1 / 4
（2023 朝阳一模）★★★☆
27．如图，∠MON＝
，点 A 在 ON 上，过点 A 作 OM 的平行线，与∠MON 的平分线交
于点 B，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合），连接 AC，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转
180−
，得到线段 AD，连接 BD．
（1）直接写出线段 AO 与 AB 之间的数量关系，并证明∠MOB＝∠DBA；
（2）连接 DC 并延长，分别交 AB，OM 于点 E，F．若
= 60
，用等式表示线段 EF 与
AC
之间的数量关系，并证明．
备用图
N
M
D
B
O A
C
N
M
D
B
O A
C
2 / 4
吴老师图解
（1）
AO AB = .
思路&图解
如图，
1）由平行线及角平分线知
= = 1 2 3
，则
AO AB = ，
2）①由平行知
= − = OAB CAD 180 ，
= = − − 4 5 (180 ) 6 ，
②易证
OAC BAD
（SAS），
= = 7 3 1
，即
= MOB DBA.
（2）
EF AC = 3 .
补全图形&分析
补全图形 图 1
补全图形后，同学们看图 1，
首先，当
= 60
时，线段
AC
在顶角为
120
的等腰三角形
ACD
中，故
CD AC = 3
（提
示：
120
等腰三角形的三边比例关系不能直接用，考试的时候得证明），
显然，接下来我们需要证明
EF CD =
，其实就是要证明
CF ED =
！
那么，
CF ED =
怎么证？
还是那句话，回去读条件，再看看上一问有啥结论！
发现，边
FC
在
OFC
中，
ED
在
BED
中，其中有相等的边，也有一组相等的角（都
为
30
），那就构造（全等三角形）呗…
N
M
1
2
3
D
B
O A
C
N
M
6
5
3 4
2
1
7
D
B
O A
C
N
M
E
F
D
B
O A
C
N
M
E
F
D
B
O A
C
3 / 4
思路&图解
法 1：
如图，取
BG OF =
，连接
DG ，
1）易证
FOC GBD
（SAS），
2）
= = 1 2 3
（提示：等角的补角相等+平行线同位角相等），
CF DG DE = =
，进一步可得
CD EF = ，
3）
CAD
是顶角为
120
的等腰三角形，则
CD AC = 3
（考试时得证明），
EF AC = 3 .
法 2：
如图，取
OG BE =
，连接
CG ，与【法 1】同理，利用
= = 1 2 3
可得结论！
法 3：
如图，取
DG DB =
（或作
DG OB //
），
1）
= = = = 1 2 3 4 30 ，
2）易知
DG OB //
，则
= = 5 6 7，
3）
OFC GED
（ASA），
CF DE =
，进一步可得
CD EF = ，
4）
CAD
是顶角为
120
的等腰三角
形，则
CD AC = 3
（考试时得证明），
EF AC = 3 .
N
M
3
2
1
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
3
2 1
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
1
2
3
4
6 5
7 G
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
4 / 4
思路&图解
法 4：
如图，取
CG CO =
，与【法 3】同理，可得结论！
法 5：
如图，作
CP OM ， DQ AB ，
1）易证
OPC BQD
（AAS），
2）易证
FPC EQD
（AAS），
CF DE =
，进一步可得
CD EF = ，
3）同理，CD AC = 3
（考试得证），
EF AC = 3 .
法 6：
如图，作
BG EF // ，
1）四边形
BGFE
是平行四边形，则
EF BG = ，
2）易知
= = 1 2 30
，则
= 3 4
（“8 字”导角），
3）由
= 4 5， = 3 6
知
= 5 6，
4）易证
OGB OCA
，且
OAB
是顶角为
120
的等腰三角形，
3
BG OB
AC OA
= =
（
3
倍关系考试的时候要单独证），
EF AC = 3 .
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
P
Q
E
F
D
B
O A
C
N
M
P
Q
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
6
5
4
3
2
G 1
E
F
D
B
O A
C
