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闵可夫斯基时空
与伽利略时空
周 方
tony_zf_zf_zf@126.com
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伽利略-周方变换 与“洛伦兹变换”—“伽利略时空”与“闵可夫斯基时空”
2 闵可夫斯基时空与伽利略时空 周 方 tony_zf_zf_zf@126.com 摘要 ‘闵可夫斯基时空’为‘只有一个观测者’的“一人世界”，故其中只可能存在“恒等变换”（‘零’变换）（‘Null’Transformation）。‘零’变换实际上就是‘无’变换。‘闵可夫斯基时空’为“恒等变换”之‘（单元素）集合’，故“恒等变换”属于‘伽利略时空’。‘伽利略时空’具有‘度规’，被包含于万物所在的“宇宙时空”（不具有‘度规’的“绝对时空”）内。“恒等变换”适应于“无多普勒效应或多普勒效应微不足道的（电磁波）有线传输或（光粒子）光纤传输”之场合，如通过显微镜、医用内窥镜、（手持）望远镜等‘物镜-目镜’之间无相对运动（u = 0r ）的透视系统‘直接观测’实时图景。伽利略时空为‘至少有两个观测者’的“多人世界”，在“两观测者有相对运动（u ≠ 0r ）且真空中光传播速率为有限值”的一般情况下，唯一的客观存在的时空变换为“伽利略-周方变换”。“伽利略-周方变换” 适应于“有多普勒效应的（光波，电磁波）无线传输”之场合，如通过‘太空望远镜’或‘太空飞船’、‘火星车’等‘物镜-目镜’之间有相对运...
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文本内容
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2
闵可夫斯基时空与伽利略时空
周 方
tony_zf_zf_zf@126.com
摘要 ‘闵可夫斯基时空’为‘只有一个观测者’的“一人世界”，故其中只可能存在
“恒等变换”（‘零’变换）（‘Null’Transformation）。‘零’变换实际上就是‘无’变换。
‘闵可夫斯基时空’为“恒等变换”之‘（单元素）集合’，故“恒等变换”属于‘伽利略
时空’。‘伽利略时空’具有‘度规’，被包含于万物所在的“宇宙时空”（不具有‘度规’
的“绝对时空”）内。“恒等变换”适应于“无多普勒效应或多普勒效应微不足道的（电磁
波）有线传输或（光粒子）光纤传输”之场合，如通过显微镜、医用内窥镜、（手持）望远
镜等‘物镜-目镜’之间无相对运动（u = 0
r ）的透视系统‘直接观测’实时图景。伽利略
时空为‘至少有两个观测者’的“多人世界”，在“两观测者有相对运动（u ≠ 0
r ）且真空
中光传播速率为有限值”的一般情况下，唯一的客观存在的时空变换为“伽利略-周方变换”。
“伽利略-周方变换” 适应于“有多普勒效应的（光波，电磁波）无线传输”之场合，如
通过‘太空望远镜’或‘太空飞船’、‘火星车’等‘物镜-目镜’之间有相对运动（u ≠ 0
v ）
的透视系统‘观测’遥远星系运动的实时图景。此外，文中还首次揭示了“伽利略时空”
内一条重要定律：“光传播定律”— “伽利略时空”内任意时空点（‘运动质点’，‘闪光点’）
上的“光传播时空弹性”恒等于 1。“光传播定律”也称为“真空中光传播速率为恒定值定
律”或简称“光速不变性（绝对性）定律”— “在任意时空点（‘闪光点’），真空中光传
播速率为恒定值 00
c = 1 µ ε ，乃是光的固有属性，与光在哪个参考系内进行传播无关”。
这条定律为奠定“运动观测论”的基础定律。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
关键词 时空 伽利略时空 相对论 狭义相对论 运动观测论 伽利略-周方变换 伽利略变换
洛伦兹变换
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目 录
第一章 “闵可夫斯基时空” 与“恒等变换”………………………………… (6)
一、“时空”与“时空变换”……………………………………………………… (6)
（一）“闵可夫斯基时空”与“恒等变换”………………………………………… (6)
二、实为“恒等变换”的“洛伦兹变换”………………………………………… (8)
（一）“洛伦兹变换”之导出 ……………………………………………………… (8)
（二）“洛伦兹变换”之性质……………………………………………………… (13)
第二章 “伽利略时空” 与“伽利略-周方变换”…………………………… (16)
一、“光传播定律”（Law of Light Propagation）………………………………… (16)
二、“伽利略时空”与“伽利略变换”…………………………………………… (17)
三、“伽利略-周方变换”之导出（A）…………………………………………… (22)
四、“伽利略-周方变换”之导出（B）…………………………………………… (24)
五、“伽利略-周方变换”之导出（C）…………………………………………… (26)
六、“伽利略-周方变换”之性质………………………………………………… (28)
七、两观测者之间的‘相离运动’与‘相向运动’……………………………… (36)
（一）两观测者之间的相离运动………………………………………………… (37)
（二）两观测者之间的相向运动………………………………………………… (38)
八、（特殊）伽利略-周方变换计算示例…………………………………………… (39)
结 论 …………………………………………………………………………… (43)
参 考 文 献 …………………………………………………………………… (50)
附录 A: “速度、加速度及高阶加速度不变性（绝对性）”定律 ………… (51)
附录 B: “质量不变性（绝对性）”定律 …………………………………… (53)
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4
1.伽利略时空
t
t
tr
,
)(
r
内之诸定义：
（a） 系观测者在时刻 观测到运动质点的位置记为 ≡ tx ),({ ty ),( tz })( 。
t
tr )(
r
为‘ 系观测者在时刻 观测到运动质点 时’指向该运动质点 的“观测矢量”
（Observation Vector）。
t
tr )(
r
也称为 系观测者在时刻 的“时空点”，简称“ 系时
空点”。函数 为“ 系时空轨迹”。
（b） 系观测者在时刻 观测到运动质点的位置记为 ≡ { ′(tx ′), ′(ty ′), ′ tz ′ })( 。
′
′ ′
t
r t )(
r
为‘ 系观测者在时刻 观测到运动质点 时’指向该运动质点 的“观
测矢量”。
′
′ ′
t
r t )(
r
也称为 系观测者在时刻 的“时空点”，简称“ 系时空点”。函数
为“ 系时空轨迹”。
2.（一维）伽利略时空
t
t
tx
,
)(
内之诸定义：
（a） 、 分别为 系观测者、 系观测者所持‘时钟’指示的‘时刻（读数）’； 称为
‘ 系时刻’， 称为‘ 系时刻’。
（b） 、 分别为 系观测者、 系观测者所持‘量尺’指示的‘位置（读数）’， 称
为‘ 系坐标’， 称为‘ 系坐标’。
（c） ′ tx ′)( 为 系观测者在时刻 观测到运动质点所处的 系内位置。
（d） tx )( 为 系观测者在时刻 观测到运动质点所处的 系内位置。
（e）
′
′ ′
t
tx )(
为 系观测者在时刻 对运动质点 ′ tx ′)( 的“观测矢量”，即“ 系时空点”。
函数 ′ tx ′)( 为“ 系时空轨迹”。
（f）
t
tx )(
为 系观测者在时刻 对运动质点 tx )( 的“观测矢量”，即“ 系时空点”。函
K t tr )(
r
K t tr )(
r
tr )(
r
K t K
tr )(
r
K
K′ t′ r′ t′)(
r
K′ t′ ′ tr ′)(
r
r′ t′)(
r
K′ t′ K′
′ tr ′)(
r
K′
t′ t K′ K t′
K′ t K
x′ x K′ K x′
K′ x K
K′ t′ K′
K t K
K′ t′ K′
K′
K t K
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5
数 tx )( 为“ 系时空轨迹”。
3.为了简化书写，略去自变量符号，即：
tx )( 、 ty )( 、 tz )( 、 tr )(
r 相应地简写为 x 、 y 、 z 、 r
r ；
′ tx ′)( 、 y′ t′)( 、 ′ tz ′)( 、 ′ tr ′)(
r 相应地简写为 x′、 y′ 、 z′、 r′
r ；
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
K
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6
第一章
“闵可夫斯基时空” 与“恒等变换”
一、“时空”与“时空变换”
“时空”（Space-time）是‘空间’（Space）与‘时间’（Time）相结合，容纳万物及其
活动过程于其中的‘场所’。笔者认为，在‘物理学’中，成为这种“场所”的必要条件是：
观测者可以使用工具（‘时钟’及‘量尺’）量测其中运动质点（‘闪光点’）的‘位置’及
所处的‘时刻’。所以，只有‘一维’、‘二维’及‘三维’的‘欧氏空间’才能成为‘物理
学’中的“空间”。因此，在‘物理学’中，“时空”只能是观测者可使用工具量测其中运
动质点（‘闪光点’）的‘位置’及其所处‘时刻’的‘时间-空间’场所。只具有‘概念’
与相应的‘定义’，而不具有“度规”（Metric）且只服从‘逻辑运算法则’（如：自反律、
反对称律、传递律、交换律、结合律、分配律、De Morgan 定律等）的“时空”称为“绝
对时空”，“宇宙时空”就是“绝对时空”。关于“绝对时空”的理论只涉及‘哲学’与‘逻
辑学’，而不涉及‘数学’与‘物理学’。
“时空变换”—“两观测者在各自时钟所示时刻（t′与t ）‘同时’（t′ ≡ kt ， k > 0 ）
观测到运动质点”（构成‘伽利略变换’）时，‘运动观测者’的观测矢量
′
′ ′
t
r t )(
r
与‘静止
观测者’的观测矢量
t
tr )(
r
之间的数据转换关系称为“时空变换”。
******************************************************************
（一）“闵可夫斯基时空”与“恒等变换”
（Minkowski Space-time & Identical Transformation）
闵可夫斯基时空 ⇔
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
,
)(
,
)(
,
x )( y z
的一个重要特征是：
‘时刻τ ’具有‘排它性’，即：在任一时刻，运动质点（‘闪光点’）只可被‘一个’观测
者（运动质点处的‘抵近观测者’）观测到。根据‘时刻τ ’的这一特点，闵可夫斯基时空
Min.ST （Minkowski Space-time）可定义为如下‘集合’：
τ
τ
τ
,
r )(
r
′
≡
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
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7
c
c
即：闵可夫斯基时空 Min.ST 是恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（单元素）集合’。
恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
又称为‘零’变换（‘Null’ Transformation）。‘零’
变换实际上就是‘无’变换。所以，恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
就是‘无’变换。
代表闵可夫斯基时空 Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换 的“世界线”
（World-line）示于图 1。
x′(τ ′)，x τ )(
Min.ST 的“世界线”： x′(τ ′) = Φ(τ ′ ) = Φ τ )(
系时空点， 系时空点
x′(τ ′) = x τ )(
两观测者
τ ′,τ
τ ′,τ
图 1 Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换 的“世界线”
K K′
Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换
（u
r 为两观测者之间的相对速度）
≡
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
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8
在图 1 中，设 x′(τ′) 为某个函数Φ(τ′ ) ： x′(τ′) = Φ(τ′ )
将 x′(τ′) = Φ(τ′ ) 代入图中等式 x τ )( = x′(τ ′)，得：
τ ′ ≡ τ : x τ )( = Φ(τ′) = Φ τ )(
即：
x τ )( = Φ τ )(
代表闵可夫斯基时空 Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换 的“世界线”为：
闵可夫斯基时空 Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换 为“运动质点
（‘闪光点’）只被‘一个’观测者（‘闪光点’处的‘抵近观测者’）观测到”的“一人世
界”。
‘闵可夫斯基时空’为‘只有一个观测者’的“一人世界”，故其中只可能存在“恒等
变换”（‘零’变换）。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
二、实为“恒等变换”的“洛伦兹变换”
（一）“洛伦兹变换”之导出
对‘全部方程都定义在闵可夫斯基时空 Min.ST 内’的预设方程组（A）：
x′ = k(x − uτ )
x = k(x′ + uτ ′)
(A)
x = cτ
x′ = cτ ′
进行联立求解。
将 及 x = cτ x′ = cτ ′ 代入上面的方程 及 x′ = k(x − uτ ) x = k(x′ + uτ ′) ，得：
通过两观测者‘重合点’的单一曲线
τ ′ ≡ τ :
x′(τ′) = Φ(τ′ )
x τ )( = Φ τ )(
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9
cτ ′ = (ck τ − uτ )
cτ = (ck τ ′ + uτ ′)
两式相乘，得：
ττ ′ = ( − ) ττ ′
2 2 2 2
c k c u
系数k 必须为 k > 0 ，故在约束条件 0( )
2 2 2
< c − u ≤ c ⇔ 0( )
2 2
≤ u < c 下约去等式两
边的ττ ′，得：
2
2
2 2 2
2
1
1
c
k
c u u
c
= =
−
−
从而得：
2
2
1
1
k
u
c
=
−
s.t.
2 2
0 ≤ u < c
（1）将
2
2
1
1
k
u
c
=
−
代入方程 x′ = k(x − uτ ) ，得：
空间变换式
2
2
1
c
u
x u
x
−
−
′ =
τ
（2）将
2
2
1
c
u
x u
x
−
−
′ =
τ 代入方程 x′ = cτ ′ ，得；
c
x′
τ ′ =
−
−
=
−
−
=
c
x
c
u
c
c u
u
c
x
c
u
τ τ
2
2
2
2
1
1
1
1
即： 时间变换式
2
2
2
1
c
u
c
ux
−
−
′ =
τ
τ
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10
这样，就得出洛伦兹变换
−
−
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
≤ <
−
−
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ
但是，洛伦兹变换的这种表达形式
−
−
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
≤ <
−
−
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ 还不是最
终的时空变换表达式，它仍旧是一个需待‘求解’的联立方程组，还必须进一步‘求解’联
立方程组
−
−
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
≤ <
−
−
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ ，才可得到时空变换的最终表达式 —
“两观测者‘同时’（τ′ ≡ kτ ）观测到运动质点”（构成‘伽利略变换’）时，‘运动观测者’
的观测矢量
′
′ ′
τ
x (τ )
与‘静止观测者’的观测矢量
τ
τ
k
(kx )
之间的数据转换关系。
为此，记 k
c
u
=
− 2
2
1
1 ，将方程组
−
−
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
≤ <
−
−
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ 换写成如
下形式：
x′ = k(x − uτ ) = kx − kuτ
τ τ x kτ
c
ku
c
ux k = − +
′ = − 2 2
得：
−
−
=
− +
−
=
− +
−
=
′
′
τ
τ
τ
τ
τ
τ
x
c
u
u
k
x
c
u
x u
k
x k
c
ku
kx ku x
1
1
2 2 2
求逆变换式：
kx − kuτ = x′
+ τ = τ ′
− x k
c
ku
2
解方程组：
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11
−
′ + ′
=
−
′ + ′
=
−
−
′
′ −
=
2
2
2
22
2
2
1
c
u
k
x u
c
k u
k
xk ku
k
c
ku
k ku
k
x ku
x
τ τ τ
τ ′
−
′ +
−
=
2
2
2
2
1 1
1
c
u
k
u
x
c
u
k
−
′ + ′
=
−
′ + ′
=
−
−
− ′
′
=
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
c
u
k
x
c
u
c
k u
k
x
c
ku k
k
c
ku
k ku
c
ku
k x
τ τ τ
τ τ ′
−
′ +
−
=
2
2
2
2
2
1
1
1
c
u
k
x
c
u
k
c
u
得：
′
′
−
=
′
′
−
−
−
−
=
τ τ τ
x
c
u
u
c
u
k
x
c
u
k
c
u
k
c
u
c
u
k
u
c
u
k
x
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
′
′
−
=
τ τ
x
c
u
u
c
u
k
x
1
1
1
1
2
2
2
于是得：
−
−
=
′
′
τ τ
x
c
u
u
k
x
1
1
2
逆变换式：
′
′
−
=
τ τ
x
c
u
u
c
u
k
x
1
1
1
1
2
2
2
第12页
12
（a）将正变换与逆变换综合，得：
−
−
=
′
′
1
1
2
c
u
u
k
x
τ
′
′
−
τ
x
c
u
u
c
u
k
1
1
1
1
2
2
2
即：
−
−
−
=
′
′
1
1
1
1
2
2
2
c
u
u
c
u
x
τ
′
′
τ
x
c
u
u
1
1
2
′
′
=
′
′
•
−
−
=
′
′
−
−
−
=
τ τ
τ
x x
c
u
c
u
x
c
u
c
u
c
u
0 1
1 0
0 1
1 0
1
1
1
0 1
1 0
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴
′
′
≡
′
′
τ τ
x x
即：
≡ 0
′
′
−
′
′
τ τ
x x
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
（b）同理，将逆变换与正变换综合，得：
−
=
1
1
1
1
2
2
2
c
u
u
c
u
k
x
τ
−
−
τ
x
c
u
u
k
1
1
2
即：
−
=
1
1
1
1
2
2
2
c
u
u
c
u
x
τ
−
−
τ
x
c
u
u
1
1
2
−
−
−
=
τ
x
c
u
c
u
c
u
2
2
2
2
2
2
0 1
1 0
1
1
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13
=
•
−
−
=
τ τ
x x
c
u
c
u 0 1
1 0
0 1
1 0
1
1
1
2
2
2
2
∴
≡
τ τ
x x
即：
≡ 0
−
τ τ
x x
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
故有： = 0
−
≡
′
′
−
′
′
τ τ τ τ
x x x x
即： = 0
−
′
′
≡
−
′
′
τ τ τ τ
x x x x
于是，得： 恒等变换 = 0
≡
′
′
u
x x
τ τ
由于闵可夫斯基时空 Min.ST 为“一人世界”，在闵可夫斯基时空 Min.ST 内只可能存
在“恒等变换”（‘零’变换），所以必然得：
******************************************************************
（二）“洛伦兹变换”之性质
预设方程组（A）的‘完整解’为：
≤ < = ′ = ′
−
−
′ =
−
−
′ = τ τ
τ
τ
τ
u c x c x c
c
u
c
ux
c
u
x u
x 0 , ,
1
,
1
2 2
2
2
2
2
2
c
洛伦兹变换 2 2
2
2
2
2
2
0
1
,
1
u c
c
u
c
ux
c
u
x u
x ≤ <
−
−
′ =
−
−
′ =
τ
τ
τ
⇔ 恒等变换 = 0
≡
′
′
u
x x
τ τ
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14
= = ′ = ′
≡
′
′
τ τ
τ τ
u x c x c
x x 恒等变换 ,0 ,
c
≡ =
′
′
c
x x
τ τ
很明显，恒等变换
≡ =
′
′
c
x x
τ τ
自然可使（建立在闵可夫斯基时空 Min.ST 内的）
Maxwell 电磁方程组中的‘电磁波不变性’获得验证，即：
≡ =
′
′
c
x x
τ τ
=
∂
∂
−
∂
∂
≡
∂ ′
∂
−
∂ ′
∂
0
1 1
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
τ
φ
ξ
φ
τ
φ
ξ
φ
c c
即： { 0}
2 22 2 22
x′ − c τ′ ≡ x − c τ =
=
∂
∂
−
∂
∂
≡
∂ ′
∂
−
∂ ′
∂
0
1 1
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
τ
φ
ξ
φ
τ
φ
ξ
φ
c c
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
闵可夫斯基时空 Min.ST 内的恒等变换
≡ =
′
′
c
x x
τ τ
示于图 2。
⇔
⇔
第15页
15
x′(τ ′)，x(τ )
c
x x
≡ =
′
′
τ τ
x′(τ ′) = x(τ )
观测者 τ ′，τ
τ ′，τ
图 2 两观测者的观测矢量
τ
cτ 与
′
′
τ
cτ
图 2 中，恒等变换
=
′
′
≡ c
x x
τ τ
描述的过程是：“一直静止在重合点的两观测者在每
一时刻‘同时’（τ ′ ≡ τ ≥ 0 ）观测到运动质点 E ”，示于图 3。
x′(τ ′) = cτ ′
两观测者
运动质点
x
′
x
图 3 两观测者在每个时刻‘同时’（τ ′ ≡ τ ≥ 0 ）观测到运动质点 E
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
E
第16页
16
第二章
“伽利略时空” 与“伽利略-周方变换”
一、“光传播定律”（Law of Light Propagation）
“光传播定律”也称为“真空中光传播速率为恒定值定律”（Law of constancy of light
propagation velocity），或简称“光速不变性（绝对性）定律”— “在任意时空点
t
tr )(
r
（运
动质点，‘闪光点’），真空中光传播速率为恒定值（ 00
c = 1 µ ε ），乃是光的固有属性，
与光在哪个参考系内进行传播无关”。
在任意时空点
t
tr )(
r
（‘闪光点’），‘光的传播’满足“各向同性”性质：在某个时刻，
某个‘光源’发出‘光波’，以‘光粒子作群体波动’的方式（表现出‘波粒二重性’）向四
周传播，致使‘波阵面’（球面）上的所有各点（‘光粒子’）在传播中不断地成为‘次生光
源’，各自发出‘光波’，‘光的传播’按此种方式进行下去，其效应为：‘波阵面’（球面）
上的所有各点（‘光粒子’）均以同一速率 1 .
00
c = µ ε = const 作径向运动：
tr )( = ct
r
， 1 .
00
c = µ ε = const
（ 为真空中光传播速率）
沿‘闪光点’四周任意方向（ x ）上，光波皆以平面波形式进行传播，故有：
tx )( = ct ， （ 为真空中光传播速率）
故有： ln tx )( = lnc + lnt
d ln tx )( = d ln t
即： 1
ln
ln )(
= =
d t
d tx
xt ε
即：沿‘闪光点’四周任意方向（ x ）上的“光传播时空弹性（Space-Time Elasticity of Light
Propagation）”恒为 1：
因此，有：
c
c = const. c
1
ln
ln )(
= =
d t
d x t
xt ε
第17页
17
“光传播定律”（Law of Light Propagation）：
观测者在时刻t 对运动质点（‘闪光点’）的观测矢量
t
tx )(
示于图 4。
tx )(
=
=
kt
x kt
kt
kx t
t
tx
k
)( )( ( )
kx t)( x(kt)
tx )( 运动质点
t
tx )(
观测者
kt
图 4 观测者对运动质点的观测矢量
t
tx )(
增至
t
tx
k
)(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
二、“伽利略时空”与“伽利略变换”
伽利略时空
t
t
tr
,
)(
r
⇔ 的一个重要特征是：‘时刻
t ’不具‘排它性’，即：在任一时刻，运动质点（‘闪光点’）可以被‘至少两个’观测者 “同
时”（t kt k f (u)
r
′ ≡ , = ，u
r 为两观测者之间的相对速度）观测到。
根据‘时刻 t ’的这一特性，伽利略时空Gal.ST （Galilean Space-time）可定义为
t t
t
t
tz
t
ty
t
tx
,
)(
,
)(
,
)(
及
=
kt
x kt
t
tx
k
)( ( )
Q
=
kt
kx t
t
tx
k
)( )(
∴ x(kt) = kx t)(
t
tx )(
为观测者在时刻t 对运动质点（‘闪光点’）的观测矢量
第18页
18
如下‘集合’：
即：伽利略时空Gal.ST 是伽利略变换 ( ), 0
)( ( )
= ≥
− •
=
′
′′
k f u u
kt
r kt u kt
t
r t r r
r r r
为‘元
素’的‘集合’。
代表伽利略时空 Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
的“世界线”（World-line）示于图 5。
x′ t′ x(, )( kt)
系时空点
Gal.ST 的“世界线”
tu ′ ≡ u • kt
系时空点
x(kt)
x′ t′)( = x(kt) − u • kt
两观测者
t′,kt
t′,kt
图 5
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换 的“世界线”
在图 5 中，设 x(kt) 为某个函数Φ(kt) ： x(kt) = Φ(kt)
将 x(kt) = Φ(kt) 代入等式 x′ t′)( = x(kt) − u • kt ，得：
t′ ≡ kt : x′ t′)( = Φ(kt) − u • kt
= Φ t′)( − u • t′
K
K′
Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
第19页
19
即： x′ t′)( = Φ t′)( − tu ′
代表伽利略时空 Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
的“世界线”为：
伽利略时空 Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
为“运动质点（‘闪光点’）可被至少两个观测者（‘闪光点’处的‘抵近观测者’与至少一
个离开‘闪光点’的‘远处观测者’）‘同时’观测到”的“多人世界”。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
小结
（1）根据闵可夫斯基时空 Min.ST 内‘时刻τ 有排它性’之特点，闵可夫斯基时空 Min.ST
（Minkowski Space-time）可定义为如下‘集合’：
即：闵可夫斯基时空 Min.ST 是恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
为‘元素’的‘（单元素）
集合’。
恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
又称为‘零’变换（‘Null’ Transformation）。‘零’
变换实际上就是‘无’变换。
闵可夫斯基时空 Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换 为“运动质点只
通过两观测者‘重合点’的呈簇状的多条相似曲线
t′ ≡ kt
x(kt) = Φ(kt)
x′ t′)( = Φ t′)( − tu ′
Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换
（u
r 为两观测者之间的相对速度）
第20页
20
被‘一个’观测者（‘闪光点’处的‘抵近观测者’）观测到”的“一人世界”。
（2）根据伽利略时空Gal.ST 内‘时刻t 无排它性’之特点，伽利略时空Gal.ST（Galilean
Space-time）可定义为如下‘集合’：
即：伽利略时空Gal.ST 是伽利略变换 ( ), 0
)( ( )
= ≥
− •
=
′
′′
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
为‘元素’
的‘集合’。
伽利略时空 Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
为“运动质点（‘闪光点’）可被至少两个观测者（‘闪光点’处的‘抵近观测者’与至少一
个离开‘闪光点’的‘远处观测者’）‘同时’观测到”的“多人世界”。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
将图 1 与图 5 重叠在一起，即得闵可夫斯基时空 Min.ST 的“世界线”与伽利略时空
Gal.ST 的“世界线”之间的关系，示于图 6。
x′ t′ x(, )( kt)
Gal.ST（多人世界）的“世界线”— 一簇相似曲线
x(kt)
tu ′
Min.ST（一人世界）的“世界线”
′ tx ′)(
两观测者
t′,kt
t′,kt
图 6 Min.ST 的“世界线”与 Gal.ST 的“世界线”之关系
Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
第21页
21
显然，有：
因为 Min.ST 为恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（单元素）集合’，故有：
从而有：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
∈ Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
恒等变换 0
)( )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
⇔ 伽利略变换 ( ), 0
)( ( )
= =
− •
=
′
′′
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换
⊂ Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
⊂ “宇宙时空”（“绝对时空”）
第22页
22
三、“伽利略-周方变换”之导出（A）
（1）在 时， K′系观测者（ K′系原点）与 K 系观测者（ K 系原点）相重合。
（2）在 ， 时， K′系相对于 K 系始终作速度为u
r 的平移运动。
（3）两观测者持有相同的‘时钟’及相同的‘量尺’。
在时刻t′ ，K′系观测者对 K 系观测者的距离为 tu ′
r ，在此时刻，处在 K 系观测者前方
的 K′系观测者率先观测到运动质点（ K′系时空点）。如果光传播速度为‘无穷大’，则两
观测者将‘同时’（t′ ≡ t ）观测到运动质点，构成“伽利略变换”。“伽利略变换”的 K′ 系
时空点与 K 系时空点示于图 7。
K′ 系时空点
K′系观测者
K 系时空点
tu ′
r
K 系观测者
图 7 “伽利略变换”的 K′系时空点与 K 系时空点
可是，由于光传播速度为‘有限值c ’（ 00
c = 1 µ ε ），所以，与 K′系观测者的距离
为 tu ′
r 的 K 系观测者不能在时刻t′ 与 K′系观测者‘同时’观测到运动质点，而只能在延后
于时刻t′ 的时刻 t
c
u
c
tu
t t ′
= +
′
= ′+
r r
1 与 K′系观测者‘同时’观测到运动质点。
根据“光传播定律”，有：
• ′
′ + t
c
u
t
r
变为 1 ⇒
• ′
′ + tu
c
u
tu
r
r
r 变为 1 ⇒
• ′
′ + r
c
u
r
r
r
r 变为 1
⇒
• ′ + ′
( ′ + ′) 1 + (r tu )
c
u
r tu
r r
r
r r 变为
“伽利略-周方变换”的 K 系时空点示于图 8。
t′ = t = 0
t′ t ≥ 0
r ′
r
r′ + tu ′
r r
第23页
23
（伽利略变换的 系时空点）
伽利略-周方变换的 系时空点
系观测者
系时空点
1 (r tu )
c
u
r ′ + ′
= +
r r
r
r
系观测者
图 8 “伽利略-周方变换”的 系时空点
从图 8 可得伽利略-周方变换：
1 (r tu )
c
u
r ′ + ′
= +
r r
r
r
t
c
u
t ′
= +
r
1
可以表示为：
′
′ + ′
= +
t
r tu
c
u
t
r
r r r r
1
逆变换为：
−
= +
′
′
−
t
r tu
c
u
t
r
r r 1 r r
1
伽利略-周方变换 为“（一般）伽利略-周方变换”（General
Galilean-Zhou Transformation），可表为：
K
K
K ′
tu
c
u
′
+
r
r
1 r ′
r
tu ′
r
K ′
r′ + tu ′
r r
K
K
−
= +
′
′
−
t
r tu
c
u
t
r
r r 1 r r
1
第24页
24
在（一维）伽利略时空之场合下，“伽利略-周方变换”表为：
−
= +
′
′
−
t
x ut
c
u
t
x
1
1
于是，就得到伽利略-周方变换：
−
= +
′
′
−
t
x ut
c
u
t
x
1
1
或表为：
c
u
x ut
x
+
−
′ =
1
c
u
t
t
+
′ =
1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
四、“伽利略-周方变换”之导出（B）
从标准的‘空间变换式’出发进行演绎推导。
“时空变换”的数学表达式必须反映以下物理事实：
（1）在 时， K′系观测者（ K′系原点）与 K 系观测者（ K 系原点）相重合。
（2）在 ， 时， K′系相对于 K 系做速度为u 的平移运动。
（3）两观测者持有相同的‘时钟’及相同的‘量尺’。
t′ = t = 0
t′ t ≥ 0
逆变换式：
−
= +
′
′
−
t
x ut
c
u
t
x
1
1
′
′+ ′
= +
t
x tu
c
u
t
x
1
（一般）伽利略-周方变换
（General Galilean-Zhou Transformation）
,
1
c
u
r tu
r r
r r
r
+
−
′ =
c
u
t
t r
+
′ =
1
第25页
25
因此，‘空间变换式’必须描述如下事实：“ 系内 之点就是 系之原点 ”。
相应地，‘空间变换式’必须是‘方程 ， k > 0 ’。下面就从这个标准的‘空
间变换式’ x′ = k(x − ut) ，k > 0 ’出发进行演绎，推导出客观存在的‘时空变换’。
空间变换式 x′ = k(x − ut) 的‘逆函数’为：
( )
1
x kut
k
ut
k
x
x + = ′ +
′
=
即：
( )
1
( )
1
x tu
k
x kut
k
x = ′ + = ′ + ′
t
k
t = ′
1
换写成矩阵形式：
′
′ + ′
=
t
x tu
t k
x 1
由此得到‘互为正、逆函数’的两组方程：
′
′ + ′
=
t
x tu
t k
x 1
，
−
=
′
′
t
x ut
k
t
x
下面确定系数 。
在某个时刻 ， 系观测者观测到运动质点，形成观测矢量
′
′
t
x
，由于光传播速率
为有限值（ 仟米/秒），故在同一时刻 ，与 系观测者的距离为 的 系观
测者尚不能观测到该运动质点。直到 系观测者发出光波（电磁波）信号的时刻 之后的
时刻 ： ， 系观测者才观测到该运动质点。故有关系式：
将方程组中的关系式 t
k
t = ′
1 与此关系式 t
c
u
t ′
= 1+ 相对照，得 。
将
1
1
−
= +
c
u
k 代入上面的两组方程
′
′ + ′
=
t
x tu
t k
x 1
，
−
=
′
′
t
x ut
k
t
x ，得伽利略周方变换：
K x = ut K′ x′ = 0
x′ = k(x − ut)
k
t′ K′ c
5
c ≈ 0.3 ×10 t′ K′ tu ′ K
K′ t′
t
c
tu
t t
′
= ′ + K
t
c
u
c
tu
t t ′
= +
′
= ′ + 1
1
1
−
= +
c
u
k
第26页
26
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
五、“伽利略-周方变换”之导出（C）
我们还可以更简捷地推导出伽利略-周方变换
−
= +
′
′′
−
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
。
(1)在时刻 t′ :
tx ′)( = tu ′ + ′ tx ′)(
(2) 在时刻 1 t :
c
u
c
tu
t t ′
= +
′
= ′ + tx )( = ut + ′ tx )(
1 1( t )
c
u
t x
c
u
u ′
′ + ′ +
= +
根据“光传播定律”得： )( 1 1 tx )(
c
u
t
c
u
tx u ′′
′ + +
= + 1 [ tu (tx )]
c
u
′ + ′′
= +
于是，得：
′
+
′ + ′′
+
=
t
c
u
tu tx
c
u
t
tx
1
1 [ ( )] )(
即“伽利略-周方变换”：
逆变换式：
−
= +
′
′
−
t
x ut
c
u
t
x
1
1
′
′+ ′
= +
t
x tu
c
u
t
x
1
′
′ ′ + ′
= +
t
x t tu
c
u
t
tx )(
1
)(
逆变换式：
−
= +
′
′′
−
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
第27页
27
伽利略-周方变换
′
′ ′ + ′
= +
t
tx tu
c
u
t
tx )(
1
)(
的 K′ 系时空点
′
′ ′
t
tx )( 与 K 系时空点
t
tx )(
示于图 9。
x′(t′); tx )(
K 系时空点 )( 1 [ tx )( tu ]
c
u
tx ′′ + ′
= +
tu
c
u
′
1+
K′系时空点
′ tx ′)( 1 tx )(
c
u
′′
+
；
t
c
u
t ′
= 1+
图 9 伽利略-周方变换的 K′系时空点
′
′ ′
t
tx )( 与 K 系时空点
t
tx )(
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
伽利略-周方变换的“速度变换式”——
将
c
u
t
t
+
′ =
1
代入
c
u
tx ut
tx
+
−
′′ =
1
)(
)( ：
c
u
t
u
c
u
t
x
c
u
t
x
+
−
+
=
+
′
1
)
1
) (
1
(
′ tx ′)( = tx ′)( − tu ′
即： tx ′)( = ′ tx ′)( + tu ′
tu ′
t′
c
tu ′
t t′ t
第28页
28
在伽利略时空内，有：
t ≡ t′: tx )( = ′ tx ′)( + tu ′
dt
td
tu
dt
d
dt
td
dt
txd
dt
dx t ′
′
′
+
′
′
′ ′
= ( )
)( )(
得： u
dt
txd
dt
dx t
+
′
′ ′
=
)( )(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
六、“伽利略-周方变换”之性质
（A）伽利略-周方变换之‘正’变换 ——
将 x = ct 代入
−
= +
′
′
−
t
x ut
c
u
t
x
1
1 ，得：
c tu
c
u
x ut
c
u
x 1 ( ) 1 ( )
1 1
−
− = +
′ = +
− −
t
c
u
t
1
1
−
′ = +
将 t
c
u
t ′
= 1+ 代入，得：
t c tu tc tu
c
u
c u
c
u
c tu
c
u
x ′ = − ′ = ′ − ′
− +
− = +
′ = +
− −
1 ( ) 1 ( 1) ( )
1 1
（B）伽利略-周方变换之‘逆’变换 ——
将 x′ = (c − )tu ′ 代入
′
′+ ′
= +
t
x tu
c
u
t
x
1 ，得：
tc
c
u
c tu tu
c
u
x tu
c
u
x ′
− ′ + ′ = +
′ + ′ = +
= 1+ ( ) 1 [( ) ] 1
t
c
u
t ′
= 1+
u
dt
txd
dt
dx t
+
′
′ ′
=
)( )( （矢量合成三角形）
第29页
29
将 t
c
u
t
1
1
−
′ = + 代入，得： t ct
c
u
c
c
u
tc
c
u
x =
+
′ = +
= +
−1
1 1 1
综合上述（A）及（B）之变换，可得：伽利略-周方变换{x = ct, x′ = (c − )tu ′}。
伽利略时空Gal.ST 内的伽利略-周方变换{x = ct, x′ = (c − )tu ′}示于图 10。
′′ +
−
t
c
u
tx x
1
)( ， 1
tx )( = ct
tx )(
+
−
t
c
u
x
1
1
t
c
u
tu u
1
1
−
′ = +
∆ABC
′ tx ′)( ′ tx ′)( = (c − )tu ′ = tc ′ − tu ′
t′， t
c
u
1
1
−
+
t
t′， t
c
u
1
1
−
+
图 10 两观测者的观测矢量
t
ct 与
′
′ − ′
t
tc tu
（与图 2 对照）在图 10 中，在每个时刻 t
c
u
t
1
1
−
′ = + ，两观测者‘同时’观测到运
动质点（构成‘伽利略变换’）。在此时刻t′，K′系观测者的观测矢量
′
′ ′
t
tx )( 与 K 系观测者
的观测矢量
+
+
−
−
t
c
u
t
c
u
x
1
1
1
1
通过两观测者之间的距离 t
c
u
tu u
1
1
−
′ = + 构成‘矢量合成三
角形∆ABC ’。
第30页
30
根据“光传播定律”，伽利略-周方变换
−
= +
′
′′
−
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
可表示为：
−
= +
′
′′
−
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
+
− +
+
=
−
− −
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
x
1
1 1
1
1 1
由此得：
伽利略-周方变换 0
)(
1
)(
1
≠
−
= +
′
′′
−
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
实际上就是在‘两观测者有相对
运动且真空中光传播速率为有限值（u > 0）’场合下，由于‘多普勒效应’导致两参考系
之间的‘时空度规比’发生变动而在每个时刻 t
c
u
t
1
1
−
′ = +
r
下形成的“伽利略变换”
0
1
1 1
)(
1
1 1
≥
+
− +
+
=
′
′′
−
− −
u
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
r
t
tr r
r
r
r
r
r
r
。
所以，伽利略时空Gal.ST 是伽利略-周方变换 0
)(
1
)(
1
≥
−
= +
′
′′
−
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
为
‘元素’的‘集合’：
伽利略-周方变换
−
= +
′
′′
−
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
c
伽利略变换
+
− +
+
=
′
′′
−
− −
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
x
t
tx
1
1 1
1
1 1
)(
Gal.ST
≥
−
= +
′
′′
−
−
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
伽利略 周方变换
第31页
31
伽利略-周方变换
+
− +
+
=
′
′′
−
− −
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
x
t
tx
1
1 1
1
1 1
)(
示于图 11。
′′ +
−
t
c
u
tx x
1
( ), 1
K 系时空点 )( 1 1 )(
1 1
tx
c
u
t
c
u
tx x
− −
= +
′ = +
K′系时空点 tu ′ = t
c
u
u
1
1
−
+
t
c
u
t u
c
u
tx x
1 1
)( 1 1
− −
− +
′′ = +
t
c
u
t
1
1,
−
′ + t
c
u
t
1
1,
−
′ +
图 11 伽利略-周方变换
[( ) ] ( )
( )
+
+ − +
=
′
′′
−
− −
cu t
x cu t u cu t
t
tx
1
1 1
1
)( 1 1
伽利略-周方变换可表为时刻 t
c
u
t
1
1
−
′ = +
r
时的伽利略变换：
第32页
32
伽利略-周方变换
−
= +
′
′
−
t
x ut
c
u
t
x
1
1 的逆变换
′
′ + ′
= +
t
x tu
c
u
t
x
1 示于图 12。
（与图 3 对照）
1 (x tu )
c
u
x ′ + ′
= + ， t
c
u
t ′
= 1 +
tu ′
K 系观测者 x′
u
K′系观测者
运动质点 系
系
图 12 伽利略-周方变换
′
′ + ′
= +
t
x tu
c
u
t
x
1
伽利略-周方变换
′
′ ′ + ′
= +
t
tx tu
c
u
t
tx )(
1
)(
的 K′ 系时空点
′
′ ′
t
tx )(
与 K 系时空点
t
tx )(
示于图 13。
E K ′
x
′
K
x
+
− +
+
=
′
′′
−
− −
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
r
t
r t
1
1 1
1
1 1
)(
r
r
r
r
r
r
逆变换为：
′
+
′
+ +
′
′ +
=
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
r
t
tr
r
r
r
r
r
r
1
1 1
)(
第33页
33
x′(t′); tx )(
K 系时空点 )( 1 [ tx )( tu ]
c
u
tx ′′ + ′
= +
K′系时空点
x′ t′)( = tx ′)( − tu ′
；
t
c
u
t ′
= 1+
图 13 伽利略-周方变换的 K′系时空点
′
′ ′
t
tx )( 与 K 系时空点
t
tx )(
解读图 13：（参看图 11、图 12）
（1）在t′，t ≥ 0 时， K′ 系对 K 系沿 轴正方向始终作速度为 的相对运动。
（2）在时刻t′，运动质点（闪光点）在 K′系内的位置为 x′ t′)( = tx ′)( − tu ′ ，而此时 K′系
观测者在 K 系内的位置为 tu ′，故运动质点（闪光点）在 K 系内的位置为 tx ′)( = ′ tx ′)( + tu ′ 。
若不考虑光的传播速率（或假设光以无穷大之速率进行传播），则在 K′系观测者‘接收’并
‘发出’运动质点信息之时刻t′， K 系观测者可以与在他前方距离为 tu ′的 K′系观测者同
时观测到该运动质点（闪光点）。可是，因为光的传播速率为有限值，所以 K 系观测者在时
刻 t′ 尚不能与 K′ 系观测者同时观测到该运动质点，而只能在滞后于时刻 t′ 的时刻
t
c
u
t ′
= 1+ 观测到该运动质点。根据“光传播定律”，伽利略时空内任意时空点
t
tx )(
的
tu ′
t′
c
tu ′
t t′ t
x(x′) u
第34页
34
“传播时空弹性”恒为 1
ln
ln )(
= =
d t
d tx
xt ε ，故在延迟时刻 t
c
u
t ′
= 1+ ，运动质点（闪光
点）在 K 系内的位置相应地为 )( 1 [x t )( tu ]
c
u
tx ′′ + ′
= + 。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
下面验证，伽利略-周方变换满足“相对性原理”：
取伽利略-周方变换
′
′ + ′
= +
t
x tu
c
u
t
x
1 ， 记 k
c
u
= ′
1+ ，则伽利略-周方变换
′
′ + ′
= +
t
x tu
c
u
t
x
1 可以换写成方程组：
x = k′(x′ + tu ′)
t = ′tk ′
求‘逆函数’：
′xk ′ + ′ tuk ′ = x
0x′ + ′tk ′ = t
( )
1
0
x ut
k
k
k uk
t k
x uk
x −
′
=
′
′ ′
′
′
′ =
t
k
k
k uk
t
k x
t
′
=
′
′ ′
′
′ =
1
0
0
−
′
=
′
′
t
x ut
t k
x 1
−
= +
′
′
−
t
x ut
c
u
t
x
1
1
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
第35页
35
计 算 示 例 ： 设 K′ 系 时 空 轨 迹 为 ′ tx ′)( =1+ sin t′ ， 代 入 伽 利 略 - 周 方 变 换
的方程组： )( 1 [ tx )( tu ]
c
u
tx ′′ + ′
= + 及 t
c
u
t ′
= 1+ ，则 K
系时空轨迹为：
1 1( sin t tu )
c
u
x + ′ + ′
= + tu
c
u
t
c
u
′
+ ′ + +
= 1+ 1( sin ) 1 t ut
c
u
+ ′ +
= 1+ 1( sin )
ut
c
u
t
c
u
+
+
+
= +
1
1 1 sin 。
计算结果示于图 14。
，
K 系时空轨迹： ut
c
u
t
c
u
x +
+
+
= +
1
1 1 sin
K′系时空轨迹： x′ = 1 + sin t′ ， t
c
u
t ′
= 1+
‘伽利略变换’的 K 系时空轨迹
1.0
；
图 14 伽利略-周方变换下 K′系时空轨迹与 K 系时空轨迹之间的‘协变’
图 13 与图 14 展示了运动质点（‘闪光点’）的 K′系时空轨迹 在伽利略-周
方变换下与 K 系时空轨迹 ‘协变’（‘形状相似’）情况。
（1）由于 K′系观测者与 K 系观测者之间有相对运动（u ）且真空中光传播速率为有限值
′
′ ′ + ′
= +
t
tx tu
c
u
t
tx )(
1
)(
x x′
1
u
c
+
1
u
c
+
t t′
x t ′ ′ = +1 sin
1 1 sin
1
u t
x ut
c u
c
= + + + +
第36页
36
（c ），因而使得从 K′系观测者向 K 系观测者传播的波动产生‘多普勒效应’（“红移”）。
因此，在 K 系观测者看来，K′系中的波动变慢至
+
c
u
1 倍[ 即频率变低至
+
c
u
1 倍 ]，
这等同于波动周期变大至
+
c
u
1 倍。
（2） K 系观测者的 系时空点
t
tx )(
满足‘光传播定律’：“光传播时空弹性”为
1
ln
ln )(
= =
d t
d tx
xt ε ，所以，在 K 系观测者看来， K′系中的波动周期变大至
+
c
u
1 倍，
就使得波长与振幅均变大至
+
c
u
1 倍。
总体情况是：在 K 系观测者看来， K′系中的波动是：频率变低至
+
c
u
1 倍，即周期
变大至
+
c
u
1 倍，致使波长及振幅均变大至
+
c
u
1 倍。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
七、两观测者之间的‘相离运动’与‘相向运动’
在两观测者相对速度为 的场合下，（一般）伽利略-周方变换
（General Galilean-Zhou Transformation）的变换方程组
−
= +
′
′′
−
t
tr tu
c
u
t
r t
r r r r
)(
1
)(
1
便成为以下形式的（特殊）伽利略-周方变换（Special Galilean-Zhou Transformation）：
K
u [u 0 0] const.
T
= =
r
1 (x tu )
c
u
x ′ + ′
= + ( )
1
1
x ut
c
u
x −
+
′ =
y
c
u
y ′
= 1+ y
c
u
y
+
′ =
1
1
z
c
u
z ′
= 1+ z
c
u
z
+
′ =
1
1
t
c
u
t ′
= 1+ t
c
u
t
+
′ =
1
1
第37页
37
******************************************************************
（一）两观测者之间的相离运动
两观测者相离运动下伽利略-周方变换的 系时空点示于图 15、图 16、图 17。
伽利略-周方变换的 系时空点
系观测者
系时空点
系观测者
图 15 两观测者相离运动下伽利略-周方变换的 系时空点
伽利略-周方变换的 系时空点
系时空点
系观测者
系观测者
图 16 两观测者相离运动下伽利略-周方变换的 系时空点
K
K
K ′
tu
c
u
′
+
r
r
1 r ′
r
K ′
tu ′
r
r′ + tu ′
r r
1 (r tu )
c
u
r ′ + ′
= +
r r
r
r
K
K
K
′, xx
y′
u K′
y
z′
K′
K z
K
第38页
38
伽利略-周方变换的 系时空点
系观测者观测到的影像
K′系观测者观测到的影像
系时空点
系观测者
系观测者
图 17 两观测者相离运动下伽利略-周方变换的 系时空点
*****************************************************************
（二）两观测者之间的相向运动
两观测者相向运动下伽利略-周方变换的 系时空点示于图 18、图 19、图 20。
系观测者
系时空点
伽利略-周方变换的 系时空点
1 (r tu )
c
u
r
f
f
′ + ′
= −
r r
r
r
系观测者
图 18 两观测者相向运动下伽利略-周方变换的 系时空点
K
K
y′
u K′
y
z′
K′
K z
K
K
K ′
r ′
r
K ′
tu ′
r
K
r′ + tu ′
r r
K
K
′, xx
第39页
39
系时空点
伽利略-周方变换的 系时空点
系观测者
系观测者
图 19 两观测者相向运动下伽利略-周方变换的 系时空点
系时空点
K′系观测者观测到的影像
系观测者观测到的影像
伽利略-周方变换的 系时空点
系观测者
系观测者
图 20 两观测者相向运动下伽利略-周方变换的 系时空点
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
八、（特殊）伽利略-周方变换计算示例
设：某运动质点的 系时空轨迹为 ， ， 3
tz ′′ )( = tb ′ 。
将 ， ， 3
tz ′′ )( = tb ′ 代入（特殊）伽利略-周方变换方程组：
y′ K′
′, xx
K
y u
z′
K′
z
K
K
K′
y′
K
K
y z′
u
K′
z
K
K
K′ ′ tx ′)( = 1+ sin t′
2
ty ′′ )( = ta ′
′ tx ′)( = 1+ sin t′
2
ty ′′ )( = ta ′
′, xx
第40页
40
得出该运动质点的 系时空轨迹：
ut
c
u
t
c
u
+
+
+
= +
1
1 1 sin
3
3 2
3 3
)( 1 1 1 1 bt
c
u
c
u
bt
c
u
tb
c
u
tz
− −
= +
+
′ = +
= +
反之，将 ut
c
u
t
c
u
tx +
+
+
= +
1
)( 1 1 sin ， 2
1
)( 1 at
c
u
ty
−
= + ， 3
2
)( 1 bt
c
u
tz
−
= + 代入
“逆变换”：
得出该运动质点的 系时空轨迹：
1 (x tu )
c
u
x ′ + ′
= +
y
c
u
y ′
= 1+
z
c
u
z ′
= 1+
t
c
u
t ′
= 1+
K
)( 1 [ ] )( 1 1( sint tu )
c
u
tx tu
c
u
tx + ′ + ′
′′ + ′ = +
= +
2
2 1
2 2
)( 1 1 1 1 at
c
u
c
u
at
c
u
ta
c
u
ty
− −
= +
+
′ = +
= +
t
c
u
t ′
= 1+
( )
1
1
x ut
c
u
x −
+
′ =
y
c
u
y
+
′ =
1
1
z
c
u
z
+
′ =
1
1
t
c
u
t
+
′ =
1
1
K′
第41页
41
+ −
+
+
+
′′ = +
−
ut ut
c
u
t
c
u
c
u
tx
1
)( 1 1 1 sin
1
t
c
u
t
= + ′
+
= + 1 sin
1
1 sin
2 2
1 1
)( 1 )( 1 1 ta ta
c
u
c
u
ty
c
u
ty ′ = ′
+
= +
′′ = +
− −
3 3
1 1 2
)( 1 )( 1 1 bt tb
c
u
c
u
tz
c
u
tz = ′
+
= +
′′ = +
− − −
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
计算结果 — 系时空轨迹[ , , ]与相应的 系时空轨迹[ ,
, ] — 示于图 21、图 22、图 23。
， 系时空轨迹 ut
c
u
t
c
u
tx +
+
+
= +
1
)( 1 1 sin
系时空轨迹 ，
1.0
；
图 21 在 轴方向上 系时空轨迹与 系时空轨迹之间的‘协变’
t
c
u
t
1
1
−
′ = +
K ′ ′ tx ′)( y′ t′)( ′ tz ′)( K tx )(
ty )( tz )(
x′ x K
K′ x t ′ ′ = +1 sin t
c
u
t ′
= 1+
1
u
c
+
1
u
c
+
t′ t
x K′ K
第42页
42
，
系时空轨迹 （抛物线）
系时空轨迹 （抛物线）
；
图 22 在 轴方向上 系时空轨迹与 系时空轨迹之间的‘协变’
，
系时空轨迹： 3
2
)( 1 bt
c
u
tz
−
= + （三次抛物线）
系时空轨迹： 3
tz ′′ )( = tb ′ （三次抛物线）
；
图 23 在 轴方向上 系时空轨迹与 系时空轨迹之间的‘协变’
图 21、图 22 及图 23 揭示了 K 系时空轨迹与 系时空轨迹之间的‘协变’关系，展
示了‘两观测者’场合下的“世界线”（两条相似的曲线），证明了“伽利略相对性原理”，
y′ y
K
2
1
)( 1 at
c
u
ty
−
= +
K′
2
ty ′′ )( = ta ′
t
c
u
t ′
= 1+
t′ t
y K′ K
z′ z
K
K′
t
c
u
t ′
= 1+
t′ t
z K′ K
K′
第43页
43
即验证了所谓的‘伽利略大船’现象。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
结 论
（1）根据闵可夫斯基时空 Min.ST 内‘时刻τ 有排它性’之特点，闵可夫斯基时空 Min.ST
（Minkowski Space-time）可定义为如下‘集合’：
即：闵可夫斯基时空 Min.ST 是恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
为‘元素’的‘（单元素）
集合’。
恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
又称为‘零’变换（‘Null’ Transformation）。‘零’
变换实际上就是‘无’变换。
闵可夫斯基时空 Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换 为“运动质点
（‘闪光点’）只被‘一个’观测者（‘闪光点’处的‘抵近观测者’）观测到”的“一人世
界”。
（2）伽利略时空Gal.ST 是伽利略-周方变换 0
)(
1
)(
1
≥
−
= +
′
′′
−
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
为‘元
素’的‘集合’：
伽利略时空Gal.ST 为“运动质点（‘闪光点’）可以被至少两个观测者（‘闪光点’处
的‘抵近观测者’与至少一个离开‘闪光点’的‘远处观测者’）‘同时’观测到”的“多
人世界”。
Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换
（u
r 为两观测者之间的相对速度）
Gal.ST
≥
−
= +
′
′′
−
−
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
伽利略 周方变换
第44页
44
（3）参看图 6：
x′ t′ x(, )( kt)
Gal.ST（多人世界）的“世界线”— 一簇相似曲线
x(kt)
tu ′
Min.ST（一人世界）的“世界线”
′ tx ′)(
两观测者
t′,kt
t′,kt
图 6 Min.ST 的“世界线”与 Gal.ST 的“世界线”之关系
显然，有：
因为 Min.ST 为恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（单元素）集合’，故有：
从而有：
恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
∈ Gal.ST
≥
−
= +
′
′′
−
−
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
伽利略 周方变换
Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换
⊂ Gal.ST
≥
−
= +
′
′′
−
−
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
伽利略 周方变换
⊂ “宇宙时空”（“绝对时空”）
第45页
45
伽利略时空Gal.ST 为“多人世界”。因此，在闵可夫斯基时空 Min.ST（“一人世界”）
内推导出的‘数学（物理）公式’（如 Maxwell 电磁方程组以及‘狭义相对论’、‘广义相对
论’的各种数学‘结论’、‘判断’及‘预言’）都必须通过伽利略时空Gal.ST（“多人世界”）
内的“伽利略-周方变换”作出‘验证’，才能使这些‘数学（物理）公式’及‘结论’具
有确切而现实的物理涵义，否则这些公式只不过是一种数学上的“猜测”而已。
（4）
a.洛伦兹变换 2 2
2
2
2
2
2
0
1
,
1
u c
c
u
c
ux
c
u
x u
x ≤ <
−
−
′ =
−
−
′ =
τ
τ
τ
⇔ 恒等变换 = 0
≡
′
′
u
x x
τ τ
，适
应于“无多普勒效应或多普勒效应微不足道的（电磁波）有线传输及（光粒子）光纤传
输”之场合，如通过显微镜、医用内窥镜、（手持）望远镜等‘物镜-目镜’无相对运动
（u = 0
r ）的透视系统‘直接观测’实时图景。
b.伽利略-周方变换 1 0
1
>
−
= +
′
′
−
u
t
x ut
c
u
t
x
适应于“有多普勒效应的（光波，电
磁波）无线传输”之场合，如通过‘太空望远镜’或‘太空飞船’、‘火星车’等‘物镜目镜’有相对运动（u ≠ 0
v ）的透视系统‘观测’遥远星系运动的实时图景。
c.在闵可夫斯基时空 Min.ST 内推导出的‘狭义相对论’、‘广义相对论’的数学‘理论’
有两种：‘微观理论’（关于微观粒子运动的理论）与‘宏观理论’（关于太空星系运动的
理论）。‘微观理论’只能使用‘光信号有线传输方式’通过恒等变换 = 0
≡
′
′
u
x x
τ τ
进
行‘验证’。‘宏观理论’及‘宇观理论’无法使用‘（光子）信号有线传输方式’通过恒
等变换 = 0
≡
′
′
u
x x
τ τ
进行‘验证’，而必须运用‘（光波即电磁波）信号无线传输方式’
（ 如 太 空 望 远 镜 、‘ 太 空 飞 船 ’、‘ 火 星 车 ’ 等 ） 通 过 伽 利 略 - 周 方 变 换
恒等变换 0
)( )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
⇔ 伽利略-周方变换 0
)(
1
)(
1
=
−
= +
′
′′
−
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
第46页
46
1 0
1
>
−
= +
′
′
−
u
t
x ut
c
u
t
x
进行‘验证’。
d.只有通过伽利略时空 Gal.ST 内惟一的客观存在的‘时空变换’— 伽利略-周方变换
−
= +
′
′′
−
t
tr tu
c
u
t
r t
r r r r
)(
1
)(
1
才能揭示太空星系以往的实时图景。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
此外，文中还首次揭示了“伽利略时空”内一条重要定律：“光传播定律”— “伽利略时
空”内任意时空点（‘运动质点’，‘2 闪光点’）上的“光传播时空弹性”恒等于 1。“光传
播定律”也称为“真空中光传播速率为恒定值定律”或简称“光速不变性（绝对性）定律”
— “在任意时空点（‘闪光点’），真空中光传播速率为恒定值 00
c = 1 µ ε ，乃是光的固
有属性，与光在哪个参考系内进行传播无关”。这条定律为“运动观测理论”的基础定律。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
第47页
47
特 性 与 定 义
Min.ST ‘时刻τ ’具有‘排它性’：在任一时刻，运动质点（‘闪光点’）只可被‘一个’
观测者（运动质点处的‘抵近观测者’）观测到。 Min.ST （Minkowski
Space-time）可定义为‘集合’：
c
c
即： Min.ST 为恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（单元素）集合’。
Gal.ST ‘时刻 t ’不具‘排它性’：在任一时刻，运动质点（‘闪光点’）可以被‘至
少两个’观测者 “同时”（t kt k f (u)
r
′ ≡ , = ，u
r 为两观测者之间的相对速度）
观测到。Gal.ST （Galilean Space-time）可定义为‘集合’：
即：Gal.ST 为伽利略变换 ( ), 0
)( ( )
= ≥
− •
=
′
′′
k f u u
kt
r kt u kt
t
r t r r
r r r
的‘集
合’。
′
≡
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换
（u
r 为两观测者之间的相对速度）
≡
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
Gal.ST
= ≥
− •
=
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略变换
第48页
48
“世界线”
Min.ST “运动质点只被‘一个’观测者（运动质点处的‘抵近观测者’）观测到”的“一
人世界”，“世界线”为：
（参看图 1）
Gal.ST “运动质点可被至少两个观测者（运动质点处的‘抵近观测者’与至少一个离
开运动质点的‘远处观测者’）‘同时’观测到”的“多人世界”，“世界线”为：
（参看图 5）
通过两观测者‘重合点’的呈簇状的多条相似曲线
t′ ≡ kt
x(kt) = Φ(kt)
x′ t′)( = Φ t′)( − tu ′
通过两观测者‘重合点’的单一曲线
τ ′ ≡ τ :
x′(τ′) = Φ(τ′ )
x τ )( = Φ τ )(
第49页
49
参看图 6：
x′ t′ x(, )( kt)
Gal.ST（多人世界）的“世界线”— 一簇相似曲线
x(kt)
tu ′
Min.ST（一人世界）的“世界线”
′ tx ′)(
两观测者
t′,kt
t′,kt
因为 Min.ST 为恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（单元素）集合’，故有：
恒等变换 0
( ) )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
∈ Gal.ST
≥
−
= +
′
′′
−
−
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
伽利略 周方变换
0
)( )(
=
≡
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
⇔ 伽利略-周方变换 0
)(
1
)(
1
=
−
= +
′
′′
−
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
Min.ST
=
≡
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等变换
⊂ Gal.ST
≥
−
= +
′
′′
−
−
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
伽利略 周方变换
⊂ “宇宙时空”（“绝对时空”）
第50页
50
参 考 文 献
[1]《狭义与广义相对论浅说》，（美）A.爱因斯坦/著 杨润殷/译 北京大学出版
社 2006 年版
[2]《狭义相对论（第二版）》，刘辽 费保俊 张允中 编著 科学出版社 2008 年版
[3]《牛顿力学的新时空变换》，周 方/著 经济科学出版社 2013 年版
[4]《现代牛顿力学的运动观测理论—兼评狭义相对论之“洛伦兹变换”》，
周 方/著 经济科学出版社 2014 年版
[5]《现代牛顿力学的运动观测理论—兼评狭义相对论之“洛伦兹变换”》（第
二版），周 方/著 经济科学出版社 2016 年版
[6]《相对运动观测理论》，周 方/著 经济科学出版社 2018 年版
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