答案精析
１ ２０２１－２０２２学年江苏省南京市六校联合体
第二学期期末考试
１?B [由 (２－i)z＝i
４×５０５＋２＝－１,
则z＝－
１
２－i
＝－
２＋i
(２－i)(２＋i)＝－
２＋i
５
,所以z
－＝－
２
５
＋
１
５
i．]
２?D [由题意,依次取到的编号为１６,１５,０８,０２,１９,
所以第５个个体的编号为１９．]
３?D [由圆台定义知,以直角梯形的一条直角边所在直线为轴旋
转,其余三边旋转形成的面围成的旋转体是圆台,故 A错误;
由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是四边形,且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体,故B错误;
若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等,那么这两
个平面有可能相交,也可能平行,故C错误;
在空间中,由于过直线外一点存在一个平面与该直线垂直,在该
平面内过这个点的所有直线都和这条直线垂直,故过直线外一
点有无数条直线与该直线垂直,故D正确．]
４?B [由题设知:原四边形ABCD 中AB＝CD＝A′B′＝C′D′＝
２且AB∥CD,所以原四边形ABCD 为平行四边形,而O′C′＝
２,则原四边形中OC＝２２,故AD＝BC＝ OC
２＋OB
２ ＝３,
综上,四边形ABCD 的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝１０．]
５?C [cos１５°－sin１５°＝ ２(sin４５°cos１５°－cos４５°sin１５°)＝
２sin３０°＝
２
２
,A 正确;
１＋tan１５°
１－tan１５°
＝
tan４５°＋tan１５°
１－tan４５°tan１５°
＝tan６０°
＝ ３,B正确;sin２２°sin３８°－cos２２°sin５２°＝sin２２°cos５２°－
cos２２°sin５２°＝ －sin３０°＝ －
１
２
,C 错 误;
１－cos３０°
２
＝
２－３
４
＝
４－２３
８
＝
(３－１)
２
８
＝
３－１
２２
＝
６－２
４
,D正确．]
６?A [由 题 设,cos‹a,b›＝
a?b
|a||b|
＝
(i＋２j)?(－３i＋４j)
|i＋２j||－３i＋４j|
＝
－３i
２－２i?j＋８j
２
|i＋２j||－３i＋４j|
,又 i ? j ＝ ０,且 |i ＋ ２j | ＝
i
２＋４i?j＋４j
２ ＝ ５,同理,|－３i＋４j|＝５,所以cos‹a,b›＝
－３－０＋８
５５
＝
５
５
．]
７?D [对于 A选项,m∥α,n⊂α,则m,n 平行或异面,A错;对于
B选项,若α⊥β,α∩β＝m,n⊥m,则n⊂β,n∥β或n 与β相交
(不一定垂直),B错;对于C选项,若m∥β,n∥β,且m⊂α,n⊂
α,则α,β平行或相交,C错;对于D选项,若m⊥α,n⊥α,则m∥
n,D对．]
８?A [取CD 的中点O,连接PO,OA,则
PO⊥DC,又PO⊂平面PCD,平面PCD
⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD
＝CD,则PO⊥平面ABCD,又AD⊂平
面 ABCD,所以PO⊥AD,由AB∥CD,
AB⊥BC,AB＝BC＝２,可得四边形ABCO
为正方形,三角形ADO 为等腰直角三角
形．取 AD 的中点 E,连 接 OE,PE,则
OE⊥AD,又OE∩PO＝O,OE,PO⊂平面PEO,可得AD⊥平
面PEO,又PE⊂平面PEO,故AD⊥PE,则∠PEO 即为二面
角P AD C 的平面角,又易知PO＝２３,EO＝ ２,则
tan∠PEO＝
PO
EO
＝
２３
２
＝ ６．]
９?AC [对于 A,由相反向量的定义,即可得到a 的相反向量是
－a,故 A正确;对于B,因为a＝(１,２),b＝(－２,２),所以a＋b
＝(－１,４)．又c＝(４,k),且(a＋b)⊥c,所以－４＋４k＝０,解得k＝１．
故B错误;对于 C,因为a＝(１,２),b＝(－２,２),所 以|a|＝
１
２＋２
２ ＝ ５,|b|＝ (－２)２＋２
２ ＝２２,设a 与b 的夹角为
θ,则a在b 上的投影向量为(|a|cosθ)
b
|b|
＝|a|?
a?b
|a||b|
?
１
|b|
?b＝
a?b
|b|
２b＝
－２＋４
(２２)２b＝
１
４
b＝
１
４
(－２,２)＝ －
１
２
,
１
( ２ ) ．
故C正确;对于 D,因为a＝(１,２),b＝(－２,２),所以a＋b＝
(－１,４)．又c＝(４,k),且(a＋b)∥c,所以－k＝１６,解得k＝
－１６．故D错误．]
１０?BC [如图１调查的所有市民中四居室共３００户,所占比例为
１
３
,二居 室 住 户 占
１
６
,∴
３００
１
３
＝９００,二 居 室 有 ９００×
１
６
＝
１５０(户),三居室有４５０户．由图１和图２得:在 A中,样本容量
n＝９００×１０％＝９０,故A正确;在B中,样本中三居室住户共抽
取了４５０×１０％＝４５(户),故B错误;在 C中,根据样本可估计
对四居室满意的住户有３００×４０％＝１２０(户),故 C错误;在
D中,样本中对二居室满意的有１５０×１０％×２０％＝３(户),故
D正确．]
１１?BC [对于 A,由正弦定理及已知得sinAcosA＝sinBcosB,
则sin２A＝sin２B,则△ABC 中,A＝B 或A＋B＝
π
２
,故 A错
误;对于 B,由cosB＝
AB
２＋BC
２－AC
２
２AB?BC
＝
BC
２－１
４２BC
＝
２
２
,则
BC
２－４BC－１＝０,可得BC＝２± ５,故BC＝２＋ ５,满足条件
的三角形只有一个,故 B正确;对于 C,由△ABC 不是直角三
角形 且 A ＝π－ (B ＋C),则 tanA ＝ －tan(B ＋C)＝
－
tanB＋tanC
１－tanBtanC
,所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC,
故C正确;对于D,A→B?B→C＝|A→B||B→C|cos(π－B)＝－|A→B|
|B→C|cosB＜０,即|A→B||B→C|cosB＞０,得角 B 为锐角,故
△ABC 不一定为钝角三角形,故D错误．]
１２?BCD [对于 A,连接CB１,显然CB１∥
A１D,所以∠ACB１ 即为直线 AC 与直
线A１D 所成的角．根据正方体的性质
可 得 △ACB１ 为 等 边 三 角 形,所 以
∠ACB１＝６０°,故 A 错误;因为 AC⊥
BD,AC⊥BB１,BD ∩BB１ ＝B,BD,
BB１⊂平面BDD１B１,所以 AC⊥平面
BDD１B１,又BD１⊂平面BDD１B１,所以BD１⊥AC,所以直线
AC 与直线BD１ 所成的角为
π
２
,故 B正确;同理可证BD１⊥
B１C,AC∩B１C＝C,AC,B１C⊂平面AB１C,所以BD１⊥平面
AB１C．取AB 的中点F,BC 的中点E,连接MF,EF,ME,所以
MF∥AB１ 且MF＝
１
２
AB１,ME∥CB１ 且ME＝
１
２
CB１,EF∥
AC 且EF＝
１
２
AC,显然平面 MEF∥平面AB１C,所以BD１⊥
平面 MEF,所以平面 MEF 即为平面α,所以C△MEF ＝３EF＝
３２,即平面α截正方体所得的截面图形的周长为３２,故 C
正确;对于D,因为BD１⊥平面AB１C,所以线段B１C 即为P
点的轨迹,所以当P 点与C(B１)重合时BP 最大,当P 为B１C
的中 点 G 时 BP 最 小,所 以 BP ∈ [２,２],又 AB ⊥ 平 面
BCC１B１,所以∠APB 为 AP 与平面 BCC１B１ 所成角,所以
tan∠APB＝
AB
PB
∈[１,２],所以AP 与平面BCC１B１ 所成角的
正切值的取值范围是[１,２],故D正确．]
１３?８ [因为
２＋x＋４＋６＋１０
５
＝５,故x＝３,所以s
２＝
(２－５)２＋(３－５)２＋(４－５)２＋(６－５)２＋(１０－５)２
５
＝
４０
５
＝８．]
１４?２０２ [由题设,CA＝４０nmile且∠ABC＝１３５°,
由正弦定理得
AB
sin∠BCA
＝
CA
sin∠ABC
,则
AB
sin３０°
＝
４０
sin１３５°
,
可得AB＝２０２(nmile)．]
?
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?１?
