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书
第一章 走进数学世界 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \" \"
知识梳理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \" \"
增广见闻!数学家欧拉!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \" \"
典型例题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! # \"
第二章 有理数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! $ \"
知识梳理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! $ \"
增广见闻!棋盘上的数学!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! % \"
典型例题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! % \"
第二章新思维检测 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! & \"
第三章 整式的加减 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \"' \"
知识梳理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \"' \"
增广见闻!数学家韦达!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \"$ \"
典型例题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \"$ \"
第三章新思维检测 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! \"( \"
第四章 图形的初步认识 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ## \"
知识梳理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ## \"
增广见闻!几何学起源!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! #' \"
典型例题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! #$ \"
第四章新思维检测 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! #) \"
第五章 相交线与平行线 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! '\" \"
知识梳理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! '\" \"
增广见闻!地球的周长!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! '# \"
典型例题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! '# \"
第五章新思维检测 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! '% \"
专题一 数轴的应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! '& \"
专题二 立体图形的视图与展开图 !!!!!!!!!!!!!!!! ! $) \"
专题三 线段与角的计算 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! %$ \"
专题四 有关平行线的角度计算问题 !!!!!!!!!!!!!!! ! )\" \"
第六章 一元一次方程 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! )& \"
)*\" 从实际问题到方程!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! )& \"
综合检测提升卷 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! +# \"
附!
参考答案 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !活页卷 \"\"
书
!
!\"# %&'()*
!\"数学伴我们成长
!!\"感知数学#每个人从呱呱落地降临人世的第
一天起就离不开数学了$如医生检测你身体的各
项指标是否正常$为你称体重%测量身高\"随着年
龄的增长$你开始在家长的指导下学习数学$例
如最初的数数%拼图案%折纸等\"通过参与这些活
动你将逐步体会到我们的生活中处处充满着
数学\"
!#\"学校中学习数学#进入学校$正式开始学习
数学这门学科$逐步学会了简单的数学语言$知
道了什么是整数%分数$学会了加%减%乘%除运
算$认识了各种各样的几何图形\"通过学习数学$
会计算存款的年利息以及出门旅游时选择哪种
购票方式更合算\"数学可以使你变得更聪明\"
#\"人类离不开数学
!!\"自然界中的数学不胜枚举$冬天飘舞的雪花
是中心对称图形$古埃及的金字塔是正四面体
型的\"
!#\"人类从蛮荒时代的结绳计数$到 #$!# 年用计
算机指挥&神舟九号'宇宙飞船$时刻都感受着数
学的思想对人们生活方方面面的影响$体会着人
类智慧的结晶\"
!%\" 小到我们日常生活中$如购物(大到商品的
交易$如成本%利润%股票与债券))这些经济活
动无一能离开数学\"可以毫不夸张地说$我们所
生活的世界无处不有数学的贡献$因此$我们要
人人学数学并会应用数学服务于我们的生活\"
%\"人人都能学好数学
数学并不神秘$不只是天才才能学好\"相信通过
阅读课本中的材料你一定可以受到启发\"只要对
数学有浓厚的兴趣$善于发现和提出问题$善于
独立思考$再加上持之以恒的学习态度$相信我
们每位同学都能学好数学
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\"
数学家欧拉
欧拉是历史上最多产的数学家!他一生写了数百本\"篇#书籍和论文\"
据说普鲁士的腓特列大帝曾组成一支仪仗队!仪仗队共有 %& 名军官!来自 & 支部队!每支部队
中!上校$中校$少校$上尉$中尉$少尉各一名\"他希望这%& 名军官排成& '& 的方阵!方阵的每一行$每一
列的& 名军官来自不同的部队并且军衔各不相同\"令他恼火的是!无论怎么绞尽脑汁也排不成\"
后来!他去求教瑞士著名的大数学家欧拉!这一问题拓展下去就是有名的%正交拉丁问题&\"例
如表格\"!#中每行每列的 ( 个数字各不相同!就是一个简单的 ( 阶拉丁方\"请你模仿表格\"!#!用 !!
#!%!( 填满表格\"##!使得其中每行每列的数各不相同\"
#
# % ( !
% ( ! #
( ! # %
! # % (
!
#
%
(
\"!# \"##
解!答案不唯一!如下表\"
! % ( #
# ( ! %
% ! # (
( # % !
! # % (
# % ( !
% ( ! #
( ! # %
考点 ! 规律探究性问题
考点突破!根据题目中的已知条件!找出其中隐含
的数学规律!然后根据数学规律进行解题\"
!\"如图$用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律
摆放#则第 * 个图案中黑色棋子有 ! \"
+\"!% 个 ,\"!& 个 -\"!. 个 /\"## 个
#\"观察下列图案$它们都是由边长为 ! 01的小正
方形按一定规律拼接而成的$依此规律$则第 !2
个图案中的小正方形有 个\"
考点 # 从图表中获取相关信息解决问题
考点突破!正确的读图\"识图!了解图表所隐含的信
息!能够从中获取相关信息!解决这类问题要准确
理解题意!并了解图中所表示的有关信息\"
%\"下图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总
人数比例的统计图$则参加人数最多的课外兴趣
小组是 ! \"
+\"音乐组 ,\"美术组 -\"体育组 /\"科技组
(\"某校对学生上学方式进行一次抽样调查$并根据
调查结果绘制了不完整的扇形统计图$其中其他
部分对应的圆心角是 %&3$则步行部分所占百分
比是 ! \"
+\"!$4 ,\"%54 -\"%&4 /\"($4
考点 %
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! 数学在生活中的应用
$
考点突破!本考点主要是考查运用数学知识解决
一些生活中的问题!灵活\"熟练地运用数学知识是
解决问题的关键\"
5\"一件衣服按照 %$4的利润率出售$后来又打八
折$现在的售价是 5#$ 元$那么这件衣服的成本
价是 ! \"
+\"5$$ ,\"(2$ -\"(5$ /\"($$
&\"一件服装$原价 #$$ 元$先提价 !$4$后又降价
!$4$现价是 ! \"
+\"#$$ 元 ,\"!.2 元 -\"#$! 元 /\"!.. 元
*\"甲商品进价 2$ 元$售出后赚了 #$4(乙商品售
价 2$ 元$亏了 #$4\"两件商品合在一起算$结果
是 ! \"
+\"赚了 ,\"亏了
-\"不赚不亏 /\"无法比较
考点 ( 逻辑推理
考点突破!逻辑推理是数学的基本思维方式!贯穿
于整个数学学习的过程中\"运用逻辑推理的方法
证明和计算可提高解决问题的能力\"
2\"设\"$#$$表示三种不同的物体$现用天平称了
两次$情况如图所示$那么\"$#$$这三种物体
的质量从大到小的顺序排列应为 ! \"
+\"\"$#$$ ,\"\"$$$#
-\"$$#$\" /\"#$\"$$
.\"设&!'%&\"'%&#'表示三种不同的物体$现用天
平称了两次$情况如图所示$下列结果正确的是
! \"
+\"!6# ,\"!6\" -\"!7# /\"\"6#
!$\"烤面包时$第一面要烤 # 分钟$烤第二面时$
由于面包比较干了$只需要烤 ! 分钟$妈妈用
的锅一次只能放两片面包$烤 % 片面包$至少
用 分钟\"
!!\"一个理发店同时来了四位顾客$按他们所要理
的发型$甲需要 !# 分钟$乙需要 82 分钟$丙需
要 ($ 分钟$丁需要 %$ 分钟\"
!!\"理发师应该怎样安排理发顺序$才能使这
四人理发及等候的时间总和最少*
!#\" 这四人 理 发 及 等 候 的 时 间 总 和 最 少 是
多少
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*
%
!+# ,-'
!\"有理数的分类
!!\"按定义进行分类#
有理数
整数
正整数
$
{负整数
分数
正分数
{
负分数
!#\"按性质符号进行分类#
有理数
正有理数
正整数
{正分数
$
负有理数
负整数
{
负分数
#\"数轴
!!\"数轴的三要素#原点%正方向%单位长度\"
!#\"利用数轴比较大小
!在数轴上表示的数$ 边的数总比
边的数大(
\"数的大小比较法则#负数 $ 正数\"填
% 6&% 9&% 7&#\"
%\"相反数
称互为相反数$特别
地$$ 的相反数是 \"在数轴上$表示
互为相反数的两个点$位于原点的 $并
且与原点的距离 \"
(\"绝对值
!!\"概念#一般地$数轴上表示数 $ 的点与原点的
距离叫做数 $ 的绝对值$记作 :$ :$读作&$ 的绝
对值'\"
!#\"绝对值的非负性#任何一个有理数的绝对值
总是正数或 $\"通常也称非负数#$即对于任何
有理数 $$总有:$:%$\"
5\"有理数的加法
!!\"法则#
!同号的两数相加$取 的符号$并把
相加\"
\"绝对值不相等的异号两数相加$取 的
加数的符号$并用较大的绝对值 较小的
绝对值\"互为相反数的两个数相加得 \"
#一个数同 $ 相加$仍得 \"
!#\"运算律#
!交换律+++两个有理数相加$交换加数的位
置$ \"
\"结合律+++三个数相加$先把前两个数相加$或
者先把后两个数相加$ \"
&\"有理数的减法
有理数的减法法则#减去一个数$等于加上这个
数的相反数\"
*\"有理数的加减混合运算
有理数的减法可以转化成 $因此有理
数的加减混合运算可以统一成 \"
2\"有理数的乘法
!!\"法则#
!两数相乘$同号得 $异号得 $
并把绝对值 \"
\"任何数与 $ 相乘$积仍为 \"
!#\"运算律#
!乘法交换律#两个数相乘$交换因数的位置$积
不变\"
\"乘法结合律#三个数相乘$先把前两个数相乘$
或者先把后两个数相乘$积不变\"
#分配律#一个数与两个数的和相乘$等于把这
个数分别与这两个数相乘$再把积相加\"
.\"有理数的除法
!!\"除以一个数等于乘这个数的倒数$
!
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! 零不能做
&
除数\"
!#\"两数相除$同号得正$异号得负$并把绝对值
相除\"零除以任何一个不等于零的数$都得零\"
!$\"有理数乘方的运算法则
!!\"正数的任何次幂都是正数$负数的奇次幂
是负数$负数的偶次幂是正数\"
!#\"$ 的任何正整数次幂都是 $$$ 的 $ 次幂无
意义\"
!!\"科学记数法
一般的$一个大于 !$ 的数可以表示成
的形式$其中 $ 的取值范围是 $%
是正整数$这种表示数的方法叫做 \"
!#\"有理数的混合运算顺序
!!\"先算乘方$再算乘除$最后算加减\"
!#\"同级运算$按照从左到右的顺序进行计算\"
!%\"如果有括号$就先算小括号里的$再算中括
号里的$最后算大括号里的\"
!%\"近似数
与实际完全相符的数叫做准确数(一个数接近
准确数$ 但不等于准确数$ 则这个数叫做近
似数
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\"
棋盘上的数学
传说!古代有一位大臣为国王发明了国际象棋\"国王大喜!要对这位大臣进行奖赏!就
问大臣有什么要求\"这位聪明的大臣的胃口并不是太大!他跪在国王的面前!说'%国王陛
下!请在棋盘的第 ! 个格子里放上 ! 颗麦粒!在棋盘的第 # 个格子里放上 # 颗麦粒!在棋盘
的第 % 个格子里放上 ( 颗麦粒!在棋盘的第 ( 个格子里放上 2 颗麦粒!以此类推!每个格子
里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 # 倍!直到第 &( 个格子!请您将这些麦粒都
赏给臣吧(&
国王听了很不为然!说'%爱卿!你的要求并不多呀( 我一定满足你的要求(&
你觉得国王能满足这位大臣的要求吗)
因为国际象棋的棋盘上共有 &( 个格子!根据发明者的要求!各个格子里的麦粒数应该依
次是 !!#!##
!#%
!*!#&%
\"因此这位大臣所要麦粒的总数是 ! ;# ;## ;#% ;* ;#&% 9#&( <! 9!2
( (& * (( $ *% * $. 5 5! &!5\"
!2 ((& *(( $*% *$. 55! &!5 颗麦粒的质量大于 * $$$ 亿吨( 可见国王很难满足这位大臣
的要求\"
考点 ! 数轴
考点突破!数轴在中考中主要考查根据点的位置
表示出数!及根据数轴上点的位置判断数的大小
等!正确理解数轴的意义是解题的关键\"
!\"!乐山中考\"如图$在数轴上$点 !表示的数为 <!$
点 \"表示的数为 ($#是点 \"关于点 !的对称点$
则点 #表示的数为 \"
!
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!
'
#\"如图所示$数轴上 !%\"%#三点表示的数分别为
$%&%'$下列说法正确的是 ! \"
+\"$ 7$ ,\"&7' -\"&7$ /\"$ 7'
%\"已知 $%&在数轴上的位置如图所示$那么下面结
论正确的是 ! \"
+\"$ <&6$ ,\"$ ;&7$ -\"$&6$ /\"$
&7$
(\"有理数 $$&在数轴上的对应点如图所示$则下面
式子中正确的是 ! \"
!&6$ 6$( \":&:6:$:(
#$&7$( $$ <&7$ ;&(
+\"!\" ,\"!$ -\"\"# /\"#$
考点 # 相反数\"绝对值\"倒数
考点突破!主要考查相反数\"绝对值\"倒数意义的理
解!题目一般比较简单!主要以选择题\"填空题的形
式出现\"
5\"!宜宾中考\"% 的相反数是 ! \"
+\"!
% ,\"% -\"<% /\"=
!
%
&\"!江西中考\" <# 的绝对值是 ! \"
+\"<# ,\"# -\"<!
# /\"!
#
*\"!甘孜州中考\" <#
% 的倒数是 ! \"
+\"<#
% ,\"<%
# -\"#
% /\"%
#
2\"!重庆中考 +卷\"# 的相反数是 ! \"
+\"<# ,\"<!
# -\"!
# /\"#
.\"!资阳中考\" <!
% 的相反数是 ! \"
+\"% ,\"<% -\"<!
% /\"!
%
考点 % 有理数的运算
考点突破!有理数的运算主要包括有理数的加\"减\"
乘\"除\"乘方及混合运算!难度一般不大!主要以选
择题\"填空题的形式出现!熟练掌握各种有理数的
运算法则是解题的关键\"
!$\"计算#
!!\"! <&\"# '! !
# <!
% \"(
!#\"#( >! <#\"% <%
!
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!&\"! <!\"# >
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# ',& <! <#\"%
-\"
考点 ( 科学记数法\"近似数
考点突破!本考点主要考查用科学记数法表示一
个数及把一个近似数精确到哪一位\"理解科学记
数法及精确度的确定是正确解此类题目的保证\"
!!\"!成都中考\"#$!2 年 5 月 #! 日$西昌卫星发射
中心成功发射探月工程嫦娥四号任务&鹊桥
号'中继星$卫星进入近地点高度为 #$$ 公里%
远地点高度为 ($ 万公里的预定轨道\"将数据
($ 万用科学记数法表示为 ! \"
+\"( '!$( ,\"( '!$5
-\"( '!$& /\"$\"( '!$&
!#\"!绵阳中考\" 四川省公布了 #$!* 年经济数据
?/@排行榜$绵阳市排名全省第二$?/@总量
为 # $*5 亿元\"将 # $*5 亿用科学记数法表示为
! \"
+\"$\"#$*5 '!$!# ,\"#\"$*5 '!$!!
-\"#$\"*5 '!$!$ /\"#\"$*5 '!$!#
!%\"!宜宾中考\"我国首艘国产航母于 #$!2 年 ( 月
#& 日正式下水$排水量约为 &5 $$$ 吨$将 &5
$$$ 用科学记数法表示为 ! \"
+\"&\"5 '!$ <( ,\"&\"5 '!$(
-\"<&\"5 '!$( /\"&5 '!$(
!(\"!自贡中考\"#$!* 年我市用于资助贫困学生的
助学金总额是 ((5 2$$ $$$ 元$将 ((5 2$$ $$$
用科学记数法表示为 ! \"
+\"((\"52 '!$* ,\"(\"(52 '!$2
-\"(\"(52 '!$. /\"$\"((52 '!$
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! !$
)
!5\"!甘孜州中考\"我国倡导的&一带一路'建设将
促进我国与世界一些国家的互利合作$根据规
划&一带一路' 地区覆盖总 人口为 ( ($$ $$$
$$$ 人$这个数用科学记数法表示为 ! \"
+\"(( '!$2 ,\"(\"( '!$2
-\"(\"( '!$. /\"(\"( '!$!$
!&\"!广安中考\"近年来$国家重视精准扶贫$收效
显著\"据统计约有 &5 $$$ $$$ 人脱贫$把 &5 $$$
$$$ 用科学记数法表示$正确的是 ! \"
+\"$\"&5 '!$2 ,\"&\"5 '!$*
-\"&\"5 '!$2 /\"&5 '!$&
!*\"!巴中中考\"#$!* 年四川省经济总量达到%\"&.2
万亿元$居全国第 & 位$在全国发展大局中具有
重要地位\"把 %\"&.2 万亿用科学记数法表示\"精
确到 $\"! 万亿#为 ! \"
+\"%\"& '!$!# ,\"%\"* '!$!#
-\"%\"& '!$!% /\"%\"* '!$!%
!2\"据统计$#$!* 年我市实现地区生产总值 ##*.\"55
亿元$用四舍五入法将 ##*.\"55 精确到 $\"! 的近
似值为 ! \"
+\"##2$\"$ ,\"##*.\"& -\"##*.\"5 /\"##*.
考点 5 绝对值\"偶次幂的非负性
考点突破!非负数!顾名思义!就是不是负数的数!
也就是零和正数\"目前我们学过的非负数形式有
绝对值和偶次幂!即 :$ :和 $#%
(非负数的常用性质
是#$!%若干个非负数的和为零!则每个非负数必
等于零&$#%几个非负数的积为零!则至少有一个
非负数为零&$%% 非负数的绝对值等于它本身\"能
正确识别非负数和运用非负数的性质是解决这类
问题的关键\"
!.\"若:)<!
# :;!*;#\"# 9$$则!)*\"#$!2
的值为
! \"
+\"! ,\"<#$!2 -\"<! /\"#$!2
#$\"若!)<#\"# 与:5 ;*:互为相反数$则 *)的值为
! \"
+\"# ,\"<!$ -\"!$ /\"#5
考点 & 定义新运算
考点突破!定义新运算是指用一个符号$如#&\"
\"\"'\"(\")\"*\"$等%和已知运算表达式表示一
种新的运算!其本质还是有理数的运算\"解决此类
问题!关键是要正确理解新定义的算式含义!严格
按照新定义的计算顺序!将数值代入算式中!再把
它转化为一般的有理数运算!然后进行计算\"新定
义的算式中!有括号的!要先算括号里面的\"
#!\"我们定义一种新运算 $ ! &9$ ;&
$ <&
$例如 5 ! #
95 ;#
5 <# 9*
% $则式子 * !! <%\"的值为 ! \"
+\"!
5 ,\"#
5 -\"<!
5 /\"<#
5
##\"现定义一种新运算&&'$规定 $&&9$&;$ <
&$如 !&% 9! '% ;! <%$则! <#&%\"&5 等于
! \"
+\"*! ,\"(* -\"<(* /\"<*!
#%\"规定一种新运算&+'$$+&9$# <#&$则 <%+
! <!\"的值为 ! \"
!
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+\"!! ,\"2 -\"* /\"<*
*
!+#./012
时间'!#$ 分钟 满分'!#$ 分 得分'
一\"选择题\"本大题共 2 小题!每小题只有一个选
项正确!每小题 ( 分!满分 %# 分#
!(!内江中考\" <% 的绝对值是 ! \"
+\"<% ,\"% -\"<!
% /\"!
%
#(下列各数互为相反数的是 ! \"
+(;* 与 <! ;*\"
,(<! <&\"与 ;! ;&\"
-(<! <&\"与 ;! <*\"
/(;! ;&\"与 <! ;*\"
%(如图$数轴上的 !%\"两点所表示的数 ! \"
+(和为正数 ,(和为负数
-(积为正数 /(积为负数
((已知!# <+\"# ;:% ;! :9$$则 +;% 的值是
! \"
+(<! ,(;!
-(;% /(<%
5(!泸州中考\"#$!* 年$全国参加汉语考试的人数
约为 & 5$$ $$$$将 & 5$$ $$$ 用科学记数法表示
为 ! \"
+\"&(5 '!$5 ,\"&(5 '!$&
-\"&(5 '!$* /\"&5 '!$5
&(若 :$ :92 $ :&:95 $且 $ ;&7$ $则 $ <&的
值为 ! \"
+(% 或 !% ,(!% 或 <!%
-(% 或 <% /(<% 或 <!%
*(现规定一种新的运算&&'#$&&9$&
$如 %&# 9
%# 9.$则 !
#
&% 的结果为 ! \"
+(!
2 ,(2
-(!
& /(%
#
2(某种 细 胞 开 始 有 # 个$ ! 小 时 后 分 裂 成 (
个并死 去 ! 个$ # 小 时 后 分 裂 成 & 个 并 死
去 ! 个$ % 小 时 后 分 裂 成 !$ 个 并 死 去 !
个$))$按 此 规 律$5 小时后$细胞存活的个
数是 ! \"
+(%! ,(%%
-(%5 /(%*
二\"填空题\"本大题共 ( 个小题!每小题 ( 分!满分
!& 分#
.(!南充中考\"某地某天的最高气温是& A$最低气温
是 <( A$则该地当天的温差为 A(
!$(绝对值不大于 % 的非负整数的和是 (
!!(设 $$&$'为有理数$且满足 $ ;&;'9$$$&'7$$
则 $%&%'中正数的个数有 个(
!#(现有 ( 个有理数$%$($ <&$!$\"每个数用且只用
一次# 进行加%减%乘%除运算$使其结果等于
#($算式为 (
三\"解答题\"共 . 个小题!满分 *# 分#
!%(\"!# 分# 计算下列各题\"能简便计算的用简便
方法##
!!\" :<! !
# :;:
!
% :;
5
& <! !
(
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!#\" <5( '! <( !
# \" >! <%
# \"# '! <(
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!%\"! #
% <!
( <%
2 ;
5
#(
\" '#((
!(\" <!2 >! <%\"# ;5 '! <!
# \"% <! <!5\" >5 (
!((\"( 分# 把下列各数在数轴上表示出来$并用
& 7'连接各数 (
% !
# $ <($ <# !
# $$$ <!$!(
!5(\"2 分# 已知一台计算机的运算速度为 !(# '
!$. 次,秒(
!!\"求这台计算机 & '!$% 秒运算了多少次*
!#\"若该计算机完成一道证明题需要进行 !($2
'!$!% 次运算$求完成这道证明题需要多少
分钟
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*
!!
!&(\"2 分# 以下是一位同学所做的有理数运算解
题过程的一部分#
!!\" 请你在上面的解题过程中仿照给出的方
式$圈画出其他的错误之处$并将正确结果写在
相应的圈内(
!#\" 以上解答反映出了该同学有理数运算问
题$请你注意避错完成下面的计算(
<## ;:5 <2 :;#( >! <%\" '
!
% (
!*(\"2 分#观察下列式子
! 9# '
$
! ;!$
# 9% '
!
# ;
!
# $
% 9( '
#
% ;
!
% $
( 95 '
%
( ;
!
( (
!!\"根据上述规律$请猜想$若 % 为正整数$则
% 9 (
!#\"证明你猜想的结论(
!2(\"2 分#已知某种零件的标准直径是 !$ 11$超
出规定直径长度的数量!11\"记作正数$不足
规定直径长度的数量!11\"记作负数$检验员
某次抽查了五件样品$检查的结果如下#
序号 ! # % ( 5
直径
长度
,11
;$(! <$(!5 <$(# <$($5 ;$(#5
!!\"试指出哪件样品的大小最符合要求*
!#\"如果规定误差的绝对值在$(!2 11之内的是
合格品$误差的绝对值在 $(!2 11B$(## 11之
间是次品$误差的绝对值超过 $(## 11的是废
品$那么上述五件样品中$哪些是合格品$哪些是
次品$哪些是废品*
!.(\"2 分#一架直升飞机从高度 ! $$$ 1的位置
开始$先以 !2 1CD的速度上升 # 1EF$后以
!5 1CD的速度下降 % 1EF$这时直升飞机所
在的高度是多少米
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*
!#
#$(\"2 分#校车从学校出发$向东走了 ( 千米到达
小明家$继续走了 ! 千米到达小红家$又向西
走了 !$ 千米到达小刚家$最后再回到学校(
!!\"以学校为原点$以向东的方向为正方向$用
! 个单位长度表示 ! 千米$请你用数轴表示出
学校%小明家%小红家%小刚家的位置(
!#\"小明家与小刚家相距多少千米*
#!(\"2 分#已知 )%*为有理数$现规定一种新运算
,$满足 ),*9)*;!(
!!\"求 #,( 的值(
!#\"求!!,(\",! <#\"的值(
!%\" 任意选择两个有理数\" 至少有一个是负
数#$分别填入下列-和.中$并比较它们的运
算结果#-,.和.,-(
!(\"探索 $,!&;'\"与 $,&;$,'的关系$并
用等式把它们表达出来
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(
$*
GH\" 'I6JK
数轴知识在中考命题中常与后面所学的知识综合考查$其中利用数轴比较有理数的大小是中考的热
点之一(题型以选择题%填空题为主(
!(确定数轴上的点表示的数时$首先确定要表示的数所对应的点是在原点左边$还是在原点右边$从而确
定该数是正的$还是负的(再看该数对应的点距原点几个单位长度(最后就可确定点表示的数(数轴上点
的移动与数的大小变化关系是左减右加(
#(在数轴上到原点距离相等的点有两个$原点左边一个$为负数(原点右边一个$为正数(同样$在数轴上到
一点距离相等的点也有两个(因此$解决这类问题要注意分类讨论(
%(解决利用数轴对含有字母的整式进行化简这类题目的关键是首先利用数轴上的点表示的数的大小确
定绝对值符号内的式子的正负$然后利用绝对值的意义去掉绝对值符号(
题型一 利用数轴解决运动问题
#例 !$数轴上一点 !$一只蚂蚁从点 !出发爬
了 ( 个单位长度到了原点$则点 !所表示的数是
! \"
+(( ,(<(
-(=2 /(=(
#解析$M:( :9(!:<( :9(!N点 !所表示的
数是 =((
#答案$/
#例 #$已知点 !在数轴上对应的有理数为 $$
将点 !向左移动 & 个单位长度$再向右移动 # 个单
位长度与点 \"重合$点 \"对应的有理数为 <#((
!!\"求 $(
!#\"如果数轴上的点 #在数轴上移动 % 个单
位长度后$距 \"点 2 个单位长度$那么移动前的点
#距离原点有几个单位长度*
#解$!!\"依题意有#
$ <& ;# 9<#($
解得 $ 9<#$(
!#\"由题意知$点 #在数轴上向左移动 % 个单
位长度是 <#( <2 ;% 9<#. 或 <#( ;2 ;% 9
<!%(
点 #在数轴上向右移动% 个单位长度是 <#( <2
<% 9<%5 或 <#( ;2 <% 9<!.(
故移动前的点 #距离原点有 #. 或 !% 或 %5 或
!. 个单位长度(
#例 %$如图$按下列方法将数轴的正半轴绕在
一个圆上\"该圆周长为 % 个单位长!
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! 且在圆周的三等
%+
分点处分别标上了数字 $!!!###先让原点与圆周上
$ 所对应的点重合$再将正半轴按顺时针方向绕在
该圆周上$使数轴上 !$#$%$($)所对应的点分别与
圆周上 !$#$$$!$)所对应的点重合$这样$正半轴上
的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系(圆
周上数字 $ 与数轴上的数 5 对应$则 $ 9 (
#解析$M数轴上 !!#!%!(!*所对应的点分别
与圆周上 !!#!$!!!*所对应的点重合!N圆周上
数字 $ 与数轴上的数 5 对应时 $ 9#(
#答案$#
#例 ($在数轴上有三个点 !$\"$#$分别表示
<%$$$#(按下列要求回答#
!!\"点 !向右移动 & 个单位后$三个点表示的
数谁最大*
!#\"点 #向左移动 % 个单位长度后$这时点 \"
表示的数比点 #表示的数大多少*
!%\"怎样移动点 !$\"$#中的两个点$才能使三
个点所表示的数相同* 有几种办法* 分别写出来(
#解$!!\"移动后 !点表示的数是 %(
M% 7# 7$$
N!点表示的数最大(
!#\"#点移动后表示的数是 <!(
M\"点表示的数为 $$
N这时点 \"表示的数比点 #表示的数大 !(
!%\"有 % 种方法$分别是#
第一%!点不动$\"点向左移动 % 个单位$#点
向左移动 5 个单位(
第二%\"点不动$!点向右移动 % 个单位$#点
向左移动 # 个单位(
第三%#点不动$\"点向右移动 # 个单位$!点
向右移动 5 个单位(
题型二 利用数轴解决距离问题
#例 5$ 若数轴上表示 <! 和 % 的两点分别是
点 !和点 \"$则点 !和点 \"之间的距离是 ! \"
+(<( ,(<# -(# /((
#解析$ 由题意知!!!\"之间的距离是 :<!
<% :9((
#答案$/
#例&$如图$如果数轴上 !$\"两点之间的距离
是 2$那么点 \"表示的数是 ! \"
+(<5 ,(<% -(% /(5
#解析$由题图可知!点 \"所表示的数是 5 <
2 9<%(
#答案$,
#例*$数轴上有三点 !%\"%#$且 !%\"两点间的
距离是 ($\"%#两点的距离是 #$若点 !表示的数是
<#$则点 #表示的数是 (
#解析$M!!\"两点间的距离是 (!点 !表示的
数是 <#!N点 \"表示的数为 <& 或 #(当点 \"表示
的数为 <& 时!\"!#两点的距离是#!则点 #表示的
数为 <2 或 <(-当点 \"表示的数为 # 时!\"!#两点
的距离是 #!则点 #表示的数为 $ 或 ((
#答案$ <2 或 <( 或 $ 或 (
#例 2$如图$一个点从数轴上的原点开始$先
向右移动 % 个单位长度$再向左移动 5 个单位长
度$可以发现终点表示的数是 <#$已知点 !$\"是
数轴上的点$请参照图并思考$完成下列各题(
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%!
!!\"如果点 !表示数 <%$将点 !向右移动 *
个单位长度$那么终点 \"表示的数是 $!%
\"两点间的距离是 (
!#\"如果点 !表示数 %$将点 !向左移动 *
个单位长度$再向右移动 5 个单位长度$那么终
点 \"表示的数是 $!%\"两点间的距离
为 (
!%\"如果点 !表示数 <($将点 !向右移动 !&2
个单位长度$再向左移动 #5& 个单位长度$那么终
点 \"表示的数是 $!%\"两点间的距离为
(
!(\"一般地$如果 !点表示的数为 +$将 !点
向右移动 % 个单位长度$再向左移动 ;个单位长
度$那么$请你猜想终点 \"表示的数是 $
!%\"两点间的距离是 (
#解析$\"!#如果点 !表示数 <%!将点 !向右移
动* 个单位长度!那么终点 \"表示的数是 <% ;* 9(!
所以 !$\"两点间的距离是 *-\"##如果点 !表示数 %!
将 !点向左移动* 个单位长度!再向右移动 5 个单位
长度!那么终点 \"表示的数是:% <* ;5:9!!所以 !$\"
两点间的距离为:% <!:9#-\"%#如果点 !表示数 <(!
将 !点向右移动!&2 个单位长度!再向左移动 #5& 个
单位长度!那么终点 \"表示的数是 <.#!所以 !$\"两
点间的距离是:<( <\" <.## :922-\"(#一般地!如果 !
点表示的数为 +!将 !点向右移动 % 个单位长度!再
向左移动 ;个单位长度!那么!终点 \"表示的数是
+;% <;!所以 !$\"两点间的距离为:% <;:(
#答案$!!\"($*(!#\"!$#(!%\" <.#$22(!(\"+;
% <;$:% <;:
题型三 利用数轴对含有字母的整式进行化简
#例 .$已知数 $%&%'在数轴上的位置如图$化
简:$ ;&:<:$ <&:;:$ ;':(
#解$根据题意得#
<# 6'6$$$ 6$ 6!$# 6&6%$
N$ ;&7$$$ <&6$$$ ;'6$$
N原式 9$ ;&<, <!$ <&\"- ;, <!$ ;'\"-
9$ ;&;$ <&<$ <'
9$ <'(
#例 !$$若有理数 $%&在数轴上的对应点的位
置如图$则下列各式错误的是 ! \"
+(:$:
$ ;
:&:
& 9$
,($ ;&6$
-(:$ ;&:<$ 9&
/(<&6$ 6<$ 6&
#解析$+(M$ 6$!&7$!N
:$:
$ 9<!! :&:
& 9!!
N
:$:
$ ;
:&:
& 9<! ;! 9$!N原式正确!故本选项不
符合题意-,(M <! 6$ 6$!! 6&6#!N$ ;&7$!N
原式错误!故本选项符合题意--(M$ ;&7$!N :$
;&:<$ 9$ ;&<$ 9&!N原式正确!故本选项不符
合题意-/(M <! 6$ 6$!! 6&6#!$ 6<$ 6!! <#
6<&6<!!N <&6$ 6<$ 6&!N原式正确!故本
选项不符合题意(故选 ,(
#答案$
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,
%#
时间'!#$ 分钟 满分'!#$ 分 得分'
一\"选择题\"本大题共 2 小题!每小题只有一个选
项正确!每小题 ( 分!满分 %# 分#
!(在数轴上$与表示数 <5 的点的距离是 # 的点表
示的数是 ! \"
+(<% ,(<*
-(=% /(<% 或 <*
#(如图$数轴上有 !$\"$#$3四个点$其中到原点距
离相等的两个点是 ! \"
+(点 \"与点 3 ,(点 !与点 #
-(点 !与点 3 /(点 \"与点 #
%(已知 $$&在数轴上的位置如图所示$则化简 :$
<&:;:$ ;&:的结果是 ! \"
+(#$ ,(<#$ -($ /(#&
((数轴上点 !表示 $$将点 !沿数轴向左移动 % 个
单位得到点 \"$设点 \"所表示的数为 )$则 )可
以表示为 ! \"
+($ <% ,($ ;%
-(% <$ /(%$ ;%
5(数轴上点 !%\"表示的数分别是 $$&$则点 !$\"之
间的距离为 ! \"
+($ ;& ,($ <&
-(:$ ;&: /(:$ <&:
&(已知有理数$$&$'在数轴上对应点的位置如图所示$
化简#:&<':<#:';$:<% :$ <&:9 ! \"
+(<5$ ;(&<%' ,(5$ <#&;'
-(5$ <#&<%' /($ <#&<%'
*(如图所示$圆的周长为 ( 个单位长度(在圆的 ( 等
分点处标上 $$!$#$%$先让圆周上的 $ 对应的数与
数轴的数 <! 所对应的点重合$再让数轴按逆时
针方向绕在该圆上(那么数轴上的 <# $!. 将与圆
周上的数字! \"重合(
+($ ,(! -(# /(%
2(有理数 $$&在数轴上的位置如图所示$在下列
结论中#!$&6$(\"$ ;&7$(#$% 7&#
($! $ <
&\"% 6$(%$ 6<&6&6<$(& :&<$ :<:$ :9
&(正确的结论有 ! \"
+(# 个 ,(% 个 -(( 个 /(5 个
二\"填空题\"本大题共 & 个小题!每小题 % 分!满分
!2 分#
.(把点 <从数轴的原点开始$向右移动# 个单位长
度$再向左移动 * 个单位长度$此时点 <所表示
的数是 (
!$(电影/哈利.波特0中$小哈利波特穿越墙进入
&. %
( 站台'的镜头\"如示意图的 =站台#$构思
奇妙$能给观众留下深刻的印象(若 !%\"
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! 站台
%$
分别位于 <#
% $ 2
% 处$!<9#<\"$则 <站台用类
似电影的方法可称为& 站台'(
!!(如图$小黄和小陈观察蜗牛爬行$蜗牛在以
!为起点沿数轴匀速爬向 \"点的过程中$到
达 #点时用了 . 分钟$那么到达 \"点还需要
分钟(
!#(已知数轴上的点 !到原点的距离是 % $那么
在数轴上到点 !的距离是 % 所表示的数有
个(
!%(数轴上有三点 !$\"$#$且 !$\"两点间的距离是
%$\"$#两点的距离是 !(若点 !表示的数是 <#$
则点 #表示的数是 (
!((如图$数轴上$点 !的初始位置表示的数为 !$
现点 !做如下移动#第 ! 次点 !向左移动 % 个
单位长度至点 !! $第 # 次从点 !! 向右移动 & 个
单位长度至点 !# $第 % 次从点 !# 向左移动 . 个
单位长度至点 !% $)$按照这种移动方式进行
下去$如果点 !% 与原点的距离不小于 #$$那么
% 的最小值是 (
三\"解答题\"共 . 个小题!满分 *$ 分#
!5(\"* 分#根据给出的数轴$回答下列问题#
!!\"写出点 !表示的数的相反数和点 \"表示的
数的绝对值(
!#\"将点 !先向右移动 !(5 个单位长度$再向
左移动 5 个单位长度$得到点 #$在数轴上表示
出点 #$并写出点 #表示的数(
!&(\"* 分#已知#数轴上点 !表示的数是 2$点 \"表
示的数是 <((动点 <从点 !出发$以每秒 & 个
单位长度的速度沿数轴向左运动$动点 =从点
\"出发$以每秒 ( 个单位长度的速度沿数轴向
左运动(<$=两点同时出发(
!!\"经过多长时间$点 <位于点 =左侧 # 个单
位长度*
!#\"在点 <运动的过程中$若点 7是 !<的中
点$点 8是 \"<的中点$求线段 78的长度(
!
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%%
!*(\"* 分#在东西向的马路上有一个巡岗亭 !$巡
岗员甲从岗亭 !出发以 !% O1CP 速度匀速来回
巡逻$如果规定向东巡逻为正$向西巡逻为负$
巡逻情况记录如下#\"单位'千米#
第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次
( <5 % <( <% & <!
!!\"求第六次结束时甲的位置\"在岗亭 !的东
边还是西边) 距离多远)#-
!#\" 在第几次结束时距岗亭 !最远* 距离 !
多远*
!%\"巡逻过程中配置无线对讲机$并一直与留
守在岗亭 !的乙进行通话$问在甲巡逻过程中$
甲与乙的保持通话时长共多少小时*
!2(\"* 分#有理数 $%&%'在数轴上的位置如图(
!!\"判断正负$用& 6'或& 7'填空#
'<& $$$ <& $ $$ ;' $(
!#\"化简#:'<&:;:$ <&:<:$ ;':(
!.(\"2 分# 如图$数轴的单位长度为 !(
!!\"如果点 !$3表示的数互为相反数$那么点
\"表示的数是多少*
!#\"如果点 \"$3表示的数互为相反数$那么图
中表示的四个点中$哪一点表示的数的绝对值
最大* 为什么*
#$(\"2 分#根据给出的数轴$解答下面的问题#
!!\"请你根据图中 !$\"两点的位置$分别写出
它们所表示的有理数(
!#\"请问 !$\"两点之间的距离是多少*
!%\"在数轴上画出与点 !的距离为 # 的点\"用
不同于 !!\"的其他字母表示#$并写出这些点
表示的数(
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%&
#!(\"2 分#有理数 $$&$'在数轴上的位置如图所示$
化简:$ ;&:<:&<#:<:$ <':<:# <':(
##(\". 分# 已知在纸面上有一数轴\"如图#$折叠
纸面(
!!\"若 ! 表示的点与 <! 表示的点重合$则 <#
表示的点与 表示的点重合(
!#\"若 <! 表示的点与 % 表示的点重合$5 表示
的点与 表示的点重合(
!%\"若数轴上 !%\"两点之间的距离为 '个单位
长度$点 !表示的有理数是 $$并且 !%\"两点
经折叠后重合$请写出此时折线与数轴的交点
表示的有理数是多少*
#%(\". 分#阅读下列材料#我们知道 :$ :的几何意
义是在数轴上数 $ 对应的点与原点的距离$即
:$:9:$ <$ :$也就是说$:$:表示在数轴上数 $
与数 $ 对应点之间的距离(这个结论可以推广
为#:$ <&:表示在数轴上数 $ 与 &对应点之间
的距离(
#例 !$已知:$:9#$求 $ 的值(
解!在数轴上与原点距离为 # 的点的对应数为
<# 和 #!即 $ 的值为 <# 和 #(
#例 #$已知:$ <! :9#$求 $ 的值(
解!在数轴上与 ! 的距离为 # 的点对应数为 %
和 <!!即 $ 的值为 % 和 <!(
仿照阅读材料的解法$解决下列问题#
!!\"已知:$:9%$求 $ 的值(
!#\"已知:$ ;# :9($求 $ 的值(
!%\"若数轴上表示 $ 的点在 <( 与 # 之间$则
:$ ;( :;:$ <# :的值为 (
!(\"当 $ 满足 时$则:$ <! :;:$ <# :
的值最小$最小值是
!
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(
%'
GH+ LM:;6N:DOP:
立体图形的视图在中考中主要考查学生的空间想象能力$考查几何体的三视图$或给出三视图$描述
该物体的形状(主要题型为选择题%填空题和画图题(充分认识立体图形与平面图形的关系$掌握多面体
的表面展开图的识别及逆向判断是立体图形展开图在中考中的考点$其中正方体的表面展开图在中考中
最常见(题型以填空题%选择题为主(
!(判断几何体三视图#先分别从正面%上面%左面投影看是什么图形$再注意$主视图与俯视图要&长对
正'(主视图与左视图要&高平齐'(俯视图与左视图要&宽相等'$这样才能正确地画出简单几何体的三
视图(
#(由三视图判断几何体时$应先根据三视图确定整个立体图形的大致形状$然后再做进一步的分析(
%(小正方体组成的几何体的三视图的判断方法# !!\"判断主视图时$从前往后看$几何体从左往右有几列$
每一列最高有几层$对应到主视图中即有几列$每一列有几个正方形$并注意每列中正方形的摆放位置(
!#\"判断左视图时$从左往右看$几何体从左往右有几列$每一列最高有几层$对应到左视图中即有几
列$每一列有几个正方形$并注意每列中正方形的摆放位置(!%\"判断俯视图时$从上往下看$几何体从
前往后有几列$每一行有几个$对应到俯视图中即有几行$每一行有几个正方形$并注意每行中正方形的
摆放位置(
((由三视图判断几何体$可以通过俯视图得出几何体的底面基本形状$再由主视图和左视图得出几何体的
图形$并对比三视图来判断所得几何体是否正确$同时应注意三视图中虚线%实线及其位置(
5(由三视图计算物体的表面积或体积#先结合三视图判断立体图形的形状$再根据已知数据利用面积公式
或体积公式进行计算(
&(正方体的展开图中相对的两个面不相连$即&上下隔一行$左右隔一列'(另外$展开图的对面之间不能
有公共边或公共点(
题型一 几何体的三视图
角度 ! 简单几何体的三视图
#例 !$ !眉山中考\" 下列立体图形中$主视图
是三角形的是 ! \" #解析$+$-$/主视图是矩形!故 +$-$/
!
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不符
%(
合题意-,$主视图是三角形!故 ,正确(
#答案$,
#例 #$如图所示的几何体的主视图是 ! \"
#解析$根据圆锥的摆放位置!可知从正面看
圆锥所得的图形是三角形!故该圆锥的主视图是
三角形(
#答案$+
角度 # 简单组合体的三视图
#例 %$!自贡中考\"下面几何体的主视图是
! \"
#解析$从几何体正面看!从左到右的正方形
的个数为'#!!!#(
#答案$,
题型二 由三视图判断几何体
#例 ($如图是某个几何体的主视图%左视图%
俯视图$该几何体是 ! \"
+(圆柱 ,(球 -(圆锥 /(棱锥
#解析$由于主视图与左视图是三角形!俯视
图是圆!因此该几何体是圆锥(
#答案$-
题型三 由三视图判断堆积物的个数
#例 5$如图是由几个相同的小立方块组成的
几何体的三视图$小立方块的个数是 (
#解析$从俯视图上看!此几何体的下面有 %
个小立方块!从左视图和主视图上看!最上面只有
! 个小立方块!故组成这个几何体的小立方块的个
数是 % ;! 9((
#答案$(
#例 &$一张桌子上重叠摆放了若干枚面值一
元的硬币$从三个不同方向看它得到的平面图形
如下#
那么桌上共有 枚硬币(
#解析$由题意得!三摞硬币的个数相加得'5
;# ;( 9!!(N桌上共有 !! 枚硬币(
#答案$!!
#例 *$一个几何体由 % 个大小相同的小正方
体搭成$其左视图%俯视图如图所示$则 % 的最小值
是 ! \"
+(5 ,(* -(. /(!$
#解析$ 由题中所给出的左视图知物体共三
层!底下两层!每层至少有两个正方体-从俯视图可
以可以看出最底层的个数!
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! 所以图中的小正方体
%)
最少有 ! ;# ;( 9*\"个#(
#答案$,
题型四 由三视图计算物体的表面积或体积
#例 2$如图是某几何体的三视图$根据图中的
数据$求得该几何体的体积为 ! \"
+(2$$(;! #$$ ,(!&$(;! *$$
-(% #$$(;! #$$ /(2$$(;% $$$
#解析$由三视图可知!该几何体是由一个圆
柱和一个长方体组成!圆柱的底面直径为 #$!高为
2(长方体的长为%$!宽为#$!高为5(故该几何体的
体积为 ('!$# '2 ;%$ '#$ '5 92$$(;% $$$(
#答案$/
#例 .$如图是由若干个棱长为 ! 的小正方体
组合而成的一个几何体的三视图$则这个几何体
的表面积是 (
#解析$综合三视图!我们可以得出!这个几何
体的底层有 % ;! 9( 个小正方体!第二层有 ! 个小
正方体!因此搭成这个几何体所用的小正方体的
个数是 ( ;! 95\"个#(N这个几何体的表面积是 5
'& <2 9##(
#答案$##
题型五 根据立体图形判断展开图
#例 !$$下列图形中$可以是正方体表面展开
图的是 ! \"
#答案$/
#例 !!$下列选项中$左边的平面图形能够折
成右边封闭的立体图形的是 ! \"
#解析$+(四棱锥的展开图有四个三角形!故
+选项错误-,(根据长方体的展开图的特征!可得
,选项正确--(在正方体的展开图中!不存在%田&
字形!故 -选项错误-/(圆锥的展开图中!有一个
圆!故 /选项错误(故选 ,(
#答案$,
题型六 根据展开图判断立体图形
#例 !#$如图是某个几何体的表面展开图$则
该几何体是 ! \"
+(三棱柱 ,(圆锥 -(四棱柱 /(圆柱
#解析$观察图形可知!这个几何体是三棱柱(
故选 +(
#答案$+
#例 !%$如图是一个正方体的展开图$把展开
图折叠成正方体后$有&弘' 字一面的相对面上的
字是 !
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! \"
%*
+(传 ,(统 -(文 /(化
#解析$这是一个正方体的平面展开图!共有
六个面!其中面%扬& 与面%统&相对!面%弘& 与面
%文&相对!面%传&与面%化&相对(
#答案$-
#例 !($从如图所示的纸板上 !! 个无阴影的
正方形中选 ! 个\"将其余 !$ 个都剪去#$与图中 5
个有阴影的正方形折成一个正方体$不同的选法有
! \"
+(% 种 ,(( 种 -(5 种 /(& 种
#解析$如图所示!共有四种(
#答案$,
#例 !5$如图是一个正方体的表面展开图$标
有字母 !的面是正方体的正面$如果正方体相对
的两个面所标注的值均互为相反数$求字母 !所
标注的值(
#解$由题意得$!)<%\" ;!);&\" 9$$
解得 )9<!(5(
由题意得$!9<! <2)\" 92)$
将 )9<!(5 代入$得 !92 '! <!(5\" 9<!#(
题型七 利用表面展开图的有关数据进行计算
#例 !&$如图所示是某长方体形状包装盒的表
面展开图$根据图中的数据$该包装盒的容积是
\"包装盒材料的厚度忽略不计# ! \"
+(($ '*$ '2$ ,(2$ '2$ '($
-(($ '($ '*$ /(*$ '*$ '2$
#解析$根据图形可知'长方体的容积是 ($ '
*$ '2$(故选 +(
#答案$+
#例 !*$如图是一个几何体的表面展开图$图
中的数字表示相应的棱的长度\"单位'01#(
!!\"写出该几何体的名称(
!#\"计算该几何体的表面积(
#解$!!\"该几何体的名称是长方体(
!#\"!#$ '!5 ;#$ '!$ ;!5 '!$\" '#
9!%$$ ;#$$ ;!5$\" '#
9&5$ '#
9! %$$!01#
\"(
答#该几何体的表面积是 ! %$$ 01#
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! (
&+
时间'!#$ 分钟 满分'!#$ 分 得分'
一\"选择题\"本大题共 2 小题!每小题只有一个选
项正确!每小题 ( 分!满分 %# 分#
!(!资阳中考\"如图是由四个相同的小正方体堆成
的物体$它的正视图是 ! \"
#(湖南省第二次文物普查时$省考古研究所在冷
水滩钱家州征集到一个宋代&青釉瓜棱形瓷执
壶'如图所示$该壶为盛酒器$瓷质$侈口$喇叭
形长颈$长立把$则该&青釉瓜棱形瓷执壶' 的
主视图是 ! \"
%(由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯
视图如图所示$其中正方形中的数字表示该位
置上的小正方体的个数$那么该几何体的主视
图是 ! \"
((一个几何体的三视图如图所示$这个几何体是
! \"
+(球 ,(圆柱
-(圆锥 /(立方体
5(由 & 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所
示$比较它的主视图%左视图和俯视图的面积$
则 ! \"
+(三个视图的面积一样大
,(主视图的面积最小
-(左视图的面积最小
/(俯视图的面积最小
&(中国讲究五谷丰登$六畜兴旺(如图是一个正方
体展开图$图中的六个正方形内分别标有六畜#
&猪'%&牛'%&羊'%&马'%&鸡'%&狗'(将其围成
一个正方体后$则与&牛'相对的是 ! \"
+(羊 ,(马 -(鸡 /(狗
*(如图$四个图形是由立体图形展开得到的$相应
的立体图形顺次是 !
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! \"
&!
+(正方体%圆柱%三棱柱%圆锥
,(正方体%圆锥%三棱柱%圆柱
-(正方体%圆柱%三棱锥%圆锥
/(正方体%圆柱%四棱柱%圆锥
2(如图过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切
出一个平面$形成如图所示的几何体$其正确展
开图为 ! \"
二\"填空题\"本大题共 ( 个小题!每小题 ( 分!满分
!& 分#
.(如图$由三个棱长均为 ! 01的小立方体搭成的几
何体的主视图的面积是 01#
(
!$(某个几何体的主视图%左视图%俯视图分别为
长方形%长方形%圆$则该几何体是 (
!!(在一个仓库里堆放有若干个相同的正方体货
箱$仓库管理员将这堆货箱的三视图画出来$如
图$则这堆货箱共有 个(
!#(如图是由几个相同的小立方块组成的几何体
的三视图$小立方块的个数是 (
三\"解答题\"共 . 个小题!满分 *# 分#
!%(\"& 分#如图为某几何体的示意图$请画出该几
何体的三视图(
!((\"& 分#如图$下列是一个机器零件的毛坯$请将
这个机器零件的三视图补充完整(
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&#
!5(\"* 分# 一个几何体的三个视图如图所示\"单
位'01#(
!!\"写出这个几何体的名称(
!#\"若其俯视图为正方形$根据图中数据计算
这个几何体的表面积(
!&(\"* 分#下面是一个食品包装盒的表面展开图(
!!\"请写出包装盒的几何体名称(
!#\"根据图中所标尺寸$用 $%&表示这个几何
体的全面积 .\"侧面积与底面积之和#$并计算
当 $ 9!$&9( 时$. 的值(
!*(\"* 分#将图中剪去一个正方形$使剩余的部分
恰好能折成一个正方体$问应剪去几号小正方
形* 写出所有可能的情况(
!2(\"2 分#一个几何体由若干个相同的小正方体组
成$如图是从上面看得到的图形$其中每个小正
方形中的数字代表该位置小正方体的个数$请
画出该几何体从正面和从左面看得到的图形(
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&$
!.(\"2 分#如图 !$在平整的地面上$用若干个棱长
完全相同的小正方体堆成一个几何体(
!!\"请画出这个几何体的三视图(
!#\"如图 #$如果现在你手头还有一些相同的小
正方体$要求保持俯视图和左视图不变$最多可
以再添加几个小正方体(
#$(\"!$ 分#如图是一个正方体盒的展开图$若在
其中的三个正方形 !%\"%#%内分别填入适当的
数$使得它们折成正方体后相对的面上的两个
数互为相反数$则填入正方形 !%\"%#内的三
个数依次为多少*
#!(\" !% 分# 如图所示是一张铁皮下脚料的示
意图(
!!\"计算该铁皮的面积(
!#\"它能否做成一个长方体盒子* 若能$画出
它的几何图形$并计算它的体积(若不能$说明
理由(
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&%
GH3 CQDR6ST
线段在中考中主要考查两点确定一条直线及两点之间线段最短的性质$线段的和%差及线段的中点
等概念$以与其他知识的综合为主(题型以填空题%选择题%画图题为主(角在中考中主要考查角的表示方
法$比较角的大小$度%分%秒的换算$角度的和%差%倍%分%补角%余角$基本作图$图解方法解决实际问题$
有时结合其他知识综合出题(题型以选择题%填空题为主(
!(角度的加减法技巧#在角度的加法运算中$我们可以把度与度%分与分%秒与秒单位上的数分别相加$然
后把满 &$ 秒的进 ! 分$再把满 &$ 分的进 ! 度(减法时$同单位的数相减$不够减时$应向上一级单位&借
!'$!09&$1$!19&$>$然后再减(
#(角度计算首先观察图形$确定几个角之间的和差关系$有角平分线时注意角平分线定义的综合应用(
%(根据余角与补角的定义$若一个锐角为 !$则它的余角是 .$0<!$补角为 !2$0<!$从而列出合适的方
程$这是用代数方法解几何问题的典型应用(
题型一 利用比例关系%结合几何图形进行线段长度
&角的大小'变换
#例 !$如图$点 #分线段 !\"为5L*$点 3分线段
!\"为5L!!$已知 #39# 01$求 !\"的长(
#解$设 !\"的长为 )01(根据题意得$
5
!#
)<5
!&
)9#$
解得 )9!.(#(
N!\"的长为 !.(# 01(
#例 #$如图$/!/49!&$0$/!/\"L/\"/#9!
L%$/#/3L/3/49%L!$则/!/\";/3/49
(
#解析$设/!/\"9)!则/\"/#9%)-/3/49
*!则/#/39%*!N/!/49);%);%*;*9();
(*9!&$0!N);*9($0!N/!/\";/3/49($0(
#答案$($0
#例 %$如图$将一根绳子对折以后用线段 !\"表
示$点 <是 !\"的四等分点$现从 <处将绳子剪断$剪
断后的各段绳子中的一段长为 %$ 01$则这条绳子的
原长为 01(
#解析$!如图!!当 !<9 !
% <\"时!此时剪开的
三段分别为 !<$<<1$!1<1!若 !<9!1<19%$ 01!则 <\"
9<1\"9%<!9.$ 01!此时 !!19!<;<<1;!1<19%$
;!2$ ;%$ 9#($\"01#-若 <<19%$ 01!则 <\"9<1\"9
!5 01!!<9!1<19!
% <\"95 01!此时 !!1
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! 95 ;%$ ;5
&&
9($\"01#(
图!
\"如图\"!当 <\"9!
% !<时!此时剪开的三段分
别为 !<$<<1$!1<1!若 !<9!1<19%$ 01!则 <\"9<1\"
9!
% !<9!$ 01!此时 !!19!<;<<1;!1<19%$ ;#$
;%$ 92$\"01#-若 <<19%$ 01!则 <\"9<1\"9!5
01!!<9!1<19%<\"9(5 01!此时 !!19!<;<<1
;!1<19(5 ;%$ ;(5 9!#$\"01#(
图\"
综上!这条绳子的原长为 ($ 或 2$ 或 !#$ 或
#($ 01(
#答案$($ 或 2$ 或 !#$ 或 #($
#例 ($如图$/为直线 !\"上一点$/#%/3%/4
是三条射线$且/!L/#L/%L/( 9!L!L#L%$则/5
9 (
#解析$M/!L/#L/%L/( 9!L!L#L%!N
设/! 9)!/# 9)!/% 9#)!/( 9%)(M/! ;
/# ;/% 9!2$0!N()9!2$0!解得 )9(50!N
/( 9%)9!%50!N/5 9!2$0</( 9(50(
#答案$(50
题型二 利用线段的中点&角的平分线'进行线段长
度&角的大小'变换
#例 5$如图$#$3是线段 !\"上的两点$若 #\"
9( 01$3\"9* 01$且 3是 !#的中点$则 !\"的长
等于 ! \"
+(& 01 ,(* 01 -(!$ 01 /(!! 01
#解析$M#\"9( 01!3\"9* 01!N#39* <(
9%\"01#(M3是 !#的中点!N!39#39% 01!N
!\"9!3;3\"9% ;* 9!$\"01#(
#答案$-
#例 &$如图$已知点 #在线段 !\"上$点 7%8
分别是 !#%\"#的中点$且 !\"92 01$则 78的长度
为 ! \"
+(# 01 ,(% 01 -(( 01 /(& 01
#解析$M7$8分别是 !#$\"#的中点!N7#
9!
# !#!#89!
# \"#!N789#7;#89!
# !#;
!
#
\"#9!
# \"!#;\"## 9!
# !\"9(\"01#(
#答案$-
#例 *$已知点 /是直线 !\"上的一点$/3平
分/!/#$/4平分/\"/#$求/3/4的度数(
#解$M/是直线 !\"上的一点$/3是/!/#
的平分线$/4是/#/\"的平分线$
N/!/\"9!2$0$/3/#9!
# /!/#$/4/#9
!
# /\"/#$
N/3/49/3/#;/
!
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! 4/#
&'
9!
# /!/#;
!
# /\"/#
9!
# !/!/#;/\"/#\"
9!
# /!/\"
9!
# '!2$0
9.$0(
题型三 分类讨论图形的多样性进行线段长度
&角的大小'变换
#例 2$已知线段 !\"9#$ 01$直线 !\"上有一
点 #$且 \"#92 01$7是线段 \"#的中点$则 !7的
长是 01(
#解析$\"!#如图!!点 \"在点 !$#之间时(M
7是线段 \"#的中点!N\"792 ># 9(\"01#!N!7
9!\";\"79#$ ;( 9#(\"01#-\"##如图\"!点 #在
点 !$\"之间时(M7是线段 \"#的中点!N\"792
># 9(\"01#!N!79!\"<\"79#$ <( 9!&\"01#(
图!
图\"
#答案$#( 或 !&
#例 .$如果 !%\"%#三点在同一直线上$且线
段 !\"9& 01$\"#9( 01$若 7$8分别为 !\"$\"#的
中点$那么 7$8两点之间的距离为 ! \"
+(5 01 ,(! 01
-(! 01或 5 01 /(无法确定
#解析$如图!!当点 \"在线段 !#上时!M!\"
9& 01!\"#9( 01!7!8分别为 !\"!\"#的中点!N
7\"9!
# !\"9% 01!\"89!
# \"#9# 01!N7897\"
;8\"95 01(如图\"!当点 #在线段 !\"上时!M
!\"9& 01!\"#9( 01!7!8分别为 !\"!\"#的中点!
N7\"9!
# !\"9% 01!\"89!
# \"#9# 01!N789
7\"<8\"9! \"01#(
图!
图\"
#答案$-
#例 !$$已知/!/\"9%$0$自/!/\"的顶点 /
引射线 /#$若/!/#L/!/\"9(L%$那么/\"/#的
度数是 ! \"
+(!$0 ,(($0或 %$0
-(*$0 /(!$0或 *$0
#解析$M/!/\"9%$0!/!/#L/!/\"9(L%!
N /!/#9($0! 分 为 两 种 情 况' \" ! # 如 图 !!
/\"/#9/!/\";/!/#9%$0;($09*$0-\"##如
图\"! /\"/#9/!/#</!/\"9($0<%$09!$0(
图! 图\"
#答案$
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! /
&(
时间'!#$ 分钟 满分'!#$ 分 得分'
一\"选择题\"本大题共 2 小题!每小题只有一个选项
正确!每小题 ( 分!满分 %# 分#
!(如图所示$/\"是/!/#的平分线$/#/39!
%
/\"/3$/#/39!*0$则/!/3的度数是 ! \"
+(*$0 ,(2%0 -(&20 /(250
#(如图$已知线段 !\"9!$ 01$点 8在 !\"上$8\"9#
01$7是 !\"的中点$那么线段 78的长为 ! \"
+(5 01 ,(( 01 -(% 01 /(# 01
%(如图$/\"是/!/#的平分线$/3是/#/4的平
分线$如果/!/\"9($0$/#/49&$0$则/\"/3
的度数为 ! \"
+(5$0 ,(&$0 -(&50 /(*$0
((若/!/\"9.$0$/\"/#9($0$则/!/#的度数为
! \"
+(5$0 ,(5$0或 !#$0
-(5$0或 !%$0 /(!%$0
5(如图$#%3是线段 !\"上的两点$4是 !#的中点$
5是 \"3的中点$若 4592$#39($则 !\"的长为
! \"
+(. ,(!$ -(!# /(!&
&(如图$/!/\"9!#$0$射线 /#是/!/\"内部任意一
条射线$/3$/4分别是/!/#$/\"/#的角平分
线$下列叙述正确的是 ! \"
+(/3/4 的 度 数 不 能
确定
,(/!/39/4/#
-(/!/3;/\"/49&$0
/(/\"/49#/#/3
*(如图$#%\"是线段 !3上的两点$若 !\"9#3$\"#
9#!#$那么 !#与 #3的关系是为 ! \"
+(#39#!# ,(#39%!#
-(#39(\"3 /(不能确定
2(如图$在数轴上有 !%\"%#%3四个整数点\"即各点
均表示整数#$且 #!\"9\"#9%#3$若 !%3两点表
示的数分别为 <5 和 &$且 !#的中点为 4$\"3的
中点为 7$\"#之间距点 \"的距离为 !
% \"#的点 8$
则该数轴的原点为 ! \"
+(点 4 ,(点 5 -(点 7 /(点 8
二\"填空题\"本大题共 & 个小题!每小题 % 分!满分
!2 分#
.(如图$直线 !\"%#3相交于点 /$/3/49/\"/4$
/5平分/!/3$若/\"/49#20$则/4/5的度数
为
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! (
&)
第 . 题图 第 !! 题图
!$(如图$点 #把 !\"分为 #L%两段$点 3分 !\"为 !L
(两段$若 3#95 01$则 !39 01$!\"9
01(
!!(如图$点 /在直线 !\"上$/7平分/!/#$/8平
分/\"/#$若/!L/# 9!L#$则/! 的度数为
(
!#(已知线段 !\"92 01$在直线 !\"上画线段 \"#$使
它等于 % 01$则线段 !#9 01(
!%(已知/!/\"9%/\"/#$若/\"/#9%$0$则/!/#
9 度(
!((若线段 !\"的长度为& 01$线段 \"#的长度为( 01$
!%\"%#三点在同一直线上$且 7为 !\"的中点$8
为 \"#的中点$则线段 78的长度为 (
三\"解答题\"共 !$ 个小题!满分 *$ 分#
!5(\"& 分#如图$已知/!/\"9*$0$/\"/#9($0$/7
是/!/#的平分线$/8是/\"/#的平分线$求
/7/8的度数(
!&(\"& 分# 如图所示$/!/\"是平角$/!/#9%$0$
/\"/39&$0$/7%/8分别是/!/#%/\"/3的
平分线$求/7/8的度数(
!*(\"& 分# 如图$已知 /!0/3$/5/39#/#/3$
/\"平分/!/#$/4平分/#/5(
!!\"若/#/39%$0$求/\"/4的度数(
!#\"若/\"/49250$求/#/3的度数(\"提示'设
/#/39)0#
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&*
!2(\"& 分# 如图$已知/!/\"是平角$/!/#9#$0$
/#/3L/3/\"9% L!%$且 /4平分/\"/3$求
/#/4的度数(
!.(\"* 分# 如图$已知点 /是直线 !3上一点$且
/\"/#9 !
% /!/#9 #
% /#/3(求 /\"/#的
度数(
#$(\"* 分#如图$#%3是线段 !\"上的两点$已知 !#L
#3L3\"9!L#L%$7$8分别是 !#$\"3的中点$且
!\"9%& 01$求线段 78的长(
#!(\"* 分#如图$点 #%3为线段 !\"的三等分点$点
4为线段 !#的中点$若 439.$求线段 !\"的
长度(
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'+
##(\"* 分# 如图$#$3$4将线段 !\"分成 #L%L(L5四
部分$7$<$=$8分别是 !#$#3$34$4\"的中点$
且 789#!$求线段 <=的长度(
#%(\"2 分#如图$已知点 /在线段 !\"上$点 #%3分
别是 !/%\"/的中点(
!!\"!/9 #/(\"/9 3/(
!#\" 若 #/9% 01$3/9# 01$求线段 !\"的
长度(
!%\"若线段 !\"9!$ 01$小明很轻松地求得 #3
95 01(他在反思过程中突发奇想#若点 /在线
段 !\"的延长线上$原有的结论Ƌ 01'是
否仍然成立呢* 请帮小明画出图形分析$并说
明理由(
#((\"!$ 分#如图$/为直线 !\"上一点$/\"/#9!(
!!\"若 !9($0$/3平分/!/#$/3/49.$0$如
图 $ 所示$求/!/4的度数(
!#\" 若/!/39!
% /!/#$/3/49&$0$如图 &
所示$请用 !表示/!/4的度数(
!%\"若/!/39!
% /!/#$/3/49!2$0
% \" %%#!
且 % 为正整数#$如图 '所示$请用 !和 % 表示
/!/4的度数\"直接写出结果#(
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'!
GH9 ,UEFC6RVSTWH
中考中对平行线的判定和性质的考查$主要考查判定的多种方法及对&三线八角'的认识$巧妙地利
用平行线的性质求解含有平行线的问题$是中考的热点(多以填空题%选择题的形式出现$也会在解答题
中出现(
!(平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系(平行线的性质是由平行关系来寻找角的
数量关系(
#(应用平行线的判定和性质时$一定要弄清题设和结论$切莫混淆(
%(平行线的判定与性质的联系与区别
区别#性质由形到数$用于推导角的关系并计算(判定由数到形$用于判定两直线平行(
联系#性质与判定的已知和结论正好相反$都是角的关系与平行线相关(
((辅助线规律$经常作出与两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线$构造出具有等量\"互补#
关系的角(
题型一 直接利用平行线的性质及判定解决问题
#例 !$如图$直线 $1&$直线 6与 $ 相交于点
<$与直线 &相交于点 =$<706于点 <(若/! 9
5$0$则/# 9 0(
#解析$如图!M直线 $1&!N/% 9/! 95$0!
又M<706于点 <!N/7<=9.$0!N/# 9.$0<
/% 9.$0<5$09($0(
#答案$($
#例 #$如图$!\"143$!9平分/\"!#$/4#5
9*$0$则/5!9的度数是 ! \"
+(!550 ,(!(50 -(!!$0 /(%50
#解析$ M!\"143!/4#59*$0!N/\"!#9
/4#59*$0!N/5!\"9!2$0</\"!#9!!$0(又
M !9平 分 /\"!#! N /\"!99/9!#9%50! N
/5!99/5!\";/\"!99!(50(
#答案$,
#例 %$如图$下列条件中#
!!\"/\";/\"#39!2$0(
!#\"/! 9/#(
!%\"/% 9/(
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! (
'#
!(\"/\"9/5(
能判定 !\"1#3的条件个数有 ! \"
+(! ,(# -(% /((
#解析$ \"!# /\";/\"#39!2$0!同旁内角互
补!两直线平行!则能判定 !\"1#3-\"##/! 9/#!
但/!!/# 不是截直线 !\"$#3所得的内错角!所
以不能判定 !\"1#3-\"%#/% 9/(!内错角相等!
两直线平行!则能判定 !\"1#3-\"(#/\"9/5!同
位角相等!两直线平行!则能判定 !\"1#3(满足条
件的有\"!#!\"%#!\"(#(
#答案$-
#例 ($将一副三角板拼成如图所示的图形$过
点 #作 #5平分/3#4交 34于点 5(
求证##51!\"(
#证明$M#5平分/3#4$
N/! 9/# 9!
# /3#4(
M/3#49.$0$
N/! 9(50(
M/% 9(50$
N/! 9/%$
N!\"1#5\"内错角相等!两直线平行#(
题型二 通过作辅助线利用平行线的性质及判定
解决问题
#例 5$猜想#当点 4在两条直线 !\"$#3之外时
\"如图!和\"#$/\"43$/\"$/3满足怎样的关系
时$有 !\"1#3* 对猜想进行证明(
图! 图\"
#解$ !!\" 当/\"9/\"43;/3时$有 !\"1
#3(证明如下#
如图!$过点 4作 451!\"$则/\";/54\"
9!2$0(
M/\"9/\"43;/3$
N/54\";/\"43;/39!2$0$
N451#3$
N!\"1#3(
图!
!#\"当/\"9/\"43;/3时$有 !\"1#3(证
明如下#
如图\"$设 \"4与 #3交于点 /$过 4作 49
1#3(
N/3;/\"43;/94\"9!2$0(
M/\"9/\"43;/3$
N/\";/94\"9!2$0(
N!\"194$
N!\"1#3(
图
!
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! \"
'$
#例 &$已知$如图$!\"1#3$/! 9/\"$/# 9
/3(求证#\"4034(
#证明$如图$过 4点作 451!\"$则/\"9/%(
又M/! 9/\"$
N/! 9/%(
M!\"145$!\"1#3$
N451#3$
N/( 9/3(
又M/# 9/3$
N/# 9/((
M/! ;/# ;/% ;/( 9!2$0$
N/% ;/( 9.$0$ 即/\"439.$0$
N\"4043(
#例 *$如图!\"#中$都满足 !\"1#3(试求#
!
\"
#
!!\"图!中/!;/#的度数$并说明理由(
!#\"图\"中/!;/!<#;/#的度数$并说明
理由(
!%\"图#中/!;/!45;/45#;/#的度
数$并简要说明理由(
!(\"按上述规律$/!;)) ;/#\"共有 % 个
角相加#的和(
#解$!!\"M!\"1#3$
N/!;/#9!2$0\"两直线平行!同旁内角互补#(
!#\"如图!$过点 <作 <71!\"$
M!\"1#3(
N#31<7$
N/!;/!<79!2$0$/7<#;/#9!2$0$
N/!;/!<#;/#9%&$0(
图!
!%\"如图\"$分别过点 4%5作 47%58平行
于 !\"$
M!\"1#3(
N!\"1471581#3$
N/!;/!47 9!2$0$ /745;/4589
!2$0$/85#;/#9!2$0(
N/!;/!45;/45#;/#95($0(
图\"
!(\"由以上规律$有两个角时$和为 !2$0
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! (
'%
有三个角时和为 %&$0(
有四个角时和为 5($0(
)
故可得有 % 个角时$和为 !2$!% <!\"0(
题型三 平行线的性质及判定在实际生活中的
应用
#例 2$如图$一条铁路修到一个村子边时$需
拐弯绕道而过$如果第一次拐的角/!是 !$5 度$
第二次拐的角/\"是 !%5 度$第三次拐的角是/#$
这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行$
那么/#应为多少度*
#解$如图$过点 \"作直线 \"41#3(
M#31!5$
N\"41#31!5(
N/!9/!\"49!$50(
N/#\"49/!\"#</!\"49%$0(
又M\"41#3$
N/#\"4;/#9!2$0(
N/#9!5$0(
#例 .$如图$直线 !\"$#3表示一条小河的两
条河岸线$小明和小刚想利用数学知识判断这两
条河岸线是否平行$两人现在分别在小河的两侧$
每人手中各有两根标杆和一个测角仪$请你帮他
们想想办法(
#解$ 如图$使 4$5$8$7四个标杆在同一直
线上$
由于/45\";/85\"9!2$0$
如果/45\";/3879!2$0$
则/85\"9/387$
所以 \"!1#3(
#例 !$$ 一大门的栏杆如图$\"!垂直于地面
!4于 !$#3平行地面 !4$求/!\"#;/\"#3的度
数(\"温馨提示'过点 \"作 \":1!4看一看#
#解$过 \"作 \":1!4$如图(
M\"!0!4$
N/!\":9/\"!49.$0(
M#31!4$
N\":1#3$
N/3#\";/#\":9!2$0$
N/!\"#;/\"#39!2$0;.$09#*$0(
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'&
时间'!#$ 分钟 满分'!#$ 分 得分'
一\"选择题\"本大题共 2 小题!每小题只有一个选项
正确!每小题 ( 分!满分 %# 分#
!(如图$直线 6! $6# 被直线 6% 所截$且 6!16# $则 !9
! \"
+((!0 ,((.0 -(5!0 /(5.0
第 ! 题图 第 # 题图
#(如图$要在一条公路的两侧铺设平行管道$已知
一侧铺设的角度为 !#$0$为使管道对接$另一侧
铺设的角度大小应为 ! \"
+(!#$0 ,(!$$0 -(2$0 /(&$0
%(下列选项中$哪个不可以得到 6!16# ! \"
+(/! 9/# ,(/# 9/%
-(/% 9/5 /(/% ;/( 9!2$0
第 % 题图 第 ( 题图
((!绵阳中考\"如图$有一块含有 %$0角的直角三角
板的两个顶点放在直尺的对边上(如果/# 9
((0$那么/! 的度数是 ! \"
+(!(0 ,(!50 -(!&0 /(!*0
5(如图$!\"1#3$450#3$/\"!49&$0$则/!45
的度数为 ! \"
+(!!$0 ,(!($0 -(!5$0 /(!&$0
第 5 题图 第 & 题图
&(如图$!\"1 #3$!3与 \"#相交于点 4$ 45是
/\"43的 平 分 线$ 若 /! 9%$0$ /# 9($0$ 则
/\"459 ! \"
+(*$0 ,(($0 -(%50 /(%$0
*(如图$/!/\"的两边 /!$/\"均为平面反光镜$
/!/\"9($0(在射线 /\"上有一点 <$从 <点射出
一束光线经 /!上的 =点反射后$反射光线 =?恰
好与 /\"平行$则/=<\"的度数是 ! \"
+(&$0 ,(2$0 -(!$$0 /(!#$0
第 * 题图 第 2 题图
2(如图$直线 +1%$将含有 (50角的三角板 !\"#的
直角顶点 #放在直线 % 上$则/! ;/# 等于
! \"
+(%$0 ,(($0 -((50 /(&$
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! 0
''
二\"填空题\"本大题共 & 个小题!每小题 % 分!满分
!2 分#
.(如图$在四边形 !\"#3中$!31\"#$/!9!!$0$
则/\"9 (
第 . 题图 第 !$ 题图
!$(如图$$1&$<!0<\"$/! 9%50$则/# 的度数是
(
!!(如图$一个含有 %$0角的直角三角形的两个顶
点放在 一 个 矩 形 的 对 边 上$ 若 /! 9#$0$ 则
/# 9 (
第 !! 题图 第 !# 题图
!#(如图$直线 6!16# $/! 9#$0$则/# ;/% 9
(
!%(一条城市街道$在经过两次转向后与原来朝向相
同$设第一个拐角为/! 9!!50$则第二个拐角
/# 的度数是 (
第 !% 题图 第 !( 题图
!((如图$3:1491\"#$且 3#145$那么图中和/!
相等的角的个数是 (
三\"解答题\"共 !$ 个小题!满分 *$ 分#
!5(\"& 分#已知$如图$!30\"#$450\"#$/! 9/#(
!!\"指出图中互相平行的直线有哪些$并说明
理由(
!#\"指出图中与/54#相等的角有哪些$并说明
理由(
!&(\"& 分# 如图$/\"!59(&0$/!#49!%&0$#40
#3(问 #31!\"吗* 为什么*
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'(
!*(\"& 分#如图$!\"1#3$点 4在 !\"上$点 5在 #3
上$连接 45$59平分/#54交 !\"于点 9(若
/54\"9!($0$求/594的度数(
!2(\"& 分#如图$直线 !\"1#3$450#3$5为垂足$
/9459%$0$求/! 的度数(
!.(\" * 分# 如 图$ 已 知 !\"1 #3$ 451 78$ /!
9!!50(
!!\"求/# 和/( 的度数(
!#\"本题隐含着一个规律$请你根据!!\"的结果
进行归纳$试着用文字表达出来(
!%\"利用!#\"的结论解答#如果两个角的两边分
别平行$其中一角是另一个角的 # 倍多 &0$求这
两个角的大小(
#$(\"* 分# 如图$某煤气公司安装煤气管道$他们从
点 !处铺设到点 \"处时$由于有一个人工湖挡
住了去路$需要改变方向经过点 #$再拐到点 3$
然后沿与 !\"平行的 34方向继续铺设$如果
/!\"#9!%50$/\"#39&50$求/#34的度数(
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')
#!(\"* 分#如图$451!3$/! 9/#$/\"!#92*0$
求/!93的度数(
##(\"* 分#如图$已知 #50!\"$3:0!\"$垂足分别为
点 #$3$若 #4$39分别为/!#5与/\"3:的平
分线(试判断 #4与 39是否平行$并说明理由(
#%(\"2 分#如图$!\"1#3$\"8$38分别平分/!\"7$
/73#$则/\"73与/8之间的数量关系如
何* 请说明理由(
#((\"!$ 分#如图$已知直线 6!16# $6% %6( 和 6! %6# 分别
交于点 !%\"%#%3$点 <在直线 6% 或 6( 上$且不与
点 !%\"%#%3重合(记/!4<9/!$/<5\"9/#$
/4<59/%(
!!\" 若点 <在图!的位置时$求证#/% 9/!
;/#(
!#\"若点 <在图\"的位置时$请直接写出/!%
/#%/% 之间的关系(
!%\"若点 <在图#的位置时$写出/!%/#%/%
之间的关系并给予证明(
! \"
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#
'*
!X# \"Y\"Z[\\
&(! 从实际问题到方程
!(方程的概念
含有未知数的等式叫做方程(
#(方程的解
使方程左%右两边的值相等的未知数的值$叫做
方程的解(
%(根据实际问题列出方程
!!\"根据题意$即根据题目中的等量关系列出方
程$应先分析题目中的数量关系$设出未知数$再
根据得到的数量关系列出方程(
!#\"根据题意列方程的一般步骤#
!弄清题意和其中的数量关系$用字母表示适当
的未知数(
\"找出题目中有关数量的相等关系(
#对这个等量关系中涉及的量$列出所需的表达
式$根据等量关系得到方程
!
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(
#例 !$下列各数是方程!$
% )<. 9! 的解是! \"
+\"$ ,\"! -\"# /\"%
#解析$+\"当 )9$ 时!左边 9<.2右边!则不
是方程的解-,\"当 )9! 时!左边 9!$
% <. 9<!*
% 2
右边!则不是方程的解--\"当 )9# 时!左边 9#$
% <.
9<*
% 2右边!则不是方程的解-/\"当 )9% 时!左
边 9右边 9!!则 )9% 是方程的解\"故选 /\"
#答案$/
#例 #$某商场将 !商品按进货价提高 5$4后
标价$若按标价的八折销售可获利 ($ 元$设该商品
的进货价为 )元$根据题意列方程为 ! \"
+\"$\"2 '!! ;5$4\")9($
,\"2 '!! ;5$4\")9($
-\"$\"2 '!! ;5$4\")<)9($
/\"2 '!! ;5$4\")<)9($
#解析$设这件商品的进价为 )元!则这件衣
服的标价为\"! ;5$4#)元!打 2 折后售价为 $\"2 '
\"! ;5$4#)元!可列方程为 $\"2 '\"! ;5$4#)<)
9($\"
#答案$
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! -
(+
一\"选择题
!\"下列各式中$是方程的是 ! \"
+\"% ;5 ,\");! 9$
-\"( ;* 9!! /\");% 7$
#\"下列方程中$解是 )9( 的是 ! \"
+\"%);! 9!! ,\"<#)<( 9$
-\"%)<2 9( /\"()9!
%\"已知方程 #)<! 9( <$\"5)$则下列各数是方程
的解的是 ! \"
+\"# ,\"<#
-\"!
# /\"<!
#
(\"下列说法正确的是 ! \"
+\")9! 是方程 ();% 9$ 的解
,\"+9! 是方程 .+;(+9!% 的解
-\")9! 是方程 %)<# 9% 的解
/\")9$ 是方程 !\"5!);%\" 9!\"5 的解
5\"甲%乙两班共有 .2 人$若从甲班调 % 人到乙班$
那么两班人数正好相等\"设甲班原有人数是 )
人$可列出方程 ! \"
+\")<% 9.2 ;) ,\")<% 9.2 <)
-\")9!.2 <)\" ;% /\")<% 9!.2 <)\" ;%
&\"某商场一种品牌的服装标价为每件 !$$$ 元$为
了参与市场竞争$商场按标价的 2\"5 折\"即标价
的 254#再让利 ($ 元销售$结果每件服装仍可
获利进价的 #$4\"若设这种服装每件的进价是 )
元$请列出关于 )的方程是 ! \"
+\"!$$$ '254 <($ 9#$4)
,\"!!$$$ <($\" '254 <)9#$4)
-\"!$$$ '254 <($ <)9#$4 '!$$$
/\"!$$$ '254 <($ 9!! ;#$4\")
二\"填空题
*\"下列各式中是方程的有 \"\"仅填序号#
!!\"5 <! <%\" 92(!#\" $&;%$(!%\" &)<! <.(
!(\"2)7!(!5\")*9%(
2\"若单项式 %$');#
与 <*$'#)<!
是同类项$可以得到
关于 )的方程为 (
.\"已知三个数 <($$$($其中是方程 )
# 9<)
( ;%
的解的是 \"
!$\"由表可知方程 #)<! 9);# 的解是 \"
)的值 ) ! # % ( )
#)<! 的值 ) ! % 5 * )
);# 的值 ) % ( 5 & )
!!\"某校长方形的操场周长为 #!$ 1$长与宽之差
为 !5 1$设宽为 )1$列方程为 \"
!#\"某学校组织 &$$ 名学生分别到野生动物园和植
物园开展社会实践活动$到野生动物园的人数
比到植物园人数的 # 倍少 %$ 人$若设到植物园
的人数为 )人$依题意$可列方程为 \"
三\"解答题
!%\"检验下列各小题括号里的数$哪些数是它前面
的方程的解\"
!!\"*9!$ <(*$!*9!$*9#$*9%
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\"(
(!
!#\")!);!\" 9!#$!)9%$)9($)9<(\"(
!%\"
5);!
2 9)<!!)9<%
# $)9%\"(
!(\"#!*<#\" <.!! <*\" 9%!(*<!\"!*9<!$$*
9!$\"(
!(\"先填表$再指出方程 !*$$ ;!5$)9#(5$ 的解\"
)的值 ! # % ( 5 &
!*$$ ;!5$)的值
!5\"根据题意设未知数$并列出方程\"不必求解#\"
!!\"有两个工程队$甲队人数 %$ 名$乙队人数
!$ 名$问怎样调整两队的人数$才能使甲队的
人数是乙队人数的 * 倍(
!#\"有一个班的同学准备去划船$租了若干条
船$他们计算了一下$如果比原计划多租 ! 条
船$那么正好每条船坐 & 人(如果比原计划少租
! 条船$那么正好每条船坐 . 人\"问这个班共有
多少名同学*
!&\"已知关于 )的方程 );
#
)9% ;
#
% 的两个解是
)! 9%$)# 9#
% (
又已知关于 )的方程 );
#
)9( ;
#
( 的两个解是
)! 9($)# 9#
( (
又已知关于 )的方程 );
#
)95 ;
#
5 的两个解是
)! 95$)# 9#
5 ()$
小王认真分析和研究上述方程的特征$提出了
如下的猜想(
关于 )的方程 );
#
)9';
#
'的两个解是 )! 9'$
)# 9#
'(并且小王在老师的帮助下完成了严谨
的证明\"证明过程略#(小王非常高兴$他向同
学提出如下的问题(
!!\"关于 )的方程 );
#
)9!! ;
#
!!
的两个解是
)! 9 和 )# 9 (
!#\"已知关于 )的方程 );
#
)<! 9!# ;
#
!!
则 )
的两个解是多少
!
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*
(#
]^12_`a
时间'!#$ 分钟 满分'!#$ 分 得分'
一\"选择题\"本大题共 2 小题!每小题只有一个选
项正确!每小题 % 分!满分 #( 分#
!(!德阳中考\"如果把收入 !$$ 元记作 ;!$$ 元$
那么支出 2$ 元记作 ! \"
+(;#$ 元 ,(;!$$ 元
-(;2$ 元 /(<2$ 元
#(中国人最早使用负数$可追溯到两千多年前的
秦汉时期$ <$(5 的相反数是 ! \"
+($(5 ,(=$(5
-(<$(5 /(5
%(由于受 Q*R. 禽流感的影响$我市某城区今年 #
月份鸡的价格比 ! 月份下降 $@$% 月份比 # 月
份下降 &@$已知! 月份鸡的价格为#( 元,千克(
设 % 月份鸡的价格为 +元,千克$则 ! \"
+(+9#(!! <$@ <&@\"
,(+9#(!! <$@\"&@
-(+9#( <$@ <&@
/(+9#(!! <$@\"!! <&@\"
第 ( 题图
((如图是一个正方体的表面
展开 图$ 则 原 正 方 体 中 与
&建' 字所在的面相对的面
上标的字是 ! \"
+(美 ,(丽 -(云 /(南
5(下列各组单项式中$不是同类项的是 ! \"
+(! 与 <& ,(!
# $%
&与 #&$%
-(<#)#
*% 与 *%
)# /(#)*# 与 )#
*
&(如图$已知 $1&$小华把三角板的直角顶点放在
直线 $ 上(若/! 9($0$则/# 的度数为 ! \"
+(!$$0 ,(!!$0
-(!#$0 /(!%$0
*(线段 !\"95 厘米$\"#
9( 厘米$那么 !$#两点的距离是 ! \"
+(! 厘米 ,(. 厘米
-(! 厘米或 . 厘米 /(无法确定
2(如图$!\"1#3$/!\"A的
角平分线 \"4的反向延长
线和/3#A的平分线 #5
的反向延长线交于点 :$/A</:9#*0$则/A9
! \"
+(*&0 ,(*20 -(2$0 /(2#0
二\"填空题\"本大题共 & 个小题!每小题 % 分!满
分 !2 分#
.(一个数的绝对值等于它本身$这个数是 (
!$(!达州中考\"受益于电子商务发展和法治环境改
善等多重因素$快递业务迅猛发展(预计达州市
#$!2 年快递业务量将达到 5(5 亿件$数据 5(5 亿
用科学记数法表示为 (
!!(如图$7是线段 !\"的中点$8是线段 \"#的中
点$!\"92 01$\"#9& 01$则线段 789
01(
第 !! 题图
!#(已知 )9+时$多项式 )# ;#);%# 的值为 <!$
则 )9<+时$该多项式的值为
!
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