1 / 3

（2023-2024 海淀九上期中）★★★☆

26．已知二次函数 y＝

1

2

x

2＋bx＋1．

（1）若 b＝－1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；

（2）若对于任意的 0≤x≤2，都有 y≥－1，求 b 的取值范围．

2 / 3

吴老师图解

（1）x＝1，

1

2

．

思路&图解

1）由题知抛物线的解析式为 y＝

1

2

x

2－x＋1，

2）易求得对称轴为 x＝－

2

b

a

＝－

1

1

2

2

−



＝1，

3）将 x＝1 代入解析式得 y＝

1

2

×1－1＋1＝

1

2

，即函数的最小值为

1

2

．

∴综上所述：对称轴为 x＝1，最小值为

1

2

．

（2）b≥－2．

思路一：顶点轨迹

分析

【1】“定调”

抛物线开口向上，大小固定！无需对开口方向进行分类讨论！

【2】“五大步”

对称轴 x＝－b

顶点（有轨迹） （－b，－

1

2

b

2＋1）→y＝－

1

2

x

2＋1

y

轴交点以及对称点 （0，1），（－2b，1）

x

轴交点 ——

“支撑点” （0，1）

【3】综合分析

如图，二次函数图像的顶点在轨迹 y＝－

1

2

x

2＋1（一个新抛物线）上运动，且开口向上

大小固定，过定点（0，1），故只需保证原二次函数图像在 0≤x≤2 之间的部分，一直在直

线 y＝－1 的上方即可（备注：可以在 y＝－1 上）！

x

y

×

y = 1

O

3 / 3

思路&图解

如图，

1）易求得抛物线的顶点为（－b，－

1

2

b

2＋1），故顶点在 y＝－

1

2

x

2＋1 上，

2）点 M（2，1）恰好在 y＝－

1

2

x

2＋1 上（提示：任意 0≤x≤2，都有 y≥－1），

3）由题知抛物线的顶点应在点 M 上或点 M 的左侧，即－b≤2，

∴b≥－2．

备注：要是顶点的轨迹不过点（2，－1）呢？本题还是比较特殊的！

思路二：区间最值

思路&图解

1）由题知，当 0≤x≤2 时，ymin≥－1，

2）如图，

①若 2≤－b（b≤－2），则当 x＝2 时，ymin＝2b＋3，

由题知 2b＋3≥－1，解得 b≥－2，

∴b＝－2，

②若－b≤0（b≥0），则当 x＝0 时，ymin＝1，显然，1＞－1，

∴b≥0 恒成立，

③若 0＜－b＜2（－2＜b＜0），则当 x＝－b 时，ymin＝－

1

2

b

2＋1，

令－

1

2

b

2＋1≥－1，解得－2≤b≤2，

∴－2＜b＜0．

∴综上所述：b≥－2．

x

y

y = 1

O M

x= b

0

2

x= b

0

2

x= b

0

2

1 / 4

（2023-2024 海淀九上期中）★★★

27．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上（BD＜AD），过点 D 作 D

E⊥BC 于点 E，连接 AE，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90°，得到线段 EF，连接 DF．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：FD＝AB；

（3）DF 交 BC 于点 G，用等式表示线段 CE 和 FG 的数量关系，并证明．

备用图

E

A

B C

D

E

A

B C

D

2 / 4

吴老师图解

（1）如图.

补全图形

（2）

思路&图解

如图，易证△BEA≌△DEF（SAS，提示：手拉手模型），故 FD＝AB.

（3）FG＝ 2

CE.

分析

如左图，补全图形！显然，有 FG＝ 2

CE，那就想办法构造等腰直喽（或 45°）~

如右图，利用（2）的手拉手全等，我们可以进一步得到 FD⊥AB，从而得出∠EDG＝∠

EGD＝∠CGF＝45°...

F

E

A

B C

D

F

E

A

B C

D

G

F

E

A

B C

D

45°

G

F

E

A

B C

D

3 / 4

思路&图解

法 1：手拉手（提示：△DEG 和△AEF 是等腰直）

如图，作 DH⊥AC，

1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，

2）由（2）知∠1＝∠2，

3）△DEA≌△GEF（ASA）

∴FG＝AD＝ 2

CE.

法 2：转化构造等腰直

如图，取 CE＝CH，

1）△ECH 是等腰直，

2）EH∥AB，

3）∠1＝∠2＝∠3（提示：90°－∠AEC），

4）由（2）知∠6＝∠5＝∠4，

5）△EFG≌△AEH（ASA），

∴FG＝EH＝ 2

CE.

法 3：三垂直（需要提前证【分析】中的 45°）

如图，作 FH⊥BC，交延长线于点 H，

1）由【分析】知∠1＝45°，

2）△ACE≌△EHF（三垂直模型），

∴FG＝ 2

FH＝ 2

CE.

H

G

F

E

A

B C

D

1

2

H

G

F

E

A

B C

D

6

5

4

3

2

1

H

G

F

E

A

B C

D

1

45°

H

G

F

E

A

C

B

D

H

G

F

E

A

C

B

D

4 / 4

思路&图解

法 4：转化构造等腰直（需要提前证【分析】中的 45°）

如图，作 DH⊥AC，

1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，

2）由【分析】知∠1＝∠2＝45°＝∠B，即 DG＝DB，

3）由（2）知 AB＝FD，则 AD＝FG（提示：等量减等量），

∴FG＝AD＝ 2

CE.

备注：此法与【法 1】其实是一样的，就看同学们在考场上的第一反应是啥——是延续

手拉手的结论？还是上来就奔着结论去构造全等三角形？

H

G

F

E

A

B C

D

2

1

H

G

F

E

A

B C

D

1 / 3

（2023-2024 海淀九上期中——转称点）★★★☆

28．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 不与原点重合．对于点 P 给出如下定义：点 P

关于点 M 的对称点为 P'，点 P'关于直线 OM 的对称点为 Q，称点 Q 是点 P 关于点 M 的“转称

点”．

（1）如图，已知点 M（t，0），P（t＋1，1），点 Q 是点 P 关于点 M 的“转称点”．

①当 t＝2 时，在图中画出点 Q 的位置，并直接写出点 Q 的坐标；

②PQ 的长度是否与 t 有关？若无关，求 PQ 的长；若有关，说明理由；

（2）已知点 A（3，4），△ABC 是边长为 2 的等边三角形（点 A，B，C 按逆时针方向排

列），点 N 是点 B 关于点 C 的“转称点”，在△ABC 绕点 A 旋转的过程中，当 BN 最

大时，直接写出此时 OB 的长．

备用图

x

y

P

O M x

y

O

2 / 3

吴老师图解

（1）①（1，1）.

思路&图解

如图，Q（1，1）.

（1）②无关，PQ＝2.

思路&图解

如图，P（t＋1，1），

1）P'（t－1，－1），

2）Q（t－1，1），

∴PQ＝xP－xQ＝t＋1－（t－1）＝2，是

个定值，与 t 的取值无关.

（2）

22

±1.

规律总结

如图，先随意画一个△ABC，根据定义作出点 N，发现：

1）△BB'N 是个斜边长为 4 的直角三角形（提示：中位线得平行），

2）点 N 与点 B'重合时，BN 取到最大值（提示：斜大于直），

3）点 N 和点 B'重合，只能重合于对称轴 OC 上，

4）点 B'在 OC 上，意味着 O，B，C 三点共线（提示：点 B'和点 B 关于点 C 对称），

综上，△ABC 在旋转的过程中，只要能保证 O，B，C 三点共线，就能使 BN 取到最大

值，而这样的位置应该有 2 个——①点 B 在 OC 上，②点 C 在 OB 上，

最后，同学们动动小手，画个尽量标准的图就可以去计算求值啦~

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

N

B'

C

A

O

B

x

y

D

N

B'

C

A

O

B

3 / 3

思路&图解

临界状态 1：

如图，点 B 在 OC 上，作 AH⊥BC，

1）在 Rt△ABH 中，BH＝1，AH＝ 3 ，

2）在 Rt△AOH 中，AO＝5，勾股定理得 OH＝ 22 ，

∴OB＝ 22 －1.

临界状态 2：

如图，点 C 在 OB 上，同理得 OB＝ 22

＋1.

∴综上所述：OB＝ 22

±1.

x

y

5

3

30°

1

H

C

A

O

B

x

y

1

3

5

1

H

C

A

O

B