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（2023-2024 海淀九上期中）★★★
27．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上（BD＜AD），过点 D 作 D
E⊥BC 于点 E，连接 AE，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90°，得到线段 EF，连接 DF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：FD＝AB；
（3）DF 交 BC 于点 G，用等式表示线段 CE 和 FG 的数量关系，并证明．
备用图
E
A
B C
D
E
A
B C
D
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吴老师图解
（1）如图.
补全图形
（2）
思路&图解
如图，易证△BEA≌△DEF（SAS，提示：手拉手模型），故 FD＝AB.
（3）FG＝ 2
CE.
分析
如左图，补全图形！显然，有 FG＝ 2
CE，那就想办法构造等腰直喽（或 45°）~
如右图，利用（2）的手拉手全等，我们可以进一步得到 FD⊥AB，从而得出∠EDG＝∠
EGD＝∠CGF＝45°...
F
E
A
B C
D
F
E
A
B C
D
G
F
E
A
B C
D
45°
G
F
E
A
B C
D
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思路&图解
法 1：手拉手（提示：△DEG 和△AEF 是等腰直）
如图，作 DH⊥AC，
1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，
2）由（2）知∠1＝∠2，
3）△DEA≌△GEF（ASA）
∴FG＝AD＝ 2
CE.
法 2：转化构造等腰直
如图，取 CE＝CH，
1）△ECH 是等腰直，
2）EH∥AB，
3）∠1＝∠2＝∠3（提示：90°－∠AEC），
4）由（2）知∠6＝∠5＝∠4，
5）△EFG≌△AEH（ASA），
∴FG＝EH＝ 2
CE.
法 3：三垂直（需要提前证【分析】中的 45°）
如图，作 FH⊥BC，交延长线于点 H，
1）由【分析】知∠1＝45°，
2）△ACE≌△EHF（三垂直模型），
∴FG＝ 2
FH＝ 2
CE.
H
G
F
E
A
B C
D
1
2
H
G
F
E
A
B C
D
6
5
4
3
2
1
H
G
F
E
A
B C
D
1
45°
H
G
F
E
A
C
B
D
H
G
F
E
A
C
B
D
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思路&图解
法 4：转化构造等腰直（需要提前证【分析】中的 45°）
如图，作 DH⊥AC，
1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，
2）由【分析】知∠1＝∠2＝45°＝∠B，即 DG＝DB，
3）由（2）知 AB＝FD，则 AD＝FG（提示：等量减等量），
∴FG＝AD＝ 2
CE.
备注：此法与【法 1】其实是一样的，就看同学们在考场上的第一反应是啥——是延续
手拉手的结论？还是上来就奔着结论去构造全等三角形？
H
G
F
E
A
B C
D
2
1
H
G
F
E
A
B C
D
