名师作业数学 八年级上册 北京课改版主编 ◎ 姚春艳

责

任

技编:

伍

智

辉

封

面

设计:意

格

设

计

责

任

编辑:周

涛

主 编 ◎ 姚

春

艳

八年级上册

北京课改版

副主编 ◎ 张红艳

编 委 ◎ 郭迷斋 霍立群 王雪霞 赵 晴 刘 凯 谢澎霞

主编 ◎ 姚春艳

目 录

第十章 分式

一 分式及其性质 ……………………………………………………………………………………………… 1

10.1 分式 …………………………………………………………………………………………………… 1

10.2 分式的基本性质(1)…………………………………………………………………………………… 3

10.2 分式的基本性质(2)…………………………………………………………………………………… 5

二 分式的运算及其应用 ……………………………………………………………………………………… 7

10.3 分式的乘除法(1)……………………………………………………………………………………… 7

10.3 分式的乘除法(2)……………………………………………………………………………………… 9

10.3 分式的乘除法(3)…………………………………………………………………………………… 11

10.4 分式的加减法(1)…………………………………………………………………………………… 13

10.4 分式的加减法(2)…………………………………………………………………………………… 15

10.4 分式的加减法(3)…………………………………………………………………………………… 17

10.4 分式的加减法(4)…………………………………………………………………………………… 19

10.4 分式的加减法(5)…………………………………………………………………………………… 21

10.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用………………………………………………………… 23

10.5.1 分式方程及其解法(1)………………………………………………………………………… 23

10.5.1 分式方程及其解法(2)………………………………………………………………………… 25

10.5.2 可化为一元一次方程的分式方程的应用(1)………………………………………………… 27

10.5.2 可化为一元一次方程的分式方程的应用(2)………………………………………………… 29

10.5.3 公式的变形……………………………………………………………………………………… 31

回顾与整理……………………………………………………………………………………………………… 32

第十一章 实数和二次根式

一 实数………………………………………………………………………………………………………… 34

11.1 平方根………………………………………………………………………………………………… 34

11.1.1 平方根…………………………………………………………………………………………… 34

11.1.2 算术平方根……………………………………………………………………………………… 36

11.2 立方根………………………………………………………………………………………………… 38

11.3 用科学计算器开方…………………………………………………………………………………… 40

11.4 无理数与实数………………………………………………………………………………………… 41

二 二次根式…………………………………………………………………………………………………… 43

11.5 二次根式及其性质(1)……………………………………………………………………………… 43

11.5 二次根式及其性质(2)……………………………………………………………………………… 45

11.6 二次根式的乘除法(1)……………………………………………………………………………… 47

11.6 二次根式的乘除法(2)……………………………………………………………………………… 49

11.7 二次根式的加减法(1)……………………………………………………………………………… 51

11.7 二次根式的加减法(2)……………………………………………………………………………… 53

回顾与整理……………………………………………………………………………………………………… 55

第十二章 三角形

一 三角形及其性质…………………………………………………………………………………………… 57

12.1 三角形………………………………………………………………………………………………… 57

12.2 三角形的性质(1)…………………………………………………………………………………… 59

12.2 三角形的性质(2)…………………………………………………………………………………… 61

12.3 三角形中的主要线段………………………………………………………………………………… 63

二 全等三角形………………………………………………………………………………………………… 65

12.4 全等三角形…………………………………………………………………………………………… 65

12.5 全等三角形的判定(1)(ASA)……………………………………………………………………… 67

12.5 全等三角形的判定(2)(SAS) ……………………………………………………………………… 69

12.5 全等三角形的判定(3)(SSS) ……………………………………………………………………… 71

12.5 全等三角形的判定(4)(AAS)……………………………………………………………………… 73

三 等腰三角形与直角三角形………………………………………………………………………………… 75

12.6 等腰三角形(1)……………………………………………………………………………………… 75

12.6 等腰三角形(2)……………………………………………………………………………………… 77

12.6 等腰三角形(3)……………………………………………………………………………………… 79

12.6 等腰三角形(4)……………………………………………………………………………………… 81

12.7 直角三角形…………………………………………………………………………………………… 83

四 尺规作图及轴对称………………………………………………………………………………………… 85

12.8 基本作图……………………………………………………………………………………………… 85

12.8.1 作一条线段等于已知线段……………………………………………………………………… 85

12.8.2 作一个角等于已知角…………………………………………………………………………… 85

12.8.3 作角的平分线…………………………………………………………………………………… 87

12.8.4 作线段的垂直平分线…………………………………………………………………………… 89

12.8.5 作三角形………………………………………………………………………………………… 91

12.9 逆命题、逆定理 ……………………………………………………………………………………… 93

12.10 轴对称和轴对称图形 ……………………………………………………………………………… 94

五 勾股定理…………………………………………………………………………………………………… 96

12.11 勾股定理 …………………………………………………………………………………………… 96

12.12 勾股定理的逆定理 ………………………………………………………………………………… 98

回顾与整理 …………………………………………………………………………………………………… 100

第十三章 事件与可能性

一 事件 ……………………………………………………………………………………………………… 103

13.1 必然事件与随机事件 ……………………………………………………………………………… 103

二 可能性 …………………………………………………………………………………………………… 104

13.2 随机事件发生的可能性 …………………………………………………………………………… 104

13.3 求简单随机事件发生的可能性的大小 …………………………………………………………… 105

回顾与整理 …………………………………………………………………………………………………… 107

第十章 分式

1

第十章 分式

一 分式及其性质

10.1 分式

知识要点

1.分式的定义: .

2.分式有意义的条件: ;分式无意义的条件: .

3.分式值为零的条件: .

名师同步作业

基础过关

1.(西城月考)下列式子中,是分式的是 ( )

A.

1

2-a

B.

x

π-3

C.-

x

3

D.

x

2

2.(顺义期末)若代数式

x-1

x+1

有意义,则实数x

应满足的条件是 ( )

A.x≠1 B.x≠-1C.x=1 D.x=-1

3.(通州期末)已知代数式

x-1

2x+4

的值为0,则

x 的值为 ( )

A.x=2 B.x=-1C.x=1 D.x=-2

4.(海淀期末)若分式

6

a+1

的值为正整数,则整

数a的值有 ( )

A.3个 B.4个 C.6个 D.8个

5.(平谷期中)某人先以速度v1km/h行走了

t1h,再以速度v2km/h行走了t2h,则这个

人两次行走的平均速度为 ( )

A.

v1+v2

2

B.

v1t1+v2t2

2

C.

v1t1+v2t2

t1+t2

D.以上均增

6.若分式

A

B

的值为0,则 且 .

7.对于分式

A

B

,当 时,分式有意义;

当 时,分式无意义.

8.在下列各式:①

m

2+1

m

2-2

,②

m

2-1

m

2+1

,③

m+1

m

2-1

,

④

m

2+1

m+1

中,取值可以为零的是 .

9.(1)当x= 时,分式

2x+1

3x-4

无意义.

(2)当x= 时,分式

x

2-1

x

2+x-2

的值为零.

10.已知分式满足条件“只含一个字母y,且当

y=2时,分式无意义”,请你写出一个这样

的分式: .

能力提升

11.(1)当x 时,分式

1

-x+5

的值为正数.

(2)当x 时,分式

-4

x

2+1

的值为负数.

12.使分式

|x|-3

x

2-x-6

无意义的 x 的取值是

.

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数学 八年级 上册 北京·课改版

2

13.分式

x+a

3x-1

中,当x=-a 时,下列结论正

确的是 ( )

A.分式的值为零

B.分式无意义

C.若a≠-

1

3

时,分式的值为零

D.若a≠

1

3

时,分式的值为零

14.当m 为何值时,分式

(m-1)(m-3)

m

2-3m+2

的值

为零?

15.已知y=

x-1

2-3x

,x 取哪些值时:

(1)y的值是正数;

(2)y的值是负数;

(3)y的值是零.

16.已知当x=1时,分式

x+2b

x-a

无意义;当

x=4时,分式的值为0.求a+b的值.

17.写出一个含有字母x 的分式.

要求:不论x 取任何实数,该分式都有意

义,且分式的值为负.

拓展创新

18.小明说:式子

x

2-4

x+2

通过分子因式分解,可

变形为

(x+2)(x-2)

x+2

,然后分子、分母约

分化简为x-2,所以

x

2-4

x+2

和x-2是两个

相同的式子,因此

x

2-4

x+2

是整式.你认为他

说的对吗? 请简述理由.

自我反思

分式无意义和分式的值为零的条件一样吗?

请说明理由.

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第十章 分式

3

10.2 分式的基本性质(1)

知识要点

1.分式的基本性质:

(1)分式的分子、分母同乘一个 ,分式的值不变.即 .

(2)分式的分子、分母同除以一个 ,分式的值不变.即 .

2.符号法则: 、 与 的符号,改变其中任何两个,分式的

值不变.

即

-a

b

=

a

-b

=-

a

b

=-

-a

-b

.

名师同步作业

基础过关

1.(昌平期中)下列变形正确的是 ( )

A.

a

b

=

a+3

b+3

B.

a

b

=

a-3

b-3

C.

a

b

=

3a

3b

D.

a

b

=

a

2

b2

2.(房山期中)如果将分式

x

x+y

中的字母x,y

的值分别扩大为原来的2倍,那么分式的值

( )

A.不改变 B.扩大为原来的2倍

C.缩小为原来的

1

2

D.缩小为原来的

1

4

3.(海淀月考)分式

1

2-m

可变形为 ( )

A.

1

m-2

B.

1

m+2

C.-

1

m+2

D.-

1

m-2

4.下列各式的变形中,正确的是 ( )

A.

b-a

a

=

ab-a

a

2 B.

ab-1

ac-1

=

b

c

C.

-3a

1-b

=

3a

b-1

D.

0.5x

y

=

5x

2y

5.下列运算中,错误的是 ( )

A.

a

b

=

ac

bc

(c≠0) B.

(-a-b)2

(a+b)2 =1

C.

x-1

x

=

x

2-x

x

2 D.

x-y

x+y

=

y-x

y+x

6.下面是两名同学对同一分式所做的两种变

形,请你判断正误,并说明理由.

甲同学:

x-y

x+y

=

(x-y)(x+y)

(x+y)2 =

x

2-y

2

(x+y)2;

乙同学:

x-y

x+y

=

(x-y)2

(x+y)(x-y)=

(x-y)2

x

2-y

2 .

变形正确的是 同学.理由

.

7.根据分式的基本性质填空.

(1)

x

2

x x-2

=

( )

x-2

;

(2)

x+y

=

3x x+y

6x

2 ;

(3)

a

2+ab

a

2b

=

( )

ab

;

(4)

x

2+2xy+y

2

x

2-y

2 =

x+y

( ).

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数学 八年级 上册 北京·课改版

4

8.不改变分式的值,使下列分式的分子、分母

中不含“-”号.

(1)

-5x

-6x

= ;(2)

-a

3b

= ;

(3)-

2m

-n

= ; (4)

-x+y

x+y

= ;

(5)

-x-y

x-y

= ; (6)

-x-y

-x+y

= .

9.不改变分式的值,使分式

1-a

2-a

1+a

2-a

3 的分子

和分母的最高次项的系数是正数: .

10.不改变分式的值,把下列各式中分子与分

母的各项系数都化为整数.

(1)

0.1+a

0.5a-0.07

; (2)

0.1x-0.3y

1.2x+0.5y

;

(3)

3

4

x-y

3-

1

2

y

.

能力提升

11.观察下面一列有规律的数:

1

3

,

2

8

,

3

15

,

4

24

,

5

35

,

6

48

,…,

根据其规律可知第n个数应是

(n为正整数).

12.若不论a 取任何实数,分式

1

a

2-2a+m

总

有意义,则m 的取值范围是 .

拓展创新

13.观察下面的解题过程:

已知

x

x

2+1

=

2

5

,求

x

2

x

4+1

的值.

解:因为

x

x

2+1

=

2

5

(x≠0),

所以

1

x+

1

x

=

2

5

,即x+

1

x

=

5

2

.

因 此

x

2

x

4+1

=

1

x

2+

1

x

2

=

1

x+

1 x

2

-2

=

1

5 2

2

-2

=

4

17

.

请借鉴上述解题方法解答下面的题目:

已知

x

x

2-3x+1

=2,求

x

2

x

4+x

2+1

的值.

自我反思

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第十章 分式

5

10.2 分式的基本性质(2)

知识要点

1.根据分式的基本性质,把分式中分子与分母的 约去,叫做约分.

2.约分的依据是 ,约分的关键是 .当分子或分母为多项式时,

应先 ,以便找出 .约分后的结果应为整式或最简分式.

3.分子与分母没有 的分式,叫做最简分式.

名师同步作业

基础过关

1.(西城期末)化简

x

2-1

x-1

正确的是 ( )

A.

x

2-1

x-1

=

(x-1)2

x-1

=

1

x-1

B.

x

2-1

x-1

=

(x-1)2

x-1

=x-1

C.

x

2-1

x-1

=

(x+1)(x-1)

x-1

=x+1

D.

x

2-1

x-1

=

(x+1)(x-1)

x-1

=

1

x+1

2.在 分 式

4y+3x

4a

,

x

2-1

x

4-1

,

x

2-xy+y

2

x+y

,

a

2+2ab

ab-2b2中,最简分式有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.(东城期末)下列分式中是最简分式的是

( )

A.

6x

2

9x

B.

x

2+y

2

x+y

C.

x

2+4x+4

x+2

D.

x

2-1

x-1

4.下列约分正确的是 ( )

A.

-x+y

x-y

=-1 B.

2x-y

2x-y

=0

C.

x+a

x+b

=

a

b

D.

m+3

m

=3

5.根据分数的约分方法,把下列分式化为最简

分式:

(1)

8a

2

12a

= ;

(2)

125a

2bc

3

45ab2

c

= ;

(3)

26(a+b)2

13(a+b)= ;

(4)

26(a+b)

13(a

2-b2)

= .

6.把下列分式约分:

(1)

3a

3b3

c

12ac

2 ; (2)

(x+y)y

xy

2 ;

(3)

x

2+xy

(x+y)2; (4)

x

2-y

2

(x-y)2;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

6

(5)

m

2-2m+1

1-m

; (6)

x

2+6x+9

x

2-9

;

(7)

x

2-y

2

x

2+2xy+y

2.

能力提升

7.把下列分式约分:

(1)

16-a

2

a

2-6a+8

; (2)

m

2-3m+2

m

2-m

;

(3)

x

2-x-2

4-x

2 ; (4)

x

2-3x-18

x

2-9

.

8.化简求值:

x

2-4y

2

4x

2-8xy

,其中x=

1

2

,y=

1

4

.

9.已知

x

y

=

2

3

,求

x

2-3xy+y

2

2x

2-3xy+5y

2的值.

10.已知

1

x

+

1

y

=3,求

2x

2-2y

2

x

2

y-xy

2的值.

拓展创新

11.通分:

(1)

1

x

2-x

,

x

x

2-1

,

2

x

2-2x+1

;

(2)x-y,

2y

2

x+y

.

自我反思

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第十章 分式

7

二 分式的运算及其应用

10.3 分式的乘除法(1)

知识要点

1.分式的乘法法则:分式乘分式,用 的积做积的 , 的积做积的

.用式子表示为

a

b

·

c

d

= .

2.分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母 后,与

.用式子表示为

a

b

÷

c

d

= = .

名师同步作业

基础过关

1.计算xy÷

y

x

的结果是 ( )

A.x

2

y

2 B.x

2 C.xy D.y

2

2.(房山月考)计算a÷a×

1

a

的结果是 ( )

A.a B.1 C.

1

a

D.a

2

3.化简

2

x

2-1

÷

1

x-1

的结果是 ( )

A.

2

x-1

B.

2

x

3-1

C.

2

x+1

D.2(x+1)

4.(房山月考)计算

x

2

y

·y

x

÷ -

y x 的结果是

( )

A.

x

2

y

B.-

x

2

y

C.

x

y

D.-

x

y

5.计算:-3ab÷

9b2

4a

2= = .

6.计算:

(1)

4x

3y

· y

2x

3; (2)3xy

2÷

6y

2

x

;

(3)(xy-x

2)·

xy

x-y

;

(4)-

3a b ÷6ab;

(5)(东城月考)

ab2

2c

2·

4cd

-3a

2b2;

(6)

3x

4y

÷ -

3x y · -

1 2x ;

(7)

3ab2

2x

3

y

· -

8xy 9a

2b ÷

3x

(-4b)

;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

8

(8)

2

a-b

·

a

2-b2

2a

÷

a+b

a

2 .

能力提升

7.计算:

(1)

a+2

a-2

·

1

a

2+2a

;

(2)(朝阳期末)

x

2-4y

2

x

2+2xy+y

2÷

x-2y

x+y

;

(3)

x

2-x-6

x-3

÷

x-3

x

2-5x+6

;

(4)(东城期中)

x

x

2-y

2÷

1

2x-2y

·

x+y

x

8.已知x-3y=0,求

2x+y

x

2-2xy+y

2·(x-y)

的值.

拓展创新

9.证明:无论a 取何值,分式

a

2-1

(a-1)2÷

1

a-1

·

1

a+1

的值不变.

自我反思

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第十章 分式

9

10.3 分式的乘除法(2)

知识要点

分式乘方的运算法则:分式的乘方是把分式的 、 分别乘方.用式子表示

为

a b

n

= (n是正整数).

名师同步作业

基础过关

1.(延庆期末)分式

2b 3a

3

2

的计算结果是

( )

A.

4b

9a

3 B.

4b2

6a

6

C.

4b2

9a

5 D.

4b2

9a

6

2.(昌平期中)计算 -

1 a

3

·(-a

4)的结果是

( )

A.a B.-a C.

1

a

D.-

1

a

3.下列计算正确的是 ( )

A.

m

3

n

4 ·

n

3

m

2=

m

n

B.

a

b

·

c

d

=

ad

bc

C.

2a a-b

2

=

2a

2

a

2-b2 D.

y 2x

2

=

y

3

2x

3

4.计算8x

2

y

4· -

3x

4y 2 ÷ -

x

2

y 2 的结果是

( )

A.-3xy B.3xy

C.-12xy D.12xy

5.计算:(1)(平谷期中)a

2· 1 a

3

= ;

(2)(东城期中) -

b 2a

3

= ;

(3)

2a

2b -c

3

3

= .

6.计算:

(1)(房山期中) -

y x

3

·

x

2

4y

÷

y

x

;

(2)-

x y

2

· -

y

2 x ÷(-xy

4);

(3)(昌平期中) b 2a

2

÷ -

a 3b ×

4a

b3 ;

(4)x

2 y

2

· y

2 x

3

÷ -

y x

4

;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

10

(5)-

b

4a

÷ -

b 2a

2

· -4a b ;

(6)m n

5

· -

n

2 m

4

÷(-mn

4);

(7)(门头沟期中) 2x

3

y z

2

· xz y · -

yz 2x

2

3

;

(8)(东城期中) -

2a b

3

÷

2a

2 3b

2

.

能力提升

7.如果

a

3 b2

2

÷

a b3

2

=3,那么a

8b4 等于 ( )

A.6 B.9

C.12 D.8

8.已知(a-1)2+|b-4|=0,求 -

3a

2 b

2

·

ab3 -a

3b2

3

的值.

9.计算:

(1)a-b ab

2

· -a b-a

3

·(a

2-b2);

(2)

x-1 x

2-x-2

2

÷

x

2-2x+1

2-x

÷

1 x

2+x

2

.

拓展创新

10.计算:-

a

2 bn+1

2

= .

11.计算 -

b2 a

2n

(n为正整数)的结果是

( )

A.

b2+2n

a

2n B.

b4n

a

2n C.-

b2n+1

a

2n D.-

b4n

a

2n

自我反思

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第十章 分式

11

10.3 分式的乘除法(3)

知识要点

1.在进行含有乘方、乘除法的分式的运算时,其运算顺序是 , .

2.进行分式运算的结果应是 或 .

名师同步作业

基础过关

1.计算

8x

x-y

·y-x

8y

的结果是 ( )

A.

y

x

B.-

x

y

C.

x

y

D.-

y

x

2.计算a÷

a

b

·

b

a

的结果是 ( )

A.a B.a

2 C.

1

a

2 D.

b2

a

3.计算

x

x

2-y

2÷

1

x-y

·

x+y

x

的结果是

( )

A.1 B.x+y C.-1 D.x-y

4.下列各式计算正确的是 ( )

A.

1

a+b

÷

a+b

2

=1

B.

a

2-1

a

2-a

=a+1

C.(a

2-1)÷

a

2+a

a

=a-1

D.2ab÷

3b2

2a

=3b2

5.老师设计了一个接力游戏,用合作的方式完

成分式化简.规则是:每人只能看到前一人

给的式子,并进行一步计算,再将结果传递

给下一人,最后完成化简.过程如下图所示.

??????

?

?

?

???????

?

x?2-2x

x-1

÷

x

2

1-x

老师

➝

??????

?

?

?

????????

x?2-2x

x-1

·

1-x

x

2

甲

➝

??????

?

?

?

????????

x?2-2x

x-1

·

x-1

x

2

乙

➝

?????????

?

?

?

??????????

?

x?(x-2)

x-1

·

x-1

x

2

丙

➝

???

?

?

???

?

?

?

x?-2

2

丁

接力中,自己负责的一步出现错误的是

( )

A.只有乙 B.甲和丁

C.乙和丙 D.乙和丁

6.下列运算错误的是 ( )

A.

1 2

0

=1 B.x

2+x

2=2x

4

C.|a|=|-a| D.

b a

2

3

=

b3

a

6

7.化简

a

2-1

a

2+2a+1

÷

a-1

a

的结果是 ( )

A.

1

2

B.

a

a+1

C.

a+1

a

D.

a+1

a+2

8.使式子

x+2

x-3

÷

x+1

x-2

有意义的x 满足( )

A.x≠3且x≠2 B.x≠3且x≠-1

C.x≠2且x≠-2 D.x≠-1,x≠2且x≠3

9.一艘船顺流航行nkm 用了m h,如果逆流

航行速度是顺流航行速度的p

q

,那么这艘船

逆流航行th走的路程是 km.

10.计算:

(1)6(xy

2)2÷ -

4y

3 3x ;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

12

(2)(门头沟期末) y -3x

3

·

x

y

2÷ -

y x

4

;

(3)

-2+x+x

2

x-3

÷

x+2

x

2-6x+9

;

(4)(昌平期中)

3b2

16a

÷

bc

2a

2· -

2a b

2

;

(5)

2x-6

4-4x+x

2÷(x+3)·

x

2+x-6

3-x

;

(6)

a

2-4

a+2

÷(a-2)·

1

a-2

.

11.先化简,再求值:2ab2 a+b

3

÷

ab3 a

2-b2

2

·

1

2(a-b)

2,其中a=-

1

2

,b=

2

3

.

能力提升

12.若 x

2 + x - 5 = 0,则

x

2-x-6

x-3

÷

x+3

x

2+2x-3

的值为 .

拓展创新

13.已知a

2+10a+25=-│b-3│,求代数

式

b4

(a-b)2 ·

a

3+ab2-2a

2b

b3 ÷

b2-a

2

ab+b2

的值.

自我反思

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第十章 分式

13

10.4 分式的加减法(1)

知识要点

1.

b

a

与

c

a

的分母相同,称为同分母分式;

m

a

与

n

b

的 不同,称为 分式.

2.同分母的分式相加减:同分母分式相加减时,分母 ,分子 .

即

a

c

±

b

c

= .

3.分式加减的结果要化为 .

名师同步作业

基础过关

1.(房山期末)计算

1

x-1

-

x

x-1

的结果是

( )

A.0 B.1 C.-1 D.x

2.计算

2a

a+b

-

a-b

a+b

的结果是 ( )

A.

3a-b

b+a

B.-

3a-b

b+a

C.1 D.

a-b

a+b

3.计算

x+2y

-2xy

+

x+6y

2yx

的结果是 ( )

A.

2

x

B.

4

x

C.-

2

x

D.-

4

x

4.(房山月考)下列计算正确的是 ( )

A.

1

a

+

1

a

=

1

2a

B.

1

(a-b)2+

1

(b-a)2=0

C.

m-n

a

-

m+n

a

=0

D.

1

a-b

+

1

b-a

=0

5.下列计算正确的是 ( )

A.-

a

b

+

c

b

=-

a+c

b

B.-

a

b

+

c

b

=-

a-c

b

C.

x+y

z

-

x-y

z

=2

D.

1

(x-1)2+

1

(1-x)2=

1

x-1

6.( 大 兴 一 模 ) 化 简:

3x

x+y

+

y-2x

x+y

=

.

7.计算:

(1)

a

2

a+b

+

b2+2ab

a+b

;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

14

(2)(石景山期末)

2x-3

x-2

-

x-1

x-2

;

(3)(通州期中)

2x

x-y

-

2y

x-y

;

(4)

3x

2x-y

-

x+y

2x-y

;

(5)(丰台期中)

c-d

ac

+

c+d

ac

;

(6)(北京名校期中)

x

2

x-2

-

4x

x-2

+

4

x-2

;

(7)

m+2n

n-m

+

n

m-n

-

2m

n-m

;

(8)

6x

5x-7

-

3x-8

7-5x

+

-x+6

7-5x

.

能力提升

8.计算:

5x-7

x

2+3x+2

+

(2-x)2

x

2+3x+2

-

x

2-4

x

2+3x+2

.

拓展创新

9.已知 P =

x

2

x-y

-

y

2

x-y

,Q = (x+y)2 -

2y(x+y),小丽和小颖两人在x=2,y=-1

的条件下分别计算了P 和Q 的值.小丽说

P 的值比Q 的值大,小颖说Q 的值比P 的

值大.请你判定谁的结论正确,并说明理由.

自我反思

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第十章 分式

15

10.4 分式的加减法(2)

知识要点

1.根据分式的基本性质,在不改变分式值的情况下,把几个异分母的分式化为相同分母的

分式的变形,叫做 .但通分时为了简便,也应该像分数的通分一样,找各个分母

的最简单的公分母,简称 .

2.确定最简公分母的方法:①各分母的系数取 ;②各分母中出现的字母

(或含字母的因式),取指数 ;③当分母是多项式时,一般应先 .

3.异分母分数相加减时,先 化为同分母后,再进行加减计算.即

a

b

±

c

d

= = .

名师同步作业

基础过关

1.填空:

(1)

1

a

+

1

b

=

( )

ab

+

a

( )=

a+b

( )

;

(2)

1

x-1

-

1

x

=

( )

x(x-1)-

x-1

( )

=

1

( ).

2.分式

1

4x

2

y

2,

1

6x

3

y

2,

1

8x

4

y

3的最简公分母是

.

3.计算:

2a

a

2-4

-

1

a-2

= .

4.计算

a

2

a-1

-(a+1)的结果是 ( )

A.

1

a-1

B.-

1

a-1

C.

2a-1

a-1

D.-

2a-1

a-1

5.已知

1

a

-

1

b

=

1

3

,则

ab

b-a

的值是 ( )

A.

1

3

B.-

1

3

C.3 D.-3

6.如果轮船在静水中航行的速度是akm/h,

水流的速度是bkm/h(a>b),那么轮船顺

水航行skm 比逆水航行skm 所用的时间

少 ( )

A.

2as

a

2-b2 h B.

2bs

a

2-b2 h

C.

2bs

b2-a

2 h D.

2s

a-b

h

7.把下列各组中的分式通分:

(1)

a

2xy

,

b

3x

2; (2)y

2x

,

x

3y

2,

1

4xy

;

(3)

3c

2ab2,-

b

6a

2

c

,

a

-8bc

2;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

16

(4)

1

x+2

,

1

3(x+2)

;

(5)

1

3(x-2)2,

1

4(2-x)3;

(6)

3a

2(a+1)

,

2a

3(a-1)

;

(7)

x

x

2-x

,

2

x

2-1

,

-1

x

2+2x+1

.

8.计算:

(1)

b

3a

+

a

2b

; (2)

2

x

-

5

x

2;

(3)

b2

4a

2-

c

a

; (4)

b

3a

2-

1

6ab

.

能力提升

9.阅读下列题目的计算过程:

x-3

x

2-1

-

2

1+x

=

x-3

(x+1)(x-1)-

2(x-1)

(x+1)(x-1)①

=x-3-2(x-1) ②

=x-3-2x+2 ③

=-x-1. ④

上述计算过程,从第 步出现错误.

(1)错误的原因是 .

(2)请写出正确的计算过程.

拓展创新

10.已知T=

a

2-9

a(a+3)2+

6

a(a+3).

(1)化简T;

(2)若正方形ABCD 的边长为a,且它的面

积为9,求T 的值.

自我反思

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第十章 分式

17

10.4 分式的加减法(3)

知识要点

1.做分式减法时,要注意分数线的括号作用,突出 是一个整体.

2.分式运算结果必须是 ,如果分子、分母中有 ,一定要把它约去,使分式

最简.

3.类比分数的加减运算法则归纳分式的加减运算法则的过程,体现了 的思想方法;

将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法,体现了 的思想方法.

名师同步作业

基础过关

1.已知x≠0,那么

1

x

+

1

2x

+

1

3x

等于 ( )

A.

1

2x

B.

1

6x

C.

5

6x

D.

11

6x

2.化简

2x

x

2-9

+

1

3-x

的结果是 ( )

A.

1

x-3

B.

1

x+3

C.

1

3-x

D.

3x+3

x

2-9

3.下列各式中,计算正确的是 ( )

A.

1

3a

+

1

3b

=

1

3(a+b)B.

b

a

-

b+1

a

=

1

a

C.

1

a-b

+

1

b-a

=0 D.

m

a

+

m

b

=

2m

ab

4.计算

1

a+1

+

1

a(a+1)

的结果是 ( )

A.

1

a+1

B.

a

a+1

C.

1

a

D.

a+1

a

5.(西城期中)计算:

5

x+2

-

3

x-2

= .

6.计算:

(1)(房山期末) y

3x

2-

1

6xy

;

(2)(房山期中)

x+1

x

2-1

-

x

x-1

;

(3)

x

2-1

x

2+2x+1

+

2

x+1

;

(4)

2

x

2-4

-

1

2x-4

;

?

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数学 八年级 上册 北京·课改版

18

(5)

1

a-1

+

2

1-a

2;

(6)(丰台期末)

a

a

2-ab

-

1

a+b

;

(7)(昌平期中)

2x

x

2-4y

2+

1

2y-x

;

(8)

x

2

x+1

-x+1;

(9)(门头沟期中)

a

2

a-1

-a-1.

能力提升

7.学完分式运算后,老师出了一道题:

化简

x+3

x+2

+

2-x

x

2-4

.

小明 的 做 法 是:原 式 =

(x+3)(x-2)

x

2-4

-

x-2

x

2-4

=

(x+3)(x-2)-x-2

x

2-4

=

x

2-8

x

2-4

;

小亮的做法是:原式=(x+3)(x-2)+

(2-x)=x

2+x-6+2-x=x

2-4;

小芳的做法是:原式=

x+3

x+2

-

x-2

(x+2)(x-2)=

x+3

x+2

-

1

x+2

=

x+3-1

x+2

=1.

这三名同学的做法中,你认为正确的是

,请指出另两名同学错误的地方.

拓展创新

8.阅读下列例题的解题过程:

例如,计算:

1

x(x+1)+

1

(x+1)(x+2)+

1

(x+2)(x+3).

解:原式=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

=

1

x

-

1

x+3

=

3

x(x+3).

依照上例计算:

2

x(x+2)+

2

(x+2)(x+4)+

2

(x+4)(x+6).

自我反思

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第十章 分式

19

10.4 分式的加减法(4)

知识要点

进行分式混合运算时的运算顺序:先 ,再 ,最后 ;若有 ,

应先算 的.

名师同步作业

基础过关

1.(丰台模拟)化简

1

a

+

1 b ÷

1

a

2-

1 b2 ·ab,

其结果是 ( )

A.

a

2b2

a-b

B.

a

2b2

b-a

C.

1

a-b

D.

1

b-a

2.化简

x

x

2+2x+1

÷ 1-

1 x+1 的结果是

( )

A.

1

x+1

B.

x+1

x

C.x+1 D.x-1

3.计算x÷y+

y

x

等于 ( )

A.

x

2+y

2

xy

B.

(x+y)2

xy

C.

x

2

xy+y

D.1

4.计算

3x

x-4y

+

x+y

4y-x

-

7y

x-4y

得 ( )

A.-

2x+6y

x-4y

B.

2x+6y

x-4y

C.-2 D.2

5.化简

2

x

2-1

÷

1

x-1

的结果是 ( )

A.

2

x-1

B.

2

x

3-1

C.

2

x+1

D.2(x+1)

6.填空:

(1)1+

y x-y 1-

x x-y = ;

(2)y1 x ÷ x1 y = .

7.计算:

(1)

1

x+1

-

x+3 x

2-1 ÷

1

x-1

;

(2)(石景山期中)

1

2x-4

·

x

2-4x+4

x+2

+

2

x+2

;

(3)2a b

2

·

1

a-b

-

a

b

÷

b

4

;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

20

(4)(丰台期末)

2a-4

a

2-1

÷ 1-

1 a-1 ;

(5)(顺义期末)

x

2+4

x

2-4

-

x-3

x-2

÷

x-3

x

;

(6)

x

x-y

· y

2

x+y

-

x

4

y

x

4-y

4÷

x

2

x

2+y

2;

(7)1-

2 x+1

2

÷

x-1

x+1

;

(8)

a

2

1-a

-(1-a)÷

(1-a)2

2a-1

.

能力提升

8.已知

x

x

2-x+1

=7,则x+

1

x

等于 ( )

A.

8

7

B.

7

8

C.6 D.8

9.先化简,再取一个你最喜欢的x 的数代入求

值:

x

2-4

x

2-4x+4

+

2-x x+2 ÷

x

x-2

.

拓展创新

10.已知a,b为实数,且ab=1,设M=

a

a+1

+

b

b+1

,N=

1

a+1

+

1

b+1

,试判断 M,N 的大

小关系.

自我反思

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第十章 分式

21

10.4 分式的加减法(5)

知识要点

1.进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的顺序,先乘方,再

乘除,然后加减;有括号的要先算括号里面的.但有时恰当地使用运算律会使运算简便.

2.分子或分母的系数是负数时,一般把“-”号提到分式本身的前面.

3.注意括号的“添”或“去”,分子、分母要在运算过程中进行约分.

4.注意最后的结果必须是最简分式或整式.

5.对于条件求值题,一般先把分式化简,再把已知条件合理转化,最后代入求值.

名师同步作业

基础过关

1.(昌平二模)若a+b=1,则代数式

a

b -1 ·

b

a

2-b2的值为 ( )

A.-2 B.-1 C.1 D.2

2.(丰台一模)如果3x-2y=0,那么代数式

x

y +1 ·

3x

x+y

的值为 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.(大兴月考)如果a

2+3a-3=0,那么代数

式

3

a

2-9

+

1 a+3 ·

a-3

a

2 的值为 ( )

A.1 B.

1

2

C.

1

3

D.

1

4

4.计算

1

x

-

1 2x ·x

2 的结果为 ( )

A.-x B.

1

x

C.-

x

2

2

D.

x

2

5.如果a+b=2,那么ab2 a ·

a

a-b

的值是

( )

A.2 B.-2 C.

1

2

D.-

1

2

6.如果m=

y

x

-

x

y

,n=

y

x

+

x

y

,那么 m

2-n

2

等于 ( )

A.4 B.-4 C.0 D.

2y

2

x

2

7.若

4

a

2-4

+

1 2-a ·w=1,则w 等于 ( )

A.a+2 B.-a+2

C.a-2 D.-a-2

8.当x=2时,式子

2x+1

x +x ÷

x+1

x

的值是

.

9.计算:

(1)

1

x+1

-

x+3

x

2-1

·

2

x

2+4x+3

;

(2) a

a-b

-

a a+b ÷

2b

a

2-b2;

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数学 八年级 上册 北京·课改版

22

(3)1-

x+2

x-1

÷

x

2-4

x

2+2x+1

;

(4)

a

2+a

a-1

÷aa a-1 .

10.先化简,再求值:

(1)(通州期中)

x

2+x

x

2-2x+1

÷

2

x-1

-

1 x ,

其中x= 2+1.

(2)(房山一模)已知m

2+m-3=0,求代

数式 m+

2m+1 m ÷

m+1

m

2 的值.

(3)(门头沟期末)已知x

2+2x-5=0,求

代数式 x+1-

3 x-1 ÷

x-2

x

2-x

的值.

能力提升

11.根据下面给出的解答过程,在括号里填写

理由.

化简式子(a+b) a

a+b +1 .

解:(a+b) a

a+b +1

=(a+b) a

a+b

+

a+b a+b ( )

=(a+b)·

2a+b

a+b

( )

=2a+b. ( )

12.若

1

m

+

1

n

=

7

m+n

,则

n

m

+

m

n

的 值 为

.

拓展创新

13.老师在黑板上书写了一个代数式的正确计

算结果,随后用手遮住了原代数式的一部

分,如下图:

-

3 1-x ÷

x

x+1

=

x+1

x-1

(1)求被手遮住 部 分 的 代 数 式,并 将 其

化简;

(2)原代数式的值能等于1吗? 请说明理由.

自我反思

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第十章 分式

23

10.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用

10.5.1 分式方程及其解法(1)

知识要点

1.定义: 含有未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程和整式方程的区别是 .

名师同步作业

基础过关

1.(昌平期中)下列关于x 的方程,是分式方程

的是 ( )

A.

x

2

-3=

x

5

B.

1

2

x1

3

y=5

C.

x

π

=

x

3

+

x

2

D.

1

2+x

=1-

2

x

2.(西城期中)已知x=3是分式方程

k

x-1

=3

的解,那么实数k的值为 ( )

A.1 B.

3

2

C.6 D.9

3.将分式方程

1

2x

=

2

x+3

去分母后,得到正确

的整式方程是 ( )

A.2x=x+3 B.x+3=4x

C.2x

2+6x=x+3 D.2x=2x+6

4.分式方程

3

x

=

2

x+1

的解是 ( )

A.x=3 B.x=-1

C.x=1 D.x=-3

5.对于实数a,b,定义一种新运算“?”为:a?

b=

1

a-b2,这里等式右边是实数运算.例如:

1?3=

1

1-32 =-

1

8

.则方程x?(-2)=

2

x-4

-1的解是 ( )

A.x=4 B.x=5

C.x=6 D.x=7

6.将分式方程

1

x-2

=

3

x

化成整式方程,方程

两边可以同时乘最简公分母 .

7.(海 淀 期 末) 若 x=4 是 关 于 x 的 方 程

2x-m

x-3

=3的解,则m 的值为 .

8.若关于x 的方程

2ax+3

a-x

=

5

4

的解为x=2,

则a的取值为 .

9.已知-2是关于x 的分式方程

x-k

x+3

=2x 的

解,则实数k的值为 .

10.小明解方程

1

x

-

x-2

x

=1的过程如下:

解:方程两边同乘x,得1- x-2 =1.

……………………………………… ①

去括号,得1-x-2=1.……………… ②

合并同类项,得-x-1=1.…………… ③

移项,得-x=2.……………………… ④

解得x=-2. ………………………… ⑤

所以原方程的解为x=-2. ………… ⑥

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数学 八年级 上册 北京·课改版

24

请指出他解答过程中的错误步骤及错误原

因,并写出正确的解答过程.

11.解分式方程:

(1)

1

x-2

+2=

1+x

2-x

;

(2)

1

x-2

+1=

2x

2x+1

;

(3)

x

x-1

-

3

(x-1)(x+2)=1;

(4)

x

x-1

-1=

3

x+1

.

能力提升

12.(西城期中)关于x 的方程

a-1

x-1

=4的解为

非负数,则a的取值范围是 .

拓展创新

13.解下列方程:

①

1

x+1

=

2

x+1

-1的解是x= .

②

2

x+1

=

4

x+1

-1的解是x= .

③

3

x+1

=

6

x+1

-1的解是x= .

④

4

x+1

=

8

x+1

-1的解是x= .

(1)根据你发现的规律直接写出第⑤个方

程及它的解.

⑤ .

(2)请你用一个含正整数n 的方程表示上

述规律,并求它的解.

自我反思

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