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（2023 丰台一模）★★☆
27．在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，点 E 在对角线 AC 上，连接 EB，点 F
在直线 AD 上（点 F 与点 D 不重合），且 EF＝EB．
（1）如图 1，当点 E 在线段 AO 上（不与端点重合）时．
①求证：
= AFE ABE
；
②用等式表示线段 AB，AE，AF 的数量关系并证明；
（2）如图 2，当点 E 在线段 OC 上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段
AB ，AE，AF 的数量关系．
图 1 图 2
F
O
D
A
B C
E
O
D
A
B C
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吴老师图解
（1）①
思路&图解
如图，连接
ED ，
1）易证
ABE ADE
（SAS），
2）
ED EB EF = = ，
= = 3 1 2
，即
= AFE ABE .
（1）②
AB AE AF = + 2 .
分析
如图，
共端点的三边数量关系问题，即“鸡爪
模型”问题，好久不见！
常规思路：2 旋转构造+相似…
由①进一步得
= BEF 90
（8 字）.
思路&图解
法 1：旋转构造
如图，作
EG AC ，
1）
AEG
是等腰直角三角形，
2）由①知
= 1 F
，进一步可求得
= BEF 90
（8 字），
3）易证
EAF EGB
（SAS），
AB AG BG AE AF = + = + 2 .
备注：本题也不一定非得证出
= BEF 90
，同学们可以利用①及
= = EAF EGB 135
证得全等（AAS）…
1
2
F 3
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
1
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
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思路&图解
法 2：旋转构造
如图，作
EG AC
，与【法 1】同理，可得结论…
法 3：手拉手（相似）
如图，连接
OB ， FB ，
1）由①知
= 1 F
，进一步可求得
= BEF 90
（8 字）
2）
BEF ， BOA
是等腰直角三角形，
3）易证
BAF BOE
，且相似比为
2 :1，
2
2 2( ) 2 2
2
AB AO AE EO AE AF AE AF
= = + = + = +
.
法 4：手拉手（相似）
如图，连接
BF
，取
AG AF =
，连接
FG ，与【法 3】同理，可得结论…
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
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思路&图解
法 5：
如图，作
EP AB， EQ AD ，
1）四边形
APEQ
是正方形，
2）易证
FQE BPE
（HL）
2 2 2
2 2
AB AP PB AE AF AE AE AF = + = + + = + .
法 6：此法来自 23 届@yanghaiyi 同学~
如图，过点
E
作
PQ AB // ，与【法 5】同理，可得结论！
备注：法 5 和法 6 可以同时解决①和②…
法 7：直接计算
如图，连接
DE
，作
EP AD，
由①知
EF ED = ，则
DF PF = 2
（三线合一），
2
2 2
2
AB AD AF AE AF AF AE
= = + − = +
.
Q
F
O
P
A D
B C
E
Q
F
O
P
A D
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
P
F
O
D
A
B C
E
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（2）
AB AF AE + = 2 .
补全图形&分析
如图，连接
ED ，与（1）类似，先利用“对角互补”得到
= BEF 90
，然后三边的数
量关系还是和（1）一样，都是“鸡爪模型”问题，吴老师不再给出详细过程…
思路&图解
法 1：
如图，作
EG AC
，交
AB
的延长线于点
G
，易证得
AB AF AE + = 2 .
法 2：
如图，作
RG AC
，交
AD
的延长线于点
G
，易证得
AB AF AE + = 2 .
法 3：
如图，连接
BO， BF
，易证得
AB AF AE + = 2 .
F
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
A D
C
B
E
G
F
O
A D
C
B
E
G
F
O
A D
B C
E
G
F
O
A D
B C
E
F
O
A D
B C
E
F
O
A D
B C
E
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思路&图解
法 4：
如图，连接
BF ，作
FG AC ，易证得
AB AF AE + = 2 .
法 5：
如图，作
EP AB， EQ AD ，易证得
AB AF AE + = 2 .
法 6：
如图，过点
E
作
PQ AB // ，易证得
AB AF AE + = 2 .
法 7：
如图，连接
ED
，作
EP AD，易证得
AB AF AE + = 2 .
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
P
F Q
O
D
A
B C
E
P
F Q
O
D
A
B C
E
F P
O
D
A
B C
E
