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（2023 顺义一模）★☆

27．已知：如图，△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 边上，点 A 关于直线 C

D 的对称点为 E，射线 BE 交直线 CD 于点 F，连接 AF．

（1）设∠ACD＝ ，用含



的代数式表示∠CBF 的大小，并求∠CFB 的度数；

（2）用等式表示线段 AF，CF，BF 之间的数量关系，并证明．

备用图

F

E

C

A B

D

F

E

C

A B

D

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吴老师图解

（1）

 =  + CBF 45  ， =  CFB 45 .

思路&图解

法 1：等腰三角形

如图，

1）

 =  = 1 2 

，则

 =  − 3 90 2 ，



180 3 45

2

CBF 

 −   = =  + ，

2）

 =  =  + 4 45 CBF  ，

 CFB =  − =  4 2 45

（外角）.

备注：也可用

CBF

的内角和求.

法 2：共圆

如图，

1）点

A ， E ， B

在

C

上，

  =1  ，即

 =  + CBF 45  ，

2）

 =  =  + 2 45 CBF  ，

 CFB =  − =  2 45 

（外角）.

（2）

AF BF CF + = 2 .

分析

本题为“共端点的三边数量关系问题”，即“鸡爪模型”问题，此类问题的常规思路是—

—利用旋转构造等腰直角三角形…

思路&图解

法 1：旋转构造全等

如图，作

CG CF

，交

FB

的延长线于点

G ，

1）由（1）知

FCG

是等腰直角三角形，

2）易证

CAF CBG

（手拉手模型），

 AF BF CF + = 2 .

1 2

3

4

F

E

C

A B

D

α α

45°

2

1

F

E

C

A B

D

45°

G

F

E

C

A B

D

G

F

E

C

A B

D

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思路&图解

法 2：旋转构造全等

如图，作

CG CF

，交

FA

的延长线于点

G ，

1）由对称和（1）知

 =  =  1 2 45

，即

CFG

是等腰直角三角形，

2）易证

CGA CFB

（手拉手模型），

 AF BF CF + = 2 .

法 3：相似

如图，作

BH CF ，

1）由（1）知

FBH

是等腰直角三角形，

2）易证

CBH ABF

（手拉手模型），且相似比为

1: 2 ，



2 2

2 2

CF AF BF = + ，即

AF BF CF + = 2 .

法 4：相似

如图，作

AH CF

，与【法 3】同理，可证得结论！

2

1

45°

G

F

E

C

A B

D

G

F

E

C

A B

D

H

F

E

C

A B

D

H

F

E

C

A B

D

H

F

E

C

A B

D

H

F

E

C

A B

D