数学

襟江带海 通往美好未来

南通名师高考原创卷

南通名师

  高 考 原 创 卷

2024

《南通名师高考原创卷》编写组 编

NANTONG MINGSHI GAOKAO YUANCHUANGJUAN

4版

适用于新高考地区

估价：42.00元

样卷

数学

南通名师 高考原创 卷

2024

4版

适用于新高考地区

《南通名师高考原创卷》编写组 编

姓

数学命题人员名单

名

王惠清

(主编)

吴奎荣

阙东进

金 山

王金忠

查晓东

胡桂东

工 作 单 位

祝维男

南通市通州区教师发展中心

江苏省姜堰中学

海安市教师发展中心

江苏省启东中学

江苏省海门中学

江苏省天一中学

江苏省淮阴中学

南通教育科学研究院

姚新国 江苏省如皋中学

图书在版编目(CIP)数据

南通名师高考原创卷.数学/《南通名师高考原创

卷》编写组编.-4版.-南京:江苏凤凰美术出版社,

2023.11

责 任 编 辑 李凡伟

责任设计编辑 贲 炜

责 任 校 对 曹玄麒

责 任 监 印 于 磊

书 名 南通名师高考原创卷.数学

编 者 《南通名师高考原创卷》编写组

出版发行 江苏凤凰美术出版社(南京湖南路1号 邮编210009)

印 刷

开 本 890mm×1240mm 1/8

印 张 5.5

版 次 2023年11月第4版 2023年11月第1次印刷

标准书号

估 价 42.00元

编辑部电话 025 68155671 印务部电话 025 68155658

邮箱 sumeijiaoyu@163.com 营销部地址 南京市湖南路1号

江苏凤凰美术出版社图书凡印装错误可向承印厂调换

赢得新高考,开创新篇章

《南通名师高考原创卷》由南通命题专家和江苏省内著名中学的数学名师联手打造,试卷做到:知识全部覆盖,能力全面考查,试题

高度仿真,旨在精准预测,助力高考。

★新颖性 2024年全国将有18个省份实行新高考,使用新课标Ⅰ、Ⅱ卷。近年来,每年由教育部教育考试院统一命制的6套试卷,

强化基础,聚焦核心素养;情境真实,创新试题设计;突出思维,考查关键能力;落实理念,体现全面育人。本命题组在深度研究了近三年

全国新课标Ⅰ、Ⅱ卷,全国甲卷、乙卷的命题特点的基础上,对内容、题型、难度等作了恰当的预判和设置,试题新颖。

★原创性 命题人员精心编写、潜心创设,试题原创性强,力求体现“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的高考评价理念。

★实用性 所有试卷均按照新高考的要求命制,实现高度仿真。每套试卷均附标准答题卡。

★系统性 学科主编审核统筹每套试卷的双向细目表,确保所有知识点在十套卷中的合理安排、系统分布和覆盖。

★权威性 命题过程中构建了严格的审稿、打磨机制,确保试题质量。学科主编均为正高级教师或特级教师,命题者均为参加过高

考命题或大市模拟试卷命题工作的命题专家,原创能力强,命题水平高。

目录

2024南通名师高考原创卷(一)

2024南通名师高考原创卷(二)

2024南通名师高考原创卷(三)

2024南通名师高考原创卷(四)

2024南通名师高考原创卷(五)

2024南通名师高考原创卷(六)

2024南通名师高考原创卷(七)

2024南通名师高考原创卷(八)

2024南通名师高考原创卷(九)

2024南通名师高考原创卷(十)

2024南通名师高考原创卷(一)—1 2024南通名师高考原创卷(一)—2 2024南通名师高考原创卷(一)—3

2024南通名师高考原创卷(一)

命题人:阙东进 海安市教师发展中心

数学

注 意 事 项

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x

2-x-2≤0},集合 B={x|ln(x+1)≥0},

则A∩B= ( ▲ )

A.[0,2] B.[-1,2]

C.[-1,+∞) D.[0,+∞)

2.若复数z=(m

2 -2m -3)+(m

2 +3m +2)i,且z=z,则实数

m= ( ▲ )

A.-1或3 B.-1或-2

C.3 D.-2

3.在空间直角坐标系中,已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向

量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为 ( ▲ )

A.2 2 B.6

C.3 D.2

4.已知点O 是△ABC 的重心,过点O 的直线与边AB,AC 分别交

于M,N 两点,D 为边BC 的中点,若AD

→=xAM

→+yAN

→(x,y∈

R),则x+y= ( ▲ )

A.

3

2

B.

2

3

C.2 D.

1

2

5.已知圆x

2+y

2=m 与圆x

2+y

2-8x+6y-11=0相交,则实数

m 的取值范围是 ( ▲ )

A.(25,36) B.(1,11)

C.(1,121) D.(0,121)

6.设f(x)是定义在 R上的奇函数,当x>0时,f(x)=lnx-x

2+

2x,则f(x)的零点个数为 ( ▲ )

A.2 B.3

C.4 D.5

7.已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线,其通径长为1,

现有一个半径为r(r>0)的玻璃球放入该玻璃酒杯中,要使该玻

璃球接触到杯底(盛酒部分),则r 的取值范围是 ( ▲ )

A.(0,2] B.

1

2

,2

?

?

??

?

?

??

C.0,

1 2

?

?

??

D.0,

1 4

?

?

??

8.已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求,全

部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.若选项中

有i(其中i=2,3,4)个选项符合题目要求,记随机作答该题时

(至少选择一个选项)所得的分数为随机变量ξi(i=2,3,4),则

( ▲ )

A.2E(ξ3)>4E(ξ2)>E(ξ4)

B.4E(ξ2)>E(ξ4)>2E(ξ3)

C.2E(ξ3)>E(ξ4)>4E(ξ2)

D.4E(ξ2)>2E(ξ3)>E(ξ4)

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给

出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选

对的得2分,有选错的得0分.

9.甲、乙两位射击爱好者,各射击10次,甲的环数从小到大排列为

4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,乙的环数小到大排列为2,5,6,6,7,7,7,

8,9,10,则 ( ▲ )

A.甲、乙的第70百分位数相等

B.甲的极差比乙的极差小

C.甲的平均数比乙的平均数大

D.甲的方差比乙的方差大

10.已知平面直角坐标内有两个定点A,B,一个动点C,|AB|=2,

直线AC,BC 的斜率分别为k1,k2,且k1k2=a(a 为常数),则

下列说法正确的是 ( ▲ )

A.若a=1,则动点C 在一抛物线上运动

B.若a=-1,则动点C 在一圆上运动

C.若a=-2,则动点C 在一椭圆上运动

D.若a=2,则动点C 到所在曲线焦点的最短距离是 3-1

11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含

量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得

车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓

度为 32ppm.由 检 验 知 该 地 下 车 库 一 氧 化 碳 浓 度 y(单 位:

ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间满足函数关系y=ae

Rt(a,

R 为常数,e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高

于0.5ppm,人就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是

( ▲ )

A.a=128

B.R=

1

4

ln2

C.排气12分钟后浓度为16ppm

D.排气32分钟后,人可以安全进入车库

12.已知曲线C:x

2-y

2-xy=1,则 ( ▲ )

A.曲线C 关于y 轴对称

B.曲线C 在第一象限内的图象从左至右呈上升趋势

C.x≤-

2 5

5

或x≥

2 5

5

D.x

2-2xy+y

2≥

4

5

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.设函数y=f(x)是周期函数,但不存在最小正周期.请写出符

合题设的一个函数f(x)= ▲ .

14.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举

行.开赛前,组委会欲将某高校4名男志愿者,2名女志愿者共

6人平均分成3组,分别担任铁人三项、马术和攀岩3个项目的

志愿者,且两名女志愿者不在同一组,则不同的选择方案共有

▲ 种.

15.在三棱锥S ABC 中,侧面SBC⊥底面 ABC,△ABC 是等腰

直角三角形且斜边AC=4,SB=SC= 10,则三棱锥S ABC

的外接球的表面积为 ▲ .

16.设函数f(x)=2e

x-1 -a(x-lnx-1)-2x 的定义域为(1,

+∞).若f(x)>0,则实数a 的取值范围是 ▲ .

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四、解 答 题:本 题 共 6 小 题,共 70 分.第 17 题 10 分,其 余 每 题

12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边,点 D 为BC

边上一点.

(1)试利用“AB

→+BC

→=AC

→”证明:“ccosB+bcosC=a”;

(2)若A=

π

4

,BD=3,CD=2,AD⊥BC,求△ABC 的面积.

18.(12分)

已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=8·3

n-1.

(1)证明:∃λ∈R,数列{an+λ·3

n }成等比数列;

(2)求数列{an}的前n 项和Sn.

19.(12分)

安全教育时刻不能放松,为强化学生的安全意识,某校开展了

安全知识竞赛,竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两

轮制”方式进行,要求每个班级派出2名同学,且每名同学都要

参加两轮比赛,两轮比赛都通过者才具备参加决赛的资格.高

三(6)班派出甲和乙参赛.在初赛中,若甲通过第一轮与第二轮

比赛的概率分别是

2

3

,

1

2

,乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分

别是

3

4

,

2

3

,且甲、乙互不影响,所有轮次比赛的结果互不影响.

(1)记甲、乙两人中获得决赛资格的人数为 X,求 X 的分布列

和数学期望.

(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下:将问题放

入A,B 两个纸箱中,A 箱中有3道选择题和2道填空题,

B 箱中有2道选择题和4道填空题.决赛中要求每位参赛

同学在A,B 两个纸箱中随机依次抽取两题作答.甲先从A

箱中依次抽取2道题目,答题结束后将所答题目一起放入

B 箱中,然后乙再抽取题目.已知乙从 B 箱中抽取的第一

题是选择题,求甲从A 箱中抽出的是2道选择题的概率.

20.(12分)

我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研

究,所用术语形象丰富.如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱

垂直于底面的三棱柱,“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于

底面的四棱锥.如图,三棱柱ABC A1B1C1 中,AC⊥BC,平面

AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1B1B⊥平面ABC.

(1)证明:三棱柱ABC A1B1C1 是“堑堵”;

(2)若AA1=4,AB=2 2,当“阳马”B A1ACC1 的体积最大

值时,求平面ABC 与平面A1BC1 所成锐二面角的正切值.

21.(12分)

设椭圆 C:

x

2

9

+

y

2

b

2 =1(0<b< 6),P 是C 上 一 个 动 点,点

A(1,0),PA 的最小值为

10

2

.

(1)求b 的值;

(2)设过点A 且斜率不为0的直线l交C 于B,D 两点,点E,

F 分别为C 的左、右顶点,直线BE 和直线DF 的斜率分别

为k1,k2,求证:

k1

k2

为定值.

22.(12分)

已知函数f(x)=

e

x -ax

2

1+x

有3个极值点x1,x2,x3,其中e是自

然对数的底数.

(1)求实数a 的取值范围;

(2)求证:x1+x2+x3>-2.

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2024南通名师高考原创卷(二)

命题人:阙东进 海安市教师发展中心

数学

注 意 事 项

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A={x|x

2-2x-3<0},B={x|0<x<4},则 A∪

B= ( ▲ )

A.{x|-1<x<4} B.{x|-3<x<1}

C.{x|0<x<3} D.{x|0<x<1}

2.在复平面内,设z=1-i,则复数

2

z

+z

2 对应的点位于 ( ▲ )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.已知单位向量a,b,c满足2a+3b-4c=0,则a·b= ( ▲ )

A.-

29

12

B.-

7

8

C.0 D.

1

4

4.若函数f (x)=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=

( ▲ )

A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)

C.

kπ

2

(k∈Z) D.(2k+1)kπ(k∈Z)

5.若一组数据1,1,a,4,5,5,6,7的75百分位数是6,则a=

( ▲ )

A.4 B.5 C.6 D.7

6.如图,一个筒车按逆时针方向转动.设筒车上的某个盛水筒 W 到

水面的距离为d(单位:米)(在水面下,则d 为负数).若以盛水筒

W 刚浮出水面时开始计算时间,d 与时间t(单位:分钟)之间的

关系为d=4sin2tπ 6 +2.某时刻t0(单位:

分钟)时,盛水筒 W 在过点O(O 为筒车的轴

心)的竖直直线的左侧,到水面的距离为5米,

则再经过

π

6

分钟后,盛水筒W ( ▲ )

A.在水面下 B.在水面上

C.恰好开始入水 D.恰好开始出水

7.已知a=

1 2

a

,

1 2

b

=logab,a

c =log1

2

c,则实数a,b,c的大小关

系为 ( ▲ )

A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b

8.已知A(2,1),若B,C 为抛物线x

2=4y 上的两个动点(异于点

A),且BA⊥BC,则下列数值中能作为点C 的横坐标为

( ▲ )

A.-6 B.-5 C.8 D.10

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给

出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选

对的得2分,有选错的得0分.

9.亚洲奥林匹克理事会宣布,原定于2022年9月10日至25日举

行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8

日举行,名称仍为杭州2022年第19届亚运会.为了加大宣传力

度,杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主

题的知识竞赛,现随机抽取30名选手,其得分如图所示.设得分

的中位数为 m,众数为n,平均数为x,则 ( ▲ )

A.m=5 B.n=5 C.m>x D.n<x

10.排球是一项深受人们喜爱的运动项目,排球比赛一般采用5局

3胜制.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下

一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.在决胜局(第

五局)采用15分制,某队只有赢得至少15分,并领先对方2分

为胜.现有甲、乙两队进行排球比赛,则下列说法正确的是

( ▲ )

A.已知前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.如果甲队最后

赢得整场比赛,则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛

B.若甲队每局比赛获胜的概率为

2

3

,则甲队赢得整场比赛的概

率也是

2

3

C.已知前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局,且接下来两队

赢得每局比赛的概率均为

1

2

,则甲队最后赢得整场比赛的概

率为

1

4

D.已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局

(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分.若两队打了

x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛,则x 的取值为2或4

11.设函数f(x)=

x|x-2|,x≥0, ax, x<0,

函数g(x)=f(x)-f(-x),

则下列说法正确的是 ( ▲ )

A.当a=0时,函数g(x)有3个零点

B.当a>0时,函数g(x)只有1个零点

C.当-2<a<0时,函数g(x)有5个零点

D.存在实数a,使得函数g(x)没有零点

12.在三棱锥 P ABC 中,AC⊥BC,AC=BC=4,D 是AC 的中

点,E 是AB 上一点,PD=PE=2,AC⊥平面PDE,则

( ▲ )

A.DE∥平面PBC

B.平面PAC⊥平面PDE

C.点P 到底面ABC 的距离等于2

D.二面角 D PB E 的正弦值为

21

7

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.在(x+1)n 的二项展开式中,系数最大的项为x

3 和x

4,则展开

式中x 的系数为 ▲ .

14.已知双曲线

x

2

a

2 -

y

2

b

2 =1(a>0,b>0),若两条直线y=±x 与该

双曲线有四个交点,则称该双曲线为“和谐双曲线”,请写出一个

以(±3,0)为焦点的“和谐双曲线”的方程 ▲ .

2024南通名师高考原创卷(二)—4 2024南通名师高考原创卷(二)—5 2024南通名师高考原创卷(二)—6

15.某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的马铃薯,甲地块

产出马铃薯中一级品的个数占75%,乙地块产出马铃薯中一级

品个数占60%,丙地块产出马铃薯中一级品个数占80%.已知

甲、乙、丙地块产出的马铃薯个数之比为2∶5∶3,现将三个地

块产出的马铃薯混放一堆,则如果取到的一个马铃薯是一级

品,则它是由甲地块产出的概率为 ▲ .

16.在解决问题“已知正实数x,y 满足x+

2

x

+3y+

4

y

=10,求xy

的取值范围”时,可通过重新组合,利用基本不等式构造关于xy

的不等式,通过解不等式求范围.具体解答如下:

由 10 = x+

4 y +

2

x +3y ≥ 2 x+

4 y

2

x +3y =

2 3xy+

8

xy

+14,得3(xy)2-11xy+8≤0,即(xy-1)(3xy8)≤0,解得xy 的取值范围为 1,

8

3

?

?

??

?

?

??

.

请参考上述方法,求解以下问题:

已知正 实 数 x,y 满 足x+

2

x

+3y+

4

y

=10,则

x

y

的 取 值 范

围为 ▲ .

四、解 答 题:本 题 共 6 小 题,共 70 分.第 17 题 10 分,其 余 每 题

12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且A=

π

3

,bsinC=

sinC+ 3cosC.

(1)求c;

(2)设 M 为BC 的中点,若线段 AM 的长不大于 3,求b 的最

大值.

18.(12分)

已知a1=a,a2=p(常数p>0),数列{an}的前n 项和为Sn,且

Sn=

n(an-a1)

2

.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记bn =

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

,数 列{bn}的 前n 项 和 为Tn,求 证:

Tn<2n+3.

19.(12分)

如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA ⊥ 平面 ABCD,AB∥CD,

∠ABC=

π

2

,AB=2,BC=CD=4,M 为PD 的中点,直线CM

与AD 所成角的余弦值为

70

70

.

(1)求点 M 到直线BC 的距离;

(2)求二面角P BC M 的余弦值.

20.(12分)

某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择.为了解

该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度(态度

分为同意和不同意),随机调查了200名学生,数据如下:

男生 女生 合计

同意 70 50 120

不同意 30 50 80

合计 100 100 200

(1)能否有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”

这种观点的态度与性别有关?

(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择.

① 若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种,且他们

的选择情况相互独立互不影响.已知在甲学生选择足球的

前提下,两人的选择不同的概率为

2

3

.记事件 A 为“甲学生

选择足球”,事件 B 为“甲、乙两名学生的选择不同”,判断

事件A、B 是否独立? 并说明理由.

② 若该校所有学生每分钟跳绳个数 X ~N(185,169).根

据往年经验,该校学生经过训练后,跳绳个数都有明显进

步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增

加10个,该校有1000名学生,预估经过训练后该校每分钟

跳182个以上人数(结果四舍五入到整数).

参考公式和数据:K

2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

;

P(K

2≥x0) 0.025 0.010 0.005

x0 5.024 6.635 7.879

若 X~N(μ,σ

2),则 P(|X -μ|<σ)≈0.6826,P(|X -

μ|<2σ)≈0.9545,P(|X-μ|<3σ)≈0.9973.

21.(12分)

在圆x

2+y

2=4上任取一点T,过点T 作x 轴的垂线段TD,D

为垂足.当点T 在圆上运动时,线段TD 的中点M 的轨迹是椭

圆C.

(1)求该椭圆C 的方程;

(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日(1746-1818)发现:椭圆上任

意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆

上,称此圆为该椭圆的“蒙日圆”.若椭圆C 的左,右焦点分

别为F1,F2,P 为椭圆C 上一动点,直线 OP 与椭圆C 的

蒙日圆相交于M,N,求证:

|PM|·|PN|

|PF1|·|PF2|

为定值.

22.(12分)

如果有且仅有两条不同的直线与函数f(x),g(x)的图象均相

切,那么称这两个函数f(x),g(x)为“L 函数组”.

(1)判断函数y=e

x-2 与y=lnx 是否为“L 函数组”,其中e为

自然对数的底数,并说明理由;

(2)已知函数f(x)=2+lnx 与g(x)=a x为“L 函数组”,求

实数a 的取值范围.

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2024南通名师高考原创卷(三)

命题人:金山 江苏省启东中学

数学

注 意 事 项

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合 M ={-2,-1,0,1,2},N ={x||x+1|≤1},则 M ∩

N= ( ▲ )

A.{-1} B.{-2,-1,0}

C.{-1,0,1} D.{0,1,2}

2.已知(1+i

5+i

10)·z=2+i,则z= ( ▲ )

A.1+2i B.1-2i

C.2+i D.2-i

3.第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行,本

届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”、“莲

莲”和“宸宸”,分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大

运河.某同学买了6个不同的吉祥物,其中“琮琮”、“莲莲”和“宸

宸”各2个,现将这6个吉祥物排成一排,且名称相同的两个吉祥

物相邻,则排法种数共有 ( ▲ )

A.48 B.24

C.12 D.6

4.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=12,BC=5,以顶点 A,B 为焦

点且过C 点的双曲线离心率记为e1,以顶点B,C 为焦点且过A

点的双曲线离心率记为e2,则e1e2= ( ▲ )

A.

10

3

B.

60

13

C.

15

2

D.

65

12

5.已知向量a 在向量b 上的投影向量为

1

2

b,且|3a-b|=|a+b|,

则<a,b>= ( ▲ )

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

2π

3

6.若函数f(x)=xloga(1+b

x )-x

2(a,b>0且a≠1,b≠1)是奇

函数,则 ( ▲ )

A.a=2b B.a=b

C.a=b

2 D.a= b

7.已 知 直 线 x+y-2=0 上 点 A 横 坐 标 为 m,若 圆(x-1)2 +

(y-1)2=2存在两点 B,C,使得∠BAC≥60°,则 m 的取值范

围是 ( ▲ )

A.(-∞,-1] B.[3,+∞)

C.[-1,3] D.[-1,1)∪(1,3]

8.若曲线y=(x-1)e

ax 在x=1处的切线与曲线y=e

x 也相切,

则a= ( ▲ )

A.

1

e

B.e

C.1 D.2

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给

出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选

对的得2分,有选错的得0分.

9.袋中有大小形状相同的5个小球,其中黑球3个,白球2个,从中

有放回取球3次,每次取1个,记 X 为取得黑球次数,Y 为取得

白球次数,则 ( ▲ )

A.随机变量 X 的可能取值为0,1,2,3

B.随机变量Y 的可能取值为0,1,2

C.随机事件{X=1}的概率为

3

5

D.随机变量 X 与Y 的数学期望之和为3

10.在正方体ABCD A1B1C1D1 中,P,M,N 是棱AB,AD,AA1

上的点,且平面PMN∥平面A1BD,则 ( ▲ )

A.MN∥平面B1CD B.平面PMN∥平面B1CD1

C.AB1⊥平面PMN D.平面AA1C⊥面PMN

11.已知等比数列{an}满足1+a4a8=2a7,则 ( ▲ )

A.a1>0 B.q≥1

C.a3≤a5 D.a2a4≤a3a5

12.设F 为拋物线C:y

2=4x 的焦点,直线l:2x-ay+2b=0(a≠

0)与C 的准线l1 交于点 A,已知l与C 相切,切点为 B,直线

BF 与C 的一个交点为D,则 ( ▲ )

A.点(a,b)在C 上

B.∠BAF 小于∠AFB

C.以BF 为直径的圆与l相离

D.直线AD 与C 相切

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间.在

特定剂量范围内,t(h)内药物在血液中浓度由p1(ug%)降低到

p2(ug%),则药物的半衰期 T=

0.693·t

lnp1-lnp2

.已知某时刻测得

药物甲、乙在血液中浓度分别为36ug%和54ug%,经过一段

时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为24ug%,设药物

甲、乙的半衰期分别为T1,T2,则

T1

T2

= ▲ .

14.若α 为锐角,且sinαcosαπ 4 =cos2α,则tanα= ▲ .

15.已知圆台的母线长为3 2,A,B 是上、下底面内一点(包括边

界).若点A 与点B 之间的距离的最大值和最小值分别为5和

3,则该圆台的体积为 ▲ .

16.已知函数f(x)=x+sinωx(ω>0)在 0,

π 3 上存在极值点,则

正整数ω 的最小值为 ▲ .

四、解 答 题:本 题 共 6 小 题,共 70 分.第 17 题 10 分,其 余 每 题

12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

记△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,已知b(3cosC1)=c(1-3cosB).

(1)证明:b+c=3a;

(2)求cosA 的最小值.

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18.(12分)

某空调企业为了解产品售后服务情况,给用户发放一份调查问

卷,满分为100分.现从回收的问答卷中随机抽取100份作为样

本,得到如下频率分布直方图.

(1)求a 的值和样本的中位数(精确到0.1);

(2)从样本中得分在(80,100]的问卷中,按分层抽样抽取8份,

再从中随机抽取3份,记这3份问卷中得分在(90,100]的

份数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

19.(12分)

已知数列{an}满足:

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=1-

1

2

n,n∈N

* .

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=[log2an]([x]表示不超过x 的最大整数),求数列

{bn}的前100项和.

20.(12分)

如图,两个正四棱锥底面都为正方形 ABCD,顶点 M,N 位于

底面两侧,AB=2,AM ⊥AN.记正四棱锥 M ABCD 的体积

为V1,正四棱锥 N ABCD 的体积为V2.

(1)求V1+V2 的最小值;

(2)若V1=2V2,求直线AM 与面BCN 所成角的正弦值.

21.(12分)

已知函数f(x)=xlnx+(a-1)x.

(1)若f(x)最小值为-2,求a;

(2)若函数y=e

x-a -f(x)有两个极值点,其中e为自然

对数的底数,求实数a 的取值范围.

22.(12分)

已知椭圆C:

x

2

a

2 +

y

2

b

2 =1(a>b>0)的离心率为

2

2

,F1,F2 分别

为C 的左、右焦点,B 为上顶点,且△BF1F2 的内切圆半径为

2-1.

(1)求C 的方程;

(2)M,N 是C 上位于直线BF2 不同侧的两点,且∠MBF2=

∠NBF2,证明:直线 MN 经过定点.

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