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“手拉手”难逃“瓜和豆”——“确定轨迹”、“构造函数”、“构造方程”、

“数形结合”和“分类讨论”一个都不能少

上周，我们进入二轮专题复习，第 1 讲是主题是“手拉手”模型应用，请同学们要非常熟悉手拉手基本图形

（上课时已发各位同学），为配合二轮复习，我们还将不定期对全国经典中考或最新题型进行分享。今天分享一

道容易出错的湖北十堰 2021 中考几何压轴题解析——“手拉手”模型应用。 请大家一定一定不外传！

（湖北十堰 2021）已知等边三角形 ABC，过 A 点作 AC 的垂线 l，点 P 为 l 上一动点（不与点 A 重合），连接 CP，

把线段 CP 绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到 CQ，连 QB．

（1）如图 1，直接写出线段 AP 与 BQ 的数量关系；

（2）如图 2，当点 P、B 在 AC 同侧且 AP＝AC 时，求证：直线 PB 垂直平分线段 CQ；

（3）如图 3，若等边三角形 ABC 的边长为 4，点 P、B 分别位于直线 AC 异侧，且△APQ 的面积等于 ，求线

段 AP 的长度． 请同学们先思考，再看我们的剖析！重点讲第 3 问。

【分析】这道题目的第（1）问和第（2）问相对来说比较简单，咱们直接套用“手拉

手模型”的解题策略，即可解决。

【解析】

（1）易证明△CAP≌△CBQ，则 AP=BQ；

（2）仍然可以证明△CAP≌△CBP，当 AP=AC 时，△CAP 是等腰直角三角形，则△

ABD 也是直角三角形，则 BC=BQ；连接 PQ，则易证明△CPQ 是正三角形，∴PC=PQ，

所以直线 PB 垂直平分线段 CQ；

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（3）解决第（3）问，首先是要画出适合题意的示意图，以形助数，帮助对题目进行

分析。

“积不离高”，遇到面积问题，要想到高！

若把 AP 看做△APQ 的底的话，由于点 P 时动点，点 Q 也是动点，△PAQ 的底边

AP 的长和 AP 边上的高均为变量。而点 Q 是随着点 P 的运动而运动，也就是说，点 P

可以看做是主动点，点 Q 可以看做是从动点，则可以猜测出点 Q 到直线 l 的距离必为

线段 AP 长的函数。那么，这个高和 AP 之间究竟是怎样的函数关系呢？

策略一：“龙生龙，凤生凤，老鼠儿子会打洞”。若从“瓜豆原理”的角度来看，

主动点 P 和从动点 Q 的轨迹必然相同——由于主动点 P 的轨迹是直线，从动点 Q 的轨

迹也必然是直线！——因为始终保持“CP=CQ”和“∠PCQ=60°”这两个条件，符合

“定比定角”的“瓜豆”特点！

策略二：注意到无论在任何情况下，必有△CPA≌△CQB 的结论，则∠PAC=∠QBC，

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而 CB 为方向和长度均确定的线段，则点 Q 必然在过点 B 且和 CB 垂直的直线上！

综上所述，过点 B 作直线 m⊥CB，则动点 Q 必在直线 m 上，设直线 m 和直线 l

交于点 M，如图，显然 MB=MA，且∠MAB=∠MBA=30°。因为 AB=4，则 MB=

4 3

3

如图，若△APQ 的面积为

3

4 ，过点 Q 作 QN⊥l 于点 N。

若设 AP=x，则 BQ=x，所以 QM=BM − BQ =

4 3

3 − x，

QN = QM ∙ sin60° = （

4 3

3 − x） ×

3

2 = 2 −

3

2

x，

则有

1

2

∙ x ∙ (2 −

3

2

x) =

3

4

解得 x = 3或

3

3 （居然有两个答案？是不是要舍去一个？显然不用舍去，这两个

都成立，你知道为什么吗？

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当点 Q 在直线 l 的下方时，

如图，若设 AP=x，则 BQ=x，

所以 QM = BM + BQ =

4 3

3 + x, 所以 QN = QM ∙ sin60° = (

4 3

3 + x) ×

3

2 = 2 +

3

2

x

则有

1

2

∙ x ∙ (2 +

3

2

x) =

3

4

解得 x =

2 3

3 +

21

3 或 x =

2 3

3 −

21

3 仍然有两个答案，不过这次 x =

2 3

3 −

21

3 不合

题意，需要舍去——为什么？

综上，当△APQ 的面积等于

3

4 ，AP 线段的长度为 3或

3

3 或

2 3

3 +

21

3

小结：本题主要考查我们几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解

一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，图形与几何的逻辑推理以及代数几何

综合能力．第（3）问中需要根据点 Q 的位置分类讨论，此处属于易错点。

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具体解答，供参考：

【解答】解：（1）在等边△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝60°，

由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，

∴∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ．

（2）在等边△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝60°，

由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，

∴∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；

∴BQ＝AP＝AC＝BC，

∵AP＝AC，∠CAP＝90°，

∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，

∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，

∴∠CBD＝45°，

∴∠QBD＝45°，

∴∠CBD＝∠QBD，即 BD 平分∠CBQ，

∴BD⊥CQ 且点 D 是 CQ 的中点，即直线 PB 垂直平分线段 CQ．

（3）①当点 Q 在直线 l 上方时，如图所示，延长 BQ 交 l 于点 E，过点 Q 作 QF⊥l 于点 F，

由题意可得 AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，

∴∠ACP＝∠BCQ，

∴△APC≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，

∵∠CAB＝∠ABC＝60°，

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∴∠BAE＝∠ABE＝30°，

∵AB＝AC＝4，

∴AE＝BE＝ ，

∴∠BEF＝60°，

设 AP＝t，则 BQ＝t，

∴EQ＝ ﹣t，

在 Rt△EFQ 中，QF＝ EQ＝ （ ﹣t），

∴S△APQ＝ AP•QF＝ ，即 •t （ ﹣t）＝ ，

解得 t＝ 或 t＝ ．即 AP 的长为 或 ． ②当点 Q 在直线 l 下方时，如图所示，设 BQ 交 l 于点 E，过点 Q 作 QF⊥l 于点 F，

由题意可得 AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，

∴∠ACP＝∠BCQ，

∴△APC≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，

∵∠CAB＝∠ABC＝60°，

∴∠BAE＝∠ABE＝30°，

∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，

∵AB＝AC＝4，

∴AE＝BE＝ ，

设 AP＝m，则 BQ＝m，

∴EQ＝m﹣ ，

在 Rt△EFQ 中，QF＝ EQ＝ （m﹣ ），

∴S△APQ＝ AP•QF＝ ，即 •m• （m﹣ ）＝ ，

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解得 m＝ （m＝ 负值舍去）．

综上可得，AP 的长为： 或 或 ．

日期：2022/3/7 19:40:31 ；用户： 初高数学；邮 箱：lxl2@xyh.com ；学号： 41218137