人教版初中数学圆的经典测试题附答案解析

一、选择题

1．已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm，且 AB⊥CD，垂足为 M，则 AC 的

长为（ ）

A．2

5

cm B．4

5

cm C．2

5

cm 或 4

5

cm D．2

3

cm 或

4

3

cm

【答案】C

【解析】

连接 AC，AO，

∵O 的直径 CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，

∴AM=

1

2

AB=

1

2

×8=4cm,OD=OC=5cm,

当 C 点位置如图 1 所示时，

∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴OM=

2 2 2 2 OA AM − = − 5 4

=3cm，

∴CM=OC+OM=5+3=8cm，

∴AC=

2 2 2 2 AM CM + = + = 4 8 4 5

cm；

当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，

∵OC=5cm，

∴MC=5−3=2cm，

在 Rt△AMC 中,AC=

2 2 2 2 AM CM + = + = 4 2 2 5

cm.

故选 C.

2．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且 CD⊥AB，BC=3，AC=4，则 sin∠ABD 的值

是（ ）

A．

4

3

B．

3

4

C．

3

5

D．

4

5

【答案】D

【解析】

【分析】

由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得 AB=5，即可求 sin∠ABD

的值．

【详解】

∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，

∴弧 AC=弧 AD，

∴∠ABD=∠ABC．

根据勾股定理求得 AB=5，

∴sin∠ABD=sin∠ABC=

4

5

．

故选 D．

【点睛】

此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．

3．如图，已知 AB 是⊙O 是直径，弦 CD⊥AB，AC=2

2 ，BD=1，则 sin∠ABD 的值是( )

A．2

2

B．

1

3

C．

2 2

3

D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据垂径定理，可得 BC 的长，再利用直径对应圆周角为 90°得到△ABC 是直角三角形，

利用勾股定理求得 AB 的长，得到 sin∠ABC 的大小，最终得到 sin∠ABD

【详解】

解：∵弦 CD⊥AB，AB 过 O，

∴AB 平分 CD，

∴BC=BD，

∴∠ABC=∠ABD，

∵BD=1，

∴BC=1，

∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AB= ( )

2

2 2 2 AC BC + = + = 2 2 1 3，

∴sin∠ABD=sin∠ABC=

2 2

3

AC

AB

=

故选：C．

【点睛】

本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为 90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图

形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解

4．用一个直径为

10cm

的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁

轴截面如图所示，圆锥的母线

AB

与

O

相切于点

B

，不倒翁的顶点

A

到桌面

L

的最大距

离是

18cm.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）

A． 2

60cm

B．

600 2

13

cm

C．

720 2

13

cm

D． 2

72cm

【答案】C

【解析】

【分析】

连接

OB

，如图，利用切线的性质得

OB AB ⊥

，在

Rt AOB 

中利用勾股定理得

AB =12

，利用面积法求得

60

13

BH =

，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公

式计算圆锥形纸帽的表面．

【详解】

解：连接

OB

，作

BH OA ⊥

于

H

，如图，

圆锥的母线

AB

与

O

相切于点

B ，

 ⊥ OB AB，

在

Rt AOB 

中，

OA = − = 18 5 13，OB = 5，

2 2  = − = AB 13 5 12，

1 1

2 2

OA BH OB AB = ，

5 12 60

13 13

BH



 = = ，

圆锥形纸帽的底面圆的半径为

60

13

BH =

，母线长为 12，



形纸帽的表面

1 60 720 2

2 12 ( )

2 13 13

=    =   cm ．

故选：

C ．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点

的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算．

5．如图，在矩形

ABCD

中，

AB BC = = 6, 4

，以

A

为圆心，

AD

长为半径画弧交

AB

于

点

E

，以

C

为圆心，

CD

长为半径画弧交

CB

的延长线于点

F

，则图中阴影部分的面积是

（ ）

A．13

B．13 24  +

C．13 24  − D．5 24  +

【答案】C

【解析】

【分析】

先分别求出扇形 FCD 和扇形 EAD 的面积以及矩形 ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形

FCD 的面积﹣（矩形 ABCD 的面积﹣扇形 EAD 的面积）即可得解．

【详解】

解：∵S 扇形 FCD

2

9

0

360

9 6





= =

  ，S 扇形 EAD

2

4

0

360

9 4





= =

  ，S 矩形 ABCD

=  = 6 4 24，

∴S 阴影＝S 扇形 FCD﹣（S 矩形 ABCD﹣S 扇形 EAD）

＝9π﹣（24﹣4π）

＝9π﹣24+4π

＝13π﹣24

故选：C．

【点睛】

本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形 FCD 的面积﹣（矩形 ABCD 的面积﹣扇形

EAD 的面积）是解答本题的关键．

6．如图，AB 是⊙O 的直径，EF，EB 是⊙O 的弦，且 EF=EB，EF 与 AB 交于点 C，连接

OF，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是（ ）

A．20° B．35° C．40° D．55°

【答案】B

【解析】

【分析】

连接 FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形

的性质分别求出∠OFB、∠EFB 的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB 即可求得答案.

【详解】

连接 FB，

则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，

∴∠FEB＝

1

2

∠FOB=70°，

∵FO＝BO，

∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，

∵EF＝EB，

∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，

∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，

故选 B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运

用相关知识是解题的关键.

7．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形

内部及边界（阴影）区域的概率为（ ）

A．

3

4

B．

1

3

C．

1

2

D．

1

4

【答案】C

【解析】

【分析】

算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．

【详解】

解：设小正方形的边长为 1，则其面积为 1．

圆的直径正好是大正方形边长，



根据勾股定理，其小正方形对角线为

2

，即圆的直径为

2 ，



大正方形的边长为

2 ，

则大正方形的面积为

2 2 2  =

，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为

1

2

．

故选：

C ．

【点睛】

概率

=

相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长

比．设较小吧边长为单位 1 是在选择填空题中求比的常见方法.

8．如图，

ABC

是

O

的内接三角形，

 =  A 45 ， BC =1

，把

ABC

绕圆心

O

按逆时

针方向旋转

90

得到

DEB

，点

A

的对应点为点

D

，则点

A ， D

之间的距离是（）

A．1 B． 2

C． 3

D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

连接 AD，构造△ADB，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全

等，从而得到 AD=BE=BC=1.

【详解】

如图，连接 AD，AO，DO

∵

ABC

绕圆心

O

按逆时针方向旋转

90

得到

DEB ，

∴AB=DE， =  AOD 90 ， =  =  CAB BDE 45

∴

1

45

2

 =  =  ABD AOD

（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半），

即

 =  =  ABD EDB 45 ，

又∵DB=BD，∴

 =  DAB BED

（同弧所对应的圆周角相等），

在△ADB 和△DBE 中

ABD EDB

AB ED

DAB BED

 =  

 =



 = 

∴△ADB≌△EBD（ASA）,

∴AD=EB=BC=1.

故答案为 A.

【点睛】

本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相

交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.

9．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P，

连接 AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）

A． 3

B．2

3

C．

3

2

D．

2 3

3

【答案】A

【解析】

连接 OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，

∵PC 是⊙O 切线，

∴∠PCO=90°，∠P=30°，

∵PC=3，

∴OC=PC•tan30°= 3 ，

故选 A

10．如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，连接 AD，若∠DAC＝30°，

DC＝1，则⊙O 的半径为（ ）

A．2 B． 3

C．2﹣ 3

D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1 得 AC=2DC=2，∠C=60°，再

由 AB=ACtanC=2

3

可得答案．

【详解】

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠BDA＝∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝30°，DC＝1，

∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，

则在 Rt△ABC 中，AB＝ACtanC＝2

3 ，

∴⊙O 的半径为

3 ，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角

函数的应用．

11．如图，

O

中，若

OA BC AOB ⊥  = 、 66

，则

 ADC

的度数为（ ）

A．33° B．56° C．57° D．66°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据垂径定理可得

AC AB » »=

，根据圆周角定理即可得答案．

【详解】

∵OA⊥BC，

∴

AC AB » »= ，

∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是

AB»

和

AC

所对的圆心角和圆周角，

∴∠ADC=

1

2

∠AOB=33°，

故选：A．

【点睛】

本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条

弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半；熟练掌握相关定理是解题关键．

12．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的

AOB

不一定．．．是直角的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解.

【详解】

解：选项 A 中，做出了点 A 关于直线 BC 的对称点，则

AOB

是直角.

选项 B 中，AO 为 BC 边上的高，则

AOB

是直角.

选项 D 中，

AOB

是直径 AB 作对的圆周角，故

AOB

是直角.

故应选 C

【点睛】

本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关

键．

13．如图，已知

ABC

和

ABD

都

O

是的内接三角形，

AC

和

BD

相交于点

E

，则与

ADE

的相似的三角形是（ ）

A．BCE

B．ABC

C．ABD

D．ABE

【答案】A

【解析】

【分析】

根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则

AB

弧所对的圆周角

 =  BCE BDA，CEB

和

DEA

是对顶角，所以

  ADE BCE ∽ ．

【详解】

解：

 =  BCE BDA， =  CEB DEA   ADE BCE ∽ ，

故选：

A ．

【点睛】

考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的

圆周角相等．

14．如图，圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则侧面积为（ ）

A．2π B．3π C．6π D．8π

【答案】B

【解析】

【分析】

圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．

【详解】

解：圆锥的侧面积为：

1

2

×2π×1×3＝3π，

故选：B．

【点睛】

此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式.

15．如图，以正方形 ABCD 的 AB 边为直径作半圆 O，过点 C 作直线切半圆于点 E，交 AD

边于点 F，则

FE

EC

＝（ ）

A．

1

2

B．

1

3

C．

1

4

D．

3

8

【答案】C

【解析】

【分析】

连接 OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△

ECO，利用相似三角形的性质即可解答．

【详解】

解：连接 OE、OF、OC．

∵AD、CF、CB 都与⊙O 相切，

∴CE＝CB；OE⊥CF； FO 平分∠AFC，CO 平分∠BCF．

∵AF∥BC，

∴∠AFC+∠BCF＝180°，

∴∠OFC+∠OCF＝90°，

∵∠OFC+∠FOE＝90°，

∴∠OCF＝∠FOE，

∴△EOF∽△ECO，

∴

=

OE EF

EC OE

，即 OE2＝EF•EC．

设正方形边长为 a，则 OE＝

1

2

a，CE＝a．

∴EF＝

1

4

a．

∴

EF

EC

＝

1

4

．

故选：C．

【点睛】

本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相

似三角形是解答本题的关键．.

16．如图，在边长为 8 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，以点 D 为圆心，菱形的高 DF 为半径

画弧，交 AD 于点 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是 （ ）

A．18 3 − 

B．18 3 − π

C．32 3 16 − 

D．18 3 9 − 

【答案】C

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出 AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高 DF，图中阴影部分的

面积=菱形 ABCD 的面积-扇形 DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．

【详解】

解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，

∴AD=AB=8，∠ADC=180°- 60°=120°，

∵DF 是菱形的高，

∴DF⊥AB，

∴DF=AD•sin60°=

3

8 4 3

2

 = ，

∴图中阴影部分的面积=菱形 ABCD 的面积-扇形 DEFG 的面积

=

2

120 (4 3) 8 4 3 32 3 16

360







 − = − ．

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是

解决问题的关键．

17．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为 10cm，则这个圆锥的侧面积

为（ ）

A．50cm2 B．50πcm2 C．25

5

cm2 D．25

5

πcm2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

解：如图所示，

∵等腰三角形的底边和高线长均为 10cm，

∴等腰三角形的斜边长＝

2 2 10 5 + ＝5

5

，即圆锥的母线长为 5

5

cm，圆锥底面圆半

径为 5，

∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝

1

2

×10π×5

5 ＝25

5

πcm2，

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴

截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

18．如图，已知圆 O 的半径为 10，AB⊥CD，垂足为 P，且 AB＝CD＝16，则 OP 的长为

( )

A．6 B．6 C．8 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得 OM 的长，

然后判定四边形 OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得 OP 的长．

【详解】

作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 OP，OB，OD，

∵AB=CD=16，

∴BM=DN=8，

∴OM=ON= =6，

∵AB⊥CD，

∴∠DPB=90°，

∵OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，

∴∠OMP=∠ONP=90°

∴四边形 MONP 是矩形，

∵OM=ON，

∴四边形 MONP 是正方形，

∴OP= ．

故选 B．

【点睛】

本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出

直角三角形是解答此题的关键．

19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M，若 CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径 AB 的

长为（ ）

A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由 CD⊥AB，可得 DM=4．设半径 OD=Rcm，则可求得 OM 的长，连接 OD，在直角三角形

DMO 中，由勾股定理可求得 OD 的长，继而求得答案．

【详解】

解：连接 OD，设⊙O 半径 OD 为 R,

∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M ，

∴DM=

1

2

CD=4cm，OM=R-2,

在 RT△OMD 中，

OD²=DM²+OM²即 R²=4²+(R-2)²,

解得：R=5,

∴直径 AB 的长为:2×5=10cm．

故选 B．

【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

20．如图，弧 AB 等于弧 CD ，OE AB ⊥

于点

E ，OF CD ⊥

于点

F

，下列结论中错误．．的

是（ ）

A．OE=OF B．AB=CD C．∠AOB=∠COD D．OE＞OF

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆心角、弧、弦的关系可得 B、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得 A 正确，D 错

误．

【详解】

解：∵

AB CD = ，

∴AB＝CD，∠AOB＝∠COD，

∵

OE AB ⊥ ，OF CD ⊥ ，

∴BE＝

1

2

AB，DF＝

1

2

CD，

∴BE＝DF，

又∵OB＝OD，

∴由勾股定理可知 OE＝OF，

即 A、B、C 正确，D 错误，

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题

的关键．