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（2023 大兴二模）★★★

27．如图，在△ABC 中，∠B＝45



，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转得到线段 AD，且点 D

落在 BC 的延长线上，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，延长 DE 交 AB 于点 F．

（1）依题意补全图形．求证：∠BDF＝

1

2

∠CAD；

（2）用等式表示线段 CD 与 BF 之间的数量关系，并证明．

备用图

相似题：2017 北京中考

B C

A

B C

A

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吴老师图解

（1）

思路&图解

法 1：

如图，设

 =1  ，

1）

 =  − 2 90  ，

2）

 =  −  = 3 180 2 2 2 ，



1

1 3

2

 = 

，即∠BDF＝

1

2

∠CAD．

法 2：

如图，作

AH CD，

1）

 =  1 2

（三线合一），

2）

 =  1 3

（“8 字”），

  =  =  3 1 2

，即∠BDF＝

1

2

∠CAD．

（2）

CD BF = 2 .

分析

如图，关键条件→

AD FD AC = = .

下面给出推导过程：

1）

 =  − 1 90  ，

2）

 =  + 2 45 

（外角），

3）

 =  −  =  − 3 1 45 45 

（外角），

  =  =  + 2 45 FAD  ，即

AD FD = .

思路&图解

法 1：

α

2 1

3

F

E

B C D

A

3

1 2

H

F

E

B C D

A

2α

45° 1 α

2

3

F

E

B C D

A

α

45°

G H

F

E

B C D

A

45°

α

G H

F

E

B C D

A

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思路&图解

如左图，作

AH BD ， FG BD，

1）易证

AHD DGF

（AAS），

2）

BF FG HD = = 2 2

，且

CD HD = 2 ，



2

2

BF CD =

，即

CD BF = 2 .

备注：或证

AHC DGF

（右图）.

法 2：

如图，作

AH CD

并延长至点

G

，使得

HG HD = ，

1）易证

ADG DFB

（AAS 或 ASA），

2）

BF DG HD = = 2

，且

CD HD = 2 ，

 CD BF = 2 .

备注：或连接

CG

，证

ACG DFB .

法 3：

如图，作点

F

关于

BD

的对称点

G

，连

接

BG ， DG ， FG ，

1）

BFG

是等腰直角三角形，

2）易证

ACD DFG

（SAS），

 CD FG BF = = 2 .

45°

45°

G

H

F

E

B C D

A

α

G

H

F

E

B C D

A

α

α

2α

45°

G

F

E

B C D

A