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（2023 丰台一模——中称点）★★★☆
28．对于点 P 和图形 G，若在图形 G 上存在不重合的点 M 和点 N，使得点 P 关于线段 MN
中点的对称点在图形 G 上，则称点 P 是图形 G 的“中称点”．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点
A(1,0) ， B(1,1)，C(0,1)．
（1）在点
1
1
,0
2
P
， 2
1 1
,
2 2
P
， 3P (1, 2) − ， 4 P ( 1,2) −中，____________是正方形 OABC 的
“中称点”；
（2）⊙T 的圆心在 x 轴上，半径为 1．
①当圆心 T 与原点 O 重合时，若直线 y＝x＋m 上存在⊙T 的“中称点”，求 m 的取值
范围；
②若正方形 OABC 的“中称点”都是⊙T 的“中称点”，直接写出圆心 T 的横坐标 t
的取值范围．
相似题：2022-2023 北京四中九下月考·2 月开学考——倍视点
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吴老师图解
（1）
P1， P2
.
审题&规律总结 1
审题：
研究对象是“中称点”
P
，它原来在哪我们不知道，但是它最终要落在图形
G
上！
吴老师常跟同学们讲，这类问题最适合用“逆向思维”来倒推了…
那么，我们只要将整个图形
G
关于线段
MN
的中点对称回去，得到的区域便是“中称
点”
P
所在的位置，所以，
MN
的中点（对称中心）成了问题的关键！
分析：
如图，在正方形边上取点
MN
，点
T
为线段
MN
的中点，
①先让点
M
不动，当点
N
在正方形的边上运动一周时，根据“瓜豆原理”，点
T
的轨迹
是一个正方形（缩放比为 2:1），
②换一个位置的点
M
，让点
N
再运动一周，得到的正方形和之前大小一样，只是换了个
位置，说明点
N
的运动“负责”生成一个边长为 0.5 的正方形，而点
M
的运动，决定了该正
方形的位置…
③当点
M
运动一周时，边长为 0.5 的正方形扫过的区域，正好是正方形
OABC
的内部以
及边界（不包括点
O ， A ， B ，C
），即中点
T
的所在区域！
如图，将正方形
OABC
关于每一个点
T
对称，得到的正方形会形成一个边长为 3 的正方
形
RSWU
（不包括 4 个顶点），
得出结论：
正方形
OABC
的“中称点”
P
在：图示边长为 3 的正方形
RSTU
的内部或边界上（不包
括 4 个顶点）.
x
y
T
C B
O A
N
M
x
y
T
C B
O A
N
M
x
y
R
W U
S
C B
O A
T
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思路&图解
如图，
由【规律总结 1】知，点
P1 ， P2
是正方
形
OABC
的“中称点”.
（2）①
− 3 2 3 2 m .
规律总结 2
如图，
T
的“中称点”在：以
T
为圆心，
3
为半径的圆的内部！（提示：与【规律总
结 1】同理，利用“瓜豆原理”可知线段
MN
的中点在
T
的内部…）
思路&图解
如图，由【规律总结 2】知直线
y x m = +
应与半径为 3 的
T
有交点，当直线与圆相切
时，易求得
m = 3 2 .
综上所述：
− 3 2 3 2 m .
x
y
P3
P2
P1
P4
C B
O A
x
y
T
x
y
y=x+m
3
R
H
G
T
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（2）②
2 5 1 5 − − + t .
分析
如图，由【规律总结 1】和【规律总结 2】知：半径为
3
的
T
，应把边长为 3 的正方形
RSWU
完全“包住”！
思路&图解
临界状态 1：
如图，此时
T
过点
R
，易求得
TH = 5
，则
t = −2 5 .
临界状态 2：
如图，此时
T
过点
S
，易求得
t = − +1 5 .
综上所述：
2 5 1 5 − − + t
（注意：都可以取等）.
x
y
R
W U
S
T
x
y
3
2
H
R
W U
S
T
x
y
2
3
H H
R
W U
S
T
