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（2023 顺义二模——对应图形）★★★☆
28．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P，直线 l 与图形 G．连接点 P 与图形 G 上任意一
点 Q，取 PQ 的中点 M，点 M 关于直线 l 的对称点为 N，所有的对称点组成的图形 W 称为图形
G 关于点 P 及直线 l 的“对应图形”．
已知点 A（4，0）．
（1）对于直线 l：x＝a，若直线 y＝－2x－4 关于点 A 及直线 l 的“对应图形”与直线 y＝
－2x－4 的交点在 x 轴的上方，求 a 的取值范围；
（2）已知点 B（0，4），C（－4，0），D（6，4），直线 l：x＝－1，⊙T 的圆心 T（t，
0），半径为 2．若存在⊙T 关于点 D 及直线 l 的“对应图形”与△ABC 的边有交点，
直接写出 t 的取值范围．
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吴老师图解
（1）
1
2
a − .
审题
如图，当点
Q
在图形
G
上运动时，点
N
的轨迹（图形
W
）就叫作图形
G
关于点
P
及直
线
l
的“对应图形”.
分析
如图，
1）在直线
y x = − − 2 4
上取点
Q
，连接
AQ
，取中点
M ，
2）根据“瓜豆原理”，当点
Q
在直线上运动时，点
M
的轨迹是直线
m
，易求得直线
m
的解析式为
y x = − + 2 2
（提示：
k =−2
，再找一个点代入即可），
3）将直线
m
关于直线
x a =
对称，得到直线
n
（
k = 2
），
4）当
a
的值改变时，直线
n
会随之左右平移…
根据题意，应适当调整
a
的值，使得直线
n
与
y x = − − 2 4
的交点在
x
轴的上方！
此类问题，我们一般都是先“跳过”直线
x a =
，直接让直线
n
到达临界状态，然后再回
来求对称轴
x a = …
思路&图解
如图，
1）由【分析】知直线
y x = − − 2 4、直线
m
与
x
轴的交点分别为
R( 2,0) − 、 S(1,0)，
2）当直线
n
过点
R
时，易求得对称轴为
2 1 1
2 2
x
− +
= = −
，即
1
2
a =− .
综上所述：
1
2
a − .
l
图形G
N
M
P
Q
x
y
y=-2x-4 m x=a n
M
O A
Q
x
y
n m
y=-2x-4 x=a
R S
O
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（2）
− − − + 14 2 2 14 2 2 t
或
− − − + 6 2 2 6 2 2 t .
分析
如图，
1）在半径为
2
的
T
上取点
Q
，连接
DQ ，取中点
M ，
2）根据“瓜豆原理”，当点
Q
在
T
上运动时，点
M
的轨迹是半径为 1 的
S
，易求得
点
S
的坐标为
6
,2
2
t +
，
3）将
S
关于直线
x =−1
对称，得到
U ，利用
1
2
U S x x +
= −
可求得
10
2
U
t
x
− −
= ，
4）当
T
左右移动时，
S
随之运动，从而导致
U
左右移动，根据题意，我们应保证
U
与
ABC
有公共点！
显然，我们将临界位置时的点
U
的横坐标求出来，即可知
t
的取值范围…
思路&图解
如图，
1）过程 1：（2 个绿色的圆）
①易求得
1
2 2 2 U G x x = − = − − ， 2
2 2 U
x = − + ，
②由【分析】知
10
2
U
t
x
− −
=
，解得
1
t = − +6 2 2 ， 2
t = − −6 2 2 ，
2）过程 2：（2 个红色的圆）
同理得
3
t = − + 14 2 2 ， 4
t = − − 14 2 2 .
综上所述：
− − − + 14 2 2 14 2 2 t
或
− − − + 6 2 2 6 2 2 t .
x
y
y=2
x = 1
U
S M
D
C
B
O T A
Q
x
y
y = 2
G
H
C
B
O A
U1 U2 U3 U4
