这里以 2019 年版人民教育出版社高中数学 A 版课本为例（人教 B 版、北

师版、沪教版、苏教版等与之大同小异）。数列出现在了选择性必修第二册第 4

章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

n

{ }n a 1 a q { }n a n

n n 123 S aa a a =++++ !

2 1

11 1 1

n

n S a aq aq aq - =+ + ++ !

2 1

11 1 1

n n

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1 1

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n n S qS a a q - = - 1 (1 ) (1 ) n

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q ¹1

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{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

这里以 2019 年版人民教育出版社高中数学 A 版课本为例（人教 B 版、北

师版、沪教版、苏教版等与之大同小异）。数列出现在了选择性必修第二册第 4

章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

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这里以 2019 年版人民教育出版社高中数学 A 版课本为例（人教 B 版、北

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

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n

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

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章，其中第 4.3 节等比数列中讲到等比数列前 项和公式的时候，首次使用了我

们称之为“错位相减”法的计算技巧。以下是课本的原文摘录：

一般地，如何求一个等比数列的前 项和呢？

设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是

．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

．①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

．②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的

项，可得 ，即 ．

因此，当 时，我们就得到了等比数列的前项和公式

．（1）

因为 ，所以公式（1）还可以写成

．（2）

至此，课本完成了对于等比数列求和公式的推导，后面的例题和练习的重

点都是对于公式的直接应用（当然，也包含了对于特殊情况 的补充）。我

们并未看到对于“错位相减”方法的强调，例题和练习题中也没有出现“差比

数列”的身影。直到本章小结的回顾与思考中，第 6 个问题是：推导等差数

列、等比数列的前 项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？我们觉得这个问题

与思考是极为重要的学习和教学参考。它将学生和教师的注意力从集中于等比

数列公式的本身记忆和应用拉回到了公式的来源和推导方法上，为“错位相

减”法的正名以及后续的扩展应用提供了基础和空间，是值得称道的。

同时，在本章结尾的复习参考题中，综合运用的第 10 题首次出现了“差比

数列”求和的问题，原题如下：

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

n

n

{ }n a 1 a q { }n a n

n n 123 S aa a a =++++ !

2 1

11 1 1

n

n S a aq aq aq - =+ + ++ !

2 1

11 1 1

n n

n qS a q a q a q a q - = + ++ + !

1 1

n

n n S qS a a q - = - 1 (1 ) (1 ) n

n - qS a q = -

q ¹1

1(1 ) ( 1) 1

n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1

1

n

n a aq - =

1 ( 1) 1

n

n

n

a aq S q

q

- = ¹ -

q =1

n

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

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0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

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n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

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n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

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- - = × + × + + ! - × + - ×

1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

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- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

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1- q

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 （1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 第（1）问可以设 解方程组轻松求出第（2）问， ，标准的等差先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯但其核心的变形过程和最后主要部分的计算试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系过程中发现，不少同学由于基础知识和基本的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出（1）对于问题的识别和转化不足，不能（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，并同类项时出现错误。

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1 3n

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- × - - = × + ×-

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n n -1

第二章 学与教的现状

在这种“高考-课本-课标”的大方向和精神基本一致，但在很多具体细节

上似乎又有错配的背景下，在“差比数列错位相减求和”这一问题的学生学习

和教师教学的具体实践中，我们看到了一些不同的做法，和其中实际存在或可

能出现的问题。

以前述人教社 A 版课本复习参考题 10 为例，我们先明确用“错位相减”法

解决“差比数列”求和问题的一般过程。

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．

第（1）问可以设 解方程组轻松求出，此处略去过程， ．

第（2）问， ，标准的等差乘等比，用错位相减来求和。

先写出求和表达式，

方程两边同乘公比，

两式相减可以得到，

对于除首尾两项之外的部分使用等比数列求和公式，可以得到

化简得， 即为所求

以上就是在“差比数列”求和的情景下使用“错位相减”法的过程和注意

事项。我们能清楚地看到，尽管不再是单纯的等比数列求和公式的直接套用，

但其核心的变形过程和最后主要部分的计算都是来自于等比数列，这也是高考

试题—课本原型—课标要求三者间紧密联系的具体体现。但我们在实际的教学

过程中发现，不少同学由于基础知识和基本技能不够扎实，同时又缺乏针对性

的强化训练，因此在这类题目的处理中常常出现以下问题：

（1）对于问题的识别和转化不足，不能合理地将 写成易于计算的形式；

（2）书写格式不规范不稳定，或者写得太少规律体现得不明显，或者写得

太多顾此失彼；

（3）中间部分等比数列求和公式使用出现问题，或者首项误作 （应为 ），

或者项数误作 （应为 ）；

（4）最后计算化简的准确性无法保证，或者忘记了除以系数 ，或者合

并同类项时出现错误。

{ }n a n n S 4 2 S S = 4 2 2 1 n n a a = + ( ) n N* Î

{ }n a

1 3n

n b - = n nn c ab = { }n c n Tn

1 a d, 2 1 n a n = -

1 (2 1) 3n

n c n - = - ×

0 1 2 1 1 3 3 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

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1 21 3 1 3 (2 5) 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n nn T n nn n

- - = × + + ! - × + - × + - ×

01 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 (2 1) 3 nn n T n n

- - - = × + × + + ! × + × - -×

1

0 3 (1 3 ) 2 1 3 2 (2 1) 3 1 3

n

n T n n

- × - - = × + × - -× -

( 1) 3 1 n T n n = - × +

n c

1 b 2 b

n n -1

1- q

例题，然后让学生通过大量的练习来进行过程强化；更负责任的老师会加大带

着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

1 1 ( ) ( 1) n n n n nn n nn nn n a b a d b q a b q dqb a b q a b dqb + + =+ = + = + - +

1 1 ( 1) nn n n nn n q a b a b a b dqb - = + + - -

1 1

1 1

n n nn

n n n

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+ + - = + - -

2 2 11 3 3 2 2 1 1 1 2

1 [( ) ( ) ( )] ( ) 1 1 n n n nn n

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q q = - + - + + + + - + +++ - - ! !

1

1

1 1 11

1 ( )

1 11

n

n nn

dq b q T a b ab

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-

= + + - + - - -

n

( ) n

n c an b p = +

( ) n T An B p B n = + -

1

ap A

p = -

1

1

c Ap B

p

- = -

例题，然后让学生通过大量的练习来进行过程强化；更负责任的老师会加大带

着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

1 1 ( ) ( 1) n n n n nn n nn nn n a b a d b q a b q dqb a b q a b dqb + + =+ = + = + - +

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例题，然后让学生通过大量的练习来进行过程强化；更负责任的老师会加大带

着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

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例题，然后让学生通过大量的练习来进行过程强化；更负责任的老师会加大带

着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

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着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

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（1）重视过程，强调态度。这种教学方式通常体现为老师阐明和演示了方法和

例题，然后让学生通过大量的练习来进行过程强化；更负责任的老师会加大带

着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

1 1 ( ) ( 1) n n n n nn n nn nn n a b a d b q a b q dqb a b q a b dqb + + =+ = + = + - +

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着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

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2 2 11 3 3 2 2 1 1 1 2

1 [( ) ( ) ( )] ( ) 1 1 n n n nn n

dq T a b ab ab a b a b a b b b b

q q = - + - + + + + - + +++ - - ! !

1

1

1 1 11

1 ( )

1 11

n

n nn

dq b q T a b ab

q q q

-

= + + - + - - -

n

( ) n

n c an b p = +

( ) n T An B p B n = + -

1

ap A

p = -

1

1

c Ap B

p

- = -

着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

1 1 ( ) ( 1) n n n n nn n nn nn n a b a d b q a b q dqb a b q a b dqb + + =+ = + = + - +

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1 1

1 1

n n nn

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1

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n

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1

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p = -

1

1

c Ap B

p

- = -

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

1 1 ( ) ( 1) n n n n nn n nn nn n a b a d b q a b q dqb a b q a b dqb + + =+ = + = + - +

1 1 ( 1) nn n n nn n q a b a b a b dqb - = + + - -

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+ + - = + - -

2 2 11 3 3 2 2 1 1 1 2

1 [( ) ( ) ( )] ( ) 1 1 n n n nn n

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q q = - + - + + + + - + +++ - - ! !

1

1

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n

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dq b q T a b ab

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-

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n

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( ) n T An B p B n = + -

1

ap A

p = -

1

1

c Ap B

p

- = -

例题，然后让学生通过大量的练习来进行过程强化；更负责任的老师会加大带

着学生做计算和检查错误细节的力度。经常会听到的对话是：“老师我又算错了”

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

1 1 ( ) ( 1) n n n n nn n nn nn n a b a d b q a b q dqb a b q a b dqb + + =+ = + = + - +

1 1 ( 1) nn n n nn n q a b a b a b dqb - = + + - -

1 1

1 1

n n nn

n n n

a b ab dq a b b

q q

+ + - = + - -

2 2 11 3 3 2 2 1 1 1 2

1 [( ) ( ) ( )] ( ) 1 1 n n n nn n

dq T a b ab ab a b a b a b b b b

q q = - + - + + + + - + +++ - - ! !

1

1

1 1 11

1 ( )

1 11

n

n nn

dq b q T a b ab

q q q

-

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n

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n c an b p = +

( ) n T An B p B n = + -

1

ap A

p = -

1

1

c Ap B

p

- = -

“都教给你方法了为什么还算错”“老师方法我是懂的，就是计算不太行”“多

算算就行了”。这里值得反思的是：我们究竟是要端正学生的计算态度，还是要

提升他们的计算能力？也许逻辑未必是多算就能会，而是如果真会了，就不用

多算了。

（2）另辟蹊径，强调方法。有许多老师发现和提出了用“裂项相消”来进行计

算的等效解法，这里略作说明。

若 ， ，

可以有

则

即

这样一来我们就成功“规避”了“错位相减”中各种可能出现的问题，而

代之以“裂项相消”的求和及等比数列求和公式的使用。从思维拓展的角度来

看，这种解法的教学是有价值的，也更适合学有余力希望进一步提升的同学。

但如果只是从“探索并掌握等比数列的前 项和公式”的课程目标来看，此种

解法并非是捷径，而颇有些绕道而行的感觉。

（3）给出结论，强调记忆。我们注意到，为了解决部分同学计算态度和计算能

力都比较弱这一现实问题，另外一些老师通过对于结论的研究和变形，给出了

下面的“苹果公式”。其核心思想是，不需要通过计算，只要记住这一公式并在

考试中套用，就一定能得出正确答案。

首先，要把题目条件写成这样的形式：

其次，需要记住这类求和问题最后的结果一般形式：

最后，在结果中使用 ， 带入数字计算即可。

1 ( 1) n aa n d = + - 1

1

n

n b bq - = n nn c ab =

1 1 ( ) ( 1) n n n n nn n nn nn n a b a d b q a b q dqb a b q a b dqb + + =+ = + = + - +

1 1 ( 1) nn n n nn n q a b a b a b dqb - = + + - -

1 1

1 1

n n nn

n n n

a b ab dq a b b

q q

+ + - = + - -

2 2 11 3 3 2 2 1 1 1 2

1 [( ) ( ) ( )] ( ) 1 1 n n n nn n

dq T a b ab ab a b a b a b b b b

q q = - + - + + + + - + +++ - - ! !

1

1

1 1 11

1 ( )

1 11

n

n nn

dq b q T a b ab

q q q

-

= + + - + - - -

n

( ) n

n c an b p = +

( ) n T An B p B n = + -

1

ap A

p = -

1

1

c Ap B

p

- = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

2 3 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n

n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

n

q q qT a bq a na b q

q

- - + - =+ + - + -

2 2

2

[ ( 1) ( )]

(1 )

n

n

aq q n aq bq bq q aq bq bq T

q

- - + - + + - = -

Tn n n q

( ) n T An B q B n = + × -

1(1 ) ( 1) 1

n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

a a S q

q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

2 3 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n

n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

n

q q qT a bq a na b q

q

- - + - =+ + - + -

2 2

2

[ ( 1) ( )]

(1 )

n

n

aq q n aq bq bq q aq bq bq T

q

- - + - + + - = -

Tn n n q

( ) n T An B q B n = + × -

1(1 ) ( 1) 1

n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

a a S q

q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

2 3 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n

n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

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1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

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- - + - =+ + - + -

2 2

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n

n

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q

- - + - + + - = -

Tn n n q

( ) n T An B q B n = + × -

1(1 ) ( 1) 1

n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

a a S q

q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

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n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

n

q q qT a bq a na b q

q

- - + - =+ + - + -

2 2

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[ ( 1) ( )]

(1 )

n

n

aq q n aq bq bq q aq bq bq T

q

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Tn n n q

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1(1 ) ( 1) 1

n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

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q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

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n

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2 2

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(1 )

n

n

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q

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Tn n n q

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n

n

a q S q

q

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1 1

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n

n

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q q = - - -

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下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

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2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

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下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

2 3 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n

n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

n

q q qT a bq a na b q

q

- - + - =+ + - + -

2 2

2

[ ( 1) ( )]

(1 )

n

n

aq q n aq bq bq q aq bq bq T

q

- - + - + + - = -

Tn n n q

( ) n T An B q B n = + × -

1(1 ) ( 1) 1

n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

a a S q

q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

2 3 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n

n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

n

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q

- - + - =+ + - + -

2 2

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n

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q

- - + - + + - = -

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n

n

a q S q

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- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

a a S q

q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

函数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

为相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

公式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

问：那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

果我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

叙述在等比数列求和公式本身，它是

如果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

从函数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

这个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

和公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

果里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

不要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

比，我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

结果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

也能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

2 3 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n

n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

n

q q qT a bq a na b q

q

- - + - =+ + - + -

2 2

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(1 )

n

n

aq q n aq bq bq q aq bq bq T

q

- - + - + + - = -

Tn n n q

( ) n T An B q B n = + × -

1(1 ) ( 1) 1

n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

a a S q

q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

下面是一个一般性的计算推导，若

不难发现， 最后的结果形式是：一个关于 的一次函数乘以 这个指数

数，再加上一个常数项；且一次函数的常数部分和最后整个式子的常数项互

相反数，即形如 ．此时你肯定会问：这个不是前面“苹果

式”提到的吗？是的，但为什么是这样呢，怎么理解和记住呢？于是你又会

那是不是学生要自己会一般性地推导一遍呢？他们也不愿意啊。是的，如

我说，学生有更简单的方式可以理解和记住呢。

让我们回到一切的开始，本文引用的高中数学课本中对于这一问题的着重

述在等比数列求和公式本身，它是

果我们把这个重要的公式改写一下，它还可以写作

数观点看，它就是一个系数乘以 这个指数函数，再加上一个常数项；且

个系数和最后整个式子的常数项互为相反数，即形如 ．

于是我们看到，即使是最后的结果形态，“差比数列”的和也和等比数列求

公式保持着高度的一致或“同构性”，而开始乘上去的那个等差数列在求和结

里体现为一个一次函数，这也与学生对于数列的函数特征的理解一脉相承。

要强求不可知，要从已知推未知；通过对等比数列求和公式的深度理解和类

我们更能领会“差比数列”还是考查等比数列求和这一核心问题。于是在

果形态确定的情况下，计算错误更容易被察觉；而下面也会提到，最终结果

能轻松算出了。

( ) n

n c an b q = + ×

2 ( ) (2 ) ( ) n T a b q a b q na b q n =+ + + ++ + !

2 1 () ( )( ) n n

n qT a b q na a b q na b q + = + + + ! - + ++

2 3 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n

n q T a b q a q q q na b q + - =+ + +++ ! - +

2 1

1 (1 ) (1 ) ( ) ( ) 1

n

n

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q q qT a bq a na b q

q

- - + - =+ + - + -

2 2

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[ ( 1) ( )]

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n

n

aq q n aq bq bq q aq bq bq T

q

- - + - + + - = -

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( ) n T An B q B n = + × -

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n

n

a q S q

q

- = ¹ -

1 1

1 1

n

n

a a S q

q q = - - -

n q

n

n S Bq B = -

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 2 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 2 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 2 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 2 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 2 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

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n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 2 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

3.2 既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

出现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

式也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

呢？答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

参考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

化简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

发挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

式：观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

（1）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

有 ，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

的 ；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

体是 ，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

的相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

（2）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

即可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

其实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

而这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n T n n

- = × + × + + ! - ×

1 1 3 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n T nn n

- = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 2 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n n n

-

- - - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

-2n -2 n 1

A =1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。

既强调结果，也注重过程

结果形态让我们目标更清晰，但毕竟此类问题在高考中通常以解答题形式

现，所以需要必要的推导和计算过程。前文也提到很多学生的问题是过程格

也写不清楚，从而导致计算把握性进一步降低。我们是如何解决这一问题的

答案是：不是讲步骤，而是给标准。这里依然以前述人教社 A 版课本复习

考题 10 的第二问为例，来说明方法步骤的动作标准。

由（1）知， ，求求数列 的前 项和

简得： ．

还记得上一部分我们说的确定的结果形态 吗，此刻它要

挥作用了，且不是背新的公式。这里给出两种学生可用的直接写出结果的方

观察法，或解方程。

来看最后一步的化简：

）看次数算系数。观察上式中的一次函数的部分，我们发现 的一次系数只

，这意味除掉左边的 之后，最后 的系数必然是 ，所以最后结果里

；简单计算一下常数项有前面的 ，和后面分式化简之后的 ，所以整

是，再除掉系数 之后为 ，即整个式子的常数项 ；根据前面说过

相反数的结论，括号里面常数是 .即 ．

）待定系数解方程。既然只需要确定 和 两个数字，意味着两个方程联立

可解决，于是直接令 , 带入，解关于 , 的二元一次方程组即可。

实不管哪一种计算方式，都是把握住了数列的函数特征之后的类型化操作，

这也正是新的课程标准对于数列部分的着重要求。

1 (2 1) 3n

n c n - = - × { }n c n Tn

0 1 1 1 3 3 3 (2 1) 3n n - × + × + + ! - ×

1 1 1 3 (2 3) 3 (2 1) 3 n n nn - = × + + ! - × + - ×

1

0 1 21 3(1 3 ) 1 3 (2 1) 3 2(3 3 3 ) 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n nn n T n nn

-

- - - = × - -× + + × +× = - -× + × - !

( 1) 3 1 n T n n = - × +

( ) n T An B q B n = + × -

1 3(1 3 ) 2 1 (2 1) 3 2 1 3

n

n T n n

- - - = - -× + × -

3n

2n -2 n 1

=1 1 -3

-2 -2 1 -B =1

-1 ( 1) 3 1 n T n n = - × +

A B

n =1 n = 2 A B

前二后一，原形列举。不要计算，要抄写。

次数对齐，系数减 d。不是错位，是对齐。

前后单列，中间求和。后项提前，分开算。

结果定式，待定系数。次数对应，看出来。