目录

不同位置重力加速度的计算

不同位置重力加速度比值问题

求中心天体质量（地面）

求中心天体质量（环绕）

求中心天体质量（赤道、极点）

求中心天体密度（地面）

求中心天体密度（环绕）

中心天体密度（赤道、极点）

不同轨道参数比较（圆与圆）

不同轨道参数比较（圆与椭圆）

双星系统

双星系统（质量转移）

多星系统

追及问题

同步卫星、近地卫星、赤道上物体

拉格朗日点

88

98

110

120

127

147

140

154

82

75

63

52

38

25

17

1

题型模样→目的是让同学们认识这类题

不同位置重力加速度的计算

-1-

G㤎 mg

GM 9122

9表⾯上

愁⼀

万有引力=表面处重力

这就是经常说的

黄金代换

R为星球半径

不考虑地球自转的情况下

题型模板 一：在星球表面处

-2-

没

忮 ⼆ 后

㤃 恬 M9枚

mg极⼆

Gf

做 G是

极点：

极点

在极点处→万有引力指向“球心”

因为地面给了一个支持力，使得物体可以静止在极点

那为什么极点处物体没有被吸进地球？

又因为二力平衡

所以

在考虑自转的情况下

二：在“极点”处

-3-

1⾼⼆后 将

后 ⽪ 1度 man

FFB mg

mgi eli

mg g in 舆

Gt r

y

赤道

赤道：

由于地球自转→物体需要向心力

所以

同样受万有引力和支持力（但是支持力＜万有引力）

移项

又因为

所以

R为地球半径

向心力

三：在“赤道”处

-4-

mge G

㮺

r

g G

㮺

空中：

h ⾼度

R+h

轨道

四：在空中某处

-5-

d

R-d

比如“海底深处”“矿井内部”“坑里”

求这里的重力加速度

当r＜R时

质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零

故在深度为（R-d）的部位

受到地球的万有引力是半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力

（在地球表面深处d处）

深度

这句话的意思就是：在地球内部，地球不能被看成质点了

但是深处的点，可以被看成，在图中虚线球体的表面

五：在地下深处

-6-

A点 A点

M P⼿成 M p.in R

dj­mgi

Gi­gn

GP_i­lR

ci­guGP.in Rdl

坑里：

d

R-d

d 深度

R-d

深度

求A点重力加速度→ 相当于在右侧球体的表面重力加速度

左右两个球体密度一样，但体积不同

体积

-7-

9表⾯ 啠

9极 Gf

9⾚ G ?

轻 G㮺2 M P N

9次 Gfs M filkdj

R

g f

I

M PǏTR M pin Kd 3

R R-d

考虑自转：

不考虑自转：

总结

星球表面→

“极点”处→

“赤道”处→

“空中”某处→

“地下”某处→

-8-

FIRTH

mgi Gf g pi

Gn

R+d

轨道

h 高度

题型模板解析

例题一

因为题中这句话，判断所考察的为“空中”某处

-9-

? r 12 o512

M G G感 M pilR o.IR

I gtze ⼀

赞炎㤻 G统 必512

做⽐

9表⾯ 悡__ G 感 G P抗12

9次 0.59表⾯

d

R-d

深度

同时→题中表面处重力加速度g已知

因为题中这句话，判断所考察的为“空中”某处

例题二

-10-

R R R

E 卡

ER ER

圷⾥ 表⾯ 空中

mg Gf giGN GP.in

R­mg

G 9 9iGp.int

R­mg

G 93 it Gp事故

gcfnc9 地⾯

g a gag

地球表面：

地球表面下方：

地球表面上方：

三个位置都考了

例题三

-11-

R d

mg Gf g.it 步 p ilRdi­toa.hn

做⽐

R­mg

G想 9缅 㵰 p.tk6400km

gig

矿井底部：

地球表面：

d

R-d

深度

因为题中这句话，判断所考察的为“地下”某处

例题四

-12-

R­mg

G想 9缅9 fi R

Rtd

mg Gf gfPR_i­lRt5IM

9容 231G

卫星：

地球表面：

h 高度

考“空中”某处

例题五

-13-

恔

a ⽶g ajg

mg­FE.mg

R

Rth

FFF压

Ft moi ma gEzig

MEG 蕊 g G? h 12

mg G想 g Gf

例题六

-14-

mg says ⾿ G类 Goin R

ri R g 啠 G P3个T Goin r

F Kd

齉

rs R g

12 㝈

⼈ 以圳

2

当

当 时

时

此时g与r成正比，图像为直线

地球半径

即

即

地球半径

地球半径

此时g与r 成反比，图像为曲线

例题七

-15-

R

R

d­Rth­qi GF GF GP.in

9⽳ 蕊

g随d增加而均匀减小，故A选项正确，B选项错误

星球内部：

星球外部：

g与该点到球心的距离的平方成反比，故C、D选项错误

例题八

-16-

不同位置重力加速度比值问题

-17-

9表⾯ ⼆ Gf

9极 G卡

9⾚ ⼆ Gf_㜯 M 冶 ⼼

经 G㮺

9坑 Gàj ME piped

-18-

R

ER

mg G 9 G⽶ if

Mg Gf giGf df GPflRo5DE i

_

i.it

在地球表面上方：

在地球表面下方：

例题一

-19-

121d

mg G共近 9 G f Gj

mg G想 9下 G f G 莎

恭 Gt

Gip

在地球表面下方：

在地球表面上方：

d

R-d

d 高度

深度

例题二

-20-

mg G贺 9上 G f G虀

mg G想 9下 G f G 步 Gpfuz

? Gt ⼼

在地球表面上方：

在地球表面下方：

R+d

d

R-d

h 高度

深度

例题三

-21-

mg G想 9下 G GPYi GPGNR

di­.­P.­mg

G想 9表 G f G ? Gt

諅 Giz ti

在地球表面下方：

在地球表面：

d

R-d

深度

例题四

-22-

Rtd

mg G 9 G f G 蠿

mg G f q G f G 费步 ⼆GPGNRc.li

i a

䃷

在地球表面上方：

在地球表面下方：

R+d

R-d

d 高度

d 深度

例题五

-23-

s 12 4

mg G想 9 G f G?

mg Gggi Gf GPI GPYNR.cn

在 ⼀

䲜 䤕

“蛟龙号”：

“神舟十三号”：

“神舟十三号”：

d

R-d

“蛟龙号”：

h 高度 深度

R+d

例题六

-24-

求中心天体质量（地面）

-25-

-26-

G_ mg

GREGM

M ⼆ 述

Gmg

让原2

例如：

宇航员在星球表面做迷惑行为

这就是经常说的

（2）平抛

黄金代换

（4）已知重力

（5）已知第一宇宙速度

即可计算中心天体质量

目的：

（3）做圆周运动

（1）竖直上抛 （已知竖直上抛的V₀和t）

（恰好做圆周运动）

（已知h、V₀、水平位移L）

在表面：（万有引力提供重力，不考虑星球自转）

一：那么已知表面重力加速度g和星球半径R

二：题中会直接给出g和R或间接给出g和R

三：间接给出g和R

求出g→进而求出“M”

-27-

0-5S ⼋

上去 加50m

加⼠9时

him y

9星 4m 5

卡柴 秋 10m S

9星⼆ 划地

M 9地 - 9是

G㤎 mg Mn 9也⼀随

G

M星 9星

器是道叫 Ǐ 豳 平临

M星⼆ ǏM 地

现已知量有：

将物体竖直上抛→目的是求出重力加速度g

题中说在星球表面，所以利用黄金代换求质量

例题一

-28-

2

U­h 仁⼠9时 tf 9⽇

ut

L

9⽉

R.G­G

㗽 M9⽉ 明 G m.it

现已知量有：

所以利用黄金代换求质量

题中说在星球表面，

将小球水平抛出→目的是求出重力加速度g

例题二

-29-

4

善

G 善

a

G㤎 ma G獘 mg

ME -

2

MiG

㤎 感

G mg g

G ma 不 ⼆ ⼀点

1⽉球⼿⼀样 m 样

地球 ⽉球 所以利用黄金代换求质量

题中说在星球表面，

例题三

-30-

n­o

V

u

ㄨ n t t t a t

ㄨ u t t a t

同除 tfti

tgt­ye k.x­kf­figg f­k

tg­g.GR

G㤎 mg m 还 Nia

例题四

现已知量有：

竖直上抛→初速度V →到达最高点时速度为零

题中谈登录火星，即是在火星表面求质

减

速

截距

根据图像可知

根据表达式可知

斜率

斜率

斜率

变

形

可以列公式→

给图像的目的是求出重力加速度g

-31-

11

鼺

⽐ ⼀⼠代

i

f u tt

ㄐ kX

1

K u

a 9 9 29

G R G

G㤎 mg

M 还

G

M 述

现有已知量：

将物体竖直上抛→目的是求出重力加速度g

题中说在星球表面，所以利用黄金代换求质量

两边同时除以

截距

截距

可得出斜率k为V₀

例题五

-32-

列向⼼⼒公式 惭 t mg m f n

a点表示当 让 0时 惭 a

mg

此时⼩球? o 所以腁 a mg

5点表示 E 0时 V

2 b 即恰好通过最⾼点

mg m f v 灰 以912

图象上 以 b

所以 b 912

小球做圆周运动→目的是求出重力加速度g

例题六

-33-

那么 Emg big R

这两个⾥⾯都有重⼒加速度9

⽤ 哪⼀

个呢

①若题中给质量 m 则⽤仁吉

②若题中给⽜经 r 则⽤ 9 告

此题给3年经R

G R G

G㤎 mg

Nig 联⽴ 1 M 㤎

g 卡

现有已知量：

题中说在星球表面，所以利用黄金代换求质量

-34-

R 和

G贺 M他 G贺 ma

Mtr 㕽 伙悲因为题中直接说了⽕星质量为地球质量试

所以 似⼆⼗ Mita

地球 火星

例题七

-35-

n

i i n 经过时间七落回抛出点

ˇ 所以上升过程时间为 È

下降过程时间为 E

rig ⼼ g

G R G

G想 mg

M 还

G

M 想

现已知量有： 题中说在星球表面，

所以利用黄金代换求质量

将物体竖直上抛→目的是求出重力加速度g

例题八

-36-

垂⾃打在斜⾯上就是给末速度⽅向

i

V 分解速度

i o

tanlai okfwiutany ci 㮺

y V 竖直⽅向运动

V5 29H 9 io

mg 想M 咎 蕊no

将小球水平抛出→目的是求出重力加速度g

题中说在星球表面，所以利用黄金代换求质量

例题九

-37-

求中心天体质量（环绕）

-38-

-39-

G_ F向

G_ ma mwnmf m型

T.ir G_ m 型 M ?

El

E2417

已知 （最常用）

配合此公式将半径r越掉

①地球绕太阳一周是一年 年

因为周期T作为我们的常识

②地球自转时间为一天

（别抬杠，查完百度，说你知道，反正我不知道）

联立计算

但地球绕太阳运动的速度、角速度我们不知道

但地球自转速度、角速度我们不知道

在环绕：（万有引力提供向心力）

-40-

G_ ma mwr mf.in 與

a r G_ ma M 想

V r G_ m f M 其

ur Gf mwr M 感

T.li Gf

mg­mmf 㜯

M 恐

让 率

已知

已知

配合此公式将半径r越掉

或者用这个

分别联立计算

推导

-41-

注意

月球绕地球转→可求地球质量

地球绕太阳转→可求太阳质量

但是

若没有物体绕月球转→则无法用环绕的方式求月球质量

利用环绕求中心天体的质量

必须有物体绕中心天体运动

-42-

Rr

r

r T G

G㤎 1⾼ m型 M G熙

注意 5为实验舱绕地球运动 距离

ㄒ为实验舱绕 也求运动后周期

绕地球运动→

轨

道

半

径

地

球

半

径

现有已知量：

题中说“问天实验舱”围绕地球做匀速圆周运动

所以利用向心力求质量

例题一

-43-

r

Gt M⾦ 舆 ⼼太 ⼆

感

金星：假设金星表面有一绕其表面运动的飞行器质量为m

太阳：

太阳

金星

题中没有说卫星绕金星表面运动

所以无法求金星质量

且，没有说明卫星的周期和轨道半径

题中告诉金星公转周期、轨道半径→所以可求太阳质量

例题二

-44-