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（2023 平谷二模——留缘点）★★★☆
28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于△OAB，其中 A（1， 3
），B（2，0），给出如下定
义：将 OA 边绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OC，连接 BC，BC 与△OAB 的过点 A 的高线交
于点 P，将点 P 关于直线 y＝kx＋b（k≠0）对称得到点 Q，我们称 Q 为△OAB 的留缘点．
（1）若 k＝1，b＝0，请在图中画出△OAB 的留缘点 Q，并求出点 Q 的坐标；
（2）已知 M（－3，0），N（－3，5），若线段 MN 上存在△OAB 的留缘点，求 b 的取值范
围．
备用图
相似题：2022 西城二模——[k，b]关联线段
x
y
A
O B
x
y
O
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吴老师图解
（1）
3
,1
3
.
思路&图解
补全图形 图 1
如图 1，作
QG y
轴，
1）四边形
ABOC
是一个含
60
角的菱形，
2）
= 1 30 ，OH BH = =1，利用三角函数得
3
3
HP =
，即
3
1,
3
P
，
3）
OPH OQG
，即
OG =1，
3
3
QG = ，
点
Q
的坐标为
3
,1
3
.
备注：由于点
P
和点
Q
关于直线
y x =
对称，那么，直接将点
P
的横纵坐标颠倒一下，
即可得到点
Q
的坐标.
（2）
3
2 2
3
b +
或
23 3
6
b − .
分析
如图，
1）由（1）知点
P
的坐标为
3
1,
3
，
2）对于某一个
b
的值，当
k
值改变，直
线
y kx b = +
会绕点
T b (0, )
旋转，
3）由对称知
TQ TP =
，故点
Q
在：以
T
为圆心，
TP
为半径的
T
上，
根据题意，
T
应与线段
MN
有交点！
x
y
y = x
Q
P
H
C
A
O B
x
y
y = x
30°
1
G
Q
P
H
C
A
O B
x
y
y=kx+b
Q
N
M
P
O
T(0,b)
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思路&图解
临界状态 1：
如图，此时
T
与直线
MN
相切，
1）易知
TP TG = = 3，
2）
3
1,
3
P
，
3）易求得
2 2 TH = − = 3 1 2 2 ，
3
2 2
3
b = + .
临界状态 2：
如图，此时
T
过点
M ，
利用
TM TP =
得
2
2 2 2 3
3 1
3
OT OT
+ = + +
，解得
23 3
6
OT = ，
23 3
6
b = − .
综上所述：
3
2 2
3
b +
或
23 3
6
b − .
备注：或利用两点间距离公式求得
b …
x
y
3
3
H
G
N
M
P
O
T
x
y
3
1
H
N
M
P
O
T
