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2023 年 七年级上册期末考前必刷数学压轴题真题
1．（2022 秋•崂山区校级期末）据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背
上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人
称之为“洛书”（如图 1 所示），即现在的三阶幻方．
（1）请将 1～9 这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图 2），使每
行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．
（2）将﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6 填入到图 3 的方格中，使得每行、每列、斜对
角的三个数之和相等．
（3）图 4 是一个不完整的幻方，请将你认为正确的 7 个整数填入表格中，使得每行、每
列、斜对角的三个数之和相等．
（4）请将 1﹣16 剩余数字填入到图 5 的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和
相等，构成四阶幻方．
2．（2022 秋•市北区校级期末）如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上位于点 A
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左侧一点，且 AB＝30，动点 P 从 A 点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
动，设运动时间为 t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点 B 表示的数 ；点 P 表示的数 ．（用含 t 的代
数式表示）
（2）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点 P、Q
同时出发，问多少秒时，P、Q 之间的距离恰好等于 4？
（3）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P、Q
同时出发，问点 P 运动多少秒时追上点 Q．
（4）若 M 为 AP 的中点，N 为 BP 的中点，在点 P 运动的过程中，线段 MN 的长度是否
发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长．
3．（2022 秋•市北区校级期末）问题探究：
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如图 1，2 个角的各边相交，第 2 个角的每条边最多会与第 1 个角的 2 条边新产生 2 个交
点，所以共有 2×2＝4×1＝4 个交点；
如图 2，3 个角的各边相交，第 3 个角的每条边最多会与前面 2 个角的 4 条边新产生 4 个
交点，所以共有 2×2+4×2＝4×（1+2）＝12 个交点；
若 4 个角的各边相交，第 4 个角的每条边最多会与前面 3 个角的 6 条边新产生 6 个交点，
所以共有 2×2+4×2+6×2＝4×（1+2+3）＝24 个交点；
…
（1）若 5 个角的各边相交，最多有多少个交点？（仿照上面的“问题探究”中的方法，
写出必要的探究过程）
（2）直接写出 10 个角的各边相交，最多共有 个交点；
（3）直接写出 n 个角的各边相交，最多共有 个交点（用含 n 的代数式
表示）．
4．（2022 秋•市北区校级期末）数轴上点 A 表示﹣8，点 B 表示 6，点 C 表示 12，点 D 表示
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18．如图，将数轴在原点 O 和点 B，C 处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”
上，动点 M 从点 A 出发，以 4 个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点 O 运动到
点 C 期间速度变为原来的一半，过点 C 后继续以原来的速度向终点 D 运动；点 M 从点 A
出发的同时，
点 N 从点 D 出发，一直以 3 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点 A 运动．其
中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为 t 秒，t＝ 时，M、N
两点相遇（结果化为小数）．
5．（2021 秋•平山县期末）如图 1，P 点从点 A 开始以 2 厘米/秒的速度沿 A→B→C 的方向
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移动，点 Q 从点 C 开始以 1 厘米/秒的速度沿 C→A→B 的方向移动，在直角三角形 ABC
中，∠A＝90°，若 AB＝16 厘米，AC＝12 厘米，BC＝20 厘米，如果 P、Q 同时出发，
用 t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图 1，若 P 在线段 AB 上运动，Q 在线段 CA 上运动，试求出 t 为何值时，QA＝
AP
（2）如图 2，点 Q 在 CA 上运动，试求出 t 为何值时，三角形 QAB 的面积等于三角形
ABC 面积的 ；
（3）如图 3，当 P 点到达 C 点时，P、Q 两点都停止运动，试求当 t 为何值时，线段 AQ
的长度等于线段 BP 的长的
6．（2020 秋•罗湖区校级期末）已知将一副三角板（直角三角板 OAB 和直角三角板 OCD，
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∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）
（1）如图 1 摆放，点 O、A、C 在一直线上，则∠BOD 的度数是多少？
（2）如图 2，将直角三角板 OCD 绕点 O 逆时针方向转动，若要 OB 恰好平分∠COD，
则∠AOC 的度数是多少？
（3）如图 3，当三角板 OCD 摆放在∠AOB 内部时，作射线 OM 平分∠AOC，射线 ON
平分∠BOD，如果三角板 OCD 在∠AOB 内绕点 O 任意转动，∠MON 的度数是否发生变
化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
7．（2022 秋•市北区校级期末）已知如图，在数轴上有 A，B 两点，所表示的数分别为﹣10，
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﹣4，点 A 以每秒 5 个单位长度的速度向右运动，同时点 B 以每秒 3 个单位长度的速度也
向右运动，如果设运动时间为 t 秒，解答下列问题：
（1）运动前线段 AB 的长为 ；运动 1 秒后线段 AB 的长为 ；
（2）求 t 为何值时，点 A 与点 B 恰好重合；
（3）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻 t，使得线段 AB 的长为 5，若存在，求 t
的值；若不存在，请说明理由．
8．（2022 秋•市北区校级期末）某中学将组织七年级学生春游一天，两同学向公司经理了解
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租车的价格，公司经理对他们说：“公司有 45 座和 60 座两种型号的客车可供租用，60
座的客车每辆每天的租金比 45 座的贵 100 元．”王老师说：“我们学校八年级昨天在这个
公司租了 5 辆 45 座和 2 辆 60 座的客车，一天的租金为 1600 元．”
（1）求 45 座和 60 座的客车每辆每天的租金各是多少？
（2）公司经理问：“你们准备怎样租车”，甲同学说：“我的方案是只租用 45 座的客车，
可是会有一辆客车空出 30 个座位”；乙同学说“我的方案只租用 60 座客车，正好坐满且
比甲同学的方案少用两辆客车”，王老师说：“从经济角度考虑，还有别的方案吗”？请
你设计租车方案，并说明理由．
9．（2015 秋•深圳期末）如图，已知数轴上点 A 表示的数为 6，点 B 表示的数为﹣4，C 为
线段 AB 的中点，动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
设运动时间为 t（t＞0）秒．
（1）点 C 表示的数是 ；
（2）当 t＝ 秒时，点 P 到达点 A 处；
（3）点 P 表示的数是 （用含字母 t 的代数式表示）；
（4）当 t＝ 秒时，线段 PC 的长为 2 个单位长度；
（5）若动点 Q 同时从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，那
么，当 t＝ 秒时，PQ 的长为 1 个单位长度．
10．（2023•黄岛区一模）【探究】（1）观察下列算式，并完成填空：
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1＝1
2
1+3＝4＝2
2
1+3+5＝9＝3
2
1+3+5+7＝16＝4
2
；
1+3+5．…+（2n﹣1）＝ .（n 是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是
一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括 6 块正
方形和 6 块正三角形地板砖；第二层包括 6 块正方形和 18 块正三角形地板砖；以此递推．
①第 3 层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖；
②第 n 层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖（用含 n 的
代数式表示）．
【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有 1 块正六边形、150
块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
11．（2018 秋•市南区期末）阅读以下材料并填空
问题：在一条直线上有 n 个点（n≥2），每两个点确定一条线段，一共有多少条线段？
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【探究】：当仅有 2 个点时，有 ＝1 条线段；
当有 3 个点时，有 ＝3 条线段；
当有 4 个点时，有 ＝6 条线段；
当有 5 个点时，有 条线段；
……
当有 n 个点时，从这些点中任意取一点，如 1，以这个点为端点和其余各点能组成（n﹣1）
条线段，这样总共有 n×（n﹣1）条线段．在这些线段中每条线段都重复了两次，如：线
段 A1A2 和 A2A1 是 同 一 条 线 段 ， 所 以 ， 一 条 直 线 上 有 n 个 点 ， 一 共 有
条线段．
【应用】
（1）在一条直线上有 10 个点，直线外一点分别与这 10 个点连接成线段，一共可以组成
个三角形．
（2）平面上有 50 个点，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出
条不同的直线．
【拓展】平面上有 n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，
一共能作出多少个不同的三角形？
当有 3 个点时，可作 1 个三角形；
当有 4 个点时，可作 个三角形；
当有 5 个点时，可作 个三角形；
……
当有 n 个点时，可连成 个三角形．
12．（2019 秋•青岛期末）如图，长方形 ABCD 中，AB＝4cm，BC＝8cm．点 P 从点 A 出发，
沿 AB 匀速运动；点 Q 从点 C 出发，沿 C→B→A→D→C 的路径匀速运动．两点同时出
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发，在 B 点处首次相遇后，点 P 的运动速度每秒提高了 3cm，并沿 B→C→D→A 的路径
匀速运动；点 Q 保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，某一时刻两点在长方形 ABCD
某一边上的 E 点处第二次相遇．若点 Q 的速度为 cm/s．
（1）点 P 原来的速度为 cm/s；
（2）P、Q 两点在 B 点处首次相遇后，再经过 秒后第二次在 E 点相遇；
（3）E 点在 边上．此时 S△DCE＝ cm2
；
（4）在 E 点相遇后 P、Q 两点沿原来的方向继续前进．又经历了 99 次相遇后停止运动，
请问此时两点停在长方形 ABCD 边上的什么位置？
13．（2022 秋•阿瓦提县期末）如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线．
（1）如图①，当∠AOB 是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON 的度数是多少；
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（2）如图②，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON 与 α 的数量关系，并说明理
由；
（3）如图③，当∠AOB＝α，∠BOC＝β（0°＜α+β＜180°）时，猜想
∠MON 与 α，β 的数量关系，并说明理由．
14．（2022 秋•城阳区期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置 29 个点，宽上随机设置
19 个点（不含长方形的各顶点 A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边
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对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？
【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体
的情形入手：
（1）探究一：将一条线段上随机设置 n 个点，图中一共可以形成多少条线段？
如图 1，当 n＝0 时，图中线段有：线段 AB，共 1 条线段；
如图 2，当 n＝1 时，以 A 为端点的线段有：线段 AC 和线段 AB，共 2 条线段；以 C 为
端点的有：线段 CB，共 1 条线段，故图中共有 2+1＝3 条线段；
如图 3，当 n＝2 时，以 A 为端点的线段有：线段 AC，线段 AD 和线段 AB，共 3 条线段；
以 C 为端点的有：线段 CD 和线段 CB，共 2 条线段；以 D 为端点的有：线段 DB，共 1
条线段，故图中共有 3+2+1＝6 条线段；
……
小结：当随机设置了 n 个点后，一共可以形成 条线段．（用含 n
的代数式表示）
（2）探究二：将长方形的长上随机设置 m 个点，宽上随机设置 n 个点，则一共有多少个
长方形（包括正方形）？
首先我们先探究宽上不设置点的情况．
如图 4﹣1，当 m＝0，n＝0 时，图中一共有 1 个长方形．
如图 4﹣2，当 m＝1，n＝0 时，图中一共有 3 个长方形．
如图 4﹣3，当 m＝2，n＝0 时，图中一共有 6 个长方形．
……
小 结 ： 当 长 方 形 的 长 上 随 机 设 置 m 个 点 ， 宽 上 不 设 置 点 ， 一 共 有
个长方形．（用含 m 的代数式表示）
同 理 ， 当 长 方 形 的 长 上 不 设 置 点 ， 宽 上 随 机 设 置 n 个点，一共有
个长方形．（用含 n 的代数式表示）
如图 5﹣1，当 m＝1，n＝1 时，长上共形成 3 条线段，宽上共形成 3 条线段，图中一共
有 9 个长方形（包括正方形）．
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如图 5﹣2，当 m＝1，n＝2 时，长上共形成 3 条线段，宽上共形成 6 条线段，图中一共
有 18 个长方形（包括正方形）．
如图 5﹣3，当 m＝2，n＝1 时，长上共形成 6 条线段，宽上共形成 3 条线段，图中一共
有 18 个长方形（包括正方形）．
如图 5﹣4，当 m＝2，n＝2 时，长上共形成 6 条线段，宽上共形成 6 条线段，图中一共
有 36 个长方形（包括正方形）．
……
小结：将长方形的长上随机设置 m 个点，宽上随机设置 n 个点，连接各边对应的点，则
图中一共有 个长方形（包括正方形）．（用含 m、n 的代数式表
示）
【问题解决】：将长方形的长上随机设置 29 个点，宽上随机设置 19 个点（不含长方形的
各顶点 A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共
有 个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果）
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15．（2022 秋•城阳区期末）为喜迎元旦，某超市推出 A 类礼盒和 B 类礼盒，每个 A 类礼盒
的成本为 120 元，每个 B 类礼盒的成本为 160 元，每个 B 类礼盒的售价比每个 A 类礼盒
的售价多 80 元，售卖 2 个 A 类礼盒获得的利润和售卖 1 个 B 类礼盒获得的利润相同．
（1）求每个 A 类礼盒的售价；
（2）该超市购进 A 类礼盒 800 个和 B 类礼盒 1000 个，进行促销活动．超市规定，每人
每次最多购买 A 类礼盒 1 个或 B 类礼盒 1 个，每个 A 类礼盒直接参与店内“每满 100 元
减 a 元”的活动，每个 B 类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满 100 元减 a
元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为 48800 元，求 a
的值．
16．（2022 秋•蜀山区期末）【建立概念】
直线 a 上有三个点 A，B，C，若满足 BC＝ AB，则称点 C 是点 A 关于点 B 的“半距点”．如
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图①，BC＝ AB，此时点 C 就是点 A 关于点 B 的一个“半距点”．
【概念理解】
如图②，直线 l 上有两个点 M，N，且 MN＝4cm．若点 P 是点 M 关于点 N 的“半距点”，
则 NP＝ cm．
【拓展应用】
如图③，在数轴上，点 A 从原点出发沿数轴向左匀速运动，同时，点 B 也从原点出发沿
数轴向右匀速运动，出发 4 秒时，两点相距 16 个单位长度．已知点 B 的速度是点 A 速度
的 3 倍．
（1）分别求出点 A 和点 B 每秒各运动多少个单位长度，并在数轴上标出 A，B 两点从原
点出发运动 4 秒时的位置；
（2）若 A，B 两点从（1）中标记的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，则
再经过多少秒，点 B 到达点 A 关于原点的“半距点”？
17．（2022 秋•宜城市期末）如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上位于点 A 左
侧一点，且 AB＝20，动点 P 从 A 点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
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动，设运动时间为 t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点 B 表示的数 ；点 P 表示的数 （用含 t 的代
数式表示）；
（2）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点 P、Q
同时出发，问多少秒时 P、Q 之间的距离恰好等于 2？
（3）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P、Q
同时出发，问点 P 运动多少秒时追上 Q？
（4）若 M 为 AP 的中点，N 为 BP 的中点，在点 P 运动的过程中，线段 MN 的长度是否
发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长．
18．（2022 秋•市北区期末）问题提出：
某校要举办足球赛，若有 5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分
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别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
构建模型：
生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．
为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出 5 个点（任意 3 个点都不在同一条直线上），其中
每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于
每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外 4 个点都可连成一条线段，这样一
共连成 5×4 条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 ＝10 条
线段，所以该校一共要安排 10 场比赛．
（2）若学校有 6 支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排
场比赛；
（3）根据以上规律，若学校有 n 支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排
场比赛．
实际应用：
（4）9 月 1 日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上 42 位新同学每两个人都
相互握一次手，全班同学总共握手 次．
拓展提高：
（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博 4 个车
站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准
备车票的种数为 种．
19．（2023 春•长沙县期末）如图，地面上放着一个小凳子（AB 与地面平行），点 A 到墙面
（墙面与地面垂直）的距离为 40cm．在图①中，一木杆的一端与墙角 O 重合，另一端靠
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在点 A 处，OA＝50cm．
（1）求小凳子的高度；
（2）在图②中另一木杆的一端与点 B 重合，另一端靠在墙上的点 C 处．若 OC＝90cm，
木杆 BC 比凳宽 AB 长 60cm，求小凳子宽 AB 和木杆 BC 的长度．
20．（2021 秋•青岛期末）数轴上点 A 表示﹣8，点 B 表示 6，点 C 表示 12，点 D 表示 18．如
图，将数轴在原点 O 和点 B、C 处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，
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把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点 A 和点 D 在折线数轴
上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26 个单位长度．
动点 M 从点 A 出发，以 4 个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点 O 运动到
点 C 期间速度变为原来的一半，过点 C 后继续以原来的速度向终点 D 运动；点 M 从点 A
出发的同时，点 N 从点 D 出发，一直以 3 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终
点 A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为 t 秒．
（1）当 t＝2 秒时，M、N 两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 ；
（2）当点 M、N 都运动到折线段 O﹣B﹣C 上时，
O、M 两点间的和谐距离|OM|＝ （用含有 t 的代数式表示）；
C、N 两点间的和谐距离|CN|＝ （用含有 t 的代数式表示）；
t＝ 时，M、N 两点相遇；
（3）当 t＝ 时，M、N 两点在折线数轴上的和谐距离为 4 个单
位长度；
当 t＝ 时，M、O 两点在折线数轴上的和谐距离与 N、B 两点在
折线数轴上的和谐距离相等．
21．（2021 秋•青岛期末）阅读下面材料，完成问题探究：
【问题提出】：将正方形的四条边都 n 等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少
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个长方形（包括正方形）？
【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体
的情形入手．
探究一：将一条线段 n 等分，图中一共可以形成多少条线段？
如图 1：将线段 AB 二等分，图中线段共有 3＝ ×2×3 条；
如图 2：将线段 AB 三等分，图中线段共有 6＝ ×3×4 条；
如图 3：将线段 AB 四等分，图中线段共有 10＝ ×4×5 条．
……将线段 ABn 等分，图中线段共有 条．
探究：将正方形的四条边都 n 等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少个长方
形（包括正方形）？
如图 4：将正方形的四条边都 2 等分，连接各边对应的等分点，图中共有多少个长方形（包
括正方形）？我们发现，AB 边上有 3 条线段，AD 边上也有 3 条线段，则图中长方形（包
括正方形）个数是 3×3＝9 个；
如图 5：将正方形的四条边都 3 等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形
（包括正方形）？因为 AB 边上有 6 条线段，AD 边上也有 6 条线段，则图中长方形（包
括正方形）个数是 6×6＝36 个；
如图 6：将正方形的四条边都 4 等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形
（包括正方形）？则图中长方形个数（包括正方形）是 个．
【问题解决】：将正方形的四条边 n 等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有
个长方形（包括正方形）．
【拓展延伸】：将长 8cm 宽 5cm 高 7cm 的长方体的各边等分成 1cm 的线段，连接各边对
应的等分点，则一共可以形成 个长方体（包括正方体），其中长 5cm 宽 4cm
高 4cm 的长方体的个数是 ．
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22．（2021 秋•崂山区期末）如图，数轴上 A，B 两点对应的有理数分别为﹣5 和 6，动点 P
从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴在 A，B 之间往返运动，同时动点 Q 从点 B
出发，以每秒 2 个单位的速度沿数轴在 B，A 之间往返运动．设运动时间为 t 秒．
（1）当 t＝2 时，点 P 对应的有理数为 ，P，Q 两点之间的距离为 ；
（2）当 0＜t≤11 时，若 P，Q 恰好与原点之间的距离相等，求 t 的值；
（3）我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当 P，Q 两点第一次在整点处重合时，
直接写出此整点对应的数．
23．（2022•蜀山区校级三模）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分
家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
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用含 n 的式子表示第 n 个图的钢管总数．
【分析思路】
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看
成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．
如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用 Sn 表示第 n 个图形钢管总数）．
【解决问题】
（1）如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？
像 n＝1，n＝2，n＝3 的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．
S1＝1+2，S2＝2+3+4，S3＝3+4+5+6，S4＝ ．
（2）其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个
所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表
达你发现的规律：
S1 ＝ ， S2＝ ，S3 ＝ ，S4
＝ ．
（3）用含 n 的式子列式，并计算第 n 个图的钢管总数为 ．
第24页（共117页）
24．（2022 秋•宿城区期中）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家
万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．
【图形帮助式子】
（1）观察图 1 并计算：2+4+6+…+20＝ ；
（2）观察图 1 并计算：2+4+6+…+1000＝ ．
【式子帮助图形】
小方家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设地面，三间卧室铺设木
地板，其它区域铺设地砖．
（3）则 a＝ ．
（4）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含 x 的代数式表示）？
第25页（共117页）
25．（2023 春•嘉定区期末）已知数轴上有 A，B 两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，
乙分别从 A，B 两点同时出发，甲沿线段 AB 以 1 个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达
点 B 处时运动停止，乙沿 BA 方向以 4 个单位长度/秒的速度向左运动．
（1）A，B 两点间的距离为 个单位长度；乙到达 A 点时共运动了 秒．
（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
（3）多少秒时，甲、乙相距 10 个单位长度？
（4）若乙到达 A 点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达 B 点前，甲，乙还能在数轴上
相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
26．（2023 春•市南区校级期末）[背景知识]：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可
以将数与形完美地结合．在数轴上，若 C 到 A 的距离刚好是 3，则 C 点叫做 A 的“幸福
点”，若 C 到 A、B 的距离之和为 8，则 C 叫做 A、B 的“幸福中心”．
（1）如图 1，点 A 表示的数为﹣1，则 A 的幸福点 C 所表示的数应该是 ；
（2）如图 2，M、N 为数轴上两点，点 M 所表示的数为 4，点 N 所表示的数为﹣2，点 C
是 M、N 的幸福中心，则 C 所表示的数是多少？
（3）如图 3，点 A 表示的数是 0，点 B 表示的数是 4，若点 A、点 B 同时以 1 个单位长
度/秒的速度向左运动，与此同时点 P 从 10 处以 2 个单位长度/秒的速度向左运动，经过
多长时间后，点 A、点 B、点 P 三点中其中一点是另外两点的幸福中心？（直接写出答
案．）
第26页（共117页）
27．（2022 秋•南关区校级期末）定义：数轴上有两点 A，B，如果存在一点 C，使得线段 AC
的长度是线段 BC 的长度的 2 倍，那么称点 C 为线段 AB 的“幸运点”．
（1）如图①，若数轴上 A，B 两点所表示的数分别是﹣2 和 4，点 C 为线段 AB 上一点，
且点 C 为线段 AB 的“幸运点”，则点 C 表示的数为 ；
（2）如图②，若数轴上 A，B 两点所表示的数分别是﹣4 和﹣1，点 C 为数轴上一点，若
点 C 为线段 AB 的“幸运点”，则点 C 表示的数为 ；
（3）如果数轴上点 A 表示的数是 2001，点 B 表示的数是 2025，动点 P 从点 A 出发以每
秒 2 个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为 t 秒．当 t 为何值时，点 P 是线段 AB
的“幸运点”．
第27页（共117页）
28．（2022 秋•河东区期末）已知数轴上点 A 表示的数为 6，B 是数轴上在原点左侧的一点，
且 A，B 两点间的距离为 10．动点 P 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向
左匀速运动，设运动时间为 t（t＞0）秒．
（1）数轴上点 B 表示的数是 ；当点 P 运动到 AB 的中点时，它所表示的数
是 ．
（2）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P、Q
同时出发，求：
①当点 P 运动多少秒时，点 P 追上点 Q？
②当点 P 运动多少秒时，点 P 与点 Q 间的距离为 8 个单位长度？
29．（2022 秋•江夏区校级期末）如图，数轴上线段 AB＝2（单位长度），线段 CD＝4（单位
长度），点 A 在数轴上表示的数是﹣12，点 C 在数轴上表示的数是 14．若线段 AB 以每秒
2 个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运
动．设运动时间为 ts．
（1）当点 B 与点 C 相遇时，点 A，D 在数轴上表示的数分别为 ， ；
（2）当 t 为何值时，点 B 刚好与线段 CD 的中点重合；
（3）当运动到 BC＝9（单位长度）时，求出此时点 B 在数轴上表示的数．
第28页（共117页）
30．（2021 秋•市北区期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》之后，
自制了一个模拟钟面，如图所示，O 为模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针
OA、OB 分别从 OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 15°，OB 运动速度为
每秒 5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，请你解决他
们提出的下列问题：
（1）如图 1，OA 顺时针转动，OB 逆时针转动，t＝ 秒时，OA 与 OB 第一次重合；
（2）如图 2，若它们同时顺时针转动，
①求当 t 为何值时，OA 与 OB 第一次重合；
②求当 t 为何值时，∠AOB＝30°．
31．（2021 秋•市北区期末）如图，已知 O 是直线 AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分
∠AOD．
（1）如图 1，若∠COE＝35°，求∠DOB 的度数；
（2）若将图 1 中的∠COD 放置到图 2 所示的位置，其他条件不变，若∠COE＝β，求∠
DOB 的度数．
（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含 β 的代数式表示出∠DOB）
第29页（共117页）
32．（2021 秋•市南区期末）阅读下列材料并完成
将边长为 n（n≥2）的正方形四条边分别 n 等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多
少个正方形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为 2 的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一
共有多少个正方形？
如图 1，连接边长为 2 的正方形四条边的中点，边长为 1 的正方形有 2
2＝4 个；边长为 2
的正方形有 1
2＝1 个，总共有 1
2
+22＝1+4＝ ＝5 个正方形．
探究二：将一个边长为 3 的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图
形中一共有多少个正方形？
第30页（共117页）
如图 2，连接边长为 3 的正方形四条边对应的三等分点，边长为 1 的正方形有 3
2＝9 个；
边长为 2 的正方形有 2
2＝4 个；边长为 3 的正方形有 1
2＝1 个，总共有 1
2
+22
+32＝1+4+9
＝ ＝14 个正方形．
探究三：
请你仿照上面的方法，探究将边长为 4 的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分
点，则图形中一共有多少个正方形？（在图 3 中画出示意图，并写出探究过程）
探究四：将边长为 5 的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共
有 个正方形．
问题解决：
将边长为 n（n≥2）的正方形四条边分别 n 等分，连接各边对应的 n 等分点，则图形中一
共有 个正方形？
应用拓展：
计算：1+3+8+24+…+899＝ ．
33．（2022 秋•电白区期末）数轴上两个动点 A、B 所对应的数为﹣8、4，A、B 两点各自以
一定的速度在数轴上运动，且 A 点的运动速度为 2 个单位/秒．
（1）点 A、B 两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求 B 点的运动速度；
（2）A、B 两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距 6 个
单位长度；
（3）A、B 两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C 点从原点
出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有 CB：CA＝1：2，若干秒钟后，C 停留在
﹣10 处，求此时 B 点的位置？
34．（2019•李沧区一模）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，
所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为 1 的分数），那么无限循环小数如
第31页（共117页）
何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将 0. 化为分数形式，
由于 0. ＝0.777…，设 x＝0.777…，①
得 10x＝7.777…，②
②﹣①得 9x＝7，解得 x＝ ，于是得 0. ＝ ．
同理可得 0. ＝ ＝ ，1. ＝1+0. ＝1+ ＝
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【类比应用】
（1）0. ＝ ，4. ＝ ；
（2）将 0. 化为分数形式，写出推导过程；
【迁移提升】
（3）0. ＝ ，2.0 ＝ ；（注：0. 2
＝0.225225…，2.0 ＝2.01818…）
【拓展发现】
（4）①试比较 0. 与 1 的大小：0. 1（填“＞”“＜”或“＝”）
②若已知 0. 1428 ＝ ，则 2. 8571 ＝ ．
35．（2022 春•讷河市期末）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计
划用 200 元购买 A，B 两种奖品（两种都要买），A 种每个 15 元，B 种每个 25 元，在钱
全部用完的情况下，购买方案共有（ ）
A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种
第32页（共117页）
36．（2020 秋•李沧区期末）如图，点 P 从原点 O 出发沿数轴正方向匀速运动，同时，点 Q
也从原点 O 出发沿数轴负方向匀速运动．已知 P，Q 两点的运动速度之比为 1：2，当运
动 3 秒时，两点相距 18 个单位长度．
（1）求 P，Q 两点每秒各运动多少个单位长度？
（2）在数轴上标出 P，Q 两点从原点出发运动 3 秒时的位置．
（3）若 P，Q 两点分别从（2）中标出的位置，同时沿数轴的正方向按原来的速度再次
运动．求再次运动几秒时，点 O 恰好为线段 PQ 的中点．
37．（2020 秋•李沧区期末）【问题提出】以长方形 ABCD 的 4 个顶点和它内部的 n 个点，共
（4+n）个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？
【问题探究】为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情
形入手：
【探究一】
以长方形 ABCD 的 4 个顶点和它内部的 1 个点 P（如图①），共 5 个点为顶点，显然，此
时可把长方形 ABCD 分割成 个互不重叠的小三角形．
【探究二】
以长方形 ABCD 的 4 个顶点和它内部的 2 个点 P、Q，共 6 个点为顶点，可把长方形 ABCD
分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形 ABCD 的内部，再添加 1 个点 Q，那么点
Q 的位置会有两种情况：
一种情况是，点 Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点 Q 在 PB 上（如
图②）；
另一种情况是，点 Q 在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点 Q 在△PAB 的内部（如
图③）．
第33页（共117页）
显然，不管哪种情况，都可把长方形 ABCD 分割成 个互不重叠的小三角形．
【探究三】
长方形 ABCD 的 4 个顶点和它内部的 3 个点 P、Q、R，共 7 个点为顶点，可把长方形 ABCD
分割成 个互不重叠的小三角形．请在图④中画出一种分割示意图．
【问题解决】以长方形 ABCD 的 4 个顶点和它内部的 n 个点，共（4+n）个点作为顶点，
可把原长方形分割成 个互不重叠的小三角形．
【实际应用】
以梯形的 4 个顶点和它内部的 2021 个点作为顶点，可把梯形分割成 个互不
重叠的小三角形．
【拓展延伸】
以五边形的 5 个顶点和它内部的 m 个点，共（5+m）个点作为顶点，可把原五边形分割
成 个互不重叠的小三角形．
41．（2021 秋•重庆期末）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发
现了许多重要的规律：数轴上 A 点、B 点表示的数为 a、b，则 A，B 两点之间的距离 AB
＝|a﹣b|，若 a＞b，则可简化为 AB＝a﹣b；线段 AB 的中点 M 表示的数为 ．
【问题情境】
已知数轴上有 A、B 两点，分别表示的数为﹣10，8，点 A 以每秒 3 个单位的速度沿数轴
向右匀速运动，点 B 以每秒 4 个单位向左匀速运动．设运动时间为 t 秒（t＞0）．
【综合运用】
第34页（共117页）
（1）运动开始前，线段 AB 的中点 M 所表示的数 ；点 A 运动 t 秒后所在位置
的点表示的数为 ．（用含 t 的式子表示）
（2）若 A、B 两点按上述方式运动，A、B 两点经过多少秒会相距 4 个单位长度？
（3）若 A，B 两点按上述方式运动，线段 AB 的中点 M 能否与表示﹣2 的点重合？若能，
求出运动时间，并直接写出中点 M 的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当 A，
B 两点重合，则中点 M 也与 A，B 两点重合）
（4）若点 A 运动到原点处调转方向，沿数轴向左按原来的速度运动，点 B 的运动方向和
速度不变，则点 B 出发几秒时，与点 A 相距 10 个单位长度（t＞ ）？
42．（2020 秋•青岛期末）阅读下列材料：
1×2＝ （1×2×3﹣0×1×2）；
2×3＝ （2×3×4﹣1×2×3）；
3×4＝ （3×4×5﹣2×3×4）；
由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4＝ ×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+19×20（写出过程）．
（2）猜想：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝ ．
（3）探究计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+17×18×19．
43．（2022 秋•河口区期末）观察下列算式： ＝1﹣ ， ＝ ﹣ ， ＝ ﹣
，…．
第35页（共117页）
（1）通过观察以上算式，猜想并写出： （n 为正整数）．
（2）直接写出下列算式的结果：
+ + + + … + +
＝ ．
44．（2023•太湖县一模）观察下列等式：
第 1 个等式：2+22＝2
3﹣2；
第 2 个等式：2+22
+23＝2
4﹣2；
第 3 个等式：2+22
+23
+24＝2
5﹣2；
第 4 个等式：2+22
+23
+24
+25＝2
6﹣2；
…
请根据以上规律，解决下列问题．
（1）试写出第 6 个等式： ；
（2）请证明第 4 个等式．
45．（2023 秋 •湘桥区期中）阅读材料：求值 1+2+22
+23
+24
+…+22017．解：设 S＝
1+2+22
+23
+24
+…+22017，①将等式两边同时乘 2，得 2S＝2+22
+23
+24
+…+22017+22018，②
将②﹣①，得 S＝2
2018﹣1，即 1+2+22
+23
+24
+…+22017＝2
2018﹣1．请你仿照此法计算：
第36页（共117页）
1+2+22
+23
+24
+…+210．
46．（2022 秋•南康区期中）请你观察： ， ， ；…
+ ＝ + ＝1﹣ ＝ ；
+ + ＝ + + ＝1﹣ ＝ ；…
以上方法称为“裂项相消求和法”．
请类比完成：
（1） + + + ＝ ；
（2） + + + +…+ ＝ ；
（3）计算： 的值．
47．（2022 秋•江城区期中）从 2 开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：
加数 m 的个数 和 S
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当 m＝6 时，和为 ；
（2）从 2 开始，m 个连续偶数相加，它们的和 S 与 m 之间的关系，用公式表示出来为：
＝ ．
第37页（共117页）
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+200；
②202+204+206+…+300．
48．（2022 秋•青白江区期末）知识准备：数轴上 A、B 两点对应的数分别为 a、b，则 A、B
两点之间的距离就是线段 AB 的长，且 AB＝|a﹣b|，AB 的中点 C 对应的数为： （a+b）．
问题探究：在数轴上，已知点 A 所对应的数是﹣4，点 B 对应的数是 10．
（1）求线段 AB 的长为 ；线段 AB 的中点对应的数是 ．
（2）数轴上表示 x 和﹣5 的两点之间的距离是 ；若该距离是 8，则 x
＝ ．
（3）若动点 P 从点 A 出发以每秒 6 个单位长度的速度向右运动，同时动点 Q 从点 B 出
发以每秒 2 个单位长度的速度向左运动．经过多少秒，P、Q 两点相距 6 个单位长度？
49．（2023 秋•富县月考）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应
关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若 A，B 两点分别表示数
a，b，那么 A，B 两点之间的距离与 a，b 两数的差有如下关系：AB＝|a﹣b|或|b﹣a|，如
图，数轴上的点 A，B 分别表示有理数 2，﹣5.
（1）求出 A，B 两点之间的距离；
（2）若点 C 为数轴上一点，在点 A 的左侧，且 AC＝5，求出点 C 表示的数；
（3）在（2）的条件下，一个动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度在数轴上
匀速运动，设运动时间为 t 秒（t＞0），当 t 为何值时，M，C 两点之间的距离为 12 个单
位长度？
50．（2021 秋•武城县期末）【背景知识】
第38页（共117页）
数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发
现了许多重要的规律：数轴上 A 点、B 点表示的数为 a、b，则 A，B 两点之间的距离 AB
＝|a﹣b|，若 a＞b，则可简化为 AB＝a﹣b；线段 AB 的中点 M 表示的数为 ．
【问题情境】
已知数轴上有 A、B 两点，分别表示的数为﹣10，8，点 A 以每秒 3 个单位的速度沿数轴
向右匀速运动，点 B 以每秒 2 个单位向左匀速运动．设运动时间为 t 秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）运动开始前，A、B 两点的距离为 ；线段 AB 的中点 M 所表示的数 ．
（2）点 A 运动 t 秒后所在位置的点表示的数为 ；点 B 运动 t 秒后所在位
置的点表示的数为 ；（用含 t 的式子表示）
（3）它们按上述方式运动，A、B 两点经过多少秒会相距 4 个单位长度？
（4）若 A，B 按上述方式继续运动下去，线段 AB 的中点 M 能否与原点重合？若能，求
出运动时间，并直接写出中点 M 的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当 A，
B 两点重合，则中点 M 也与 A，B 两点重合）．
51．（2022 春•沙坪坝区校级期中）数轴上点 A 表示﹣8，点 B 表示 6，点 C 表示 12，点 D
表示 18．如图，将数轴在原点 O 和点 B、C 处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折
线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点 A 和
点 D 在折线数轴上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26 个单位长度．动点 M 从点 A 出发，以 2
个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点 O 运动到点 C 期间速度变为原来的一
半，过点 C 后继续以原来的速度向终点 D 运动；点 M 从点 A 出发的同时，点 N 从点 D
出发，一直以 1.5 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点 A 运动，其中一点到
达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为 t 秒．
（1）当 t＝2 秒时，M、N 两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 ；当点 M、N
都运动到折线段 O﹣B﹣C 上时，O、M 两点间的和谐距离|OM|＝ （用含有 t
第39页（共117页）
的代数式表示）；C、N 两点间的和谐距离|CN|＝ （用含有 t 的代数式表示）；
t＝ 时，M、N 两点相遇；
（2）当 M、O 两点在折线数轴上的和谐距离与 N、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等
时，求 t 的值．
52．（2021 秋•黔西南州期末）如图，已知数轴上 A，B 两点对应的数分别为﹣1，3，P 为数
轴上一动点，其对应的数为 x．
（1）若点 P 到点 A 和点 B 的距离相等，则 x＝ ．
（2）点 P 以每秒 3 个单位长度的速度从数轴的原点出发，出发后几秒时可使 PB＝3AB？
（3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6 的所有 x 的值．
53．（2020 秋•市南区期末）“好奇、发现、质疑、探究”是科学研究的基础与原动力，就像
牛顿被苹果砸到后，悟出万有引力，小明就被身边的钟表所吸引．他看到时针，分针，
秒针在表盘上有规律的周期性的转动着，就想探究出里面的一些东西．
（1）1 分钟秒针转动 1 周（360°），因此秒针的转动速度 度/分；
（2）60 分钟分针转动 1 周，因此分针的转动速度是 度/分；
（3）60 分钟时针转动 周，因此时针的转动速度是
第40页（共117页）
度/分；
（4）从中午 12 点开始，到第一次时针与分针恰好垂直，需要多少分钟？
（5）从上午 9 点开始，到第一次秒针恰好平分时针与分针的夹角（小于 180°），需要多
少分钟？
54．（2020 秋•市南区期末）某通讯公司有两种移动电话计费方式，如下表：
月使用费用（元） 主叫限定时间（分） 主叫超时费（分） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
（1）如果一个月主叫时间为 350 分钟，则方式一需支付的费用是 元；由此
可以判断出一个月主叫时间等于或者大于 350 分钟时，选择方式 费用较少；
（2）如果设一个月主叫时间为 x（x＞150）分钟，则方式一需支付的费用为
（用 x 表示）；
（3）有没有可能两种方式一个月支付的费用一样多？如果有，请求出主叫时间；如果没
有，请说明理由．
55．（2019 秋•崂山区期末）如图 1，点 O 为线段 MN 上一点，一副直角三角板的直角顶点
与点 O 重合，直角边 DO、BO 在线段 MN 上，∠COD＝∠AOB＝90°．
第41页（共117页）
（1）将图 1 中的三角板 COD 绕着点 O 沿顺时针方向旋转到如图 2 所示的位置，若∠AOC
＝ 35 ° ， 则 ∠ BOD ＝ ； 猜 想 ∠ AOC 与 ∠ BOD 的 数 量 关 系
为 ；
（2）将图 1 中的三角板 COD 绕着点 O 沿逆时针方向按每秒 15°的速度旋转一周，三角
板 AOB 不动，请问几秒时 OD 所在的直线平分∠AOB？
（3）将图 1 中的三角板 COD 绕着点 O 沿逆时针方向按每秒 15°的速度旋转一周，同时
三角板AOB绕着点O沿顺时针方向按每秒10°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），
请计算几秒时∠AOB 与∠COD 的角平分线共线．
56．（2019 秋•李沧区期末）如图，已知数轴上点 A 表示的数为 1，点 B 表示的数为﹣3，以
AB 为边在数轴的上方作正方形 ABCD．动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度
沿数轴正方向匀速运动，同时动点 Q 从点 D 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀
速运动，到达 A 点后再以同样的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为 t 秒（t＞0）．
（1）若点 Q 在线段 DA 上运动，当 t 为何值时，AQ＝AP？
（2）若点 Q 在线段 DA 上运动，连接 BQ，当 t 为何值时，三角形 ABQ 的面积等于正方
形 ABCD 面积的 ？
（3）在点 P 和点 Q 运动的过程中，当 t 为何值时，点 P 与点 Q 恰好重合？
（4）当点 Q 在数轴上运动时，是否存在某一时刻 t，使得线段 PQ 的长为 1？若存在，
求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
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57．（2019 秋•市北区期末）观察有规律的整数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…按照如图所示
的方式排成的数阵．
（1）按照该数阵呈现的规律排下去，那么第 n 行共有 个数，其中最左侧
的一个是 ，最右侧的一个是 （用含有 n 的代数
式表示）；
（2）按照该数阵呈现的规律排下去，那么第 10 行从左数第 9 个数是 ；
（3）第 n 行所有数字之和是 （用含有 n 的代数式表示）．
58．（2019 秋•崂山区期末）观察如图所示的图形，回答下列问题：
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（1）按甲方式将桌子拼在一起．
4 张桌子拼在一起共有 个座位，n 张桌子拼在一起共有 个座位；
（2）按乙方式将桌子拼在一起．
6 张桌子拼在一起共有 个座位，m 张桌子拼在一起共有 个座位；
（3）某食堂有 A，B 两个餐厅，现有 102 张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在
两个餐厅，每个餐厅都要放有桌子．将 a 张桌子放在 A 餐厅，按甲方式每 6 张拼成 1 张
大桌子；将其余桌子都放在 B 餐厅，按乙方式每 4 张桌子拼成 1 张大桌子，若两个餐厅
一共有 404 个座位，问 A，B 两个餐厅各有多少个座位？
59．（2020 秋•庐江县期末）已知长方形纸片 ABCD，点 E 在边 AB 上，点 F、G 在边 CD 上，
连接 EF、EG．将∠BEG 对折，点 B 落在直线 EG 上的点 B′处，得折痕 EM；将∠AEF
对折，点 A 落在直线 EF 上的点 A′处，得折痕 EN．
（1）如图 1，若点 F 与点 G 重合，求∠MEN 的度数；
（2）如图 2，若点 G 在点 F 的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN 的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含 α 的式子表示∠FEG 的大小．
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60．（2018 秋•平度市期末）【问题】若 a+b＝10，则 ab 的最大值是多少？
【探究】
探究一：当 a﹣b＝0 时，求 ab 值．
显然此时，a＝b＝5，则 ab＝5×5＝25
探究二：当 a﹣b＝±1 时，求 ab 值．
①a﹣b＝1，则 a＝b+1，
由已知得 b+1+b＝10
解得 b＝ ，
a＝b+l＝ +1＝
则 ab＝ ＝
②a﹣b＝﹣1，即 b﹣a＝1，由①可得，b＝ ，a＝
则 ab＝ ＝ ．
探究三：当 a﹣b＝±2 时，求 ab 值（仿照上述方法，写出探究过程）．
探究四：完成下表：
a﹣b … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
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ab … 25 …
【结论】若 a+b＝10，则 ab 的最大值是 （观察上面表格，直接写出结果）．
【拓展】若 a+b＝m，则 ab 的最大值是 ．
【应用】用一根长为 12m 的铁丝围成一个长方形，这个长方形面积的最大值是 m
2．
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未来空间.七上数学解答题压轴题
参考答案与试题解析
（共 60 小题）
1．（2022 秋•崂山区校级期末）据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背
上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人
称之为“洛书”（如图 1 所示），即现在的三阶幻方．
（1）请将 1～9 这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图 2），使每
行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．
（2）将﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6 填入到图 3 的方格中，使得每行、每列、斜对
角的三个数之和相等．
（3）图 4 是一个不完整的幻方，请将你认为正确的 7 个整数填入表格中，使得每行、每
列、斜对角的三个数之和相等．
（4）请将 1﹣16 剩余数字填入到图 5 的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和
相等，构成四阶幻方．
【解答】解：（1）根据“洛书”可得：
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（2）如图：
（3）如图：
（4）如图：
2．（2022 秋•市北区校级期末）如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上位于点 A
左侧一点，且 AB＝30，动点 P 从 A 点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速
运动，设运动时间为 t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点 B 表示的数 ﹣22 ；点 P 表示的数 8﹣5t ．（用含 t 的代数式
表示）
（2）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点 P、Q
同时出发，问多少秒时，P、Q 之间的距离恰好等于 4？
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（3）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P、Q
同时出发，问点 P 运动多少秒时追上点 Q．
（4）若 M 为 AP 的中点，N 为 BP 的中点，在点 P 运动的过程中，线段 MN 的长度是否
发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长．
【解答】解：（1）数轴上点 B 表示的数为 8﹣20＝﹣12；点 P 表示的数为 8﹣5t；
故答案为：﹣22，8﹣5t，
（2）若点 P、Q 同时出发，设 t 秒时 P、Q 之间的距离恰好等于 4．
根据题意，得 3t+5t＝30﹣4 或 3t+5t＝30+4，
解得 t＝ 或 t＝ ，
答：若点 P、Q 同时出发， 秒或 秒时 P、Q 之间的距离恰好等于 4；
（3）设点 P 运动 t 秒时追上 Q，
根据题意，得 5t﹣3t＝30，
解得 t＝15．
答：若点 P、Q 同时出发，点 P 运动 15 秒时追上 Q；
（4）线段 MN 的长度不发生变化，都等于 15；理由如下：
①当点 P 在点 A、B 两点之间运动时：
MN＝MP+NP＝ AP+ BP＝ （AP+BP）＝ AB＝ ×30＝15；
②当点 P 运动到点 B 的左侧时：
MN＝MP﹣NP＝ AP﹣ BP＝ （AP﹣BP）＝ AB＝ ×30＝15；
∴线段 MN 的长度不发生变化，其值为 15．
3．（2022 秋•市北区校级期末）问题探究：
如图 1，2 个角的各边相交，第 2 个角的每条边最多会与第 1 个角的 2 条边新产生 2 个交
点，所以共有 2×2＝4×1＝4 个交点；
如图 2，3 个角的各边相交，第 3 个角的每条边最多会与前面 2 个角的 4 条边新产生 4 个
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交点，所以共有 2×2+4×2＝4×（1+2）＝12 个交点；
若 4 个角的各边相交，第 4 个角的每条边最多会与前面 3 个角的 6 条边新产生 6 个交点，
所以共有 2×2+4×2+6×2＝4×（1+2+3）＝24 个交点；
…
（1）若 5 个角的各边相交，最多有多少个交点？（仿照上面的“问题探究”中的方法，
写出必要的探究过程）
（2）直接写出 10 个角的各边相交，最多共有 225 个交点；
（3）直接写出 n 个角的各边相交，最多共有 （2n
2﹣2n） 个交点（用含 n 的代数式
表示）．
【解答】解：（1）若 5 个角的各边相交，第 5 个角的每条边最多会与前面 4 个角的 8 条
边新产生 8 个交点，
所以共有 2×2+4×2+6×2+2×8＝4×（1+2+3+4）＝40 个交点；
（2）当由 10 个角的各边相交时，共有 4×（1+2+3+4+……+9）＝4×45＝225 个交点，
故答案为：225；
（3）当由 n 个角的各边相交时，共有 4×（1+2+3+4+……+n﹣1）＝4× ＝（2n
2
﹣2n）个交点，
故答案为：（2n
2﹣2n）．
4．（2022 秋•市北区校级期末）数轴上点 A 表示﹣8，点 B 表示 6，点 C 表示 12，点 D 表示
18．如图，将数轴在原点 O 和点 B，C 处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数
轴”上，动点 M 从点 A 出发，以 4 个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点 O
运动到点 C 期间速度变为原来的一半，过点 C 后继续以原来的速度向终点 D 运动；点 M
从点 A 出发的同时，
点 N 从点 D 出发，一直以 3 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点 A 运动．其
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中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为 t 秒，t＝ 4.4 时，M、N 两点
相遇（结果化为小数）．
【解答】解：当点 M、N 都运动到折线段 O﹣B﹣C 上，即 t≥2 时，M 表示的数是 ×
（t﹣2）＝2t﹣4，N 表示的数是 12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，
∵M、N 两点相遇时，M、N 表示的数相同，
∴2t﹣4＝18﹣3t，
解得：t＝ ＝4.4，
故答案为：4.4．
5．（2021 秋•平山县期末）如图 1，P 点从点 A 开始以 2 厘米/秒的速度沿 A→B→C 的方向
移动，点 Q 从点 C 开始以 1 厘米/秒的速度沿 C→A→B 的方向移动，在直角三角形 ABC
中，∠A＝90°，若 AB＝16 厘米，AC＝12 厘米，BC＝20 厘米，如果 P、Q 同时出发，
用 t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图 1，若 P 在线段 AB 上运动，Q 在线段 CA 上运动，试求出 t 为何值时，QA＝
AP
（2）如图 2，点 Q 在 CA 上运动，试求出 t 为何值时，三角形 QAB 的面积等于三角形
ABC 面积的 ；
（3）如图 3，当 P 点到达 C 点时，P、Q 两点都停止运动，试求当 t 为何值时，线段 AQ
的长度等于线段 BP 的长的
【解答】解：（1）当 P 在线段 AB 上运动，Q 在线段 CA 上运动时，设 CQ＝t，AP＝2t，
则 AQ＝12﹣t，
∵AQ＝AP，
