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《线性代数》

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课时一 行列式（一）

考点 重要程度 分值 常见题型

1) 逆序数 ★★★ 0-3 选择、填空

2) 行列式性质及计算 必考 6-15 大题

1、逆序数

题 1：排列2 3 6 1 4 5 的逆序数为

解：排列2 3 6 1 4 5

逆序0 0 0 3 1 1

逆序数t2 3 6 1 4 5  0 0 0 3 1 1  5

题 2：在五阶行列式中，项 12 31 54 43 25 a a a a a 的符号应取

解：行排列1 3 5 4 2 ，逆序数 1

t  0  0  0 1 3  4

列排列2 1 4 3 5 ，逆序数 2

t  0 1 0 1 0  2

1 2

t  t  t  4 2  6为偶， 

6 1 1，故应取正号

2、行列式性质及计算

①互换行（列），变号

例：

3 1 4 2 2 2

2 2 2 = 3 1 4

1 2 3 1 2 3  ②提公因子

例：

3 1 4 3 1 4

2 2 2 =2 1 1 1

1 2 3 1 2 3

③倍加

例：

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 11 22 12 23 13

31 32 33 31 32 33

2 2 2

a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a    

④拆分

例：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 =

a b d c a b c a d c

a b d c a b c a d c

a b d c a b c a d c



 



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⑤对应成比例，值为零

例：

3 1 4

2 4 6 =0

1 2 3 ，例：

3 1 4

0 0 0 =0

1 2 3

题 1：计算

1 2

2 1

解：

1 2

1 1 2 2 3

2 1      题 2：计算

1 1 1

2 1 0

2 1 1

D





解：  

2 1

1 1 1 1 1 1

2

2 1 0 2 2 1 1 1 2 0 1 2

2 1 1 2 1 1

r r

D

 



       

 

 

3 1 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

0 3 2 0 3 2 0 3 2 =1 3 1 = 3

2 1 1 0 3 3 0 0 1

r r r r   

 

       

  题 3：计算

3 1 1 2

5 1 3 4

2 0 1 1

1 5 3 3

D



 





 解：

1 2 2 1 2 3

4 1

1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2

1 5 3 4 0 8 4 6 0 2 1 1

0 2 1 1 5 0 2 1 1 0 8 4 6

5 1 3 3 0 16 2 7 0 16 2 7

c c r r r r

D

r r           

 

    

   

3 2 3 4 3

4 2 4

1 3 1 2

1 3 1 2 1 3 1 2

0 2 1 1

4 0 2 1 1 2 0 2 1 1 1 2

2 5 10 0 0 4 5

8 0 0 8 10 5 0 0 4 5

1

0 0 10 15 0 0 2 3 0 0 0

2

r r r r r

r r r 

 

     

 

   

 

1

10 1 2 4 40

2      

上三角行列式公式：

11 12 13

22 23 11 22 33

33 0

0 0

a a a

a a a a a

a 

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3

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题 4：计算

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

D 解：

3 1 2 3 4 2 1

1

4 1

3 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 0 2 0 0

6 6 6 2 2 2 48

1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 0 0 2 0

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 0 0 0 2

r r r r r r

D

r r

r r

   

      



题 5：箭型

1 2 3 4

2 2 0 0

3 0 3 0

4 0 0 4

Dn 解：

1 2 1 3 1 4

1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 3 4 8 2 3 4

2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0

3 0 3 0 3 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3 0

4 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 4 0 0 0 4

n c c c c c c

D

  

  



 8 2  3 4  192

课时一 练习题

1.排列3 6 2 5 1 4 的逆序数为

2.四阶行列式 13 32 24 41 a a a a 的符号为

3.三阶方阵 A按列分块为 A  1

,2

,3  ，且 A  5，又设 B  1  22

,31  43

,2  ，则 B 

4.计算下列行列式的值

（1）

1 1 2

5 1 4

3 1 5

（2）

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

2 2 3 4

 （3）

2 1 1

1 2 1

1 1 2

Dn  



    

（4）

1 1 1 1

1 2

1 3

1

Dn n  

 

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4

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课时二 行列式（二）

1、行列式展开

题 1. 1 3 2

2 4 1

3 1 2

D



 ,求 11 23 11 23 M ,M ,A , A

解 ： 11 23

4 1 1 3

4 2 1 1 7 1 1-3 3 8

1 2 3 1

M       M      

 

2 3 1 1

11 11 23 23 A ( 1) M 7 A 1 M 8

       题 2：用行列式展开计算

1 2 3

2 1 1

1 3 2

D 解：按第一行展开

1 1 1 2 1 3

1 2 3

1 1 2 1 2 1

2 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 6 15 8

3 2 1 2 1 3

1 3 2

D

                 若按第二列展开： 12 22 32

1 2 3

2 1 1 3 1 3

2 1 1 2 3 2 3 8

1 2 1 2 2 1

1 3 2

D   A  A  A     题 3. 2 4 1 3

1 3 1 3

1 1 0 5

3 5 2 1   





 D 求① 31 32 33 34 3A 5A  2A  A ② A11  A12  A13  A14 ③ M11  M21  M31  M41

考点 重要程度 分值 常见题型

1.行列式展开 ★★★★ 4  6 填空，大题

2.范德蒙行列式 ★★★ 0  6 大题

 

 

1 1 2 2

1 1 2 2

1,2,3

1,2,3

i i i i in in

j j j j nj nj

D a A a A a A i n

D a A a A a A i n      

     





1) 余子式记作Mij ：去掉 ij a 所在的行与列 代数余子式  1

i j Aij Mij   

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解：① 31 32 33 34 3A 5A  2A  A  0

② 11 12 13 14 11 12 13 14 A  A  A  A  1 A  1 A  1 A  1 A

2 1 2 3 2

3 1

4 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 5 0 0 1 6 0 4 2 4 2 0 2 1 2

2

-1 3 1 3 0 4 2 4 0 0 1 6 0 0 1 6

2 4 1 3 2 0 6 3 5 0 6 3 5 0 6 3 5

r r r r r

r r

r r      

  

    

            

 

4 2

1 1 1 1

3 0 2 1 2

2 2 1 2 1 1 4

0 0 1 6

0 0 0 1

r  r         

  ③        

1 1 2 1 3 1 4 1

11 21 31 41 11 21 31 41 M M M M 1 A 1 A 1 A 1 A

               

2 1 3 2

3 1

4 2

4 1

1 5 2 1

1 5 2 1 1 5 2 1

2 0 4 2 4

1 1 0 5 0 4 2 4

0 0 3 6 0

9

1 3 1 3 0 8 1 2

4 7

1 4 1 3 0 9 1 2 0 0 7

2

r r r r

r r

r r

r r 

 

   

   

   

 



      

2、范德蒙行列式

题 1.求 2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

a b c d

D

a b c d

a b c d  的值

解：        2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

a b c d

D d c d b d a c b c a b a

a b c d

a b c d        

定理：某行(列)元素与另一行(列)的代数余子式乘积之和等于0

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题 2：求 2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

D  的值

解：        2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

1 2 3 4

4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1

1 2 3 4

1 2 3 4

D         1 231 21 12

课时二 练习题

1.设

1 2 3 1

1 2 4 8

1 3 9 27

1 4 16 64

D  ，求 A11  A12  A13  A14

2.计算行列式

1 0 1 0

0 2 0 2

1 1 3 0

2 3 0 0

D  的值，并计算 21 31 41 2M  M  3M

3.求

1 1 1 1

1 2 3 4

1 4 9 16

1 8 27 64

D  的值

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课时三 矩阵

考点 重要程度 分值 常见题型

1.矩阵的三则运算 必考 3 ~ 8 填空、大题

2. 转置矩阵、伴随矩阵

单位矩阵、逆矩阵

★★★ 6 ~ 8 选择、填空、大题

3.矩阵的行列式计算 必考 3 ~ 5 选择、填空

1、矩阵的三则运算

行列式 矩阵

形式

1 2 3

1 3 4

3 1 2

D 

1 2 3

1 3 4

3 1 2

A

 

  

 

1 2 3 =

1 3 4

B

 

 

 

1 2

1 3

3 1

C

 

  

 

区别

1) 行列式是一个数，矩阵是一个表

2) 行列式是n n阶，矩阵是nm阶（n 和m 可以不相等也可以相等）

3)  A 是把行列式某行（列）乘以 ；A是把矩阵里每个元素都乘以

4) 行列式加减是数的运算；矩阵的加减只能是同型矩阵，对应元素的加减

5) 矩阵如果是方阵（n  m ）的时，有行列式值

题 1：

1 1 1 1 1 1

1 2 3 , 1 1 1

1 1 1 1 1 1

A B

   

     

   

   

求 A B, A B,2A

解：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2

1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2

A B

          

               

       

       

          

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 3 1 0 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

A B

          

               

       

       

          

1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 4 6

1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

A

        

            

     

     

        

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 4 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1

A       

矩阵的加减

1. 同型矩阵（同行同列的矩阵）

2. 对应元素相加减

矩阵的数乘

每个元素均要乘以k

行列式的数乘

某行或者某列乘以k

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  

2 2 2 2 2 AB  BA (A B)  A  2AB  B A  B  A B A B

题 2：

2 1 0

1 1 3

A

    

  ，

1 3

0 1

1 3

B

 

   

   ，求 AB，BA

解：

1 3

2 1 0 2 1 1 0 0 1 2 3 1 1 0 3 2 5

0 1

1 1 3 1 1 1 0 3 1 1 3 1 1 3 3 4 5

1 3

AB

 

                            

                  

  

 

      

       

1 3 1 2 3 1 1 1 3 1 1 0 3 3 5 2 9

2 1 0

0 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 3 1 1 3

1 1 3

1 3 1 2 3 1 1 1 3 1 1 0 3 3 1 4 9

BA

                

                          

     

       

                     

2.转置矩阵、伴随矩阵、单位矩阵、逆矩阵

1）转置矩阵 A

。（行变列，列变行。）

题：设

1 1

2 , 0

3 1

 

   

     

   

    ，求， ,

 

 

1

1 2 3 0 1 1 2 0 3 1 4

1

 



 

         

 

 

 

1 1 1 1 0 1 1 1 0 1

2 1 0 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2

3 3 1 3 0 3 1 3 0 3





        

           

     

     

        

  

  

2）伴随矩阵

11 21 1

* 12 22 2

1 2

n

n

n n nn A A A

A A A

A

A A A

 

  

  



    

3）单位矩阵 E : 二阶

1 0

0 1

E

    

 

三阶

1 0 0

0 1 0 1

0 0 1

E E

 

   

 

EA  AE  A

4）逆矩阵 1 A

 ： AB  BA  E 则 B 为 A得逆矩阵，记 1 B A

  ； 即：

1 AA E

 公式：

*

1 A

A

A

  ， 可逆得充要条件 A  0

前行乘后列

Amn Bns Cms  

例：

1 2 3 1 1 3

1 3 4 2 3 1

3 1 2 3 4 2

A A



   

     

   

   

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3.矩阵的行列式计算

题 1.设 A为三阶矩阵，已知 A  2 .求 1 3A , A , A

 解：

3 3A  3 A  272  54

1 1 1

2

A

A

  

3 1 2 A A 2 4

    题 2.设 A,B 都是n 阶矩阵，且 A  3, B  2 ,则

1 1

3

A B

 解：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3

3 3 3 3 3 2 6

n n n

n n A B A B A B A

B

                    

    

  

     

题 3.设 A为n 阶矩阵，且 A  2 ,则

1 1

4

A A

       

 

解：

1 1 1 1 1 1 4 4 2

4

A A A A A A A

                 

       

1 1 1 1 2 2 2 1 2

2

n n n n A

A

            课时三 练习题

1. 设

1 0 1 1 1 1

2 3 0 , 0 1 0

0 1 2 1 0 1

A B

     

       

   

   

求 AB  BA

2. 设 A,B 均为 n 阶矩阵， A  2, B  3 ,则 * 1 2A B

 

3. 设 A为 n 阶矩阵， * A 是A的伴随矩阵，则 * A A  ___

4. 若 A,B 是两个三阶矩阵，且 1 2 A 1, B 2, 2(A B )      求

1）转置矩阵性质： A



①(AB) B A

    ②(A ) A

   ③(kA) kA

   ④(A B) A B

     

2）伴随矩阵性质： * A

①

1 *

n A A

  ② * * * (AB)  B A ③ * 1 A A A

  ( A可逆） ④ * 1 * ( )

n kA k A

 

3）逆矩阵性质：

1 A

 ① 1 1 (A ) A

   ② 1 1 1 (kA) A

k

   ③ 1 1 1 (AB) B A

    ④ 1 1 (A ) (A )      ⑤ 1 1 ( ) ( )

n n A A

  

4）矩阵的行列式（A 为方阵）

① A A

  ② n kA  k A ③ AB  A B ④ 1 1 A

A

 

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课时四 初等行变换

考点 重要程度 分值 常见题型

3) 初等行变换 必考

不单独考 大题 4) 求逆矩阵 6-10

5) 矩阵的秩 ★★★ 3-6 选择、填空

1、初等行变换 ①换行 ②倍乘 ③倍加

3

1 2 1

2

2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4

1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2

4 6 2 2 4 4 6 2 2 4 2 3 1 1 2

3 6 9 7 9 3 6 9 7 9 3 6 9 7 9

r

r r A



         

          

                    

     

        

2

2 3

3 1 3 2

4 1 4 2 1

2

2 5

3 3

1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4

0 2 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

0 5 5 3 6 0 0 0 2 6 0 0 0 2 6

0 3 3 4 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0

r

r r

r r r r

r r r r 

 

          

              

          

     

        

1 2 2 3

3 1

2

1 0 1 0 4 1 0 1 0 4

0 1 1 1 0 0 1 1 0 3

0 0 0 1 3 0 0 0 1 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

r r r r

r       

         

     

   

   

题 1：将矩阵

2 3 1 4

1 1 3 3

3 2 4 1

1 0 2 1

A

 

   



   

化为最简形矩阵

解：

2 1

1 2 3 1

4 1 2

3

2 3 1 4 1 1 3 3 1 1 3 3

1 1 3 3 2 3 1 4 0 5 5 10

3 2 4 1 3 2 4 1 0 5 5 10

1 0 2 1 1 0 2 1 0 1 1 2

r r

r r r r

r r A

  

          

        

               

     

           

换行 倍乘

阶梯型

①如果有零行，零行全在矩阵最下面 （不一定有零行）

②每个阶梯首项即为主元，主元依次往右

③阶梯型不是唯一的

最简形

①主元全为 1

②主元所在的列其余元素全为 0

③最简型是唯一的

倍加

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2 4 3 2

4 3 5 1 1 3 3 1 1 3 3

0 1 1 2 0 1 1 2

0 5 5 10 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

r r r r

r r  

       

           

    

   

2 1 2 1 1 3 3 1 0 2 1

0 1 1 2 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

r r r       

         

   

   

2、求逆矩阵

题 1：若

1 1 1

2 1 0

1 1 0

A

  

  

  

求 1 A

解： 

2 1

3 1 2

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0 0 1 2 2 1 0

1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1

r r

r r A E



      

       

   

      

 

  

 

3 2 1 2 2

1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0

0 0 3 3 2 1 0 0 3 3 2 1

r  r r r      

         

   

       

 

 

 

 

1 3

2

2 3 3 1

3 1

2 1

3 3

1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0

3 3 3 3

1 2 1 2

0 1 0 0 0 1 0 0

3 3 3 3

0 0 3 3 2 1 2 1

0 0 1 1

3 3

r r

r

r r r E A



 

     

         

           

   

   

 

  





1

1 1

0

3 3

1 2

0

3 3

2 1

1

3 3

A

  

  



 

 

题 2：若

1 3

2 2

A

    

  求 1 A

解：

1 3

4

2 2

A   

1

1 3

1 2 3 2 4

4 2 1 1 1

2 4

A

   

                

  

 

口诀：主对调，次反号，除以值

a b

A

c d  ， 1 1 d b

A

ad bc c a

          

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题 3：设

4 2 3

1 1 0

1 2 3

A

 

  

  ，且 AX  A  2X ，求 X

解：AX  A  2X  AX  2X  A      

1 1 A 2E A 2E X A 2E A

        

1 X A 2E A

     A 2E X  A

2 2 3

2 1 1 0

1 2 1

A E

 

    

  

 

2 2 3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0

2 1 1 0 0 1 0 2 2 3 1 0 0 0 4 3 1 2 0

1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1

A E E

       

           

     

     

       

  

   

  

1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 5 3

0 4 3 1 2 0 0 0 1 1 6 4 0 0 1 1 6 4

        

          

     

     

          

  

  

  

1 0 0 1 4 3

0 1 0 1 5 3

0 0 1 1 6 4

   

    

  







 

1 1 4 3

2 1 5 3

1 6 4

A E

    

      

 

 

 

1

1 4 3 4 2 3 3 8 6

2 1 5 3 1 1 0 2 9 6

1 6 4 1 2 3 2 12 9

X A E A

         

            

    

    

       

3、矩阵的秩

题 1：已知矩阵

1 1 1 3

1 2 1 1

2 3 0 4

A

  

  

  ，求 A 的秩

解：

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 2 1 1 0 1 2 2 0 1 2 2

2 3 0 4 0 1 2 2 0 0 0 0

A

        

          

     

     

      

即 R A  2

题 2：设三阶矩阵

1 1

1 1

1 1

x

A x

x

 

  

  ，试求矩阵 A的秩

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解：  

 

 

  

2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1

x x x x

A x x x x x x

x x x x x x

       

                 

       

   

             

①当 x  1且 x  2 时 R A  3；

②当 x 1时， R A 1；

③当 x  2时， R A  2

课时四 练习题

1.将矩阵

2 3 1 3

1 2 0 2

3 2 8 3

2 3 7 4

A

  

  





  

化为最简形

2.若

2 3

1 2

A

    

  求 1 A



3.若

1 0 1

2 3 0

0 1 2

A

  

   

 

求 1 A



4. 1 0 1

0 2 0

1 0 1

A

 

  

 

且 AB  E  A B ,求 B

5.设

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

  

   

  

, 1 0

1 3

2 1

B

 

   

 

, 4X  B  2AX ,求 X

6.设

1 2 1 1

3 2 1

5 6 3

A 



  

   

 

,已知 R A  2 ,求 与  的值

秩的性质

① Amn ， R A  minm,n

② A 为方阵， R A  n  A  0 ， R A  n  A  0

③      

T R A  R A  R kA ，k  0

④ R AB  R A ， R AB  R B

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课时五 向量

考点 重要程度 分值 常见题型

1.向量组 必考 6 15 大题

2.线性相关

1.向量组

a 1,1

  二维向量 b 1,2,3

  三维向量 c 2,0,1,4

  四维向量

a1 1, 2, 1 a2 3,2,0  a3 3,6,8 

        1 2 3 

1 3 3

, , 2 2 6

1 0 8

A a a a

 

   

  

题 1.1 1,0,0 ,2 0,1,0 ,3  1,0,1 , 0,5, 9 

          ，用 1 2 3  , , 线性表示  ？

解：设 1 1 2 2 3 3 k   k   k   

1 2 3

1 0 1 0

0 1 0 5

0 0 1 9

k k k

        

          

       

       

        

1 2 3  

1 2 3

1 2 3

1 0 1 0

0 1 0 5

0 0 1 9

k k k

k k k

k k k

       



      

       



解得

1

2 1 2 3

3

9

5 -9 5 -9

9

k

k

k

   

  



    



  

2、线性相关

①存在一组不全为0 的数 1 2

, , m k k k ，使 1 1 2 2 0 m m k a  k a  k a  ，则称向量组 1 2

: , , A m a a a 线

性相关，否则线性无关

②若 Ra1

,a2

,am   m ，则向量线性相关；若 Ra1

,a2

,am   m ，则向量线性无关

③极大无关组

例：三维坐标中a1 1,0,0 ,a2 0,1,0 ,a3 0,0,1

     任给一个三维向量a4 2,3,6

  都可以用 1 a ， 2 a ， 3 a 表示 4 1 2 3 a  2a  3a  6a

所以任意一组三维向量中 1 2 3

, , m a a a a 的一个极大无关组是 1 2 3 a ,a ,a

向量组

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例：

1 0 3 4

0 1 2 1

0 0 0 0

0 0 0 0

A

 

  

 

例：

1 0 2 0 4

0 1 2 0 3

0 0 0 1 8

0 0 0 0 0

A

 

  



 

题 1.已知 1 1,0,1 , 2  1, 2,2 , 3 1,2,4 

T T T

       ，判断 A  1

,2

,3  是否线性相关

解： 











  











   











 





 0 0 0

0 2 2

1 1 1

0 3 3

0 2 2

1 1 1

1 2 4

0 2 2

1 1 1

, ,

3 2

3 1 2

3

1 2 3

r r

r r   

R A  2,  R A  2  向量个数 线性相关

题 2.求向量组 1 -2,1,0,3 , 2 1, 3, 2,4  , 3 3,0,2, 1 , 4 2, 2, 4,6 

T T T

   

        的秩及一个

极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。

解：  1 2 3 4 

2 1 3 2 1 3 0 2 1 3 0 2

1 3 0 2 2 1 3 2 0 5 3 2

, , , 0 2 2 4 0 2 2 4 0 2 2 4

3 4 1 6 3 4 1 6 0 13 1 12

A    

          

          

               

     

        

1 3 0 2 1 0 3 4 1 0 3 4 1 0 0 1

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1

0 5 3 2 0 0 8 8 0 0 1 1 0 0 1 1

0 13 1 12 0 0 14 14 0 0 0 0 0 0 0 0

         

       

           

         

       

          

① R A  3

②极大无关组为 1 2 3  , ,

③4 1 2 3

秩 R A  2

极大无关组： 1 2 a ,a

3 1 2 a  3a  2a 4 1 2 a  4a  a

秩 R A  3

极大无关组： 1 2 4 a ,a ,a

3 1 2 4

5 1 2 4

2 2 0

4 3 8

a a a a

a a a a       

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题 3.设 1 1 2 2 2 3 3 3 1 b  a  a ,b  a  a ,b  a  a ，且向量 1 2 3 a ,a ,a 线性无关，证明 1 2 3 b ,b ,b 线性无关

证明：设存在一组不全为0 的 1 2 3 k , k , k

使 1 1 2 2 3 3 k b  k b  k b  0

     

     

1 1 2 2 2 3 3 3 1

1 3 1 1 2 2 2 3 3

0

0

k a a k a a k a a

k k a k k a k k a

     

     因为 1 2 3 a ,a ,a 线性无关

故

1 3 1

1 2 2

2 3 3

0 0

0 0

0 0

k k k

k k k

k k k

    

 

     

      

矛盾

故 1 2 3 b ,b ,b 线性无关

课时五 练习题

1. 1 1,1,0 , 2 1,0,1 , 3 0,1,0  , 2,2,1 

T T T T

        ，用 1 2 3  , , 线性表示 

2.已知 1 1,1, 2,2 , 2 1,2,1,3 , 3 1, 2,4,0  , 4 1,0,3,1 

T T T T

         ，判断 A  1

,2

,3

,4 

是否线性相关

3.设有向量组，        

3 1 2 4  1, 2, 1, 2 , a 2,5, 3, 3 , a 1, 1,1, 2 , a 4, 3,2,1 ,                

a5 6,11, 9, 9

    求此向量组的秩及一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示。

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课时六 解方程组

考点 重要程度 分值 常见题型

1.齐次线性方程组 必考 6~12 大题 2.非齐次线性方程组

1.齐次线性方程组 Ax  0

题型 1：求下面齐次方程组得通解。

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 6 4 0

2 2 0

2 4 6 2 0

2 7 3 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    

    

     

    解：写出系数矩阵 A ，并进行初等行变换，直至转化为最简形矩阵。

3 6 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 3 6 4 1 0 0 10 4

2 4 6 2 2 4 6 2 0 0 10 4

1 2 7 3 1 2 7 3 0 0 5 2

A

           

          

                   

     

          

1

1 2 2 1 1 2 0

1 2 2 1 5

2

0 0 5 2 0 0 1 2

5 0 0 1

0 0 0 0 5

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

 

     

     

 

       

         

   

 

   

 

   

   

 

R(A)  2  4,方程组有无穷多解，且有4  2  2个基础解系

得：

1 2 4 1 2 4

3 4 3 4

1 1

2 0 =2 +

5 5

2 2

0 =

5 5

x x x x x x

x x x x

      

  

   

 

令： 2 4 1 3 x 1, x  0  x  2, x  0

得基础解系： 1  (2,1,0,0) 

2 4 1 3

1 2

0, 1 , 5 5

x  x   x  x 得基础解系： 2

1 2

( ,0, ,1) 5 5 

 所以齐次方程通解为： 1 1 2 2 1 2

1 2

(2,1,0,0) ( ,0, ,1) 5 5

x k k  k k

     

判定：系数矩阵 A . R(A)  n方程组只有零解

R(A)  n 方程组有无穷多解且有n  k(A)个基础解系

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2.非齐次线性方程组 Ax  

题型 2：非齐次线性方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1

2 4

4 3 6

2 4 4 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    

    

     

      ，问方程组是否有无穷解，如有，用其导

出组基础解系表示同解。

解：写出增广矩阵(A: )，并进行初等行变换。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 4 0 1 3 3 2

( ) 4 3 1 1 6 0 1 3 3 2

1 2 4 4 1 0 1 3 3 2

A 

       

    

        

   

         

 

 



 

 

1 1 1 1 1 1 0 2 2 3

0 1 3 3 2 0 1 3 3 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

             

   

   

 

 

 

 

R(A)  2,R(A: )  2,R(A)  R(A: )  2  4 所以方程组有无穷解。

①齐次通解（如题 1）

由上得

1 3 4

2 3 4

2 2 0

3 3 0

x x x

x x x

   



   则

1 3 4

2 3 4

2 2

3 3

x x x

x x x

   



  

令： 3 4 x 1, x  0得 2 1 x  3, x  2 ，基础解系 1  ( 2,3,1,0)  令： 3 4 x  0, x 1得 2 1 x  3, x  2 ，基础解系 2  (-2,3,0,1) 所以：齐次 Ax  0通解为 1 2 x k ( 2,3,1,0) k ( 2,3,0,1)      ②非齐次特解

由上得 x (3, 2,0,0)  所以：非齐次方程通解 1 2 X k ( 2,3,1,0) k ( 2,3,0,1) (3, 2,0,0)         

判定：增广矩阵(A: )

R(A)  R(A: )  n 方程组有唯一解

R(A)  R(A: )  n 方程组有无穷解

R(A)  R(A: ) 方程组无解

非其次方程通解 X

X (齐次通解+非齐次特解）

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题型 3：设，有线性方程

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(1 ) 0

(1 ) 3

(1 )

x x x

x x x

x x x





 

    



    



    问 取何值时次方程组（1）有唯一解，（2）无

解，（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

解：对增广矩阵(A) 作初等行变换把它变成行阶梯形矩阵，有

1 1 1 0 1 1 1

( ) 1 1 1 3 1 1 1 3

1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1

0 3 0 3

0 (2 ) (1 ) 0 0 (3 ) (1 )(3 )

A

  

  

  

   

     

        

     

       

   

     

     

         

   

            

 

  

 

 

 

 

（1）有唯一解 R(A)  R(A)  3 则(3 )  0    0且  3

（2）无解 R(A)  R(A)

(3 ) 0

0

(1 )(3 ) 0

 



 

  

  

   

（3）有无穷多解 R(A)  R(A)  3

(3 ) 0

3

(1 )(3 ) 0

 



 

  

   

   当  3时，

1 1 2 3 1 0 1 1

( ) 0 3 3 6 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0

A 

       

        

   

   

 

  

 

齐通：

1 3

2 3

0

0

x x

x x

  



  令 3 1 2 x 1,则x 1, x 1 所以齐次通解为 x k(1,1,1) 非特：由上可得： x ( 1, 2,0)   所以齐次方程通解 X k(1,1,1) ( 1, 2,0)      题型 4：已知线性方程组

1 2

1 3

1 2 3

1

1

x x

x x

x ax x b

  



  



    （1）常数a,b取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解。

（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。

解：

1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

( ) 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0

1 1 0 1 1 1 0 0 2 1

A

a b a b a b



     

      

 

    

   

     

         

  

   

  

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①无解 R(A)  R(A)

2 0

1 0

a

b

  



  

得

2

1

a

b

 



 

②有唯一解 R(A)  R(A)  n 2  a  0, a  2 b 为任意常数

③有无穷多解

2 0 2

( ) ( ) 1 0 1

a a

R A R A n

b b 

    

    

    



（2）当a  2,b 1时

1 1 0 1 1 0 1 1

( ) 0 1 1 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

A 

    

         

   

 

  

 

齐通：

1 3

2 3

0

0

x x

x x

  



  令 3 x 1则有 1 2 x 1, x  1 齐次方程通解 x k(1, 1,1)  非特： x (1,0,0,) 所以非齐次方程通解为 X k(1, 1,1) (1,0,0)     

课时六 练习题

1.解线性方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

5 0

2 3 0

3 8 0

3 9 7 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    

    

     

    

2.解线性方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1

3 5

2 +3 1

x x x x

x x x x

x x x x

    



    



    

3.已知线性方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4

1

3 2

2 2 3

5 4 3 3

x x x x

x x x x a

x x x

x x x x b

    

    

    

    问， a,b当取何值时，方程组无解？有解？再有解

时求出其通解。

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课时七 特征值

1、求特征值、特征向量

题 1.求矩阵

3 -1

-1 3

A

    

  的特征值

解 ：     

2 2 3- -1

3- -1 8- 6 4 - 2 - 0

-1 3- A E



     



      所以 A的特征值为 1 2   2,  4

题 2：求矩阵

2 0 0

1 2 -1

1 0 1

A

 

  

 

的特征值和特征向量

解：    

2

2 - 0 0

1 2 - -1 2 - 1- 0

1 0 1- A E



   



   故特征值为 1 2 3  1,    2

当1=1时，解 A E x  0

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1

0 0 0 0 0 0

A E

   

        

   

   

1

2 3

x 0

x x

 



 令 3 x 1，得基础解系a1 0,1,1

  ，则 1  1对应的全部特征向量为k1 0,1,1 k1 0





当 2 3     2时，解 A 2E x  0

0 0 0 1 0 -1

2 1 0 -1 0 0 0

1 0 -1 0 0 0

A E

   

     

    

   

得 1 3 x  x 令 2 3 x 1, x  0 得基础解系a2 0,1,0

 令 2 3 x  0, x 1 得基础解系a3 1,0,1

 则 1  1对应的全部特征向量为k2 0,1,0 k3 1,0,1

 

 （ 2 3 k , k 不全为零）

考点 重要程度 分值 常见题型

1.求特征值，特征向量

2.相似对角化 必考 6 15 大题

3.正交相似对角化

4.特征值的性质 ★★★★ 3  6 选择、填空

特征值、特征向量求解步骤：

1. 求特征值i

2. 求  0 A iE x  对应的基础解系

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2、相似对角化

题 1.矩阵

2 0 0

1 2 -1

1 0 1

A

 

  

  ，求 P ,使 -1 P AP 对角化

解：①特征值 1 2 3  1,    2

② 1 0,1,1 2 0,1, 0 3 1, 0,1T

a a a

 

   ③  1 2 3 

0 0 1

, , 1 1 0

1 0 1

P a a a

 

   

 

使 -1

1

2

2

P AP

 

  

 

题 2：矩阵

1 1 1

0 1 0

0 3 4

A

 

  

 

判断 A能否对角化？若能，求相似变换矩阵 P ，使 1 P AP

 对角化

解：    

2

1 1 1

0 1 0 1 4 0

0 3 4

A E



   





      

得特征值 1 2 3   4,   1

当 1   4时，解 A E x  0

1

1 0

3 1 1 3

4 0 3 0 0 1 0

0 3 0 0 0 0

A E

  

    

         

 

 

 

1 3

2

1

3

0

x x

x



 





 令 3 x  3 得基础解系a1 1,0,3

 当 2 3     1时，解 A E x  0

0 1 1 0 1 1

0 0 0 0 0 0

0 3 3 0 0 0

A E

   

     

    

   

2 3 x  x 令 1 3 x 1, x  0 得基础解系a2 1,0,0

 令 1 3 x  0, x 1 得基础解系a3 0, 1,1

  因为矩阵有三个线性无关的特征向量，所以 A能相似对角化

 1 2 3 

1 1 0

, , 0 0 1

3 0 1

P a a a

 

    

 

1

4

1

1

P AP

  

  

 

解题方法：

①求特征值1，2 m ②求基础解系 1 2 m a，a a

③ P  a1，a2am 

使

1

-1 2 m P AP







 

  

 



判断能否对角化：

n 个特征值对应有 n 个特征

向量，就可以对角化

（注：基础解系就是全部特

征向量的一个，所以就认为

是特征向量）

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3、正交相似对角化

题 2：设

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

  

   

 

求一个正交矩阵 P ,使 1 P AP

   为对角矩阵

解：由

1 2 2 1

1 1 1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

r r c c

A E

   

   

  

      

        

  

      

2 2  1      2    1   2  0 特征值为 1 2 3     1   2

对应 1 2     1，解 A E X  0 ,由

1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

A E

      

     

 

   

    

得基础解系 1  1,1,0 2 1,0,1

T T

a   a 对应 3   2 ，解 A 2E X  0 ,由

2 1 1 1 0 1

2 1 2 1 0 1 1

1 1 2 0 0 0

A E

    

     



   

   

得基础解系 3  1, 1,1

T

a   正交化：

1 1  1,1,0

T b  a  

 

 

2 1

2 2 1

1 1

,b

, a

b a b

b b    1 1 1

1 1

0 1 1

2 2

1 0 2

      

        

     

     

     

3 3  1, 1,1

T b  a    ( 3 a 和 1 a ， 2 a 已经正交，不用在正交化)

单位化：

1   1

1,1,0

2

T

e   ， 2   1

1,1, 2

6

T

e  ， 3   1

1, 1,1

3

T

e   将 1 2 3 e ,e ,e 构成正交矩阵

 1 2 3 

1 1 1

2 6 3

1 1 1

, , 2 6 3

2 1

0

6 3

P e e e

        

 

有 1

1

1

2

P AP

  

  

  

1. 正交：两个向量垂

直，即乘积为 0

2. 不同特征值对应的

特征向量（基础解系）

一定是正交化的,所以

只需要对重根对应的特

征向量（基础解系）进

行正交化

3. 正交化使用的公式：

施密特正交化： 1 2 a a

1 1 b  a

 

 

2 1

2 2 1

1 1

a b

b a b

b b   ，

，

单位化：

b

e

b 

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4、特征值的性质

① 1 2 n 11 22 nn       a  a  a

②1

2n  A

③若 A的特征值为 ，则

矩阵 kA

2 A aA bE

m A

1 A

 A

特征值 k

2  a  b

m 

1



A



题 1、已知 A的三个特征值为1,2,3,则 A  _____解： A 1 23  6

题 2、设三阶方阵 A的特征向量为1,2,3, 则 2 A  A E  解：

2 2 A  A E     1

 1时 2    1 1

  2 时 2    1 1

2  A  A E 的特征值为1,1,11

  3时 2    1 11

故 2 A  A E  1111 11

课时七 练习题

1、已知矩阵

3 2 1

2 2 2

3 6 1

A

  

    

  

①求特征值、特征向量 ②判断 A能否对角化，若能对角化，

求可逆矩阵 P ，使得 1 P AP

 为对角矩阵

2、设

1 2 2

2 4 4

2 4 4

A

  

    

  

求一个正交矩阵 P ，使 1 P AP

   为对角矩阵

2、已知 A的特征值为1,1,2, 求 1 A 2A E

    

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课时八 二次型

考点 重要程度 分值 常见题型

6) 二次型 ★★ 0-3

7) 求正交变换，化标准型 必考 8-10

8) 顺序主子式 ★★★★ 3-6 填空

1、二次型

题 1：二次型  

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

f x , x , x  x  x  x  4x x  6x x  4x x 写出二次型矩阵 A

解：

1 2 3

2 1 2

3 2 1

A

 

  

 

题 2.二次型  

2 2

1 2 3 1 2 1 2 2 3

f x , x , x  x  2x  4x x  6x x 写出二次型矩阵 A

解：

1 2 0

2 2 3

0 3 0

A

  

   

 

2、求正交变换，化标准型

题：求一个正交变换 x  py ，把二次型  1 2 3  1 2 1 3 2 3

f x , x , x  2x x  2x x  2x x 化为标准型，是否

正定？

解：

由

1 2 2 1

1 1 1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

r r c c

A E

   

   

  

      

        

  

      

2 2  1      2    1   2  0 特征值为 1 2 3     1   2

对应 1 2     1，解 A E X  0 ,由

1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

A E

      

     

 

   

    

得基础解系 1  1,1,0 2 1,0,1

T T

a   a 对应 3   2 ，解 A 2E X  0 ,由

2 1 1 1 0 1

2 1 2 1 0 1 1

1 1 2 0 0 0

A E

    

     



   

   

得基础解系 3  1, 1,1

T

a   

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

  

   

 

大题

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正交化：

1 1  1,1,0

T b  a  

 

 

2 1

2 2 1

1 1

,b

, a

b a b

b b    1 1 1

1 1

0 1 1

2 2

1 0 2

      

        

     

     

     

3 3  1, 1,1

T b  a    ( 3 a 和 1 a ， 2 a 已经正交，不用在正交化)

单位化：

1   1

1,1,0

2

T

e   ， 2   1

1,1, 2

6

T

e  ， 3   1

1, 1,1

3

T

e   将 1 2 3 e ,e ,e 构成正交矩阵  1 2 3 

1 1 1

2 6 3

1 1 1

, , 2 6 3

2 1

0

6 3

P e e e

        

 

使得二次型换成标准型：

2 2 2

1 2 3

f  y  y  2y 不是正定

3、顺序主子式

题 4：判断二次型  

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

f x , x , x  2x  2x  2x  2x x  2x x  2x x 是否正定

解：写出二次型矩阵

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A

 

  

 

2  2 1

2 1

3 0

1 2  

2 1 1

1 2 1 4 0

1 1 2   二次型 f 正定

题 5：设  

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3

f x , x , x  x  4x  2x  2tx x  2x x 是正定二次型，则t 满足

解：写出二次型矩阵

1 1

4 0

1 0 2

t

A t

 

  

 

1

0

4

t

t

 即2  t  2

1 1

4 0 0

1 0 2

t

t  即 2 2t  4  0   2  t  2

 2  t  2

正定矩阵的顺序

主子式都大于零

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课时八 练习题

1.写出二次型 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3

f  x  x  x  2x x  6x x 对应的矩阵 A

2.二次型  

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

f x , x , x  2x 5x 5x  4x x  4x x 8x x ，求一个正交矩阵 P ，化二次型为

标准型，并判断是否正定。

3.求二次型  

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

f x , x , x  3x  6x 3x  4x x 8x x  4x x 的标准型与规范型

4.设  

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

f x , x , x  x  x 5x  2ax x  2x x  4x x 为正定二次型，则a 的值