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（2023 大兴一模）★★★
27．在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，点 D 为射线 CB 上一动点（不与 B，C 重合），连
接 AD，点 E 为 AB 延长线上一点，且 DE＝AD，作点 E 关于射线 CB 的对称点 F，连接 BF，D
F．
（1）如图 1，当点 D 在线段 CB 上时，
①依题意补全图形，求证：∠DAB＝∠DFB；
②用等式表示线段 BD，BF，BC 之间的数量关系，并证明；
（2）如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，请直接用等式表示线段 BD，BF，BC 之间
的数量关系．
图 1 图 2
E
A
C D B
E
A
C B D
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吴老师图解
（1）①
思路&图解
补全图形 图 1
如图 1，
1）由
DE AD =
知
= 1 2 ，
2）由对称知
= 2 3
（提示：证明“红蓝三角形”全等），
= 1 3
，即
= DAB DFB .
（1）②
2
2
BC BD BF = + .
分析
由①知
DA DF =
，那它两垂直吗？
设
=1
，则
= = − 2 3 45 ，且由
对称知
= = 4 5 45 ，
= − = BDF 45 1 ，
= ADF 90
，即
DF DA.
思路&图解
法 1：三垂直模型
如图，作
FH CB，
1）根据【分析】，易证
ACD DHF
（三垂直模型），
2）根据【分析】，知
BHF
是等腰直角三角形，
2
2
BC AC DH BD BF = = = + .
F
E
A
C D B
1
2
3
F
E
A
C D B
5
4
3
1 2
α
45°
F
E
A
C D B
H
F
E
A
C D B H
F
E
A
C D B
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思路&图解
法 2：
如图，取
CG CD = ，连接
DG ，
1）
CDG
是等腰直角三角形，
2）根据【分析】，易证
DBF AGD
（AAS，提示：
135 135 =
），
2
2
BC AC BD BF = = + .
法 3：手拉手·相似
如图，连接
AF ，
1）根据【分析】， ADF
是等腰直角三角形，
2）易证
ACD ABF ，且相似比为
1: 2 ，
2
2
BC BD BF = + .
法 4：
如图，作
DG BC ，
1）
DBG
是等腰直角三角形，
2）根据【分析】，易证
DBF DGA
（SAS），
2 2 BC BD BF = +
，即
2
2
BC BD BF = + .
G F
E
A
C D B
G F
E
A
C D B
F
E
A
C D B
F
E
A
C D B
G
F
E
A
C D B
G
F
E
A
C D B
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思路&图解
法 5：
如图，作
DG CB，交
FB
的延长线于点
G ，
1）根据【分析】，易证
ADB FDG
（ASA），
2）
BDG
是等腰直角三角形，
2 2 BC AB FG BD BF = = = +
，即
2
2
BC BD BF = + .
法 6：
如图，作
DH AE ，
1）
BF BE = ，
2）
BDH
是等腰直角三角形，
3）
AE AB BE EH =+= 2 ，
即
2
2 2
2
BC BE BD BE
+ = +
，
2
2
BC BD BF = + .
（2）
BF BC BD = + 2( ).
分析
补全图形，如图，
本题与（1）②思路一样，还是要先得到
AD DF
（提示：设
= BAD
），再利用
它结合各种“模型”与“套路”来解决…
（1）中的 6 个方法都可以在本题中应
用，适当调整证明过程即可！
下面吴老师随便举个例子：
G
F
E
A
C D B
G
F
E
A
C D B
H F
E
A
C D B
F
E
A
C B D
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思路&图解
如图，作
FH CD，
1）根据【分析】知
AD DF = ， AD DF ，
2）易证
ACD DHF ，
3）根据对称知
BHF
是等腰直角三角形（提示：
= FBH 45
），
BF FH CD BC BD = = = + 2 2 2( ).
备注：其余解法吴老师不再给出，有兴趣的同学可以试试…
H
F
E
A
C B D H
F
E
A
C B D
