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1 数学加分宝8 上第 1 周秋季讲义（教师版）【知识梳理】1.勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .字母表示： 若斜边的长度用 c 表示，两条直角边分别用 a、b 表示，则 2 2 2

a  b c .注意：①勾股定理成立的前提是 直角 三角形；②要分清楚三条边哪个是直角边，哪个是斜边；2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.判断一个三角形是否为直角三角形的方法是（1）边：三边满足 2 2 2 a  b  c

（2）角：最大角为 90°（或最大角等于两个小角的和）

3.勾股数: 满足

2 2 2 a  b  c 的三个正整数,叫做勾股数.常见勾股数：

①3,4,5 ② 5,12,13 ③ 7,24,25 ④ 9,40,41 ⑤8,15,17题组 1 利用面积探索勾股定理

1.求下列字母所代表的数. 【答案】A＝400+225＝625 B＝225－81＝144 A＝400－64＝336 4142552 2

x ，x2.如图中字母 A 所代表的正方形的边长为（ B ）

A．4 B．8 C．16 D．64

3.如图，图中所有三角形是直角三角形，所有四边形是正方形， 1 S ＝9， 3 S ＝144，4 S＝169，则2 S＝16.第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图

4.在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，其余四个正方形的面积分别是 S1,S2,S3,S4,则 S1+S2+S3+S4=_______4______. 5.（26 中期中）如图，以直角三角形 a,b, c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 1 2 3 S  S  S 图形个数有 4 个.

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2 数学加分宝题组 2 已知两边关系求第三边

勾股定理的常见变形： 



         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a c b ；b c a ；c a b ；a c b ；b c a. 1.Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a，b，c . （1）若 a 12，b  5 ，则 c  13 . （2）若 c  41，b  40 ，则 a  9 . （3）若 a : b  3: 4 ，c  20 ，则 a  12 ，b  16 . 2.（市南期中）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，周长为 90，斜边与一条直角边之比为13：5，则这个三角形三边长分别为（ C ）

A.5，4，3 B.13，12，5 C.39，36，15 D.26，24，10

3.（市北期中）在 Rt△ABC 中， C=90°，周长为 60，斜边与一条直角边长度之比为5:3，则这个三角形三边长分别是 25,20,15 . 4.一个直角三角形的斜边长比一直角边长大 2，另一直角边长为 6，则直角三角形的斜边长为10 . 5.已知一个直角三角形的木板，三边的平方和为 1800，则斜边的长为 30 . 6.已知直角三角形面积为 4，两直角边的比为 1:2，则它的斜边的平方为 5 . 7.在直角三角形中，两条直角边长为 n

2－1 和 2n ，则斜边长为 n

2+1 .题组 3 勾股定理分类讨论

1.（市北期中）在△ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则△ABC 的周长是42 或32 . 2.直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的平方为 25 或 7 . 3.一直角三角形的两边长是 6 和 8，则第三条边上的高为 4.8 或 6 . 4.（市北期中） ABC 中，AB=15cm，AC=13cm，高 AD=12cm， ABC的周长是42 或32 cm. 5.（市北期中）直角三角形的两条边分别是 3 和 4，则它的最长边的长度是___5 或4____.

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3 数学加分宝题组 4 求面积

1.已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a＋b＝14cm，c＝10cm，则 Rt△ABC 的面积是24 cm2

. 2.一个三角形三边长为 15，20，25，则其面积为 150 . 3.斜边长为 17 厘米，一条直角边为 15 厘米的直角三角形的面积为 60 平方厘米. 4.以面积为 9m2的正方形的对角线为边做一个正方形，其面积为 18m2

. 5.（26 中期中）斜边的边长为 17cm，一条直角边长为 8cm 的直角三角形的面积是60cm2

. 6.如图，半圆的面积是 8π .

7.如图，一块直角三角形地被 BD 分成两块，其中斜边 AB 长为 13 米，一条直角边BC 长为5 米，∠BDC=45°，要在△ABD 内种草皮，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要多少元？8.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4 米，高 3 米，长 20 米，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.解： 100( ) 2 S矩形ABDE  AB  BD m

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4 数学加分宝题组 5 小应用题

1.在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从 C 点出发，以每分钟20cm的速度沿CA→AB→BC 的路径再回到 C 点，需要的时间是 12 分钟. 2.如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？

【答案】AC＝13（米）

3.秋千拉绳长 3 米，静止时踩板离地面 0.5 米，某小朋友荡秋千时，水平方向荡出2.4 米，此时秋千离地面多少米？

【答案】如图， 3 2.4 1.8 1.8 3.5 1.8 1.7

2 2 2 2 2 2 OC  OB  BC    ，OC  ，CG  4.如图，甲乙两船从海口 A 同时出发，甲船以 12 海里/时的速度向北偏东 40°航行，乙船向南偏东50°航行，航行 3 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 BC 两岛相距 60 海里，则乙船的速度是16 海里/小时.

5.如图，一次台风过后，一棵大树被风从离地面 2.8 米处吹断，倒下的树的顶端砸到了离树根9.6 米处的一辆自行车，这课大树被吹倒前至少有多高？

【答案】12.8 米

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5 数学加分宝题组 6 等腰三角形

1.等腰三角形腰为 5，底为 8，则这个三角形的面积是 12 . 2.等腰三角形一条腰长为 39，底边长为 30，则底边上的高为 36 . 3.等腰三角形面积为 12，底边上的高为 4，则腰长为 5 . 4.（李沧期中）等腰三角形的周长是 16，底边长是 6，则它的面积是 _12__. 5.（市南东片）若等腰三角形的一边长是 3，另一边长为 6，则它的周长是（C ）A.9 B.12 C.15 D.12 或15

6.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据是②.（填序号）①13，10，10 ②13，10，12 ③13，12，12 ④13，10，11

题组 7 斜边高

1.直角三角形两条直角边分别为 5cm、12cm，斜边上的高是 cm13

60

. 2.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是 7.2 . 3.直角三角形两条直角边分别为 8cm、15cm，斜边上的高是 cm17

120

. 4.如图，在△ABC 中，有一 P 在直线 AC 上移动，若 AB=AC=5，BC=6，则BP 的最小值为4.8.

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6 数学加分宝题组 8 勾股定理的验证

1.验证勾股定理：

①如图，用四个相同的直角三角形构成如图所示的正方形.你能验证勾股定理吗？2 2 2

2 2

2

2

2

1

( ) 4

4

a b c

a b

a b ab

S S S

S c

  

 

   

 

小正方形 大正方形 三角形

小正方形

②如图，用四个相同的直角三角形构成如图所示的正方形.你能验证勾股定理吗？2 2 2

2 2

2

2

2

1

( ) 4

4

a b c

a b

b a ab

S S S

S c

  

 

   

 

大正方形 小正方形 三角形

大正方形

③如图，用两个完全相同的直角三角形构成如图所示的梯形.你能验证勾股定理吗？2 2 2

2 2

2 2

2

( ) 2

(2 ) 2

1

2

1

2

1

2 2

( ) 2

1

( ) ( ) 2

1

a b c

a b ab c

S S S ab c ab c

S a b a b a b

ABE AED

      

      

      

梯形  

梯形

2.用如图 1 所示的 4 个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼，摆一摆，可以摆成如图2 所示的正方形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？

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7 数学加分宝题组 9 判断一个三角形是直角三角形

1.（李沧期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ C ）

A. 2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7

2.（青附期中）分别以下列六组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ② 2 ，5，7③1，2，3；④9，40，41 ⑤

2

1

,5

2

1

,4

2

1

3 ⑥ 2 2 2 3 ,4 ,5 . 其中能构成直角三角形的有（ B ）组. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3.（市南期中）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ D ）

A.4，5，6 B.5，6，10 C.5，8，12 D. 3, 3, 64.（局属期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ C ）

A. 6, 8, 10 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.9,40,41 D. 513, 5

12

, 5

6

5.（51 期中）下列能构成直角三角形三边长的是（ C ）

①2、3、4 ②3、4、5 ③15、20、25 ④7、24、25

A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个

6.（局属期中）下列各组数是勾股数的一组是（ A ）

A.7，24，25 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.1.5，2，2.5 D. 3, 4, 77.（市北期中）下列条件中，可以使 ABC 是直角三角形的，有（ C ）

① 5

1

4

1

3

1

a  ，b  ，c  ；② a  3，b  2，c  5 ；③∠A=48°，∠B=42°；④AB=AC，∠B=45°. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个8.（市北期中）根据下列所给条件，能判定一个三角形是直角三角形的有（B ）①三条边的边长之比是1: 2 : 3 ②三个内角的度数之比是1:1: 2

③三条边的边长分别是

5

1

4

1

3

1，， ④三条边的边长分别是 2，3，5A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

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8 数学加分宝题组 10 判断一个三角形不是直角三角形

1.（市南东片）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ B ）

A.3，4，5 B.8，12，13 C.1，1， 2 D. 2, 3, 52.（市南中片）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ A ）

A.2，6，7 B.6，8，10， C.7，24，25 D.9，12，15

3.（26 中期中）以下列长度的线段为边不能构成直角三角形的是（ D ）A.3，4，5 B.6，8，10 C.5，12，13 D.6，24，25

4.（李沧期中）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ D ）

A.3，4，5 B. 6，8，10 C.5，12，13 D.13，16，185.（李沧期中）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ A ）

A. 8，15，18 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 3，4，5

6.（26 中期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ D ）

A．1,2, 5 B.1,2, 3 C.3,4,5 D. 6,8,127.（育才期中）下列四组数中，不能构成直角三角形边长的一组是（ B ）A.0.3，0.4，0.5 B.1，2，3 C.1， 2 ， 3 D.5，12，13

题组 11 格点图判断

1.（市北期中）如图是一个 66 的网格，在△ABC，△ ABC，△ ABC三个三角形中，有（B）个直角三角形. A.3 B.2 C.1 D.0

2.如图，在正方形网格图中标有 AB,CD,EF,GH 四条线段，其中能够成一个直角三角形三边的线段是（B）A. CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CF,EF D.GH,AB,CD

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9 数学加分宝题组 12 勾股定理逆定理的应用

1.（51 中期中）如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足 AEB  90, AE6, BE8, 则阴影部分的面积是76 .

2.（李沧期中）我市某中学有一块四边形的空地 ABCD ，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠ o A  90 ， AB  3m ， DA  4m ， BC 12m，CD13m. （1）求出空地 ABCD 的面积. 36

2 m

（2）若每种植1平方米草皮需要 200 元，问总共需投入多少元？

【答案】7200 元

3.（李沧期中）如图，已知CD  6，AD  8，ADC  90，BC  24 , AB  26 .求图中阴影部分面积. 【答案】96

4.（李沧期中）如图所示的一块地，ADC  90 ， AD 12m，CD 9m，AB39m，BC36m，求这块地的面积. 【答案】216

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10 数学加分宝5（. 51 期中）实验中学有一块四边形的空地 ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD=8米，CD =6 米，ADC =90 ， AB =26 米， BC =24 米，若每平方米草皮需要300 元，学校需要投入多少资金买草皮？

【答案】96*300=28800

6.某住宅小区有一块草坪如图，已知 AB=3 米，BC=4 米，CD=12 米，DA=13 米，且AB⊥BC.求草坪面积. 【答案】36m2

7.（市南期末）某小区有一块四边形空地，如图所示∠ABC=90°，AB=20 米，BC=15 米，CD=7 米，AD=24米.则该四边形空地的面积为多少？

【答案】234m2

题组 13 勾股定理逆定理的应用

1.下列数组中一定不是勾股数的是（ C ）

A.3k，4k，5k（k 为整数） B.5，12，13 C.0.7，2.4，2.5 D.9，12，15

2.下列数据中是勾股数的有（ B ）组

（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26

A.1 B.2 C.3 D.4

3.下面各组数据：

①7，24，25； ②8，15，19； ③0.6，0.8，1.0；④3n,4n,5n ( n＞1，且为自然数)，勾股数有___2__组.

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11 数学加分宝课堂检测

1.如图，字母 B 所代表的正方形的面积为 144 ；边长为 12 ．2.（青大附期中）如图所示，在四边形 ABCD 中，AB  BC，AC CD，以CD 为直径作半圆O，AB=4cm,BC=3cm,AD=13cm.则图中阴影部分的面积是 18π .

3.如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价18元，主楼梯道宽 2 米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要___252___元．

4.（李沧期中）一个直角三角形的两边长分别为 5 和 12，则第三边的长的平方为169 或119. 5.如图，已知直角三角形两直角边 BC 和 AC 的长分别为 6cm 和 8cm,那么斜边上的高CD是____4.8cm____.

6.如图，有两棵树，一棵高 10 米，另一颗高 4 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 10 米.

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12 数学加分宝7.如图，△ABC 中，AB=20cm，AC=20cm，BC 边上的高 AD=12cm，求 BC 的长. 【答案】32cm

8.如图，求等腰△ ABC 的面积. 【答案】12cm2

9.如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 米处，已知旗杆原来长是 16 米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂. 【答案】6m

10.（26 中期中）在公路 AB 旁有一座山，现 C 处需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站A的距离是700米，与公路上另一停靠站 B 的距离为 2400 米，且 CA 垂直 CB，为了安全起见，爆破点C 周围半径680米范围内不得进入，请问在爆破时，公路 AB 段是否因有危险而需要暂时封锁？

【答案】672＜680 有危险

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13 数学加分宝课后作业1.根据下列条件，能判定一个三角形是直角三角形的是（ B ）

A.三条边的边长之比是 1：2：3 B.三个内角的度数比是 1：1：2

C.三条边的边长分别是

5

1

4

1

3

1，， D.三条边的边长分别是 12，15，20

2.适合下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ C ）

(1) 5

1

, 4

1

, 3

1

a  b  c  (2)∠A=32°，∠B=58° （3）a=7,b=24,c=25

(4)a:b:c=1:1:2 (5) 2 2 2 b  a  c （6）a=0.3 b=0.4 c=0.5

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

3.（市南中片）下列条件中，不能判断这个三角形是直角三角形的是（ C ）A.三个角满足关系∠B+∠C＝∠A B.三条边满足关系 2 2 2

a  b  c

C.三个角的比为 3:4:5 D.三条边的比为 3:4:5

4.（青大附）在△ ABC 中，给出以下 4 个条件：

①C  90 ②A B  C ③ a : b : c  3: 4 : 5 ④∠ A:B:C=3:4:5

从中任取一个条件，可以判定出△ ABC 是直角三角形的有_①②③____.(填序号)

5.（李沧期中）下列三角形是直角三角形的是（ D ）

A. B. C. D. 6.若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足| 50 | 32 ( 40) 0

2

a  b   a  b   c   ，则△ABC是（C）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.下列三角形中，为直角三角形的是（ D ）

A.三个角的比值为1: 2 : 2 B.三角形三边长分别为 2 2 2 3 ，4 ，5

C.三角形一边等于另一边的一半 D.三角形三边长分别为7,24,25

8.下列数据：①8、15、17；②1.5、2.0、2.5；③12、15、20；④ 5

1

4

1

3

1、、；⑤2 2 2 5 、12、13；⑥1.8、8、8.2. （1）其中能作为直角三角形三边长的有 ①②⑥ .（填序号）

（2）其中是勾股数的有 ① .（填序号）

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14 数学加分宝9.（局属期末）如图所示，某开发区有一块四边形的空地 ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量A  90 ，AB  30cm, AD  40cm,BC 120cm,CD 130cm, 。 若植每平方米草皮需要100 元，问将这块空地植满草皮，开发区需要投入多少元？

【答案】 3600m , 2 S  花费 360000 元

10.（市南期中）如图，有一块地（图中阴影部分），AD  8m，CD 6m，ADC90，AB26m，BC  24m ，求这块地的面积. 【答案】96m

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15 数学加分宝8 上第 2 周秋季讲义（教师版）题组 1 求高的解答题

1.（26 中期中）在公路 AB 旁有一座山，现 C 处需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站A 的距离是700米，与公路上另一停靠站 B 的距离为2400 米，且 CA 垂直 CB，为了安全起见，爆破点C 周围半径680米范围内不得进入，请问在爆破时，公路 AB 段是否因有危险而需要暂时封锁？

答案：过 C 作 CD⊥AB 于 D，易求 AB=2500 米

用等面积法求 CD=672 米<680 米，故有危险需要暂时封锁.

2.如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B 点移动到D点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤退才可脱离危险？

【答案】4h 2.5h

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16 数学加分宝题组 2 滑梯、旗杆类

1.如图，一架梯子 AB 长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端 B 离墙 7 米. （1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子底部在水平方向滑动了 4 米吗？请说明理由.解：（1）这架梯字的顶端 A 距地面有 24m 高; （2）梯子的底端在水平方向滑动了8m2.如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高CE=DB=3m，CD=1m，求滑道 AC 的长.解：5m. 3.如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面 2.4m.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，求教学楼走廊的宽度.答案：2.2 米

4.如图，小亮将升起的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面 2m，请你求出旗杆的高度.（滑轮上方的部分忽略不计）【答案】17 米

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17 数学加分宝题组 3 斜坡类

1.如图所示，OA  OB，OA=45 cm ，OB=15 cm ，一个机器人在 B 处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点 O，机器人立即从 B 处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程 BC.解： 25cm

2.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点 A 处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知 AB=4 米，BC=13 米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为 12 米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度.答案： 19 米

3.如图，铁路上 A，B 两点相距 25 km ，C，D 为两村庄，DA 垂直 AB 于点A，CB 垂直AB于点B，已知DA＝15 km ，CB＝10 km ，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得，两村到收购站的距离相等，则收购站 E 应建在离 A 点多远处？

答案：10km

4.一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

【答案】20

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18 数学加分宝题组 4 超速、台风问题

1.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/ h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了么？

答案： BC  40m ,小汽车的速度是v  40  2  20m / s   72km / h72km / h  70km / h，所以超速了

2.“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直到行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50 米处，过了4 秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 130 米，这辆小汽车超速了吗？

【答案】108>70 超了

3.2022 年 7 月 23 日，气象局测得台风“韦森特”的台风中心运动路线为直线AB，距台风中心100千米范围内是受台风影响的区域，台风中心的运动速度为 240 千米/时，已知香港距直线AB 的最短距离为80千米，（1）香港会不会受到“韦森特”的影响？

（2）若香港会受影响，求影响的时间为多长？

【答案】解：（1）会，80＜100 （2）EF＝120，120÷240=0.5（小时）

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19 数学加分宝题组 5 桥洞问题

1.一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状为如图所示的某工厂，厂门上部为半圆形，下部为长方形，已知长方形的宽为 2 米，高为 2.3 米，半圆形的直径与门的宽相等.问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

【答案】 2 2 2 CD  OD  CO ∴ 0.6

2 2 CD  CO  DO  ∴CH=2.3+0.6=2.9m＞2.5m∴可以通过2.一辆装满货物的卡车，高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为 2 米，长方形的另一边长是 2.3 米. （1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由. （2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为 1.2 米，高为2.8 米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？

【答案】解:(1)同上题能通过， 2.3 0.6  2.9  2.5 ，∴这辆卡车能通过. (2)如图:根据题意可以知道:CG  BE  2.8米, EC  OF  BG1.2 米, EFAD2.3米,BF0.5米∴ 1.2 0.5 1.69

2 2 2 2 2 OB  OF  BF    OB 1.3 米,OA 1.3米,∴桥洞的宽至少增加到1.322.6(米)3.如图，已知一辆装满货物的卡车高 3.5 米，宽 1.2 米，要通过双向车道的桥洞，桥洞长方形部分BC为6.8米，DC 为 2 米（两车道之间有 0.8 米的隔离带），这辆卡车能否安全经过桥洞？说明理由.

解：GF  3，GE  5＞3.5，能

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20 数学加分宝题组 6 三角形折叠

1.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC 折叠，使它落在斜边AB上，恰与 AE 重合，则 CD 等于 3 cm .

2.如图，直角△ ABD 中，∠ A=90°，AB=2cm，AD=4cm，将此三角形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EO，则△ EOD 的面积为_____ 4

5

_____ 2

cm .

3.如图，有一块直角三角形纸片，直角边 AC  6cm ， BC  8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于 3cm .

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21 数学加分宝题组 7 长方形折叠

1.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是____ 16

75

____.

2.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，在 CD 上任取一点 E，连接 BE，将△BCE 沿BE折叠，使点C恰好落在 AD 边上的点 F 处，则 CE 的长为 3

5

.

3.如图所示，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，如果 AB8cm，BC10cm，（1）求 BF 的长；（2）求 EC 的长.答案：（1）6cm （2）3cm

4.如图，在长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，把长方形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点A落在边BC上的点F 处.若 AE=5，BF=3.（1）求 AB 的长； 9 （2）求△CDF 的面积. 54

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22 数学加分宝题组 8 台阶类

1.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为 16,3,1，点 A 和点B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到 B 点的最短路程是20 .

2.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 20、3、2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是25 .

3.如图，在一个长方形草坪 ABCD 上，放着一根长方体的木块，已知 AD＝6，AB＝5，该木块的较长的边与 AD 平行，横截面是边长为 1 的正方形，一只蚂蚁从点 A 爬过木块到达 C 处需要走的最短路程的平方是85 .

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23 数学加分宝题组 9 最短距离（长方体）

1.如图，长方形的长为 15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 B 距离 C 点 5cm，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是 25 cm.

2.如图是由 5 个边长是 1 的正方形组成的图形，则 

2 BA1

2 ， 2 BA5

26 ；当有n个正方形时，则 

2 BAn n

2＋1 .

3.一只蜘蛛在一个长方体的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B 处.如图，已知长方体长 6cm ，宽 3cm ，高 5cm .蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面向上爬行，它要从A点爬到B点，最短距离__10__ cm .

4.如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm.如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要 10 cm. 5.如图，一个长方体透明玻璃鱼缸，长 AD=80 cm ，高 AB=60 cm，水深 AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，点 G 在水面线 EF 上，且 EG=60 cm ，已知蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬到鱼缸内的G 处吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路程为 100 cm .

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24 数学加分宝题组 10 最短距离（圆柱体）

1.如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm ，在圆柱下底面 A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 15 cm （ 取3）.

2.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周到达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺.

3.如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁到蜂蜜的最短距离为15 cm.

4.如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为 3cm，在圆柱下底面 A 处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 15 cm（π取 3）.

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25 数学加分宝课堂检测

1.如图，点 A 是正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一只蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程的平方是 10 .

2.如图所示，折叠长方形一边 AD ，点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 BC10厘米，AB8厘米，则EF的长是____5____.

3.如图，将长方形 ABCD 的长 AD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的 F 处，若AB＝5，AD＝13，则线段DE 的长为 2.6 .

4.在△ABC 中，BC=10 cm ，AC=24 cm ，AB=26 cm ，CD⊥AB 于点 D，则CD= cm13120. 5.如图，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，BC＝20cm，D 是边 AB 上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm，（1）求 AD 的长；（2）求△ABC 中 BC 边上的高. 【答案】（1）

3

14

cm； （2）

3

40

cm

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26 数学加分宝课后作业

1.如图，一根长度为 50 cm 的木棒的两端系着一根长度为 70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？【答案】30 和 40 或

7

370

7

120 和

2.2022 年第二季度，我市遭遇大干旱，为了抗旱保收，即墨某镇准备开采地下水，经探测C出地下有水，为此 C 处需要爆破，已知 C 处与公路上的停靠站 A 的距离是 300 m，与公路是另一停靠站B的距离为400 m ，且CA  CB ，如图所示，为了安全，爆破点C 周围 250 m的范围内禁止进入.问：在进行爆破时，公路 AB 是否有危险，是否需要暂时封锁？

【答案】240<250 需封锁

3.根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路 l 上行驶的车辆，限速 12 米/秒.已知测速点M到测速区间的端点 A，B 的距离分别为 50 米、34 米，M 距公路 l 的距离（即 MN 的长）为30 米.现测得一辆汽车从A到 B 所用的时间为 5 秒，通过计算判断此车是否超速.解: 在 中, , , 米,在 中, , , 米, (米),汽车从 A 到 B 的平均速度为 (米/秒), 米/秒 米/秒, 此车没有超速.

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27 数学加分宝8 上第 3 周秋季讲义（教师版）【知识梳理】题组 1 认识无理数

知识点：无限不循环小数称为无理数.我们十分熟悉的圆周率   3.14159265也是一个无限不循环小数，因此它是无理数.再如，0.585885888588885……（相邻的 5 之间 8 的个数逐次加1），也是无理数.无理数类型总结：①根号开不尽的数；②无限不循环小数；③含有 的式子1.边长为 1 的等边三角形的高为（ B ）

A.分数 B.无理数 C.整数 D.有理数

2.长、宽分别是 6 cm 、3 cm ，它的对角线的长的值是一个（ D ）

A.整数 B.分数 C.有理数 D.无限不循环小数

3.若 8

2

x  ，则 x 不是 分数， 不是 整数， 不是 有理数.（填“是”或“不是”）4.如图，面积分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的正方形，边长是无理数的正方形有6 个. ……题组 2 无理数与有理数的分类

1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3.14，

3

4  ，0.·5

·7，0.101001000100001……（相邻的两个 1 之间 0 的个数逐次加1），0.458，，722有理数：_3.14，

3

4  ，0.·5

·7，0.458，

7

22

______无理数：_0.101001000100001……（相邻的两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），______. 2.在下列各数

7

25 、2 、0.·3

·1、0.121221222122221……（两个 1 之间依此多 1 个2）、32、0、|−8|、−3.1415926中：

有理数有___ 7

25 、0.·3

·1、

3

2  ，0，|−8|、−3.1415926____________________无理数有___ 2 、0.121221222122221……（两个 1 之间依此多 1 个 2）____正数有_____ 7

25 、 2 、0.·3

·1、0.121221222122221……（两个 1 之间依此多1 个2）、|−8|_____负数有_____ 3

2  、−3.1415926____________

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28 数学加分宝题组3 算术平方根

一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x

2=a ，那么这个正数 x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“ 根号 a ”.特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0，即0 0. 1.求下列各数的算术平方根. （1）9 （2） 2 （ 7） （3） 81 （4） 121

25 （5） 9

7

1 （6）6 10算术平方根：3，7，3， 11

5 ， 3

4 ， 3 10



2.下列说法正确的是（ C ）

A.4 是 2 的算术平方根 B.－2 是－4 的算术平方根C.2 是（－2）2的算术平方根 D.8 的算术平方根是 4

3.一个数的算术平方根是它本身，则这个数为（ D ）

A.－1，0，1 B.1 C.－1 和 1 D.0 和1

4.下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a

2 的算术平方根是a；④ 2 (  4) 的算术平方根是  4 ；⑤算术平方根不可能是负数；⑥0 和 1 的算术平方根是其本身.其中正确的有（ B ）

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5. 16 的算术平方根是___2_ ; 9

1 的算术平方根是

3

1

; 

2  3 的算术平方根是___3____.题组4 化简求值

1.求下列各式的值. ① 1.44 ② 6 10

 ③

64

9 ④0.01=1.2 3 10

 

8

3  =－0.1

2.求下列各式的值. ① 49 ②

196

25 ③ 0.09 ④64=7 = 14

5

=0.3 =－8

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29 数学加分宝题组 5 平方根

一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x  a

2 ，那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根（也叫做二次方根），记作“  a ”.求一个数的平方根的运算叫做 开平方 ，其中 a 叫做被开方数.一个正数有 2 个平方根，0 只有 1 个平方根，负数 没有 平方根. 1.判断下列各数是否有平方根，如果有，求出其平方根，如果没有，说明理由. （1）169 （2）－2 （3）0 （4）（—1）² （5）3 （6）2516【答案】

54（1）有，13 （2）无 （3）有，0 （4）有，1 （5）有，3（6）有，2.一个数的平方根是它本身，则这个数为（ D ）

A.－1，0，1 B.1 C. 1和 1 D.0

3.下列说法：①6 是 36 的平方根；②－36 的平方根是－6；③36 的平方根是±36；④36 的平方根是6.其中正确的个数（ A ）

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4. 9 的平方根是（ C ）

A.3 B. 3 C.  3 D. 35. 81的平方根为 ±3 ， 16 的平方根为 ±2 ，若 2x＋1 的平方根是±5，则x= 12 .题组 6 算术平方根与平方根的综合（删减）1. 9

4 的平方根是

3

2

 ，算术平方根是

3

2

；

2.4 的平方根是 ±2 ，算术平方根是 2 ; 4 的平方根是 ± 2 算术平方根是2. 3.16 的平方根是 ±4 ，算术平方根是 4 ; 16 的平方根是 ±2 ，算术平方根是2 . 4.196 的平方根是 ±14 ，算术平方根是 14 ; 196 的算术平方根是_ 14 __，平方根是14. 5.若 x 是 256 的算术平方根，则 x 的平方根是 ±4 .

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30 数学加分宝题组 7 正数的平方根互为相反数

一个正数有 2 个平方根，它们互为相反数

1.若一个正数的平方根是 a＋2 和 4－3a，则 a= 3 ，这个正数是 25 . 2.若一个正数的平方根是 x－6 和 4＋x，则 x= 1 ，这个正数是 25 . 3.若 2m－4 与 3m－1 是同一个数的平方根，则 m 的值是 －3 或 1 . 4.3b－1 和 b＋5 是正数 a 的两个平方根，则 a= 16 . 5.若 2x－16 和 4＋x 是同一个数的平方根，则 x= 4 或 20 ，这个正数是 64 或576 .题组 8 被开方数的非负性

被开方数具有非负性，即 a 中，a≥0.若 a   a ，则 a=0；若 a和a都有意义，则a=01.下列各式正确的是（ D ）

A.  25  5 B.  25  5 C. ( 5) 5

2    D. ( 5) 5

2  

2.下列各式中无意义的是（ B ）

A.  3 B.  3 C. 2 （ 5） D. 2 5

3.若 4a 1 有意义，则 a 能取的最小整数是（ A ）

A. 0 B.1 C. 1 D. 4

4.（市北期中）式子 x  5 在实数范围内有意义，则实数 x 应满足的条件是 x≥5 . 5.若 x，y 为实数，且 1  2 0

2 x   y   ，则 x＋y= 3 . 6.若 x，y 为实数，且 2 ( 3) 0

2 x  y  x  y   ，则 x＋y= 1 . 7.（市南期中）x，y 为实数，且| x  2 |  y  3  0，则  

2022 (x y) 1 . 8.（市南期中）若| x 1|  y  3  0 ，求 x

y= －1 、 . 9.已知 y  1 2x  2x 1  2，求 xy 的算术平方根. 【答案】 2 1

2

1

x  ，y  ，xy 

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31 数学加分宝题组 9  a   a

2

1.求下列各式的值. ① 2 （ 49） ② 2

196

25 （ ）③ 2 （0.09）④2（64）【答案】49

196

25

0.09 64

2.求下列各式的值. ① 2 （ 3） ② 2

5

1 （ ）③ 2 （7.3）④2（6）【答案】3

5

1

7.3 6

题组 10











  

, 0

0 0

, 0

2

＜

，

＞

a a

a

a a

a a

1.计算： 2 2 = 2 ， 2 5 = 5 ， 2 ) 3

2

( = 3

2

. 2.计算： 2 (2) = 2 ， 2 (5) = 5 ， 2 ) 3

2

( = 3

2

. 3.计算： 

2 3 3 ， 

2 0 0 ，  

2

5

1 （）5

1 ，

4.若 x＞4，则化简 2 2 (x  4)  (1 x) 的结果是 －3 . 5.已知 0＜a＜1，则 2 2 (a 1)  (a 1) 的值是 2 . 6.化简计算

① 2 （3  ） ； ② （a 1）（2

a＜1）； ③ 2 ( 2) 2 （ x）x 

   3 1  a  x  2

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32 数学加分宝题组 11 对立方根的理解

一般地，如果一个 数 x的 立方 等于 a ，即 x  a

3 ，那么这个数x 就叫做a 的立方根.用根号表示一个数 a 的立方根为 3 a ，读作 三次根号 a .立方根的性质：正数的立方根是 正数 ，0 的立方根是 0 ，负数的立方根是负数. 1.判断正误

（1）立方根等于本身的数只有 0 （×）（2）互为相反数的两数立方根也互为相反数 （√）（3）只有非负数才有立方根 （×）（4）负数的立方根一定小于负数本身 （×）2.下列说法中正确的是 ①⑦ . ①1 的立方根是 1； ②－1 是 1 的立方根； ③ 2 是 2 的立方根； ④3 是－27 的立方根；⑤－64 的立方根是 4； ⑥343 的立方根是±7； ⑦

1

27

的立方根是

1

3 ； ⑧116的立方根是14；3.下列说法中正确的是（ D ）

A.－4 没有立方根 B.1 的立方根是±1 C. 36

1 的立方根是

6

1

D.－5 的立方根是354.下列说法中，正确的是（ D ）

A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数

B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数

C.负数没有立方根

D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1.题组 12 求立方根

1.求下列各数的立方根.（注意格式）

（1）0.001 （2）

216

125  （3）343 （4）−9

【答案】0.1

6

5  7 3 92.求下列各式的值. （1） 3 8 （2）3 0.064 （3） 3

125

8  （4）( 3 9)

3 =−2 =0.4

5

2   =9

3.8 的立方根是 2 ；－0.064 的立方根是 －0.4 . 4. 3 64 = 4 ；

3  64 = －4 ；－27 的立方根是 －3__. 5. 3 64 的平方根是 ±2 ；立方根等于本身的数是 ±1,0 ；

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33 数学加分宝题组 13 解方程（平方和立方）

1.解方程

（1）  

4

1

25

2

x 0 （2） 1 1

2

x   （3）812503 x10

1

x   x  0或- 2

25x （4）

4

2 25

x  （5）

4

2 9

x  （6）2 82

x 2

5

x  

2

3

x   x 22.解方程

（1） 49

9

4 2

x  （2）3 2 9

2

x   （3）2 1252

x 2

21

x   x  1 3, 2x1 x2 （4） (2 3) 54

4

1 3 x   （5）   0

12

1

3 2

2 x    （6）225003 x2

3

x 

6

13

6

11

x   或 x=5

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34 数学加分宝随堂检测1.在下列实数－7， 2

 ，3.1415，3.010101…（相邻两个 1 之间有 1 个 0）， 7

22  ，32.0123456…（小数部分由相继的整数组成）中是无理数的是（ B ）

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2.算术平方根等于它本身的数是 1 和 0 . 25 的算术平方根是 5 . 3. 64 的立方根是 2 ，－

8

27 的立方根为 2

3  .若 x  5 ，则2

x 的值是5 . 4.若 a 和  a 都有意义，则 a 的值是 0 . 5.已知 a  2  b  3  0 ，则    

2

a b 25 . 6.10－2的平方根是 ±0.1 ； 

0  5 的平方根是 ±1 ；  

2 18 的平方根是±18 . 7.若 a－1 和 5－2a 是同一个数的平方根，则 a= 2 或 4 ，这个数是 1 或9 . 8.若一个正数的平方根是 2a－1 和－a＋2，则 a= −1 ，这个正数是 9 . 9.当 a＞4 时，化简 2 （4  a） 的结果为 a−4 . 10.解方程. ① 2 8

2

x  ②3 1 48

2 （x  ） ③2 25003 x x  2 x=3 或－5 x=5

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35 数学加分宝课后作业1.下列各数中，有 2 个无理数，0.246， 6π，—24.1010010001… (两个 1 之间依次多1 个0)，0，131112.若－4 是 a 的一个平方根， 2 （ 9） 的平方根是 b，则 a  b  19或13 . 3.算术平方根是 3

7 的数是 9

49

；0.49 的算术平方根是 0.7 . 4.一个正数 a 的算术平方根减去 1 等于 3，则 a  16 . 5.若 4, 9

2 2

a  b  ，且 ab  0 ，则 a  b 的值为 ±5 . 6. 3 27 =___3_____，   

3

3 8 ____8____. 7.求下列各数的算术平方根. ①900 ②1 ③ 64

49 ④14 ⑤0.49 ⑥  

2 16 ⑦4 10

 【答案】①30 ②1 ③ 8

7 ④ 14 ⑤0.7 ⑥16 ⑦ 2 10



8.求下列各数的平方根. ①64 ② 121

49 ③0.0004 ④ 

2  25 ⑤11 ⑥0.49

【答案】①±8 ② 11

7  ③ 0.02 ④±25 ⑤  11 ⑥ 0.7

9.下列各数：3.14159，4.212121......，π，

7

22 ，1.010010001......，中，

有理数有___3.14159，4.212121......，

7

22

____________________无理数有___π，1.010010001......____正数有____3.14159，4.212121......，π，

7

22 ，1.010010001......____

10.解方程

（1）3 2 9

2

x   （2）2 1 25

2

x  

x  1 3, 2 x1  x2  

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36 数学加分宝8 上第 4 周秋季讲义——第2 章后3 节（教师版）几个常见近似值 2 1.414, 3 1.732, 5  2.236, 6  2.449, 7 2.646, 103.162题组 1 估算

1.若 k  90  k 1（ k 是整数），则 k （ D ）

A.6 B.7 C.8 D.9

2.黄金分割数

2

5 1 是一个很奇妙的数.请你估算 5 1的值（ B ）

A.在 1.1 和 1.2 之间 B.在 1.2 和 1.3 之间 C.在 1.3 和 1.4 之间 D.在1.4 和1.5 之间3.估计3 11 1的值（ B ）

A.在 7 和 8 之间 B.在 8 和 9 之间 C.在 9 和 10 之间 D.在10 和11 之间4.（市南中片）估计 7  2的值（ D ）

A.在 1 和 2 之间 B 在 2 和 3 之间 C.在 3 和 4 之间 D.在4 和5 之间5.（51 中期中）满足  2  x  3 的整数 x 是 －1,0,1 . 6.满足  2  x  10 的整数 x 有 5 个.题组 2 整数与小数部分

1.设 a 是 2的整数部分，b 是 2的小数部分，则 a= 1 ，b= 2－1 ，a－b= 2－2 . 2. 4  5 的整数部分是 1 ，小数部分是 3 5 . 3. 10 1的整数部分是 2 ，小数部分是 10  3 . 4.a 是5  11 的小数部分，b 是5  11 的小数部分，则 a+b= 1 . 5.若 7  a  b ，其中 a 是正整数，0＜b＜1，则 a= 2 ，b= 7  2 .

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37 数学加分宝题组 3 比较大小

无理数比较大小，可先比较两个数的平方或立方，或者通过作差法来比较.方法 1 估算法

1.（1）

2

2 1

2

3 1  ＞ ； （2）

2

3 - 1

<

2

1

； （3）351＞31. 2.（1）

2

1

＜

2

5 1

； （2） __ _1

2

7 1





； （3）－5 ＜3523.写出  6 ， 2 ， 3的大小顺序. 【答案】  2＞ 6＞ 3

方法 2 两边同时平方、立方

4.（1） 10 __＞___ 3； （2）

4

3

__ _

3

2 ＞； （3）2 3＜325.（1）3 2 ＞ 2 3 ； （2） 3 25 ＜ 5； （3）65＜566.（1）3 ＜ 10 ； （2）  2 11 ＞  3 5 （3）70___43 ＞方法 3 同时六次方

7.（1） 3 3 __＞___ 5 ； （2） 3 7 __＞___ 14 ； （3）8＞329方法 4 数形结合

8.（局属期中）为了比较 5 1与 10 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中C=90

 ，BC=3，D 在 BC 上且 BD=AC=1.通过计算可得 5 1 ＞ 10 （填“＞”或“＜”或“=”）.题组 4 实数的概念及分类

①概念：有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数. ②小数的分类：有限小数，无限循环小数和无限不循环小数。其中有限小数和无限循环小数又叫分数，所以所有的分数都叫小数，但是所有的小数不都是分数。

③实数的分类：









































负无理数

正无理数 无理数

负分数

正分数 分数

负整数

正整数

整数

有理数

实数

0

④无理数和有理数一样，也有正负之分，所以实数还可以按照正负分为：正实数、0、负实数.

辨析：

1.无理数都是实数 （√ ）2.分数都是小数 （√ ）3.小数都是分数 （×）4.整数也是分数 （×）

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38 数学加分宝1.（市北期中）在①

2



②0.4583③

  2.7 ④3.14⑤ 3 4 ⑥－23.101010101…（相邻两个1 之间有一个0），这个实数中是无理数的有 ①⑤ （填写序号）. 2.把下列各数填入相应的集合内：

−9.9， 160 ，

2

2  ， 7

22  ，3 9 ， 3 3

( 2) ，0.710101…（每两个 1 之间有一个0），−3.2，2，38，0.·1

·5，

64

9 ，0，  6 ，| 9 | 3 无理数集合{ 160 ，

2

2  ， 3 9 ， 2

 ，  6 ，| 9 | 3  }

负实数集合{ －9.9 ，

2

2  ， 7

22  ， 3 3

( 2) ，－3.2， 3  8 ，  6 }

分数集合{ －9.9， 7

22  ，0.710101…（每两个 1 之间有一个 0），－3.2，0.·1

·5，649}

3.把下列数填入相应的横线上：0.313113111311113，1.1010010001……（每相邻的两个1 之间依次多一个0），−0.505， 3 ， 2  3 ，

2



， 3  27 ，0 ， 3 2 8 ，0.3

·2，

2

1 ，

3

4 

（1）整 数：___ 2  3 ， 3  27 ，0 ， 3 2 8 ___________________. （2）分 数：___0.313113111311113，−0.505，0.3

·2，

3

4  ______. （3）正 数：___0.313113111311113，1.1010010001……（每相邻的两个 1 之间依次多一个0），3，2，3 2 8 ，0.3

·2，

2

1

____. （4）负 数：__−0.505， 2  3 ， 3  27 ，

3

4  _____. （5）有理数：__0.313113111311113，−0.505， 2  3 ， 3  27 ，0 ，3 2 8 ，0.3

·2，34___. （6）无理数：__1.1010010001……（每相邻的两个 1 之间依次多一个 0），3，2，21___.

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39 数学加分宝题组 5 实数的性质

在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.例如： 2 和  2 互为相反数， 3 5 和 3 5

1

互为倒数，| 3 | 3 ，|  | . 1.求出下列各数的倒数、相反数和绝对值

（1） 3  64 （ 4 4

4

1  ，，） （2） 13 （ 13 13

13

1 ， ，）2. 3

125

64  的倒数是______ 4

5  _______； 2 的倒数是____ 2

1

_____. 3.（李沧期中）下列各组数中互为相反数的是（ B ）

A.  2与 3 8 B.  2与  

2  2 C.  2与

2

1  D.2 与 24. 2  3 的相反数是___ 3  2 ____,绝对值是_____ 3  2 ____.题组 6 利用勾股定理在数轴上确定无理数的位置1.在数轴上作出表示 10 的点. 【提示】 2 2 10  1  3

2.在数轴上作出表示1 5 的点. 【提示】从 1 起始

3.在数轴上作出表示 3 的点. 【提示】 2 2 3  2 1

4.在数轴上作出表示 15 －2 的点. 【提示】 2 2 15  4 1 ，从－2 起始

5.在数轴上作出表示 7 的点. 【提示】 2 2 7  4  3

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40 数学加分宝题组 7 实数与数轴上的点的关系

实数与数轴上的点一一对应；在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 1.（李沧期中）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简 2

a  b  b 的结果是a . 2.（市北期中）实数 a、b、c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 a abcb2 2 ( ) =－c. 3. 如图，长方形 ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于 M，则点 M 表示的数为_____ 10 1______________. 4.如下图 AB  AC ，则数轴上点 C 所表示的数为_______ 5 1____________.

5.如图，数轴上 A，B 两点分别表示 3 和3 ，点 B 关于点 A 的对称点为点 C，则点C 表示的数是__ 233__. 6.（26 中期中）如图，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 3 ，点 B 关于点A 的对称点为C，则点C所表示的数为___  2  3 ______. 7.（李沧期中）在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A,B 两点对应的实数分别为2和1，则点 C 所对应的的实数是 2 2 1 .

8.（市北期中）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 a ， a ， a

1 ， 2

a 的大小关系是（C）A. 1 2

a

a

a  a   B. 1 2

a a

a  a    C. a a a

a

   

1 2 D. a a aa

 1 2

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41 数学加分宝题组 8 整数化简

1.一般地，形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式. a 叫做被开方数. 2.最简二次根式：一般地，被开方数不含 分母 ，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. （1） 32  4 2 （2） 40 =2 10 （3） 72  6 2 （4）90310（5） 96  4 6 （6） 108  6 3 （7） 128 =8 2 （8）15056题组 9 分子是 1，分母不含平方数

（1）

5

1

5

5  （2）

7

1

7

7  （3）

3

1

3

3  （4）2122（5）

6

1

6

6  （6）

10

1

10

10  （7）

30

1

30

30  （8）4214242题组 10 分子是 1，分母含平方数

（1）

8

1

= 4

2 （2）

12

1

6

3  （3）

18

1

6

2  （4）32182（5）

48

1

= 12

3 （6）

50

1

10

2  （7）

72

1

12

2  （8）9013010

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42 数学加分宝题组 11 分子分母不含平方数

（1）

6

3

 2 （2） 

5

3

5

15 （3）

13

3

13

39  （4）3236（5） 

2

3

2

6 （6） 

10

7

10

70 （7）

6

11

6

66  （8）310330题组 12 分子不含平方数，分母含平方数

（1）

9

5

3

5  （2）

16

7

4

7  （3）

36

11

6

11  （4）2513513（5）

8

5

4

10  （6）

12

11

6

33  （7）

18

7

6

14  （8）12522510

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43 数学加分宝题组 13 分子含平方数，分母没有平方数

（1）

3

4

3

2 3  （2）

2

9

2

3 2  （3）

5

16

5

4 5  （4）725757（5）

3

20

3

2 15  （6）

2

45

2

3 10  （7）

7

12

7

2 21  （8）5485415题组 14 分子分母都含平方数

（1）

4

45

2

3 5  （2）

49

12

7

2 3  （3）

8

25

4

5 2  （4）121216113（5）

10

3 2

50

9  （6）

27

20

7

2 3  （7）

8

45

4

3 10  （8）121256515

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44 数学加分宝题组 15 小数类化简

（1） 0.04 =0.2 （2） 0.16 =0.4 （3） 1.2

5

30  （4）1.526（5） 1.8

5

3 5  （6） 2.5

2

10  （7） 2.8

5

70  （8）3.2545题组 16 分子没有根号，分母有根号

（1）

2

1

2

2  （2）

8

2

2

2  （3）

3

12 2

3  （4）204525（5）

2 6

3

4

6  （6）

3 2

2

3

2  （7）

2 3

5

6

5 3  （8）334943

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45 数学加分宝题组 17 二次根式的加减

二次根式也可以进行加减运算，以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并. （1） 48  3  3 3 （2） 32  2 2  2 2 （3）

3

1

27  33

10  （4）317523313（5）

10

1

5

2 

10

10  （6）

3

1

12  3  3

3

4  （7） 2 75 8277322题组 18 二次根式乘法运算

乘法法则： a  b  ab （a≥0，b≥0）

（1）3 2  2 3  6 6 （2） 3 12

3

1

2  12（3）

3

2

2

2

3

5 45  15 30 （4）(12)(22)2（5）2 2  5 5 10 10（6） 4 12

2

1

3  12 6 （7）

3

2

2

3

2

4 27  16 2（8）(13)(23)31

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46 数学加分宝题组 19 利用乘法公式进行二次根式计算

平方差公式： a  b  a  ba  b

2 2 完全平方公式：  

2 2 2

a  2ab  b  a  b ，2 2 2a 2abbab. （1）    

2021 2020  5  2 5  2 （2） 

2

2  5 （3） 2

2 2+3 3 （4）21212  5  2  9  4 5  35 12 6 1（5） 

2 5 2  2 5 （6）  

2

3  3 3  3 （7）  

2 18  72 （8）  5 21121122    70  20 10  36 18  2 45题组 20 二次根式除法运算

除法法则： 

b

a

b

a （a≥0，b＞0）. （1） 48  3  4 （2）

3

12  2 （3）

5

2

5

10  （4）612113（5） 30  6  5 （6）

12

24  2 （7）

7

3

7

21  （8）83322（9）

20

8

5

10  （10）

5

8

5

2 10  （11）

3

15  5 （12）204523

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47 数学加分宝题组 21 二次根式乘除法混合运算

（1）

24

12  6

 3 （2）

2

6  3

 3 （3）

6

18  2  6 （4）327333（5）

12 8

2



 4 3 （6）

2

10  5  5 （7）

8

12  6  3 （8）3122763题组 22 二次根式的混合运算

二次根式的混合运算要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号，先算括号里面的. （1）

3

27  12 （2） 3 6

3

4 （ ） （3）361（24）=1  5 2 2611（4） 2

5

20 5 



（5）

5

1

3 20  45  2 （6） 48)2331(3 122=1 = 5

5

13

= 3

14

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48 数学加分宝随堂检测

1.下列说法错误的是（ C ）

A.所有的无理数都是实数 B.实数包括正实数、0、负实数

C.正数和分数统称为实数 D.实数与数轴上的点一一对应

2.下列说法正确的是（ D ）

A.无限小数是无理数 B.用根号表示的数是无理数

C.无理数是开方开不尽的数 D.无理数包括正无理数和负无理数

3.如图，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 3 和−1，点 B 关于点 A 的对称点为C，则点C=____ 2 3 1_______. 4.下列说法正确的是 ⑤⑦ . ①0 是最小的实数；②0 的相反数、倒数、绝对值都是 0；③正数、负数统称为有理数；④无理数就是带根号的数；⑤无理数都是无限小数；⑥无限小数都是无理数；⑦无理数的相反数还是无理数；⑧任何一个实数都可以用分数表示. 5.作图题.在数轴上作出  10 对应的点. 6.化简计算

（1）

13

3

13

39  （2）

16

1

5

4

9  （3） 3

3

1

12   231（4） 2 ( 5 1)  6  2 5 （5）( 12  6 6)  ( 3)  6 2 2

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49 数学加分宝课后作业（1） 18  3 2 （2）

2

1

2

2  （3）3123273143（4） 2 (2 2  3 3) （5）

2 ) 5

1

( 5  （6）511031227 35  12 6

5

16  5 25（7） (2 3  3 2)(2 3  3 2) （8） 2

2 3

48 27 



（9）212590100 6

2

3   2225（10） 108 12

2

49

  （11） 2 （2 3 1）（12）2239829（）2 4 3

2

7   13  4 3

3

10  

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50 数学加分宝3.1－3.2 确定位置 平面直角坐标系

知识点 1 确定位置的方法

1.平面内，确定点的位置一般需要两个数据. 2.确定位置的方法：①行列定位法；②极坐标定位法；③区域定位法；④经纬定位法；⑤平面直角坐标题组 1 确定位置的方法

1.（李沧期中）钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是（ D ）

A.北纬 2540 ~ 26 B.福建的正东方向

C.距温州市约 356 千米 D.北纬 2540 ~ 26 、东经123 ~12434 2.（市北期中）在电影院中，如果把“5 排 8 座”记为(5，8)，那么(4，3)表示4 排3 座. 3.（市北期中）在电影票上，将“7 排 6 号”表示为（7，6），那么“5 排 4 号”应该表示为（5,4）. 4.（市南期中）若用（6，5）表示六排五座，那么十排二十座可表示为 （10,20）.知识点 2 平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系的概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置和铅直位置，取向 上 和向 右 为正方向.其中水平的数轴称为x 轴或横轴，铅直的数轴称为 y 轴或 纵 轴.横轴和纵轴统称 坐标轴 ；公共的原点O 称为直角坐标系的原点. 2.点的坐标的表示：在平面直角坐标系中，要想表示一个点的位置，就要用它的“坐标”来表示.如图，对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作 垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数 a,b 分别叫做点 P 的 横坐标 、 纵坐标 ；有序数对（ a,b ）叫做点P 的坐标.题组 2 写出点的坐标

1.如图，写出所有点的坐标.略

2.下列说法正确的是（ B ）

A.（2，3）和（3，2）表示的位置相同 B.（2，3）和（3，2）是表示不同位置的两个有序数对C.（2，2）和（2，2）表示两个不同的位置 D.（m，n）和（n，m）表示的位置不同