:孔口的作用水头 H、

液体密度ρ、重力加速度g、运动黏性系数ν。试确定

v的表达式。

1-22 试验知水平直管中压强的降落值Δp 与下列因素有关:管内流速v、管段长度

l、管径d、管内壁突出粗糙高度κ及流动液体的密度ρ和动力黏性μ。试用π定理法验证

Δp

γ

=f Re,κ d l

d

.

v

2

2g

。

第1章课后习题详解

第2章 流体静力学

本章要点: 主要介绍静止流体中压强的特性、 分布规律、 表示方法以及作用面上静

压力与作用点的计算等。

学习目标: 通过本章的学习, 学生应理解静压强两个特性的意义, 理解绝对压强、 相

对压强、 真空度、 等压面、 测压管、 压力体及浮力等基本概念, 理解液体平衡微分方程及压

强分布规律的分析, 掌握压强的量测、 静压强分布图及压力体图的绘制, 掌握流体静力学基

本方程的意义与运用, 掌握静止流体作用在受压面上总压力确定的方法与工程应用。

流体静力学是一门研究静止流体平衡规律及其在工程实际中应用的科学,也是研究流

体运动规律的基础。

静止流体中不存在黏性切应力,表面力中只有压应力。

静止流体是指流体质点之间以及流体与边界之间无相对运动,有绝对静止和相对静止

两种状态。以地球作为惯性参考坐标系,流体相对于地球静止时的状态称为绝对静止;流

体相对于非惯性参考坐标系静止时的状态称为相对静止。

屋顶水箱、水池池体、坝体、挡水闸板等是土木工程及水利工程中不可或缺的构筑

物,其设计中所受静流体作用力的荷载分布、大小、作用点及压强的计算与确定是流体静

力学最基本和最重要的工程应用。

2.1 流体静压强及其特性

2.1.1 流体静压强

第1章作用在流体上的力一节中给出了流体压强的明确定义,式 (1-18)对于静止流

体同样适用,即某点的静压强可表示为:

p=lim

ΔA→0

ΔP

ΔA

=

dP

dA

(2-1)

2.1.2 流体静压强的特性

流体静压强具有两个特性。

1.方向性

流体静压强垂直指向作用面,与作用面的内法线方向重合。静止流体切向分力为零,

21

静压强垂直受压面,又流体几乎不能承受拉力 (将变为非连续体),故静压强方向只能与

作用面的内法线方向重合。

图2-1 微元四面体

2.大小性

静止流体中任意一点流体压强的大小与

作用面的方向无关,即任一点上各方向的流

体静压强都相同。

在静止流体中任取一微元直角四面体

ABCD,如图2-1所示,三个直角边长分别为

dx、dy、dz,作用在四面体上的力包括质量

力和表面力两种。

1)质量力

W=

1

6ρ·dxdydz·f

或 Wx=fx·ρ·1

6

dxdydz

Wy=fy·ρ·

1

6

dxdydz

Wz=fz·ρ·1

6

dxdydz

式中 fx、fy、fz———单位质量力在各个坐标轴上的分量,见第1章。

2)表面力———压力

设微元四面体ABCD 四个面上的压强分别为px、py、pz、pn,则各个面上的压力为:

Px=px·dAx=px·1

2

dy·dz

Py=py·dAy=py·

1

2

dx·dz

Pz=pz·dAz=pz·1

2

dx·dy

Pn=pn·dAn

微元四面体ABCD 为静止流体,所受合力为零,即:∑F=0。

由∑FX=0有: Wx+Px-Pn·cos(n,x)=0

pxdAx-pndAn·cos(x,n)+fx·ρ·1

6

dxdydz=0

式中cos(n,x)为斜平面ABC (面积为dAn)的外法线方向n与x 的余弦,有:

dAn·cos(x,n)=dAx=

1

2

dydz

px·1

2

dydz-pn·1

2

dydz+fx·ρ

1

6

dxdydz=0

px-pn+fx·ρ

1

3

dx=0

当四面体向D 点收缩时,dx→0,则px-pn=0。

22

即: px=pn

同理可得: py=pn,pz=pn

所以: px=py=pz=pn=p

因为斜平面ABC 是任选的,所以在静止流体内任一点上流体的压强大小在各个方向

上具有等值性,与作用面的方向无关,均可以用p 表示。对于不同的点,p 值是该坐标

点的连续函数:

p=p(x,y,z) (2-2)

2.2 流体的欧拉平衡微分方程

2.2.1 欧拉平衡微分方程

在静止流体内任取一点O,该点的压强为p (x,y,z)。以O 点为中心,取边长分

别为dx、dy、dz的微元直角六面体,如图2-2所示。

图2-2 微元六面体

微元直角六面体为静止流体,所受合力为零,即∑F=0。作用在六面体上的力包括

质量力和表面力两种。

下面以x 轴方向为例,讨论力的平衡 ∑Fx=0。

1)质量力

Wx=fx·ρ·dxdydz

2)表面力

只有作用在ABCD 和A'B'C'D'面上的压力。六面体中心点O 的压强p 按泰勒级数

展开,并省略二阶以上的高阶微量后可得两个受压面中心点M 和N 的压强:

pM=p+

1

2

∂p

∂x

dx

pN=p1

2

∂p

∂x

dx

微元面上中心点的压强可认为是平均压强,则ABCD 和A'B'C'D'所受压力为:

23

PM= p+

1

2

∂p

∂x dx dydz

PN= p1

2

∂p

∂x dx dydz

由∑FX =0有:

p1

2

∂p

∂x dx dydz- p+

1

2

∂p

∂x dx dydz+fx·ρdxdydz=0

化简、同理可得:

fx1

ρ

∂p

∂x

=0

fy1

ρ

∂p

∂y

=0

fz1

ρ

∂p

∂z

=0

?

?

?

????

???

(2-3)

式 (2-3)称为流体的平衡微分方程,它是1775年由瑞士数学家和力学家欧拉导出

的,所以该方程也称为欧拉平衡微分方程。该方程表明,在静止流体中各点单位质量流体

受到的质量力和表面力相平衡。

2.2.2 静压强的全微分式

对式 (2-3)各分式分别乘以dx、dy、dz后相加得:

ρ(fxdx+fydy+fzdz)=

∂p

∂x

dx+

∂p

∂y

dy+

∂p

∂z

dz

由于p=p (x,y,z),所以上式右侧是p 的全微分,即:

dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) (2-4)

该式为静压强的全微分式,是确定静压强分布规律的基本方程。如果已知流体所受单

位质量力的分力fx、fy、fz,由式 (2-4)就可求得静压强分布规律。

2.2.3 微分方程的积分式

当ρ为常数时,式 (2-4)右边亦应是某一力函数W =W (x,y,z)的全微分,并

将这个函数称为势函数,具有这样函数的力称为有势力,这里力函数是质量力,所以如重

力、惯性力等都是有势力。即:

dW=fxdx+fydy+fzdz,

则有: dp=ρdW

对上式进行积分得:

p=ρW+c

对于边界条件为流体表面的某点,当W=W0 时,有p=p0,则得C=p0-ρW0,于

是有:

p=p0+ρ(W-W0) (2-5)

上式为不可压缩流体平衡微分方程的积分式,也是静压强的通用表达式。该式表明,

静止流体中某点的压强是由流体表面压强p0 和有势的质量力在该点所产生的压强

ρ(W-W0)两部分所组成。

24

由式 (2-5)可知,当流体表面的压强p0 有增量 Δp0 时,流体内任一点处的压强p

将相应地等值增加 Δp0,这就是著名的帕斯卡定律,在水压机、各种起重机及手动千斤

顶等流体机械的工作原理中有着广泛的应用。

2.2.4 等压面

在同一种连通的静止流体中各点压强相等的面称为等压面。在等压面上p 为常数,

则由式 (2-4)得:

dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)=0

由于密度不为零,所以有:

fxdx+fydy+fzdz=0

或 f·ds=0 (2-6)

式中 ds———流体质点在等压面上任一微小位移。

式 (2-6)表明,质量力恒与等压面正交。由这一性质,可根据质量力的方向来判别

等压面的方向。当质量力只有重力时,因重力的方向为竖直向下的,所以等压面为水平

面。若质量力还有其他质量力,则等压面为与质量力的合力正交的曲面。

引入等压面的意义在于同种连通流体中,由已知连通点的压强来确定和计算不便观察

或测量的点的压强,如压力容器上的测压管或测压计等。

2.3 重力作用下的流体静压强分布规律

在工程实际中,流体的静止多数为重力作用下的绝对静止或简称为静止。

2.3.1 流体静力学基本方程

1.液体静压强分布的基本形式

图2-3 静止液体

图2-3所示坐标中,重力作用下的静止容器内液

面上的压强为p0。此时重力作用在单位流体上的质

量力为:

fx=0,fy=0,fz=-g

代入式 (2-4)得:

dp=-ρgdz

对于均质不可压缩液体,密度ρ为常数,对上式

积分可得:

p=-ρgz+c' (2-7)

或 z+

p

ρg

=c (2-8)

也即任取两点有: z1+

p1

ρg

=z2+

p2

ρg

(2-9)

式中 p———静止液体内某M 点的压强;

z———该M 点在坐标平面以上的高度;

25

c———积分常数,可由边界条件确定。

式 (2-7)及式 (2-8)就是重力作用下液体静压强分布的基本形式。该式表明,当质

量力只有重力时,静止液体内部任意点的p

ρg

和z 项之和为常数。当已知某点的z1 和p1,

就可求出某位置高度z2 处的压强p2。

2.液体静压强分布的常用形式

对于液面处有z=z0、p=p0,代入式 (2-7)可得c'=p0+ρgz0,则有:

p=p0+ρg(z0-z)

式中,(z0-z)为M 点到液面的距离,即淹没深度,用h表示,则上式可写成:

p=p0+ρgh (2-10)

或 p=p0+γh (2-11)

式 (2-10)或式 (2-11)就是常用形式的液体静压强计算式,在实际应用中更为方

便。公式表明,在重力作用下的静止液体中: (1)静压强p 随液体深度h 按线性规律变

化;(2)任意一点的静压强由液面压强p0 和该点承受的液柱重量产生的压强γh 所组成;

(3)距液面深度 (h=常数)相同的各点的静压强相等,即等压面为水平面,或在同一种

连通的液体中,任一水平面都是等压面。

3.气体压强的分布

以上静止液体静压强的分布规律同样适用于静止气体,但对于空间与高度有限范围内

的气体而言,因ρ太小,气柱所产生的压强ρgh 可忽略,故p=p0,即认为整个气体空

间内各点压强相等,均为作用在气体表面上的压强。

2.3.2 压强的度量

1.压强的计量基准

根据起算基准点的不同,压强分为绝对压强和相对压强两种。

1)绝对压强

以完全真空状态为零点基准起算的压强称为绝对压强,用符号pabs 或p'表示。绝对

压强的最小值为零。

2)相对压强

以当地大气压pa (当地大气柱的重力所产生的压强)为零点基准起算的压强称为相

对压强,用符号p 表示。由p=pabs-pa 知,相对压强的最小值为负一个大气压。

无论人工或是天然物体一般都处于大气中,四周受大气压的作用,均可相互抵消而不

计,所以工程中常采用相对压强,即以当地大气压为零点算起的压强。比如各种压力表的

读数都是相对压强,故相对压强也称为表压强或计示压强。

3)真空度

当绝对压强小于大气压强时相对压强为负值,称为负压。这时相对压强的绝对值称为

真空度,表示的是绝对压强不足当地大气压的差值,以pv 表示。由pv=pa-pabs=-p

知,真空度最小值为零,最大值为一个大气压。

绝对压强、相对压强和真空度之间的关系见图2-4。

2.压强的度量

压强的度量单位通常有如下三种表示方式:

26

图2-4 绝对压强、 相对压强和

真空度之间的关系

1)国际单位制,国际通用 (SI)度量单位,

Pa (N/m

2)或kPa、MPa。

2)用大气压的倍数表示,通常大气压有标

准大气压 (用 atm 表示)和工程大气压 (at)

两种:

1atm=101.3×10

3Pa=760mmHg

=10.33mH2O

1at=1kgf/cm

2=98.1×10

3Pa

=736mmHg=10mH2O

3)用液柱高度表示,压强的大小都可以用

产生相同压强值的液柱高度来表示,即h=

p/ρg;通常用水柱高度或汞柱高度表示,如mH2O、mmHg等。

如图2-5所示,在流体容器侧壁某位置外接与内部流体相连通的上部开口、直径不小

于10mm的可视管 (一般为玻璃管)称为测压管,用于观测容器内的液面及压强变化,

测压管内的液面即为容器内的自由液面,测压管内的液面高度即为连接点处的静压强。

2.3.3 测压管高度、 测压管水头

液体静力学方程式z+p/ρg=c中各项具有不同的几何意义和物理意义。

1.几何意义

液体静力学方程式z+p/ρg=c中的几何意义如图2-5所示。

图2-5 测压管水头

z为某点在基准面上的高度,称为

位置水头或位置高度。

p/ρg 是该点在压强作用下沿测压管

上升的高度,称为测压管高度或压强水

头,也即用液柱高度 (hp=p/ρg)表示

的该点压强。

z+p/ρg=c为测压管液面到基准面

的高度,称为测压管水头。该式表明静

止液体中各点测压管水头相等,测压管

水头线为水平线。

2.物理意义

从物理学的能量和做功的角度可知:将质量为m 的物体从基准面移动到高度为z后,

对于基准面而言具有的位能为mgz,对于单位重量的流体而言位能为 (mgz)/(mg)=z,

所以z的物理意义为单位重量流体对于基准面的位能。同理可知p/ρg 的物理意义为单位

重量流体所具有的压强势能,即压能。z+p/ρg 为位能和压能之和,是单位重量流体所

具有的总势能。公式 (2-8)中z+p/ρg=c的物理意义是指在静止液体中各点单位重量

流体所具有的总势能相等,这就是静止流体中的能量守恒定律。

【例2-1】 密封水箱如图2-6所示,若水面上的相对压强p0=-44.5kN/m

2,求:

(1)h值;(2)求水下0.3m 处 M 点的压强,要求分别用绝对压强、相对压强、真空度、

27

水柱高度及大气压表示;(3)M 点相对于基准面0-0的测压管水头。

图2-6 密封水箱

【解】 (1)求h值

列等压面1-1,pN=pR=pa。

以相对压强计算:p0+ρgh=0

-44.5+9.8h=0

得: h=44.5/9.8=4.54m

(2)求pM

用相对压强表示:

pM=p0+ρghM=-44.5+9.8×0.3=-41.56kN/m

2

hM=pM/ρg=-41.56/9.8=-4.24m

用绝对压强表示:p'M=pM+pa=-41.56+98=56.44kN/m

2

h'M=p'M/ρg=56.44/9.8=5.76m

用真空度表示: pv=-pM=41.56kN/m

2

hv=pv/ρg=41.56/9.8=4.24m

(3)M 点的测压管水头

ZM+pM/ρg=-0.3+(-4.24)=-4.54m

2.3.4 液体静压强分布图

利用基本方程p=p0+γh 或p=γh 及静压强特性所绘制的表示静压强 (相对压强)

沿受压面分布情况的几何图形称为液体静压强分布图。图形中以一定长度的线条表示压强

的大小,以箭头垂直指向受压面表示压强的作用方向。

池体及坝体等压应力沿受压面分布的分析绘制是土木工程结构设计和计算不可或缺的

重要内容。图2-7为几种常见的静压强分布图。

图2-7 几种常见的静压强分布图

28

2.4 相对平衡下的流体中的压强分布

相对平衡是指流体相对于地球有运动,流体微团及流体与容器壁之间没有相对运动,

流体相对于容器是静止的。

在相对平衡状况下,质量力中除了重力外还受有惯性力的作用。

2.4.1 等加速度直线运动容器中液体的相对平衡

图2-8 等加速直线运动的小车

如图2-8所示,盛有液体的容器静

止时水深为H,该容器以加速度a作直

线运动,运动时液面成倾斜平面。选取

容器内运动前后液面交界点为坐标原点

o,建立坐标系oxyz。

1.压强分布规律

流体所受质量力包括重力和惯性

力,惯 性 力 方 向 与 加 速 度 方 向 相 反,

则有:

fx=-a、fy=0、fz=-g

代入式 (2-4)得:

dp=ρ(-adx-gdz) (2-12)

p=-ρ(ax+gz)+c (2-13)

由边界条件x=0、z=0,p=p0,确定积分常数c=p0,有:

p=p0-ρ(ax+gz) (2-14)

令p=p0,则液面方程为: z0=-

a

g

x (2-15)

代入式 (2-14)有:

p=p0+ρg(z0-z)=p0+ρgh (2-16)

式 (2-15)表明液面为一倾斜平面;式 (2-14)和式 (2-16)即为压强分布计算式,

其中h=z0-z为计算点在液面下的淹没深度;式 (2-16)表明与静止流体的压强分布规

律相同。

2.等压面

在式 (2-12)中令dp=0得到等压面方程:

z=-

a

g

x+c (2-17)

该式表明,等压面是一系列平行于自由液面的倾斜平面。

3.测压管水头

由式 (2-13)得:

z+

p

ρg

=ca

g

x (2-18)

该式表明,仅在与纸面垂直的同一铅垂面上 (x 相同)各点的测压管水头才相等。

29

2.4.2 等角速度旋转容器中液体的相对平衡

如图2-9所示,静止时液体高度为H 的容器,以等角速度ω 绕其中心轴旋转,由于

液体黏性的作用,经过一段时间后,所有液体均以相同的ω 随容器旋转,液体质点间、

液体与容器间无相对运动,自由面由原来静止时的水平面变为绕中心轴的旋转抛物面,达

到相对平衡。此时,液体相对地球在作向心加速度运动,液体质点一方面受重力作用,另

一方面还受有离心加速度这一惯性力的作用。

选取容器内液体抛物面顶点为坐标原点o,建立图示坐标系oxyz。

图2-9 等角速旋转

1.压强分布规律

单位质量力的分力为:fx=ω

2rcosα=ω

2x、fy=ω

2rsinα=ω

2

y、fz=-g。

代入公式 (2-4)有: dp=ρ(ω

2xdx+ω

2

ydy-gdz) (2-19)

积分得: p=ρ

ω

2x

2+ω

2

y

2

2 -gz +c=ρ

ω

2r

2

2 -gz +c

由边界条件z=0、r=0、p=p0,确定积分常数c=p0,有:

p=p0+ρ

ω

2r

2

2 -gz (2-20)

令p=p0,则液面方程为: z0=

ω

2r

2

2g

(2-21)

代入式 (2-20)得: p=p0+ρg(z0-z)=p0+γh (2-22)

式 (2-21)表明液面为一旋转抛物面;式 (2-20)和式 (2-22)即为压强分布计算式,

其中h=z0-z为计算点在液面下的淹没深度。式 (2-22)表明与静止流体的压强分布规

律相同。

2.等压面

在式 (2-20)中令p=常数,得等压面方程:

z=

ω

2r

2

2g

+C (2-23)

该式表明,等压面是一系列平行于液面的抛物面。

30

3.测压管水头

由公式 (2-13)得: z+

p

ρg

=

ω

2r

2

2

+c (2-24)

该式表明,仅在距中心轴相同半径 (r相同)的同一铅垂柱面上各点的测压管水头才

相等。

【例2-2】 如图2-10 (a)所示为一弯曲河段上的水流,设在断面A'-A 上各点均以线

速度v作匀速圆周运动。已知:r1=135m,r2=150m,v=2.3m/s,求河两岸M 点与N

点的水面差。

图2-10 弯曲河段上的水流

【解】 因横断面A'-A 上水流质点间均以v前进,故无相对运动,属于液体的相对平

衡状态。在横断面A'-A 上水流质点除受重力作用外,还有离心加速度的惯性力作用。建

立如图2-10 (b)所示坐标系,单位质量力分力为:

fx=

v

2

x

、fy=0、fz=-g

代入式 (2-4)微分方程dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)有:

dp=ρ

v

2

x dx-gdz

在等压面 (河面)上dp=0,则有:

图2-11 等角速度ω 转动

v

2

x

dx=gdz

即: v

2

g∫

r2

r1

1

x

dx=∫

z2

z1

dz

Δh=z2-z1=

v

2

g

ln

r2

r1

=

2.3

2

9.8

ln

150

135

=0.057m

答:河两岸 M 点与 N 点的水面差 Δh=

0.057m。(道路转弯处均外侧高、内侧低原理与

此相同)

【例2-3】 有一直径 D =0.1m、高 H =

0.5m的圆筒,如图2-11所示,桶内盛水的深度

h=0.3m,圆筒绕其中心轴作等角速度ω 转动。

31

求水面的抛物线顶点恰在桶底时的转速n及所余水的体积V。

【解】 (1)建立如图2-11所示的坐标系,由式 (2-20)得自由面方程:

z0=

ω

2r

2

2g

在圆筒上沿处r=

D

2

时,z0=H 代入上式得:

H=

ω

2

2g

·

D

2

4

ω=

8gH

D

2 =

8×9.8×0.5

0.1

2 =62.61rad/s

故: n=

ω

2π

=

62.61

2π

=9.97rad/s

(2)因自由抛物面的方程为z0=

ω

2

2g

r

2,有r

2=

2gz0

ω

2 ,旋转抛物体的体积为:

V1=∫

H

0

πr

2dz0=∫

H

0

π

2g

ω

2z0dz0=∫

0.5

0

2πg

ω

2z0dz0=

9.8π

62.61

2 ×0.5

2=0.00196m

3

圆筒体积: V2=

1

4

πD

2H=

1

4

π×0.1

2×0.5=0.00393m

3

故所余水的体积: V=V2-V1=0.00393-0.00196=0.00197m

3

水面的抛物线顶点恰在桶底时的转速n=9.97rad/s,所余水的体积V=0.00197m

3。

2.5 静止液体作用在平面上的总压力

多数水池、坝体、桥墩、闸门等水工构筑物的受压面为平面,在其结构设计中,压应

力受力分析的目的是为了确定流体作用在受压面上的总压力及作用点。对于气体而言,受

压面上各点的压强相等,总压力就等于压强与受压面面积的乘积。液体与气体不同,作用

在平面上总压力的大小和作用点需进一步通过解析法或图解法进行计算确定。

2.5.1 解析法

1.总压力的方向和大小

图2-12 平面上总压力

如图2-12所示,设面积为 A

的任意形状平面,与水平面的夹角

为α,以平面的延伸面为oy、平面

的延伸面与液面的交线为ox 轴选

取坐标系。液面与大气连通,现分

析平面左侧受压平面上总压力的方

向和大小。

1)总压力的方向。平板上各

点的压力均指向受压面,是平行力

系,故合力垂直指向板面,即总压

32

力的方向沿作用面的内法线方向。

2)总压力的大小。作用在平板上的力是平行力系,所以总压力按求和原理求得,压

力一般按相对压强计算。

在受压平面上任取一微小面积dA,其中心点在液面下的深度为h,作用在dA 上的

相对压强为p=ρgh,则作用在微小面积dA 上的液体静压力为:

dP=ρghdA=ρg·ysinα·dA

作用在平面上的总压力可通过积分得到:

P=∫

A

dP=ρgsinα∫

A

ydA

式中积分∫

A

ydA =Ayc ,为受压面对ox 的静矩,代入上式得:

P=ρgsinα·ycA=ρghcA=pcA (2-25)

式中 P———平面上液体总压力;

yc———受压面形心到ox 的距离;

hc———受压面形心点的淹没深度;

pc———受压面形心点的压强。

式 (2-25)表明,静止液体作用于任意形状平面上的总压力的大小等于其形心点的压

强与受压面面积的乘积。

2.总压力的作用点

总压力作用线与平面的交点称为压力中心或作用点。由理论力学中合力矩定理可知,

总压力对ox 轴之矩等于各微元面积上的压力对ox 轴之矩的代数和。

PyD =∫

A

ydP=∫

A

yρghdA =∫

A

yρgysinαdA =ρgsinα∫

A

y

2dA

积分∫

A

y

2dA =Ix ,为受压面A 对ox 轴的惯性矩,代入上式得:

PyD=ρgsinαIx

将式 (2-25)代入上式化简得:

yD=

Ix

yCA

由惯性矩的平行移轴定理有Ix=IC+y

2

CA,代入上式得:

yD=yC+

IC

yCA

(2-26)

式中 yD———总压力作用点到ox 轴的距离;

yC———受压面形心到ox 轴的距离;

IC———受压面对与ox 轴平行的形心轴的惯性矩;

A———受压面面积。

式中

IC

yCA

>0,所以yD>yC,即压力中心D 位于所在平面形心C 之下。当受压面为

水平面 (如水池底部),即yC=∝时,压力中心D 与平面形心C 重合。

同理可求出总压力作用点D 到oy 轴的距离xD。实际工程中的受压面一般为与oy 轴

33

对称图形,此时压力中心D 必位于oy 轴上,无需再计算xD。

几种常见图形的几何特征量见表2-1。

几种常见图形的几何特征量 表2-1

几何形状 面积A 形心坐标yC 通过形心轴的惯性矩IC

bh 1

2

h

1

12

bh3

1

2

bh 2

3

h

1

36

bh3

π

8

d2 2d

3π

d4

16

π

8

-

8 9π

h

2

a+b

h

3

·

a+2b

a+b

h3

36

a2+4ab+b2 a+b

π

4

d2 d

2

π

64

d4

π

4

bh

h

2

π

64

bh3

图2-13 矩形闸门

【例2-4】 如图2-13 (a)所示,一铅直矩

形闸门AB,已知h1=1m,h2=2m,垂直纸面

的宽度b=1.5m,求闸门所受静水总压力及其

作用点。

【解】 hc=h1+

h2

2

=2m

A=b×h2=1.5×2=3m

2

P=ρghcA=9800×2×3=58.8kN

34

IC=

bh

3

2

12

=

1.5×2

3

12

=1m

4

yD=yC+

IC

yCA

=2+

1

2×3

=2.17m

闸门所受静水总压力为P=58.8kN,其作用点为距水面yD=2.17m。

2.5.2 图算法

在绘制静压强分布图的基础上,根据静压强分布图的几何特征来确定受压面总压力的

大小、方向和作用点。规则平面图算法比解析法更直观明了。

图2-14所示的为矩形平面斜面长度为l、垂直于纸面的宽度为b 的受压面压强分

布图。

图2-14 平面壁上压强分布图

1.总压力

(1)图2-14 (a)。由解析法有:

P=pcA=ρghcA=ρg h1+

h2-h1 2 lb=

ρgh1+ρgh2

2

lb=S·b (2-27)

式中 S———图中压强分布图构成的梯形面积。

(2)图2-14 (b)。由解析法或式 (2-27)中h1=0、h=h2,有:

P=pcA=ρghcA=ρg

h

2

lb=ρgh

2

lb=S·b (2-28)

式中 S———压强分布图构成的三角形的面积。

式 (2-27)和式 (2-28)表达的是总压力等于压强分布图的面积S 与平面板厚度b的

乘积所构成体积的液体重量。

2.作用点

由式 (2-27)和式 (2-28)表达的意义可知,总压力作用线必穿过压强分布图形的形

心,并垂直指向受压面的对称轴处。因此,只要根据压强分布图,通过表2-1就可计算确

定总压力的作用点。

(1)图2-14 (a)。由解析法有:

yD=y1+y'C=

h1

sinα

+

l

3

ρgh1+2ρgh2

ρgh1+ρgh2

=

h1

sinα

+

l

3

h1+2h2

h1+h2

(2-29)

35

式中 y'C———压强分布图梯形图形的形心,见表2-1。

(2)图2-14 (b)。令式 (2-29)中h1=0、h2=h,有:

yD=y'C=

2l

3

(2-30)

式中 y'C———压强分布图三角形图形的形心,见表2-1。

显然只要绘制出压强分布图,就可方便地求出总压力及其作用点。

图2-15 受压平板

实际上,无论什么样的受压面,其所受总

压力的大小和作用点,均可由压强分布图形通

过图解法来确定。

【例2-5】 如图2-15所示,受两种液体作用

的平板 AB,其倾角α=60°,上部受油压深度

h1=1m,下 部 受 水 压 深 度 h2 =2m,r油 =

8.0kN/m

3。求作用在单位宽度AB 板上的总静

压力及其作用点的位置。

【解】 如图2-15所示,将力分解为三部分:

(1)上部油压力

P1=γ油hC1A1=8×

1

2

×1×

1

sin60°

×1=4.62kN

y

A

D1 =yC1 +

Ic1

yC1A1

=

1

2

×

1

sin60°

+

1

12

×

1 sin60°

3

1

2

×

1

sin60°

×

1

sin60°

×1

=0.77m

(或用图解法有y

A

D1 =

2

3

×

h1

sin60°

=0.77m)

(2)上部油压传到下部板的压力

P2=γ油h1A2=8×1×

2

sin60°

×1=18.48kN

y

A

D2 = h1+

h2 2 1

sin60°

=2.31m

(3)下部板所受水压力

P3=γhc2A2=9.81×

2

2

×

2

sin60°

×1=22.65kN

y

A

D3 =

h1

sin60°

+

1

2

×

h2

sin60°

+

1

12

×

h2 sin60°

3

1

2

×

h2

sin60°

×

h2

sin60°

×1

=

h1

sin60°

+

2

3

×

h2

sin60°

=

1

sin60°

× 1+

4 3 =2.69m

(或用图解法有y

A

D3 =

h1

sin60°

+

2

3

×

h2

sin60°

=2.69m)

36

故:P=P1+P2+P3=4.62+18.48+22.65=45.75kN

y

A

D=

P1×y

A

D1+P2×y

A

D2+P3×y

A

D3

P

=

4.62×0.77+18.48×2.31+22.65×2.69

45.75

=2.341m

2.6 静止液体作用在曲面上的总压力

实际工程中存在着大量的如弧形闸门、圆管壁面、球形容器及圆形水池等具有平行母

线的二维曲面 (柱面)的水工设施,曲面上各点所受静止液体作用力的大小与方向均不

同,所以其计算与平面壁的计算有很大的不同。

图2-16 曲面上的总压力

2.6.1 总压力的大小和方向

在图2-16所示的二维曲面 AB

上取一微元面积dA,该微小面积位

于液面下h处,作用在该微元面积上

的总压力为dP=pdA=ρghdA,并

设该力与水平方向的夹角为θ,现将

其分解为水平dPx 和铅垂dPz 两个

分力来进行讨论。

1.水平分力

1)微元面积dA 上的水平分力

dPx=dPcosθ=ρghdAcosθ=ρghdAz (2-31)

式中 dAz———微元面积在铅垂方向的投影面积,dAz=dAcosθ。

2)曲面AB 上的水平分力

对式 (2-31)积分:Px =∫dPx =∫Az

ρghdAz =ρg∫Az

hdAz

积分∫Az

hdAz =hcAz 是曲面在铅垂方向的投影面积Az 对oy 轴的静矩,代入得:

Px=ρghcAz=pcAz (2-32)

式中 Px———曲面上总压力的水平分力;

Az———曲面在铅垂方向的投影面积;

hc———投影面Az 形心点的淹没深度;

pc———投影面Az 形心点的压强。

式 (2-32)表明,作用在曲面上总压力的水平分力等于作用在该曲面在铅垂投影面上

的压力。

2.铅垂分力

1)微元面积dA 上的铅垂分力

dPz=dPsinθ=ρghdAsinθ=ρghdAx (2-33)

式中 dAx———微元面积在水平方向的投影面积,dAx=dAsinθ。

2)曲面AB 上的铅垂分力

37

对式 (2-33)积分: Pz =∫dPz =∫Ax

ρghdAx =ρg∫Ax

hdAx =ρgV (2-34)

式中 Pz———曲面上总压力的铅垂分力;

Ax———曲面在水平方向的投影面积;

V———压力体,∫Ax

hdAx =V ,表示以受压曲面AB 为底,以AB 在自由面上的投

影面积CD 为顶所形成的液柱ABCD 的体积,称为压力体。

式 (2-34)表明,作用在曲面上总压力的铅垂分力等于压力体内液体的重量或受压曲

面AB 铅垂方向所托液体的重量。

3.曲面上的总压力的大小和方向

1)总压力的大小

总压力是水平分力和铅垂分力的合力:

P= P

2

x+P

2

z (2-35)

2)总压力的方向

总压力作用线与水平方向的夹角为:

tanθ=

Pz

Px

θ=arctan

Pz

Px

(2-36)

2.6.2 总压力的作用点

(1)水平分力Px 的作用线通过铅垂投影面Az 压强分布图的形心;

(2)铅垂分力Pz 作用线通过压力体的形心;

(3)总压力P 的作用线由Px 和Pz 的交点及θ确定;

(4)将P 的作用线延长至受压面,其交点D 即为总压力在曲面上的作用点。

2.6.3 压力体

曲面铅垂压力的计算必须通过压力体的绘制来进行。

压力体是由底面、顶面、侧面三个面组成的一个封闭柱体。底面为受压的曲面,顶面

为受压曲面在自由液面 (即测压管的液面)上的投影,侧面为受压曲面边界线至顶面边界

线所做的铅垂柱面。压力体可分为实压力体和虚压力体两种。

1.实压力体

图2-17所示的压力体和受压液体在曲面AB

︵ 的同侧,曲面上面确实承受着液体的压

力,称为实压力体,Pz 的方向向下。

2.虚压力体

如图2-18所示的压力体和受压液体在曲面AB

︵ 的两侧,曲面受的是向上的托力,称

为虚压力体,Pz 的方向向上。

在绘制压力体时,应根据曲面拐点 (铅垂压力变方向处)将曲面分为几段分别绘制,

并将重合的虚实压力体抵消,计算压力体一定是叠加后的压力体。

【例2-6】 如图2-19 (a),弧形闸门,宽度为b (垂直于纸面),圆心角为θ,半径为

R,水面与铰轴平齐。试求静水压力的水平分量Fx 与铅垂分量Fz。

38

图2-17 实压力体 图2-18 虚压力体

图2-19 弧形闸门

【解】 水平分力即为弧形闸门投影在铅垂方向平板 (图2-19a中虚线)上的力:

Fx=ρg

1

2

Rsinθ·bRsinθ=

1

2ρgbR

2

sinθ

2

压力体如图2-19 (b)阴影部分所示:Fz =ρgb

θ

2π

πR

2-

1

2 Rsinθ·Rcosθ ,方向

向上。

【例2-7】 如图2-20 (a)为长l=1m的柱形滚门处于静止状态 (一侧有水,水面与

滚门最高点齐平),已知D=4m,α=30°。求滚门所受水平推力Px 与垂直分力Pz。

图2-20 柱形滚门

【解】 (1)水平分力即垂直纸面的投影平板A-O-B 所受力

Px =ρghcA=ρg

1

2

(r+rcosα)×(r+rcosα)×l

=1000×9.81×

1

2

(2+2cos30°)2×1=68.32kN

(2)垂直分力即图示阴影部分压力体

39

Pz =ρgV柱 =ρg(AACEO扇形 +AAOEF梯形 )l

=ρg

πr

2

360°

×(180°+30°)+

r+(r+rcosα)

2 rsinα l

=1000×9.81×

π2

2

360

×(180+30)+

2+(2+2cos30°)

2 ×2sin30° ×1

=99.99kN

【例2-8】 如图2-21所示的棱柱体,假定它的重量为零,悬挂在穿过o点的和纸面垂

直的水平转轴上,要使其保持如图2-21所示位置不转动 (上边与水面平齐)。已知:R=

1m,h=2m。求x。

【解】 要使其保持现状,必须使各面所受力对o点之矩为零,因为左半圆柱总力通过o

点,即对o点之矩为零。所以有右边的作用力对o点之矩也应为零,即其作用线应过o点。

设斜边为y,则由三角形相似有:y

R

=

2R

y-yD

,即yD=y2R

2

y

。

又 yD=yc+

Ic

ycA

=

y

2

+

1

12

×1×y

3

y

2

×y×1

=

2

3

y (图解法可直接得出)

所以: y2R

2

y

=

2

3

y,得y

2=6。

故: x= y

2-(2R)2 = 6-2

2 = 2m

【例2-9】 如图2-22所示,ABCDE 由1/4圆柱面AB 和3/4柱面BCDE 组成,半径

R=1m,试求单位长度曲面AE 所受静水总压力的水平及垂直分力Px、Pz 各为多少?

图2-21 水中平衡棱柱体 图2-22 受压曲面

【解】 (1)水平分力相当于图2-22中o-o'铅垂平板的受力

Px=ρghcA=ρgR×2Rl=ρg2R

2l=1000×9.81×2×1

2×1=19.62kN

(2)垂直分力即为图2-22中阴影部分压力体的重量

Pz =ρgV=ρg

3

4

πR

2+ 2R·R1

4

πR

2 ?

?

??

?

?

??l=

1

2ρgR

2(4+π)

=

1

2

×1000×9.81×1

2(4+3.14)=35.02×10

3N=35.02kN (方向向下)

40

2.7 液体作用在潜体和浮体上的总压力

2.7.1 浮力的原理

1.浮力

浸入液体中的物体表面实质上就是受压曲面壁,按照作用在曲面上液体总压力的分析

方法可知,作用在浸入液体中的物体表面的水平力为零;铅垂方向的力为浸入液体中的物

体表面所受压力体的重量,且方向向上,也称为浮力,大小等于物体排开液体的重量———

阿基米德浮力定律。

2.液体作用在物体上的力

一切浸没于液体中或漂浮于液面上的物体都受到两个力作用:一个是垂直向上的浮力

Pz,其作用线通过浮心;另一个是垂直向下的重力G,其作用线通过物体的重心。对浸

没于液体中的均质物体,浮心与重心重合,但对于浸没于液体中的非均质物体或漂浮于液

面上的物体重心与浮心是不重合的。

3.液体中物体的状态

物体的沉浮,是由它所受重力和上浮力的相互关系来决定的。根据重力G 与浮力Pz

的大小关系,物体在液体中将有三种不同的存在方式:

(1)G>Pz,物体将下沉到底,称为沉体;

(2)G=Pz,物体可以潜没于液体任意位置中,称为潜体;

(3)G<Pz,物体会上浮,直到部分物体露出液面,使留在液面以下部分物体所排

开的液体重量恰好等于物体的重量为止,称为浮体。

2.7.2 浮体与潜体的稳定性

稳定性是指物体保持平衡状态的能力。浸入于液体中物体的重力与浮力相等,且作用

线重合时,物体处于平衡状态。如图2-23所示,可分为稳定平衡、中性平衡和不稳定平

衡三类。

图2-23 浮体与潜体稳定性