正文 答案

1. 名校名卷高二第一学期期中测试卷(一) ………………………………………… 1-1 1

2. 名校名卷高二第一学期期中测试卷(二) ………………………………………… 2-1 7

3. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(一) ………………………………………… 3-1 12

4. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(二) ………………………………………… 4-1 18

5. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(三) ………………………………………… 5-1 24

6. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(四) ………………………………………… 6-1 31

7. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(五) ………………………………………… 7-1 37

8. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(六) ………………………………………… 8-1 43

9. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(七) ………………………………………… 9-1 49

10. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(八) ……………………………………… 10-1 56

11. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(九) ……………………………………… 11-1 63

12. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(十) ……………………………………… 12-1 70

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图书在版编目(C I P)数据

清北卷·名校名卷. 数学高二 BS / 董国良主编. —

长春:东北师范大学出版社,2022. 10(2023. 9 重印)

ISBN 978 - 7 - 5681 - 9530 - 0

Ⅰ. ①清… Ⅱ. ①董… Ⅲ. ①中学数学课—高中—教

学参考资料 Ⅳ. ①G634

中国版本图书馆 CIP 数据核字(2022)第 186543 号

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□责任编辑:于天娇 □封面设计:高 洋

□责任校对:马瑞红 □责任印制:许 冰

东北师范大学出版社出版发行

长春净月经济开发区金宝街 118 号(邮政编码:130117)

电话:0431—84568025

传真:0431—85691969

网址:http:∥www. nenup. com

河南清北之道教育研究院有限公司制版

河南美轩印务有限公司印装

河南省焦作市武陟县产业集聚区东区詹店镇泰安路与昌平路交叉口

2022 年 10 月第 1 版 2023 年 9 月第 2 次印刷

幅面尺寸:890mm×1240mm 1 / 16 印张:11 字数:222 千

定价:46. 80 元

(1 1 )

1. 名校名卷高二第一学期期中测试卷(一)

数 学

建议时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1. 圆(x + 4)

2 +(y - 3)

2 = 7 的圆心和半径分别是 ( )

A. ( - 4,3),7 B. ( - 4,3), 7

C. (4, - 3),7 D. (4, - 3), 7

2. 已知直线 l 的一个方向向量 p = sin

π

3

,cos

π

3

( ) ,则直线 l 的倾斜角 α 为 ( )

A.

π

6

B.

π

3

C.

2π

3

D.

4π

3

3. 已知直线 x - my + 4 = 0 和直线 2mx + 5y - 4m = 0 的交点在第二象限,则 m 的取值

范围是 ( )

A. ( - ∞ , 5 ) B. ( - 5 ,0)

C. (0, 5 ) D. ( - 5 , 5 )

4. 已知直线 l:xcos θ + ysin θ = 1,当 θ 变化时,直线 l 始终不经过点 P,若 Q( - 2,0),则 | PQ |

的取值范围为 ( )

A. [0,2] B. (0,2) C. [1, 3 ] D. (1,3)

5. 已知圆 x

2 + y

2 = 4 与 x 轴的交点分别为 A,B,点 P 是直线 l:y = - x + 6 上的点,椭圆 C 以 A,

B 为焦点且过点 P,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为 ( )

A.

1

5

,

2

2

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

B. 0,

5

5

(

ù

û

ú

ú

C.

5

5

,1

é

ë

ê

ê ) D.

1

3

,1

é

ë

ê

ê )

6. 已知抛物线 y

2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F,过点 F 作斜率为 2 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两

点,若线段 AB 的中点到抛物线的准线的距离为 3,则该抛物线的方程为 ( )

A. y

2 =

12

5

x B. y

2 =

24

5

x C. y

2 = 12x D. y

2 = 6x

(1 2 )

7. 如图,已知点 A( - 1,0),点 P 是圆 O:x

2 + y

2 = 4 上的任意一点,过点 B(1,0) 作直线 BT 垂直

AP 于点 T,则 2 | PA | + 3 | PT | 的最小值是 ( )

A. 6 2 B. 8 2 C. 4 2 D. 2 2

8. 已知双曲线 x

2 - y

2 = a

2

(a > 0) 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,过点 F2 作斜率为 3 的直线交双

曲线的右支于 A,B 两点,则 △AF1B 内切圆的半径为 ( )

A.

a

2

B.

a

6

C.

6 a

3

D.

6 a

6

二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合

题目要求. 全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.

9. 已知直线 l

1:x - y - 1 =0,直线 l

2:(k + 1)x + ky + k =0(k ∈ R),则下列结论正确的是 ( )

A. 不存在 k,使得 l

2 的倾斜角为 90° B. 对任意的 k,l

1 与 l

2 都有公共点

C. 对任意的 k,l

1 与 l

2 都不重合 D. 对任意的 k,l

1 与 l

2 都不垂直

10. 已知直线 l:ax + by - r

2 = 0,圆 C:x

2 + y

2 = r

2

,点 A(a,b),则下列说法正确的是 ( )

A. 若点 A 在圆 C 上,则直线 l 与圆 C 相切

B. 若点 A 在圆 C 内,则直线 l 与圆 C 相离

C. 若点 A 在圆 C 外,则直线 l 与圆 C 相离

D. 若点 A 在直线 l 上,则直线 l 与圆 C 相切

11. 已知抛物线 C:y =

1

4

x

2 的焦点为F,过F 的直线交抛物线C 于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,O 为坐标

原点,直线 AO,BO 分别与直线 m:y = - 2 交于 M,N 两点,则下列说法正确的是 ( )

A. F(0,2)

B. y1

y2

= 1

C. | FA |·| FB | 的最小值为 4

D. △AOB 与 △MON 的面积之比为定值

(1 3 )

12. 已知椭圆 C1 :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,离心率为 e1 ,椭圆 C1 的上

顶点为 M,且MF1

→·MF2

→ = 0,双曲线 C2 和椭圆 C1 有相同的焦点,且双曲线 C2 的离心率为 e2 ,

P 为 C1 与 C2 的一个公共点. 若 ∠F1PF2

=

π

3

,则下列结论正确的是 ( )

A.

e2

e1

= 2 B. e1

e2

=

3

2

C. e

2

1

+ e

2

2

=

5

2

D. e

2

2

- e

2

1

= 1

三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已知双曲线 C 的焦点在 y 轴上,焦距为4,且焦点 F 到渐近线的距离为1,则双曲线 C 的方程

为 .

14. 已知直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x - 2)

2 + y

2 = 2 上,则

△ABP 面积的取值范围是 .

15. 已知圆 C1 :(x - 3)

2 +(y + 2)

2 = 1,圆 C2 :(x - 7)

2 +(y - 1)

2 = 50 - a,若圆 C1 与圆 C2 有

且仅有一个公共点,则 a 的值为 .

16. 设直线 l 与抛物线 y

2 = 4x 交于 A,B 两点,与圆 C:(x - 5)

2 + y

2 = r

2

(r > 0) 相切于点 M,且

M 为线段 AB 中点. 若符合上述条件的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 .

四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分)

已知直线l

1 :(m - 1)x + 2y - m = 0,直线l

2 :x + my + m - 2 = 0.

(1) 若l

1 与l

2 垂直,求实数 m 的值;

(2) 若l

1 与l

2 平行,求实数 m 的值.

(1 4 )

18. (12 分)

如图,已知抛物线 C:y

2 = 2px(p > 0),圆 M:(x - 4)

2 + y

2 = 1,圆心 M 到抛物线准线的距离

为

17

4

,过抛物线 C 上一点 H(xH,yH)(yH ≥1) 作两条直线分别与圆 M 相切于 A,B 两点,且分

别交抛物线于 E,F 两点.

(1) 求抛物线 C 的方程;

(2) 当 ∠AHB 的平分线垂直于 x 轴时,求直线 EF 的斜率.

(1 5 )

19. (12 分)

已知圆 C 的圆心在直线 x + y - 3 = 0 上,且经过点 A(2,4),B(3,1).

(1) 求圆 C 的标准方程;

(2) 若过点 M(2,0) 的直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.

(1 6 )

20. (12 分)

已知椭圆 C:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1(a > b > 0) 的离心率为

3

2

,N - 1, -

3

2

( ) 为椭圆 C 上一点.

(1) 求椭圆 C 的标准方程;

(2) 若直线 l:y = kx + m(k < 0) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点 P 在抛物线

y

2 = -

1

8k

x 上,求 △OAB(O 为坐标原点) 的面积取得最大值时直线 l 的方程.

(1 7 )

21. (12 分)

已知双曲线 C:

x

2

a

2

-

y

2

b

2

= 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1 ,F2 ,且 | F1F2

| = 4,C 的一

条渐近线与直线 l:y = -

3

3

x 垂直.

(1) 求 C 的标准方程.

(2) 已知点 M 为 C 上一动点,直线 MF1 ,MF2 分别交 C 于不同的两点 A,B(均异于点 M),

且MF1

→ = λF1A

→,MF2

→ = μF2B

→,试判断 λ + μ 是否为定值? 若为定值,求出该定值;若不为定

值,请说明理由.

(1 8 )

22. (12 分)

如图,椭圆 C:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1(a > b > 0) 的短轴长为 2,椭圆 C 上的点到右焦点距离的最大值

为 2 + 3 . 过点 P(m,0) 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,其中 m > 0,k > 0,D 是

线段 AB 的中点,直线 OD 交椭圆 C 于 M,N 两点(M 在第二象限).

(1) 求椭圆 C 的标准方程;

(2) 若 m = 1,OM

→ + 3OD

→ = 0,求 k 的值;

(3) 若存在直线 l,使得四边形 OANB 为平行四边形,求 m 的取值范围.

(3 1 )

3. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(一)

数 学

建议时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1. 已知直线过 A(1,6),B(4,3) 两点,则该直线的倾斜角为 ( )

A. 30° B. 45° C. 135° D. 150°

2. 已知空间向量 a = (2, - 2, - 3),b = (2,0,4),则 cos〈a,b〉 = ( )

A.

4 85

85

B. -

4 85

85

C. 0 D. 1

3. 已知(1 - 2x)

n 的展开式中含 x

3 项的系数是 - 160,则 n 的值为 ( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4. 若圆 C1 :x

2 + y

2 = 1 与圆 C2 :x

2 + y

2 - 6x - 8y + m = 0 外切,则 m 的值为 ( )

A. 21 B. 19 C. 9 D. - 11

5. 李老师一家要外出游玩几天,家里有一盆花交给邻居帮忙照顾,如果这几天内邻居记得浇

水,那么花存活的概率为 0. 8,如果这几天内邻居忘记浇水,那么花存活的概率为 0. 3. 假设

李老师对邻居不了解,即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为 0. 5,几天后李老师回来

发现花还活着,则邻居记得浇水的概率为 ( )

A.

3

11

B.

1

2

C.

8

11

D.

4

5

6. 如图,在四棱锥P - ABCD 中,底面ABCD 为正方形,且各棱长均相等,E 是PB 的中点,则异面

直线 AE 与 PC 所成角的余弦值为 ( )

A.

3

6

B.

6

3

C.

1

3

D.

1

2

(3 2 )

7. 已知点 P(x,y) 是直线 y = 2 2 x - 4 上一动点,PM 与 PN 是圆 C:x

2 +(y - 1)

2 = 1 的两条切

线,M,N 为切点,则四边形 PMCN 的最小面积为 ( )

A.

4

3

B.

2

3

C.

5

3

D.

5

6

8. 已知椭圆 C:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,上顶点为 B,BF2 的延长线交

椭圆于 Q 点,且 | BQ | =| F1Q | ,则椭圆 C 的离心率为 ( )

A.

1

2

B.

2

3

C.

2

2

D.

3

3

二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合

题目要求. 全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.

9. 若一个三位数中十位上的数字比个数和百位上的数字都大,则称这个数为“凸数”,如 231,

354 都是“凸数”. 用 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的三位数,则 ( )

A. 组成的三位数的个数为 30

B. 在组成的三位数中,奇数的个数为 36

C. 在组成的三位数中,“凸数” 的个数为 24

D. 在组成的三位数中,“凸数” 的个数为 20

10. 已知平面上三条直线 x - 2y + 2 = 0,x - 2 = 0,x + ky = 0,若这三条直线将平面分为六部分,

则 k 的可能取值为 ( )

A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1

11. 抛物线 y

2 =6x 的焦点为 F,P 为抛物线上的动点,若点 A 不在抛物线上,且满足 | PA | +| PF | 的

最小值为

9

2

,则 | AF | 的值可以为 ( )

A.

9

2

B. 3 C.

3

2

D.

5

4

12. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,点 P 满足BP

→ = λBC

→ + μBB1

→,其中 λ ∈ [0,

1],μ ∈ [0,1],则 ( )

A. AP ≤ 3

B. 当 λ =

1

2

时,有且仅有一个点 P,使得 AP ⊥ 平面 A1BD

C. 当 μ =

1

2

时,有且仅有一个点 P,使得 A1P ∥ AB

D. 当 λ + μ =

1

2

时,三棱锥 P - A1BD 的体积为定值

(3 3 )

三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. x +

3

x

( 2 )

6

的展开式中的常数项为 . (用数字作答)

14. 已知平面 α 的一个法向量为 m = (3λ,6,y + 3),平面 β 的一个法向量为 n = (λ + 1,3,2y),

若 α ∥ β,则 λ + y = .

15. 某射击小组共有10名射手,其中一级射手2人,二级射手3人,三级射手5人,现选出2人参加

比赛. 已知至少有一人是一级射手,则另一人是三级射手的概率为 ;若一、二、三

级射 手 比 赛 获 胜 的 概 率 分 别 是 0. 9,0. 7,0. 5, 则 任 选 一 名 射 手 能 够 获 胜 的 概 率

为 .

16. 已知直线 l 与双曲线

x

2

a

2

-

y

2

b

2

= 1(a > 0,b > 0) 的两条渐近线分别交于 A,B 两点,M 为线段

AB 的中点,O为坐标原点. 设直线l,OM的斜率分别为k1 ,k2 ,且k1

k2

=

3

2

,则该双曲线的渐近

线方程为 .

四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分)

将 A,B,C,D 这 4 个小球放入 4 个不同的盒子中.

(1) 若 A,B 要放入同一个盒子中,有多少种不同的放法?

(2) 若每个盒子最多只能放 2 个小球,有多少种不同的放法?

(3 4 )

18. (12 分)

已知 △ABC 的三个顶点分别为 A(2,4),B(0, - 5),C(10,0),线段 AC 的垂直平分线为 l.

(1) 求直线 l 的方程;

(2) 点 P 在直线 l 上运动,当 | AP | +| BP | 最小时,求点 P 的坐标.

(3 5 )

19. (12 分)

如图,在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PCD ⊥ 平面 ABCD,四边形 ABCD 是梯形,AB ∥ CD,

AB ⊥ AD,E,F 分别是棱 BC,PA 的中点.

(1) 证明:EF ∥ 平面 PCD.

(2) 若 PC = 3 PD = 3 CD = 3 AD = 2 3 AB,求直线 EF 与平面 PAD 所成角的正弦值.

(3 6 )

20. (12 分)

如图,足球门框的宽 AB 为 2 个单位长度(假设 1 个单位长度的长为 3. 66 m),设足球位于点

P,点 P 与 A,B 连线所成的角为 α(即 ∠APB = α).

(1) 若队员射门训练时,射门角度 α = 30°,求足球所在的点 P 的轨迹方程;

(2) 已知点 D 到直线 AB 的距离为 3 个单位长度,到直线 AB 的垂直平分线的距离为 2 个单

位长度,若教练要求队员,当足球运至距离点 D 为 2 个单位长度处的一点时射门,求射门

角度 α 的最大值.

(3 7 )

21. (12 分)

在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A(1, - 1) 关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP

的斜率之积等于 -

1

3

.

(1) 求动点 P 的轨迹方程.

(2) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x = 3 交于点 M,N,则是否存在点 P,使得 △PAB 与 △PMN

的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3 8 )

22. (12 分)

如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,AC = 2 ,AB = 1,E,F 分别为 A1C,BB1 的中点,且 EF ⊥ 平

面 AA1C1C.

(1) 求棱 BC 的长度;

(2) 若 BB1 ⊥ A1B1 ,且 △A1FC 的面积为

2

2

,求二面角 B1

- A1F - C 的正弦值.

(4 1 )

4. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(二)

数 学

建议时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1. 以 A(1, - 1) 为圆心,且经过点 B(0,1) 的圆的一般方程为 ( )

A. x

2 + y

2 - 2x - 2y - 7 = 0 B. x

2 + y

2 - 2x + 2y - 7 = 0

C. x

2 + y

2 - 2x + 2y - 3 = 0 D. x

2 + y

2 - 2x + 2y + 3 = 0

2. 设(2x - 3)

5 = a5

x

5 + a4

x

4 + a3

x

3 + a2

x

2 + a1

x + a0 ,则 a3

= ( )

A. 720 B. - 720 C. 10 D. - 10

3. 已知100件产品中有5件次品,若不放回地抽取2次,每次抽1件,且第一次抽出的是次品,则

第二次抽出正品的概率是 ( )

A.

19

20

B.

95

99

C.

2

95

D.

2

5

4. 已知 m ∈ R,则“m > 4” 是“方程

x

2

4 - m

+

y

2

m - 3

= 1 表示双曲线” 的 ( )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,∠BCA = 90°,AC = CC1

= 2,M 是 A1B1 的中点,以 C 为坐

标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 若A1B

→⊥C1M

→,则异面直线 CM 与 A1B 所成角的

余弦值为 ( )

A.

2

3

B.

3

3

C.

2

3

D.

7

3

(4 2 )

6. “赛龙舟” 是端午节重要的民俗活动之一,龙舟比赛的划手分为左桨划手和右桨划手. 某训练

小组有6 名划手,其中有2 名只会划左桨,2 名只会划右桨,2 名既会划左桨又会划右桨. 现从这

6 名划手中选派 4 名参加比赛,其中 2 名划左桨,2 名划右桨,则不同的选派方法共有 ( )

A. 15 种 B. 18 种 C. 19 种 D. 36 种

7. 已知m∈R,过定点A的直线x + my = 0和过定点B的直线mx - y - m + 3 = 0交于点P(x,y),

则 | PA |·| PB | 的最大值是 ( )

A. 5 B. 10 C.

10

2

D. 17

8. 如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,A1M

→ = λA1C

→,λ ∈ [0,1]. 若平面 AMD1 ⊥ 平面 B1CD1 ,

则 λ 的值为 ( )

A. 1 B.

1

4

C.

1

3

D.

1

2

二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合

题目要求. 全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.

9. 若{a,b,c} 构成空间的一组基,则下列向量共面的是 ( )

A. b + c,b,b - c B. a,a + b,a - b

C. a + b,a - b,c D. a + b,a + b + c,c

10. 已知二项式 3 x -

1

x

( )

n

的展开式中各项系数之和是 128,则下列说法正确的有 ( )

A. 该展开式共有 7 项

B. 该展开式中所有二项式系数的和为 128

C. 该展开式中二项式系数最大的项是第 4 项

D. 该展开式中不存在常数项

11. 已知点 A( - 1,0),抛物线 C:y

2 =4x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 交 C 于 P,Q 两点,则 ( )

A.

| PA |

| PF |

的最大值为 2

B. △APQ 面积的最小值为 2

C. 当

| PA |

| PF |

取得最大值时,直线 AP 与 C 相切

D. 当

| PA |

| PF |

取得最大值时,tan∠QAF =

1

2

(4 3 )

12. 已知直线 y = kx + m 与圆 O:x

2 + y

2 = 4 交于点 M,N,若过点 M 和 A(2,0) 的直线与 y 轴交

于点 C,过点 M 和 B(0,2) 的直线与 x 轴交于点 D,则 ( )

A. △MON 面积的最大值为 2 B. MA

→·MB

→ 的最小值为 4

C. | AD |·| BC | = 8 D. 当 k = 1 时,kOM·kON

= 1

三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已知直线 l

1 经过点( 4,5) ,且与直线 l

2 :mx - my +1 = 0( m ≠ 0) 平行,则直线 l

1 的方程

为 .

14. 现有甲、乙、丙三个开关和A,B,C三盏灯,各开关对灯的控制互不影响. 当甲闭合时A,B亮,

当乙闭合时 B,C 亮,当丙闭合时 A,C 亮. 若甲、乙、丙闭合的概率分别为

1

2

,

1

3

,

1

4

,且甲、乙、

丙是否闭合相互独立,则在 A 亮的条件下,B 也亮的概率为 .

15. 在中国古代数学著作《九章算术》 中记载了一种称为“曲池” 的几何体,该几何体的上、下底

面是一对平行且全等的扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分). 现有一个如图所示的曲

池,AA1,BB1,CC1,DD1 均与曲池的底面垂直,且长度均为 2,底面扇环对应的两个圆的半径分

别为 1 和 2,对应的圆心角为 90°,则直线 CD1 与平面 AB1D 所成角的正弦值为 .

16. 过原点作一条倾斜角为 θ θ ∈

π

6

,

5π

6

é

ë

ê

ê

ù

û

ú ( ú ) 的直线与椭圆

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1(a > b > 0) 交于 A,B 两

点,F 为椭圆的左焦点,若 AF ⊥ BF,则该椭圆的离心率 e 的取值范围为 .

四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分)

如图,在平行六面体 ABCD - A′B′C′D′ 中,AB = 4,AD = 3,AA′ = 5,∠BAD = 90°,∠BAA′ =

∠DAA′ = 60°,且点 F 为 BC′ 与 B′C 的交点,点 E 在线段 AC′ 上,AE = 2EC′.

(1) 求 AC′ 的长;

(2) 设EF

→ = xAB

→ + yAD

→ + zAA′

→,求 x + y + z 的值.

(4 4 )

18. (12 分)

已知抛物线 y

2 = 2px 的准线方程为 x = - 1.

(1) 求抛物线的方程;

(2) 若直线 l:x = my + 4 与抛物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,证明:OA ⊥ OB.

(4 5 )

19. (12 分)

如图,已知圆 O:x

2 + y

2 = 1 和点 A(2,1),由圆 O 外一点 P 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且

| PQ | =| PA | .

(1) 求点 P 的轨迹方程;

(2) 若以点 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求出半径最小的圆 P 的方程;

(3) 求 | PO | -| PQ | 的最大值.

(4 6 )

20. (12 分)

中华文化源远流长,为了让青少年更好地了解中国的传统文化,某培训中心计划利用暑期

开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣” 六门体验课程.

(1) 若体验课连续开设六周,每周一门,求“京剧” 和“剪纸” 课程排在不相邻的两周的所有

排法种数;

(2) 现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程,每人都选两门课程,甲和乙有一门

共同的课程,丙和甲、乙的课程都不同,求所有选课的种数;

(3) 计划安排 A,B,C,D,E 五名教师教这六门课程,每名教师至少任教一门课程,每门课程

只有一名教师任教,教师A不任教“围棋” 课程,教师B只能任教一门课程,求所有课程安排

的种数.

(4 7 )

21. (12 分)

如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,点 P 在底面的投影 O 恰好是菱形 ABCD 的

对角线的交点,∠BAD = 60°,AB = 2,PO = 3 ,E 为 PC 的中点.

(1) 证明:平面 PBC ⊥ 平面 BDE.

(2) 若点 Q 在线段 PA 上,且 PQ = 2QA,求二面角 Q - BD - E 的正弦值.

(4 8 )

22. (12 分)

已知双曲线 C:

x

2

a

2

-

y

2

b

2

= 1(a > 0,b > 0) 的左顶点为 A( - 1,0),渐近线方程为 y = ± 2 x,

直线 l 交 C 于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为 - 2.

(1) 证明:直线 l 过定点.

(2) 若在射线 AQ 上的点 R 满足 ∠APQ = ∠ARP,求直线 PR 斜率的最大值.

参 考 答 案

1. 名校名卷高二第一学期期中测试卷(一)

数 学

答案速查

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B A C D B B A C BD ABD BCD BD

1. B 【解析】 因为圆(x - a)

2 +(y - b)

2 = r

2

(r >

0) 的圆心为(a,b),半径为 r,所以圆(x + 4)

2 +

(y - 3)

2 = 7 的圆心为( - 4,3),半径为 7 .

2. A 【解析】 由题意得直线 l 的斜率 kl

= tan α =

cos

π

3

sin

π

3

=

3

3

,又 α ∈ [0,π),所以直线 l 的倾斜角

为

π

6

.

3. C 【解析】 由

x - my + 4 = 0,

2mx + 5y - 4m = 0 { 得

x =

4m

2 - 20

2m

2 + 5

,

y =

12m

2m

2 + 5

,

ì

î

í

ï

ïï

ï

ï

所 以 两 条 直 线 的 交 点 为

(

4m

2 - 20

2m

2 + 5

,

12m

2m

2 + 5

). 因为两条直线的交点在第

二象限,所以

4m

2 - 20

2m

2 + 5

< 0,

12m

2m

2 + 5

> 0,

ì

î

í

ï

ïï

ï

ï

解得 0 < m < 5 ,

即 m 的取值范围是(0, 5 ).

4. D 【解析】 易得原点 O(0,0) 到直线 l:xcos θ +

ysin θ = 1 的距离为

| 0 + 0 - 1 |

cos

2

θ +sin

2

θ

= 1,所以直线 l

是圆 x

2 + y

2 = 1 的切线. 又直线 l 始终不经过点 P,

所以点 P 在该圆内. 易得 | OQ | = 2, 所以 1 =

| OQ | - 1 < | PQ | < | OQ | + 1 = 3,即 | PQ | 的

取值范围为(1,3).

5. B 【解析】 易得圆 x

2 + y

2 = 4 与 x 轴的交点分别

为( - 2,0),(2,0). 不妨设 A( - 2,0),B(2,0),则

椭圆C 的半焦距c = 2. 设B 关于直线l的对称点为

B′(m,n). 由题意可得

n

m - 2

= 1,

n + 0

2

= 6 -

m + 2

2

,

ì

î

í

ï

ïï

ï

ïï

解得

m = 6,

n = 4, { 所 以 B′(6,4), 所 以 | AB′ | =

(6 + 2)

2 +(4 - 0)

2 = 4 5 . 因为椭圆 C 的长半

轴 a =

| PA | +| PB |

2

=

| PA | +| PB′ |

2

≥

| AB′ |

2

= 2 5 ,所以椭圆 C 的离心率 e 的最大值为

2

2 5

=

5

5

. 又 e > 0,所以 e 的取值范围为 0,

5

5

(

ù

û

ú

ú

.

6. B 【解析】 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ). 易知 F(

p

2

,

0),准线方程为 x = -

p

2

. 由直线 l 过点 F 且 l 的斜

率为 2,得直线 l 的方程为 y = 2 x -

p

2

( ) ,即 y =

2x - p. 由

y

2 = 2px,

y = 2x - p { 得 4x

2 - 6px + p

2 = 0,则 x1

+

x2

=

3p

2

. 因为 AB 的中点到抛物线的准线的距离为

3,所以

x1

+ x2

2

+

p

2

= 3,即

3p

4

+

p

2

= 3,解得p =

12

5

,

所以该抛物线的方程为 y

2 =

24

5

x.

·1·

7. A 【解析】 连接 PO,如图.

在 △PAB 中, 因为 O 是 AB 的中点, 所以PO

→ =

1

2

(PA

→ +PB

→),所以| PO

→ |

2 =

1

4

(| PA

→ |

2 +| PB

→ |

2 +

2 | PA

→ |·| PB

→ | cos∠APB), 又 cos∠APB =

| PA |

2 +| PB |

2 -| AB |

2

2 | PA |·| PB |

, 所 以 | PO | =

1

2

2(| PA |

2 +| PB |

2

) -| AB |

2 = 2. 又 | AB | = 2,

所以 | PA |

2 + | PB |

2 = 10, 所以 cos∠APB =

3

| PA |·| PB |

,所以 | PT | =| PB | cos∠APB =

3

| PA |

. 易知 1 ≤| PA | ≤ 3, 所以 2 | PA | +

3 | PT | = 2 | PA | +

9

| PA |

≥ 2 ×

2 | PA |·

9

| PA |

= 6 2 , 当且仅当 2 | PA | =

9

| PA |

,即 | PA | =

3 2

2

时等号成立,故 2 | PA | +

3 | PT | 的最小值是 6 2 .

8. C 【解析】 不妨设 A(x1 ,y1 )(y1 > 0),过点 A 作

AM ⊥ x 轴于点 M,如图.

易得 F2( 2a,0), | F1F2

| = 2 2a,x

2

1

- y

2

1

= a

2

,则

| AF2

|

2 = (x1

- 2a)

2

+ y

2

1

= (x1

- 2a)

2

+ x

2

1

-

a

2 = ( 2x1

- a)

2

,所以| AF2

| = 2x1

- a①. 又直线

AB 的斜率 kAB

= tan∠AF2M = 3,所以 ∠AF2M =

60°,则 | AF2

| cos 60° = | F2M | = x1

- 2a,即x1

=

1

2

| AF2

| + 2a②. 由 ①② 得 | AF2

| = (2 + 2)a.

同理, | BF2

| = (2 - 2 )a. 所以| AB | =| AF2

| +

| BF2

| = 4a, 所 以 S△AF1

B

=

1

2

| F1F2

|·

| AB | sin 60° = 2 6 a

2

. 设 △AF1B 内切圆的半径

为 r,则

1

2

( | F1A | +| F1B | +| AB | )r = S△AF1

B

.

又 | F1A | +| F1B | =| AB | + 4a = 8a, 所以

1

2

×

12a × r = 2 6 a

2

,解得 r =

6 a

3

,即 △AF1B 内切圆

的半径为

6 a

3

.

9. BD 【解析】 当k = 0 时,l

2 :x = 0,此时l

2 的倾斜角

为 90°,故 A 错误;易得直线 l

2 :(k + 1)x + ky + k =

k(x + y + 1) + x = 0, 令

x + y + 1 = 0,

x = 0, { 解得

x = 0,

y = - 1, { 所以直线 l

2 过定点 (0, - 1), 又 (0,

- 1) 在直线 l

1 :x - y - 1 = 0 上,所以对任意的 k,

l

1 与l

2 都有公共点,故B正确;令

k + 1

1

=

k

- 1

,解得

k = -

1

2

,此时 l

2 :

1

2

x -

1

2

y -

1

2

= 0,即 x - y - 1 =

0,显然与 l

1 :x - y - 1 = 0 重合,故 C 错误;若 l

1 与

l

2 垂直,则(k + 1) × 1 + ( - 1)k = 0,无解,所以对

任意的 k,l

1 与 l

2 都不垂直,故 D 正确.

10. ABD 【解析】 易得圆 C 的圆心(0,0) 到直线 l

的距离 d =

r

2

a

2 + b

2

. 若点 A(a,b) 在圆 C 上,则

a

2 + b

2 = r

2

,所以 d =

r

2

a

2 + b

2

=| r | ,所以直线 l

与圆 C 相切,故 A 正确;若点 A(a,b) 在圆 C 内,

则 a

2 + b

2

< r

2

,所以 d =

r

2

a

2 + b

2

> | r | ,所以直

线 l 与圆 C 相离,故 B 正确;若点 A(a,b) 在圆 C

外,则 a

2 + b

2

> r

2

,所以 d =

r

2

a

2 + b

2

< | r | ,所

·2·

以直线 l 与圆 C 相交,故 C 错误;若点 A(a,b) 在

直线 l 上,则 a

2 + b

2 - r

2 = 0,即 a

2 + b

2 = r

2

,所以

d =

r

2

a

2 + b

2

=| r | ,所以直线 l 与圆 C 相切,故 D

正确.

11. BCD 【解析】 由y =

1

4

x

2 得x

2 = 4y,所以F(0,1),

故A 错误;易得直线AB 的斜率存在,设斜率为k,又直

线AB 过点F(0,1),所以直线AB 的方程为y = kx + 1,

由

y = kx + 1,

x

2 = 4y { 消去x 得y

2 - (2 + 4k

2

)y + 1 = 0,所以

y1

+ y2

= 2 + 4k

2

,y1

y2

= 1,易得|FA| = y1

+ 1,|FB| =

y2

+ 1,则|FA|·|FB| = (y1

+ 1)(y2

+ 1)= y1

y2

+(y1

+

y2) + 1 = 4 + 4k

2 ≥4,所以|FA |·|FB | 的最小值为4,

故B,C 正确;易得 ∠AOB = ∠MON,所以

S△AOB

S△MON

=

1

2

×| OA |·| OB |·sin∠AOB

1

2

×| OM |·| ON |·sin∠MON

=

| OA |·| OB |

| OM |·| ON |

=

y1

2

·

y2

2

=

y1

y2

4

=

1

4

,故D 正确.

12. BD 【解析】 设椭圆 C1 的半焦距为 c. 因为MF1

→·

MF2

→ = 0,所以 MF1 ⊥ MF2,又 | MF1

→| = | MF2

→| ,所

以 △MF1F2 为等腰直角三角形,所以 2c = 2a,所

以 e1

=

c

a

=

2

2

. 设 | PF1

| = m, | PF2

| = n,双曲

线 C2 的实半轴长为 a2

. 由题意得 | PF1

|

2 +

| PF2

|

2 - 2 | PF1

| | PF2

| cos∠F1PF2

= | F1F2

|

2

,

| PF1

| +| PF2

| = 2a,即

m

2 + n

2 - mn = 4c

2

,

m + n = 2a = 2 2c, { 所

以 mn =

4

3

c

2

,所以(m - n)

2 = (m

2 + n

2 - mn) -

mn =

8c

2

3

. 又 | m - n | = 2a2,所以 a

2

2

=

2c

2

3

,所以

e2

=

c

a2

=

6

2

,所以

e2

e1

= 3,e1

e2

=

3

2

,e

2

1

+ e

2

2

= 2,

e

2

2

- e

2

1

= 1. 故选 BD.

13.

y

2

3

- x

2 = 1 【解析】 由题意可设双曲线的方程

为

y

2

a

2

-

x

2

b

2

= 1(a > 0,b > 0),则双曲线的渐近线

方程为 y = ±

a

b

x. 因为双曲线的焦距为 4,所以

c = 2. 由双曲线的对称性不妨取渐近线 y =

a

b

x,

F(0,2), 因为 F 到渐近线的距离为 1, 所以

| 2b |

a

2 + b

2

= 1,解得 b = 1,所以 a

2 = c

2 - b

2 = 3,所

以双曲线的方程为

y

2

3

- x

2 = 1.

14. [2,6] 【解析】 易得 A( - 2,0),B(0, - 2),则

| AB | = 2 2 . 易得圆(x - 2)

2 + y

2 = 2 的圆心为

(2,0),半径 r = 2 ,∴ 圆心到直线 x + y + 2 = 0

的距离 d1

=

| 2 + 0 + 2 |

2

= 2 2 . ∵ 点 P 在圆上,

∴ 点 P 到直线 x + y + 2 = 0 的距离 d2 满足 d1

-

r ≤ d2 ≤ d1

+ r,即 2 ≤ d2 ≤ 3 2 ,∴ S△ABP

=

1

2

·

| AB |·d2

= 2 d2 ∈ [2,6],即 △ABP 面积的取

值范围是[2,6].

15. 14 或 34 【解析】 易 得 圆 C1 : (x - 3)

2 +

(y + 2)

2 = 1 的圆心为 C1(3, - 2),半径 r1

= 1,

圆 C2 :(x - 7)

2 + (y - 1)

2 = 50 - a 的圆心为

C2(7,1), 半径 r2

= 50 - a , 所以 | C1C2

| =

(3 - 7)

2 +( - 2 - 1)

2 = 5. 因为圆 C1 与圆

C2 有且仅有一个公共点,所以圆 C1 与圆 C2 内切

或外切,所以 | 1 - r2

| = 5 或 r2

+ 1 = 5,解得 r2

=

6 或 r2

= 4,所以 50 - a = 6 或 50 - a = 4,解得

a = 14 或 a = 34.

16. (2,4) 【解析】 易知C(5,0),直线l的斜率不为

0,故设直线 l 的方程为 x = ty + m. 当 t = 0 且 r ≥

5 时,满足条件的直线只有 1 条,不符合题意. 当

t = 0 且 0 < r < 5 时,满足条件的直线有 2 条. 当

·3·

t ≠ 0 时,由

x = ty + m,

y

2 = 4x { 得 y

2 - 4ty - 4m = 0,则

Δ = 16t

2 + 16m > 0①,yA

+ yB

= 4t,故M(2t

2 + m,

2t). 因 为 直 线 l 与 圆 C 相 切 于 点 M, 所 以

kMC

kl

= - 1,即

2t

2t

2 + m - 5

·

1

t

= - 1,整理得 m =

3 - 2t

2②. 由题可知点 C 到直线 l 的距离 d = r =

| 5 - m |

1 + t

2

=

2 + 2t

2

1 + t

2

= 2 1 + t

2 ③. 由 ①②③ 得

2 < r < 4,即 r 的取值范围是(2,4).

17. 【解析】(1) 若l

1 与l

2 垂直,则(m - 1) × 1 + 2m =

0,解得 m =

1

3

.

(2) 若l

1 与l

2 平行,则(m - 1)·m = 2 且(m -

1)(m - 2) ≠- m,解得 m = - 1 或 m = 2.

18. 【解析】(1) 易得 M(4,0).

∵ 点 M 到抛物线准线的距离为 4 +

p

2

=

17

4

,

∴ p =

1

2

,

∴ 抛物线 C 的方程为 y

2 = x.

(2) 设 E(x1 ,y1 ),F(x2 ,y2 ),则 y

2

1

= x1 ,y

2

2

= x2

.

易得当 ∠AHB 的平分线垂直于 x 轴时,H(4,2),

kHE

= - kHF ,

∴

2 - y1

4 - x1

= -

2 - y2

4 - x2

,即

2 - y1

4 - y

2

1

= -

2 - y2

4 - y

2

2

,

∴ y1

+ y2

= - 4,

∴ kEF

=

y2

- y1

x2

- x1

=

y2

- y1

y

2

2

- y

2

1

=

1

y2

+ y1

= -

1

4

,即直线

EF 的斜率为 -

1

4

.

19. 【解析】(1) 由题意知圆 C 的圆心在线段 AB 的垂

直平分线上.

由 A(2,4),B(3,1) 得 kAB

=

4 - 1

2 - 3

= - 3,AB 的中

点坐标为(

5

2

,

5

2

),

所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y -

5

2

=

1

3

(x -

5

2

),即x - 3y + 5 = 0.

由

x - 3y + 5 = 0,

x + y - 3 = 0 { 得

x = 1,

y = 2, {

所 以 圆 C 的 圆 心 为 (1,2), 半 径 r =

(2 - 1)

2 +(4 - 2)

2 = 5 ,

所以圆 C 的标准方程为(x - 1)

2 +(y - 2)

2 = 5.

(2) 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l:x = 2,此时

圆心(1,2) 到直线 l 的距离为 1,直线 l 被圆所截

得的弦长为2 ( 5 )

2

- 1

2 = 4,符合题意.

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l:y = k(x - 2).

因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4,

所以圆心到直线 l 的距离为 ( 5 )

2

- 2

2 = 1,

所以

| k - 2 - 2k |

k

2 + 1

= 1,解得 k = -

3

4

,

所以直线 l 的方程为 y = -

3

4

(x - 2),即 3x +

4y - 6 = 0.

综上,直线 l 的方程为 3x + 4y - 6 = 0 或 x = 2.

20. 【解析】(1) 因为椭圆 C:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1(a > b >

0) 的离心率为

3

2

,N( - 1, -

3

2

) 为椭圆 C 上一点,

所以

c

a

=

3

2

,

a

2 = b

2 + c

2

,

1

a

2

+

3

4b

2

= 1,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

ï

ï

ï

ï

解得

a

2 = 4,

b

2 = 1, {

所以椭圆 C 的标准方程为

x

2

4

+ y

2 = 1.

(2) 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ).

·4·

由

x

2

4

+ y

2 = 1,

y = kx + m

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

得(4k

2 + 1)x

2 + 8kmx + 4m

2 -

4 = 0,

所以 x1

+ x2

=

- 8km

4k

2 + 1

,x1

x2

=

4m

2 - 4

4k

2 + 1

.

因为线段 AB 的中点为 P,

所以xP

=

x1

+ x2

2

=

- 4km

4k

2 + 1

,yP

= kxP

+ m =

m

4k

2 + 1

.

又点 P 在抛物线 y

2 = -

1

8k

x 上,

所以

m

4k

2 + 1

( )

2

= -

1

8k

×

- 4km

4k

2 + 1

,得m = 0或2m =

4k

2 + 1.

当 m = 0 时,O,A,B 三点共线,故舍去,

所以 2m = 4k

2 + 1,则 m > 0,

所以 | AB | = 1 + k

2 · (x1

+ x2)

2 - 4x1

x2

=

1 + k

2 ·

64k

2m

2

(4k

2 + 1)

2

-

16m

2 - 16

4k

2 + 1

= 1 + k

2·

16(4k

2 + 1 - m

2

)

4k

2 + 1

= 1 + k

2 ·

2 2m - m

2

m

.

又点 O 到直线 l 的距离 d =

| m |

1 + k

2

,

所以 S△OAB

=

1

2

·| AB |·d =

1

2

· 1 + k

2 ·

2 2m - m

2

m

·

| m |

1 + k

2

= 2m - m

2 =

-(m - 1)

2 + 1 ≤ 1,当m = 1 时等号成立,

所以 △OAB 面积的最大值为 1,

此时

2 = 4k

2 + 1,

k < 0, { 解得 k = -

1

2

,

故直线l 的方程为y = -

1

2

x + 1,即x + 2y - 2 = 0.

21. 【解析】(1) 易得 c = 2,

b

a

= 3 .

又 a

2 +b

2 = c

2

,

所以 a = 1,b = 3 ,

所以双曲线 C 的标准方程为x

2 -

y

2

3

= 1.

(2) 由双曲线的对称性不妨设 M 在第一象限.

设 M( x0 , y0 )(x0 > 0,y0 ≠ 0),A( x1 , y1 ),

B(x2 ,y2 ).

易得F1( - 2,0),F2(2,0).

若直线 MB 的斜率存在,则kMB

=kMF2

=

y0

x0

- 2

≠

± 3 ,即 x0 ≠

5

4

,

又直线 MB 过点F2 ,

所以直线 MB 的方程为 y =

y0

x0

- 2

(x - 2).

由

y =

y0

x0

- 2

(x - 2),

x

2 -

y

2

3

= 1

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

ïï

消去 x 并整理得(3 x

2

0

-

12x0

+ 12 -y

2

0 )y

2 + 12y0(x0

- 2)y + 9y

2

0

= 0,

将x

2

0

-

y

2

0

3

= 1 代入上式整理得(15 - 12x0 ) y

2 +

12y0(x0

- 2)y + 9y

2

0

= 0,

所以y0

y2

=

9y

2

0

15 - 12x0

=

3y

2

0

5 - 4x0

,

所以y2

=

3y0

5 - 4x0

,

所以 μ =

| MF2

|

| F2B |

=

y0

-y2

=

y0

3y0

4x0

- 5

=

4x0

- 5

3

,

同理可得 λ =

| MF1

|

| F1A |

=

- 4x0

- 5

3

,

所以 λ + μ = -

10

3

.

若直线 MB 的斜率不存在, 则 M(2,3), 此时

μ = 1,

所以直线MA 的方程为y =

3

4

(x + 2),即3x - 4y +

6 = 0.

·5·

由

3x - 4y + 6 = 0,

x

2 -

y

2

3

= 1

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

消 去 x 并 整 理 得 13 y

2 -

48y + 27 = 0,解得y1

=

9

13

,

所以 λ =

-y0

y1

= -

13

3

,

此时 λ + μ = -

10

3

.

综上,λ + μ 为定值 -

10

3

.

22. 【解析】(1) 由题意得 2b = 2,a + c = 2 + 3 ,a

2 =

b

2 + c

2

,解得 a = 2,b = 1,

所以椭圆 C 的标准方程为

x

2

4

+ y

2 = 1.

(2) 当 m = 1 时,直线 l 的方程为 y = k(x - 1).

设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ).

由

y = k(x - 1),

x

2

4

+ y

2 = 1

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

消去 y 并整理得(1 + 4k

2

)x

2 -

8k

2

x + 4k

2 - 4 = 0,

所以 x1

+ x2

=

8k

2

1 + 4k

2

.

又 D 是线段 AB 的中点,

所以 xD

=

x1

+ x2

2

=

4k

2

1 + 4k

2

,yD

= k(xD

- 1) =

- k

1 + 4k

2

,即 D

4k

2

1 + 4k

2

,

- k

1 + 4k

( 2 ) ,

所以 kOD

=

- k

1 + 4k

2

4k

2

1 + 4k

2

= -

1

4k

,

所以直线 MN 的方程为 y = -

1

4k

x.

由

y = -

1

4k

x,

x

2

4

+ y

2 = 1

ì

î

í

ï

ïï

ï

ïï

消去 y 得 x

2 =

16k

2

1 + 4k

2

,

所以 x = ±

4k

1 + 4k

2

,

所以 M

- 4k

1 + 4k

2

,

1

1 + 4k

( 2 ) .

因为OM

→ + 3OD

→ = 0,

所以

- 4k

1 + 4k

2

+ 3 ×

4k

2

1 + 4k

2

= 0,

因为 k > 0,

所以 k =

5

5

.

(3) 由

y = k(x - m),

x

2

4

+ y

2 = 1

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

消去 y 得(1 + 4k

2

)x

2 -

8k

2mx + 4k

2m

2 - 4 = 0,

所以 Δ =( - 8k

2m)

2 - 4(1 + 4k

2

)(4k

2m

2 - 4) >

0, 即 4k

2 - k

2m

2 + 1 > 0(∗), 且 x1

+

x2

=

8k

2m

1 + 4k

2

,

所以 xD

=

x1

+ x2

2

=

4k

2m

1 + 4k

2

,yD

= k(xD

- m) =

- km

1 + 4k

2

,即 D

4k

2m

1 + 4k

2

,

- km

1 + 4k

( 2 ) .

由(2) 易得 N

4k

1 + 4k

2

, -

1

1 + 4k

( 2 ) .

由四边形OANB为平行四边形,得OA

→ +OB

→=ON

→=

2OD

→,

所以

4k

1 + 4k

2

= 2 ×

4k

2m

1 + 4k

2

,解得 m

2 = 1 +

1

4k

2

,

将 m

2 = 1 +

1

4k

2 代入(∗) 式,(∗) 式恒成立,

所以存在直线 l, 使得四边形 OANB 为平行四

边形,

所以 m

2

> 1.

又 m > 0,

所以 m > 1,即 m 的取值范围为(1, + ∞ ).

·6·

3. 名校名卷高二第一数 答案速查

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C B B C C A A D BD ABC ABC AD

1. C 【解析】 设所求直线的倾斜角为 α. 因为该直

线过 A(1,6),B(4,3) 两点, 所以该直线的斜率

k =

6 - 3

1 - 4

= - 1. 因为 k = tan α = - 1,0° ≤ α <

180°,所以 α = 135°.

2. B 【 解析】∵ a = (2, - 2, - 3),b = (2,0,4),

∴ cos〈a,b〉 =

a·b

| a |·| b |

=

4 - 12

17 × 2 5

= -

4 85

85

.

3. B 【解析】 易得(1 - 2x)

n 展开式的通项 Tr+1

=

C

r

n ( - 2x)

r =( - 2)

rC

r

n

x

r

. 当 r = 3 时,( - 2)

3C

3

n

=

- 160,解得 n = 6.

4. C 【解析】 易得圆 C1 :x

2 + y

2 = 1 的圆心 C1(0,

0),半径 r1

= 1,圆 C2 :x

2 + y

2 - 6x - 8y + m = 0,

即(x - 3)

2 + (y - 4)

2 = 25 - m 的圆心 C2(3,4),

半径 r2

= 25 - m ,则 | C1C2

| = 3

2 + 4

2 = 5. 又

·1

学期期末测试卷(一)

学

两圆 外 切, 所 以 r1

+ r2

= | C1C2

| , 即 1 +

25 - m = 5,解得 m = 9.

5. C 【解析】 设事件 B 表示“邻居记得浇水”,B 表

示“ 邻 居 忘 记 浇 水”,A 表 示 “ 花 还 活 着”, 则

P(B) = 0. 5,P( B) = 0. 5,P(A | B) = 0. 8,

P(A | B) = 0. 3, 所以 P(A) = P(B)P(A | B) +

P(B)P(A | B) = 0. 5 × 0. 8 + 0. 5 × 0. 3 = 0. 55,所

以 P(B | A) =

P(AB)

P(A)

=

0. 5 × 0. 8

0. 55

=

8

11

.

6. A 【解析】 连接AC,BD,设AC与BD的交点为O,连

接PO. 由题意得AC⊥BD,且PO⊥平面ABCD,以O

为坐标原点,OA,OB,OP 所在直线分别为 x 轴、y

轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

2·

设四棱锥P - ABCD 的各棱长均为2,则AO = BO =

CO = PO = 2, 故 A( 2,0,0),E(0,

2

2

,

2

2

),

C( - 2,0,0),P(0,0, 2),则AE

→ = ( - 2,

2

2

,

2

2

),

PC

→ = ( - 2,0, - 2). 设异面直线AE与PC所成的

角为 θ,则 cos θ = | cos〈AE

→,PC

→〉 | =

| AE

→·PC

→ |

| AE

→ | | PC

→ |

=

| ( - 2) × ( - 2) +

2

2

× ( - 2) |

2 +

1

2

+

1

2

× 2 + 0 + 2

=

3

6

.

7. A 【解析】 易得圆C 的圆心C(0,1),半径为1. 易

知CM⊥PM,CN⊥PN,且△PCM≌△PCN,所以

| PM | =| PN | = | PC |

2 -| CM |

2 =

| PC |

2 - 1 ,故当| PC | 取得最小值时, | PM | ,

| PN| 的值最小. 因为当CP与直线y = 2 2 x - 4垂

直时, | PC | 取 得 最 小 值, 所 以 | PC | min

=

| - 1 - 4 |

(2 2 )

2 + ( - 1)

2

=

5

3

,则| PM | min

=| PN| min

=

| PC |

2

min

- 1 =

5

3

( )

2

- 1 =

4

3

. 又四边形

PMCN 的面积为 2 ×

1

2

| PM |·| CM | = 2 ×

1

2

| PM |·1 =| PM | ,所以四边形 PMCN 面积的

最小值为

4

3

.

8. D 【解析】 易知 | BF1

| =| BF2

| = a, | OB | = b(O

为坐标原点). 设 | QF2

| = m,则 | F1Q | =| BQ | =

a + m. 由椭圆的定义可得| F1Q| +| F2Q| = 2a,即

a + m + m = 2a, 解得 m =

1

2

a. 在 △BQF1 中,

| BF1

| = a, | BQ | =

3

2

a,| F1Q | =

3

2

a,由余弦定

理得 cos∠QBF1

=

| BF1

|

2 +| BQ |

2 -| F1Q |

2

2 | BF1

|·| BQ |

=

a

2 +

3

2

a ( )

2

-

3

2

a ( )

2

2·a·

3

2

a

=

1

3

. 又 cos∠F1BF2

=

cos 2∠OBF1

= 2cos

2∠OBF1

- 1 = 2 ×

b

a

( )

2

- 1,

所以2 ×

b

a

( )

2

- 1 =

1

3

,即

b

a

( )

2

=

2

3

,所以椭圆C

的离心率 e =

c

a

= 1 -

b

2

a

2

=

3

3

.

9. BD 【解析】 由 1,2,3,4,5 五个数组成无重复数

字的三位数的个数为 A

3

5

= 60,故 A 错误. 组成的

三位数中,奇数的个数为 3A

2

4

= 36,故 B 正确. 组

成的三位数中,“凸数” 可分为以下 3 类:① 十位

上的数为 5,则有 A

2

4

= 12(个);② 十位上的数为

4,则有 A

2

3

= 6(个);③ 十位上的数为 3,则有 A

2

2

=

2(个). 综上,在组成的三位数中,“凸数” 的个数

为 12 + 6 + 2 = 20,故 C 错误,D 正确.

10. ABC 【解析】 易知三条直线将平面分为六部分

可分为以下两种情况:① 三条直线中有两条直

线平行,另外一条直线与这两条直线相交;② 三

条直线相交于同一点. 对于 ①, 易知直线 x -

2y + 2 = 0 与 x - 2 = 0 相交. 若直线 x - 2y + 2 =

0 与直线x + ky = 0平行,则k = - 2;若直线x - 2 =

0 与直线 x + ky = 0 平行,则 k = 0. 对于 ②,由

x - 2y + 2 = 0,

x - 2 = 0, { 解得 x = 2,y = 2, 即直线 x -

2y + 2 = 0 与直线 x - 2 = 0 的交点为(2,2),将

(2,2) 代入 x + ky = 0,可得 k = - 1. 综上,实数 k

的值为 - 2 或 - 1 或 0.

11. ABC 【解析】 易知 F

3

2

,0 ( ) ,抛物线的准线方程

为x = -

3

2

. 如图,若A在抛物线内,过P作PE垂直

于抛物线的准线,垂足为 E,过 A 作 AB 垂直于抛

物线 的 准 线, 垂 足 为 B, 交 抛 物 线 于 P′, 连

接 P′F.

·13·

由抛 物 线 的 定 义 知 | PA | +| PF | = | PA | +

| PE | ≥| AB | ,当且仅当A,P,B 三点共线,即P,P′

重合时等号成立,此时| AB | = xA

- -

3

2

( ) =

9

2

,

解得 xA

= 3,又 A 在抛物线内,故 y

2

A < 3 × 6 = 18,

所 以

3

2

≤| AF | = 3 -

3

2

( )

2

+ y

2

A <

9

2

,

即 | AF | ∈

3

2

,

9

2

é

ë

ê

ê ) . 如图,若 A 在抛物线外,连接

AF 交抛物线于 G 点,则 | PA | +| PF | ≥| AF | ,当且

仅当 P,G 重合时等号成立,此时 | AF | =

9

2

.

综上, | AF | ∈

3

2

,

9

2

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

. 故选 ABC.

12. AD 【解析】 以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在

直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间

直角坐标系.

易知 B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0). 设 P(xP,yP,

zP). 因为BP

→= λBC

→ + μBB1

→,λ ∈[0,1],μ ∈[0,1],

所以(xP

- 1,yP,zP)= λ(0,1,0) + μ(0,0,1)= (0,

λ,μ),解得xP

= 1,yP

= λ,zP

= μ,即P(1,λ,μ). 又

A(0,0,0), 所 以 AP

→ = (1,λ,μ), | AP

→ | =

1 + λ

2 + μ

2

,因为 λ ∈ [0,1],μ ∈ [0,1],所以

| AP

→ | ≤ 3,即AP≤ 3,故A正确. 因为A1(0,0,1),

B(1,0,0),D(0,1,0), 所 以 A1B

→ = (1,0, - 1),

A1D

→ = (0,1, - 1),当λ =

1

2

时,P 1,

1

2

,μ ( ) ,AP

→=

1,

1

2

,μ ( ) . 设平面 A1BD 的一个法向量为 n = (x,

y,z),则

n·A1B

→ = 0,

n·A1D

→ = 0, { 即

x - z = 0,

y - z = 0, { 令 y = 1,所以

n = (1,1,1). 若 AP ⊥ 平面 A1BD,则AP

→ = an,即

(1,

1

2

,μ) = a(1,1,1),无解,所以当 λ =

1

2

时,不

存在点 P,使得 AP ⊥ 平面 A1BD,故 B 错误. 当 μ =

1

2

时,P 1,λ,

1

2

( ) ,A1P

→ = 1,λ, -

1

2

( ) ,AB

→ = (1,

0,0), 若 A1P ∥ AB, 则 A1P

→ = m AB

→, 即 (1,λ,

-

1

2

) = m(1,0,0),无解,所以当 μ =

1

2

时,不存

在点 P,使得 A1P ∥ AB,故 C 错误. 易得 △A1BD

是边长为 2 的等边三角形,所以 S△A1

BD

=

1

2

×

2 × 2 ×

3

2

=

3

2

,又A1P

→ = (1,λ,μ - 1),所以

点 P 到 平 面 A1BD 的 距 离 为

| A1P

→·n |

| n |

=

| λ + μ |

3

,当 λ + μ =

1

2

时,点 P 到平面 A1BD 的

距离为定值,则三棱锥 P - A1BD 的体积为定值,

故 D 正确.

13. 135 【 解析】 易知 x +

3

x

( 2 )

6

展开式的通项

Tr+1

=C

r

6·x

6-r·

3

x

( 2 )

r

=C

r

6·3

r·x

6-3r

. 令 6 - 3r =

0,解得 r = 2,所以 x +

3

x

( 2 )

6

展开式中的常数项

为C

2

6·3

2 = 135.

14. 3 【解析】∵ α ∥ β,m,n 分别是 α,β 的一个法

向量,∴ m ∥ n,又 m = (3λ,6,y + 3),n = (λ +

·14·

1,3,2y),∴

3λ

λ + 1

=

6

3

=

y + 3

2y

,解得λ = 2,y = 1,

∴ λ + y = 3.

15.

10

17

16

25

【解析】 选出的 2 人中至少有一人是一

级射手的概率为

C

2

2

+ C

1

2C

1

8

C

2

10

=

17

45

,一人是一级射

手且另一人是三级射手的概率为

C

1

2C

1

5

C

2

10

=

2

9

,所以

已知至少有一人是一级射手,则另一人是三级

射手的概率为

2

9

17

45

=

10

17

. 若一、二、三级射手比赛

获胜的概率分别是 0. 9,0. 7,0. 5,则任选一名射

手能够获胜的概率为

2

10

× 0. 9 +

3

10

× 0. 7 +

5

10

×

0. 5 =

16

25

.

16. y = ±

6

2

x 【解析】 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ), 则

M

x1

+ x2

2

,

y1

+ y2

2

( ) . 不妨设 A,B 分别是双曲线

的渐近线 y = -

b

a

x,y =

b

a

x 上的点, 所以 y1

=

-

b

a

x1 ,y2

=

b

a

x2 ,则y

2

1

=

b

a

( )

2

x

2

1 ,y

2

2

=

b

a

( )

2

x

2

2 ,所

以

y

2

1

- y

2

2

x

2

1

- x

2

2

=

b

a

( )

2

. 因 为 k1

=

y1

- y2

x1

- x2

,k2

=

y1

+ y2

2

x1

+ x2

2

=

y1

+ y2

x1

+ x2

,所以 k1

k2

=

y1

- y2

x1

- x2

·

y1

+ y2

x1

+ x2

=

y

2

1

- y

2

2

x

2

1

- x

2

2

=

b

a

( )

2

=

3

2

,解得

b

a

=

6

2

,所以双曲线的

渐近线方程为 y = ±

6

2

x.

17. 【解析】(1) 若 A,B 要放入同一个盒子中,则根据

捆绑法,可看成将 3 个不同的小球放入 4 个不同

的盒子中,不同的放法有 4

3 = 64(种).

(2) 由题意,可以分以下三种情况进行讨论.

第一种情况:4 个小球各自放入 4 个不同的盒子

中,共有 A

4

4

= 24(种) 放法.

第二种情况:有 2 个小球放入同一个盒子中,剩

余 2 个小球同时放入另一个盒子中,共有

C

2

4C

2

2

A

2

2

·

C

2

4·A

2

2

= 36(种) 放法.

第三种情况:有 2 个小球放入同一个盒子中,剩

余 2 个小球各自放入一个盒子中,共有 C

2

4C

3

4A

3

3

=

144(种) 放法.

故不同的放法有 24 + 36 + 144 = 204(种).

18. 【 解析】(1) 依题意得直线 AC 的斜率 kAC

=

4 - 0

2 - 10

= -

1

2

,直线 AC 与直线 l 垂直,

所以直线 l 的斜率 k = 2.

易知线段 AC 的中点为(6,2), 则直线 l 过点

(6,2),

所以直线l的方程为y - 2 = 2(x - 6),即2x - y -

10 = 0.

(2) 易知点 A 与点 C 关于直线 l 对称,A,B 在直

线 l 的同一侧.

又点 P 在直线 l 上,

所以 | PB | +| PC | =| PB | +| PA | .

当点P为直线BC与l 的交点时,| PB | +| PC | 取得

最小值 | BC | ,即| PB | +| PA | 取得最小值| BC | .

由 B(0, - 5),C(10,0) 得直线BC的方程为

x

10

+

y

- 5

= 1,即 x - 2y - 10 = 0,

由

x - 2y - 10 = 0,

2x - y - 10 = 0 { 得

x =

10

3

,

y = -

10

3

,

ì

î

í

ï

ïï

ï

ï

所以点 P 的坐标为

10

3

, -

10

3

( ) .

19. 【解析】(1) 如图,取 AD 的中点 H,连接 EH,FH.

·15·

因为 F,H 分别是棱 PA,AD 的中点,

所以 HF ∥ PD.

因为 PD ⊂ 平面 PCD,HF ⊄ 平面 PCD,

所以 HF ∥ 平面 PCD.

因为 E,H 分别是棱 BC,AD 的中点,

所以 HE ∥ CD.

因为 CD ⊂ 平面 PCD,HE ⊄ 平面 PCD,

所以 HE ∥ 平面 PCD.

因为 HE,HF ⊂ 平面 HEF,且 HE ∩ HF = H,

所以平面 HEF ∥ 平面 PCD,

又 EF ⊂ 平面 HEF,

所以 EF ∥ 平面 PCD.

(2) 由 AB ∥ CD,AB ⊥ AD 得 AD ⊥ CD.

以 D 为坐标原点,分别以DA

→,DC

→的方向为 x 轴、y

轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设 AB = 1,则 AD = CD = PD = 2,PC = 2 3 .

在 △PCD 中, 由 余 弦 定 理 可 得 cos∠PDC =

PD

2 + DC

2 - PC

2

2PD·DC

= -

1

2

,则 ∠PDC = 120°.

易 知 A(2,0,0),D(0,0,0),P(0, - 1, 3 ),

E 1,

3

2

,0 ( ) ,F 1, -

1

2

,

3

2

( ) ,

所以 DA

→ = (2,0,0), DP

→ = (0, - 1, 3 ),

EF

→ = 0, - 2,

3

2

( ) .

设平面 PAD 的一个法向量为 n = (x,y,z),

则

n·DA

→ = 0,

n·DP

→ = 0, { 即

2x = 0,

- y + 3 z = 0, { 令 y = 3 , 得

n = (0, 3 ,1).

设直线 EF 与平面 PAD 所成的角为 θ,

则 sin θ =| cos〈n, EF

→〉 | =

| n·EF

→ |

| n |·| EF

→ |

=

- 2 3 +

3

2

( 3 )

2 + 1

2 · ( - 2)

2 +

3

2

( )

2

=

3 57

38

,

所以 直 线 EF 与 平 面 PAD 所 成 角 的 正 弦 值

为

3 57

38

.

20. 【解析】(1) 以 AB 的中点 O 为坐标原点,线段 AB

的垂直平分线为 x 轴,线段 AB 所在直线为 y 轴,

1 个单位长度的长 3. 66 m 为单位长度建立如图

所示的平面直角坐标系.

易知点 P 的轨迹为圆,且其圆心在 x 轴上.

设轨迹圆的半径为 R,

∵ | AB | = 2,α = 30°,

∴ 2R =

AB

sin 30°

= 4,

∴ R = 2.

易知 A(0,1).

设轨迹圆的圆心为(t,0),t > 0,则 t

2 + 1 = 2,解

得 t = 3,

∴ 圆心坐标为( 3 ,0).

又队员射门训练时,足球位于足球门框的右侧,

∴ 点 P 的轨迹方程为(x - 3)

2

+ y

2 = 4(x > 0).

(2) 设点 P 的轨迹圆的圆心为 M(a,0),则半径

为 a

2 + 1 .

不妨设点 D(3,2),

则点 P 的轨迹圆与以 D(3,2) 为圆心, 半径为

2 的圆外切时,射门角度 α 最大,

易知此时 (a - 3)

2 + 4 = a

2 + 1 + 2 ,

∴ a = 1 或 a =

23

7

(舍去),即 M(1,0),

·16·

∴ 点 P 的轨迹圆的半径为 2 ,此时 P 为 MD 的中

点,即 P(2,1).

又 A(0,1),B(0, - 1),

∴ α = ∠APB = 45°,

∴ 射门角度 α 的最大值为 45°.

21. 【解析】(1) 因为点 B 与点 A(1, - 1) 关于原点 O

对称,

所以点 B 的坐标为( - 1,1).

设点 P(x,y).

因为直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 -

1

3

,

所以

y + 1

x - 1

·

y - 1

x + 1

= -

1

3

,化简得 x

2 + 3y

2 =

4( x ≠ ± 1) ,

故动点 P 的轨迹方程为 x

2 + 3y

2 = 4(x ≠ ± 1).

(2) 假设存在点 P 使得 △PAB 与 △PMN 的面积

相等.

设点 P(x0,y0),则

1

2

| PA |·| PB | sin∠APB =

1

2

| PM |·| PN | sin∠MPN, 即 | PA |·| PB | =

| PM |·| PN | ,即

| PA |

| PM |

=

| PN |

| PB |

.

作直线 l:x = x0 ,作 MM1 ⊥ l 于 M1 ,AA1 ⊥ l 于 A1 ,

则 △AA1P ∽ △MM1P,

所 以

| PA |

| PM |

=

| AA1

|

| MM1

|

=

| x0

- 1 |

| 3 - x0

|

, 同 理

| PN |

| PB |

=

| 3 - x0

|

| x0

+ 1 |

,

所以

| x0

- 1 |

| 3 - x0

|

=

| 3 - x0

|

| x0

+ 1 |

,整理得(3 - x0 )

2 =

| x0

+ 1 |·| x0

- 1 | ,解得 x0

=

5

3

.

因为 x

2

0

+ 3y

2

0

= 4,

所以 y0

= ±

33

9

.

故存在点 P 使得 △PAB 与 △PMN 的面积相等,

此时点 P 的坐标为

5

3

,

33

9

( ) 或

5

3

, -

33

9

( ) .

22. 【解析】(1) 取 AC 的中点 D,连接 ED,BD.

因为 D,E 分别为 AC,A1C 的中点,

所以 DE ∥ AA1 且 DE =

1

2

AA1 ,

又多面体 ABCA1B1C1 为三棱柱, 且 F 为 BB1 的

中点,

所以 BF ∥ AA1 且 BF =

1

2

AA1 ,

所以 DE ∥ BF 且 DE = BF,

所以四边形 DEFB 为平行四边形,

所以 EF ∥ DB.

又 EF ⊥ 平面 AA1C1C,

所以 DB ⊥ 平面 AA1C1C,

又 AC ⊂ 平面 AA1C1C,

所以 DB ⊥ AC.

因为 D 为 AC 的中点,

所以 △ABC 为等腰三角形,

所以 BC = AB = 1.

(2) 由(1) 可知 BC = AB = 1.

因为 AC = 2 ,

所以 AB

2 + BC

2 = AC

2

,即 AB ⊥ BC,

则 EF = DB =

2

2

,且 A1B1 ⊥ B1C1

.

因为 EF ⊥ 平面 AA1C1C,A1C ⊂ 平面 AA1C1C,

所以 EF ⊥ A1C,

所以 S△A1

FC

=

1

2

A1C·EF =

1

2

A1C ×

2

2

=

2

2

,解

得 A1C = 2.

由 (1) 知 DB ⊥ 平 面 AA1C1C,AA1 ⊂ 平

面 AA1C1C,

所以 DB ⊥ AA1 ,

又 AA1 ∥ BB1 ,

所以 DB ⊥ BB1 ,

又 BB1 ⊥ A1B1 ,AB ∥ A1B1 ,

所以 BB1 ⊥ AB,

又 AB ∩ DB = B,AB,DB ⊂ 平面 ABC,

所以 BB1 ⊥ 平面 ABC,

·17·

又 AC ⊂ 平面 ABC,

所以 BB1 ⊥ AC,

所以 AA1 ⊥ AC,

所 以 △AA1C 为 直 角 三 角 形, 则 AA1

=

A1C

2 - AC

2 = 2 .

以B1 为坐标原点,向量B1C1

→,B1A1

→,B1B

→的方向分

别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空

间直角坐标系.

易 知 B1(0,0,0),A1(0,1,0),C1(1,0,0),C(1,

0, 2 ),F 0,0,

2

2

( ) ,

所以A1F

→ = 0, - 1,

2

2

( ) ,A1C

→ = (1, - 1, 2 ).

设平面 A1FC 的一个法向量为 n1

= (x,y,z),

则

n1·A1F

→ = - y +

2

2

z = 0,

n1·A1C

→ = x - y + 2 z = 0,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

令 y = 1, 则 x = - 1,z = 2 , 可得 n1

= ( - 1,

1, 2 ).

易得平面 B1A1F 的一个法向量为 B1C1

→ = (1,

0,0).

设二面角 B1

- A1F - C 的平面角为 θ,

则 | cos θ | =

| n1·B1C1

→ |

| n1

|·| B1C1

→ |

=

1

2 × 1

=

1

2

,

所以 sin θ = 1 -cos

2

θ =

3

2

,

故二面角 B1

- A1F - C 的正弦值为

3

2

.

4. 名校名卷高二第一学期期末测试卷(二)

数 学

答案速查

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C A B B A C A D ABD BD AC ACD

1. C 【解析】 由 题 意 得, 圆 的 半 径 r =| AB | =

(0 - 1)

2 +(1 + 1)

2 = 5 ,所以圆的标准方程

为(x - 1)

2 +(y + 1)

2 = 5,所以圆的一般方程为

x

2 + y

2 - 2x + 2y - 3 = 0.

2. A 【 解析】 (2x - 3)

5 展开式的通项 Tr+1

= C

r

5

(2x)

5-r

( - 3)

r

,令 5 - r = 3,得 r = 2,故 a3

= C

2

5

×

2

3 × ( - 3)

2 = 720.

3. B 【解析】 设“第一次抽出的是次品” 为事件 A,

“第二次抽出的是正品” 为事件 B. 由题意知

P(A) =

5

100

=

1

20

,P(AB) =

5 × 95

C

1

100C

1

99

=

19

396

, 所以

P(B | A) =

P(AB)

P(A)

=

95

99

.

4. B 【解析】 由方程

x

2

4 - m

+

y

2

m - 3

= 1 表示双曲

线,可得(4 - m)(m - 3) < 0,解得 m < 3 或 m >

4,则“m > 4” 是“方程

x

2

4 - m

+

y

2

m - 3

= 1 表示双

曲线” 的充分不必要条件.

5. A 【解析】 设 CB = t(t > 0). 易得 C(0,0,0),

A1(2,0,2),B(0,t,0),M(1,

t

2

,2),C1(0,0,2),

则A1B

→ = ( - 2,t, - 2),C1M

→ = (1,

t

2

,0). 由A1B

→⊥

C1M

→得A1B

→·C1M

→= - 2 +

t

2

2

= 0,解得 t = 2,则CM

→=

(1,1,2),A1B

→ = ( - 2,2,- 2),故 cos〈CM

→,A1B

→〉 =

CM

→·A1B

→

| CM

→ | | A1B

→ |

=

- 4

6 × 12

=-

2

3

,即异面直线 CM

与 A1B 所成角的余弦值为

2

3

.

·18·

6. C 【解析】 记只会划左桨的两人为 A 组,只会划

右桨的两人为 B 组,既会划左桨又会划右桨的两

人为 C 组,则不同的选派情况如下:从 A 组中选

2 人划左桨,在 B 组或 C 组中选两人划右桨,共有

C

2

2C

2

4

= 6(种) 选派方法;从 A 组中选 1 人划左桨,

从 C 中选1 人划左桨,再从 B 组或 C 组剩下的3 人

中选 2 人划右桨,共有 C

1

2C

1

2C

2

3

= 12(种) 选派方

法;从 B 组中选 2 人划右桨,从 C 组中选 2 人划左

桨,共有 C

2

2C

2

2

= 1(种) 选派方法. 综上,不同的选

派方法共有 6 + 12 + 1 = 19(种).

7. A 【解析】 易知直线 x + my = 0 过定点 A(0,0),

直线 mx - y - m + 3 = 0,即 m(x - 1) - y + 3 = 0

过定点 B(1,3),所以| AB |

2 = (1 - 0)

2 + (3 -

0)

2 = 10. 易得直线x + my = 0 与直线mx - y - m +

3 = 0 互相垂直, 又这两条直线交于点 P, 所以

| AB |

2 = | PA |

2 + | PB |

2

, 故 10 = | PA |

2 +

| PB |

2 ≥2 | PA |·| PB | ,解得| PA |·| PB | ≤5,

当且仅当| PA | =| PB | = 5 时等号成立, 所以

| PA |·| PB | 的最大值是 5.

8. D 【解析】 以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1 所

在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间

直角坐标系.

设 AB = 1, 易得 A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),

C(0,1,0),D1(0,0,1), 则 AA1

→ = (0,0,1), A1C

→ =

( - 1,1, - 1),AD1

→ = ( - 1,0,1), CB1

→ = (1,0,1),

CD1

→ = (0, - 1,1),故A1M

→ = λA1C

→ = ( - λ,λ, - λ),

所以AM

→ = AA1

→ +A1M

→ = ( - λ,λ,1 - λ). 设平面

AD1M 的 一 个 法 向 量 为 n = (x,y,z), 则

n·AD1

→ = - x + z = 0,

n·AM

→ = - λx + λy + (1 - λ)z = 0, { 取 x = λ,则

n = (λ,2λ - 1,λ). 设平面 B1CD1 的一个法向量为

v = (x2,y2,z2),则

v·CB1

→ = x2

+ z2

= 0,

v·CD1

→ = - y2

+ z2

= 0,

ì

î

í

ïï

ïï

取 x2

=

1,可得 v = (1, - 1, - 1). 若平面 AMD1 ⊥ 平面

B1CD1,则 n ⊥ v,所以 n·v = λ - (2λ - 1) - λ =

1 - 2λ = 0,解得 λ =

1

2

.

9. ABD 【解析】 因为(b + c) + (b - c) = 2b,所以

b + c,b,b - c 共面,故 A 符合题意;因为(a + b) +

(a - b) = 2a,所以 a,a + b,a - b 共面,故 B 符合

题意;假定a + b,a - b,c 共面,则存在λ,μ ∈R使

得 c = λ(a + b) + μ(a - b) = (λ + μ)a + (λ -

μ)b,又 a,b,c 不共面,所以

λ + μ = 0,

λ - μ = 0, { 解得 λ =

μ = 0,所以 c = 0,故 a,b,c 共面,与 a,b,c 不共面

矛盾,所以 a + b,a - b,c 不共面,故 C 不符合题

意;因为(a + b) + c = a + b + c,所以a + b,a + b +

c,c 共面,故 D 符合题意.

10. BD 【解析】 因为二项式 3 x -

1

x

( )

n

的展开式

中各项系数之和是 128, 所以令 x = 1, 得 2

n =

128,解得 n = 7,所以该展开式共有 8 项,故 A 不

正确;因为 n = 7,所以展开式中所有二项式系数

的和为 2

7 = 128,故 B 正确;因为 n = 7,所以展开

式中二项式系数最大的项是第 4 项和第 5 项,故

C 不正确;易得 3 x -

1

x

( )

7

展开式的通项 Tk+1

=

C

k

7·( - 1)

k

3

7-k·x

7-3k

2

,k = 0,1,2,…,7,若该展开

式中有常数项,则

7 - 3k

2

= 0,解得 k =

7

3

,不符合

题意,所以该展开式中不存在常数项,故 D 正确.

11. AC 【解析】 易得抛物线 C:y

2 = 4x 的焦点 F(1,

0). 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),易知直线 l 不垂直于 y

轴, 故 设 直 线 l 的 方 程 为 x = ty + 1. 由

x = ty + 1,

y

2 = 4x { 消去 x得y

2 - 4ty - 4 = 0,则y1

+ y2

=

·19·

4t,y1

y2

= - 4. 易 知 x1 > 0, 则

| PA |

| PF |

=

(x1

+ 1)

2 + y

2

1

x1

+ 1

= 1 +

4x1

(x1

+ 1)

2 ≤

1 +

4x1

(2 x1 )

2

= 2,当且仅当 x1

= 1 时等号成

立,所以

| PA |

| PF |

的最大值为 2,故 A 正确. △APQ 的

面 积 S =

1

2

| AF |·| y1

- y2

| =

(y1

+ y2)

2 - 4y1

y2

= 4 t

2 + 1 ≥ 4,当且仅当

t = 0 时等号成立,所以 △APQ 面积的最小值为

4,故 B 错误. 由选项 A 知,当

| PA |

| PF |

最大时,点

P(1,2) 或 P(1, - 2). 由对称性不妨取 P(1,2),

则直 线 AP 的 方 程 为 x - y + 1 = 0, 由

x - y + 1 = 0,

y

2 = 4x { 消去 x 得 y

2 - 4y + 4 = 0,则 Δ =

( - 4)

2 - 4 × 1 × 4 = 0,故直线 AP 与 C 相切,故

C 正确. 由选项 C 知,当

| PA |

| PF |

最大时,PF ⊥ x

轴,显然 | QF | =| PF | =| AF | = 2,则 ∠QAF =

45°,所以 tan∠QAF = 1,故 D 错误.

12. ACD 【解析】 因为直线y = kx + m与圆O交于点

M,N, 所以 | OM | = | ON | = 2, 所以 S△MON

=

1

2

| OM |·| ON | sin∠MON = 2sin∠MON,所以当

sin∠MON = 1,即 ∠MON =

π

2

时,△MON 的面积

取得最大值,为 2,故 A 正确. 设 M(x1,y1),则MA

→ =

(2 - x1, - y1),MB

→= ( - x1,2 - y1),所以MA

→·MB

→=

x

2

1

+ y

2

1

- 2x1

- 2y1

= 4 - 2(x1

+ y1),因为4 = x

2

1

+

y

2

1 ≥2x1

y1(当且仅当x1

= y1

= ± 2 时等号成立),

所以 x1

y1 ≤ 2,所以(x1

+ y1)

2 = 4 + 2x1

y1 ≤ 8,即

- 2 2 ≤x1

+ y1 ≤2 2,所以4 - 4 2 ≤4 - 2(x1

+

y1) ≤4 + 4 2,所以MA

→·MB

→的最小值为4 - 4 2,故

B 错误. 当直线 MB 的斜率存在时,直线 MB:y =

y1

- 2

x1

x + 2. 令 y = 0, 得 x =

2x1

2 - y1

, 故

D

2x1

2 - y1

( ,0) . 直线 MA:y =

y1

x1

- 2

(x - 2),令 x =

0,得 y =

2y1

2 - x1

, 所以 C 0,

2y1

2 - x1

( ) . 故 | AD |·

| BC | = 2 -

2x1

2 - y1

( ) · 2 -

2y1

2 - x1

( ) =

4 -

4x1

2 - y1

-

4y1

2 - x1

+

4x1

y1

(2 - x1)(2 - y1)

=

4 + 4 ×

4 - 2x1

- 2y1

+ x1

y1

(x1

- 2)(y1

- 2)

= 4 +

4(x1

- 2)(y1

- 2)

(x1

- 2)(y1

- 2)

= 8. 当直线 MB 的斜率不存

在时, | AD | = 2, | BC | = 4,则| AD |·| BC | = 8.

综上,| AD|·| BC | = 8,故C正确. 当k = 1时,y =

x + m, 设 N(x2,y2), 由

x

2 + y

2 = 4,

y = x + m, { 可得 2x

2 +

2mx + m

2 - 4 = 0,则x1

+ x2

= - m,x1

x2

=

m

2 - 4

2

,故

kOM · kON

=

y1

x1

·

y2

x2

=

(x1

+ m)(x2

+ m)

x1

x2

=

x1

x2

+ m(x1

+ x2) + m

2

x1

x2

=

m

2 - 4

2

+ m(- m) + m

2

m

2 - 4

2

=

1,故D 正确.

13. x - y + 1 = 0 【解析】∵ 直线 l

2 :mx - my + 1 =

0(m ≠ 0),即 y = x +

1

m

(m ≠ 0),∴ 直线 l

2 的斜

率 kl

2

= 1,又直线 l

1 经过点(4,5),且与直线 l

2 平

行,∴ 直线 l

1 的方程为 y - 5 = x - 4,即 x - y +

1 = 0.

14.

13

15

【解析】 设事件 M 为“A 灯亮”,事件 N 为“B

灯亮”,事件 X 为“开关甲闭合”,事件 Y 为“开关

乙闭合”,事件 Z 为“开关丙闭合”,则所求概率

为 P(N | M) =

P(NM)

P(M)

. 又 P(NM) = P(X) +

P(X)P(Y)P(Z) =

1

2

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

13

24

,

·20·

P(M) = P(X ∪ Z) = P(X) + P(Z) -

P(X)P(Z) =

1

2

+

1

4

-

1

2

×

1

4

=

5

8

, 所 以

P(N | M) =

13

24

5

8

=

13

15

.

15.

4 5

15

【解析】 设曲池的上底面圆心为 O′,下底

面圆心为 O,连接 OO′,OC,OB,O′C1 ,O′B1 ,以 O

为原点,以 OC,OB,OO′ 所在直线分别为 x 轴、y

轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

易 知 C(1,0,0),A(0,2,0),B1(0,1,2),D(2,0,

0),D1(2,0,2),所以CD1

→ = (1,0,2),AB1

→ = (0,

- 1,2),DA

→ =( - 2,2,0). 设平面 AB1D 的一个法

向 量 为 n = (x,y,z), 则

n·AB1

→ = 0,

n·DA

→ = 0, { 即

- y + 2z = 0,

- 2x + 2y = 0, { 令 x = 1,得 n = 1,1,

1

2

( ) . 设直

线 CD1 与平面 AB1D 所成的角为 θ, 则 sin θ =

| cos〈CD1

→,n〉 | =

| CD1

→·n |

| CD1

→ | | n |

=

2

5 ×

3

2

=

4 5

15

,

所以直线 CD1 与平面 AB1D 所成角的正弦值

为

4 5

15

.

16.

2

2

,

6

3

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

【解析】 当倾斜角 θ =

π

2

时,直线 AB

的斜率不存在,则不妨取 A(0,b),B(0, - b). 易

知椭圆的左焦点 F( - c,0),若 AF ⊥ BF,则AF

→·

BF

→ = ( - c, - b)·( - c,b) = c

2 - b

2 = 0,即 b = c,

所以椭圆的离心率 e =

c

a

=

c

2

b

2 + c

2

=

2

2

. 当倾

斜角 θ ∈

π

6

,

π

2

é

ë

ê

ê ) ∪

π

2

,

5π

6

(

ù

û

ú

ú 时,直线 AB 的斜

率 存 在, 设 为 k, 则 k ∈ - ∞ , -

3

3

(

ù

û

ú

ú ∪

3

3

, + ∞

é

ë

ê

ê ) . 设 A(x0 ,y0 ),则 B( - x0 , - y0 ),所

以

x

2

0

a

2

+

y

2

0

b

2

= 1①. 因为 AF ⊥ BF,所以AF

→·BF

→ =

( - c - x0 , - y0 )·( - c + x0 ,y0 ) = c

2 - x

2

0

- y

2

0

=

0②. 由 ①② 及 a

2 = b

2 + c

2 得 y

2

0

=

b

4

c

2

,x

2

0

=

c

4 - b

4

c

2

. 又 k =

y0

x0

,k ∈ - ∞ , -

3

3

(

ù

û

ú

ú ∪

3

3

, + ∞

é

ë

ê

ê ) ,所以 k

2 =

y

2

0

x

2

0

=

b

4

c

2

c

4 - b

4

c

2

=

b

4

c

4 - b

4

,且

k

2 ≥

1

3

,所以

b

4

c

4 - b

4 ≥

1

3

,则 4b

4 ≥ c

4

> b

4

,故

2b

2 ≥ c

2

> b

2

,所以2(a

2 - c

2

) ≥ c

2

> a

2 - c

2

,即

1

2

<

c

2

a

2 ≤

2

3

,故

2

2

< e =

c

a

≤

6

3

. 综上,该椭圆

的离心率 e 的取值范围为

2

2

,

6

3

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

.

17. 【解析】(1) 因为AC′

→ =AB

→ + AD

→ + AA′

→,∠BAD =

90°,∠BAA′ = ∠DAA′ = 60°,AB = 4,AD = 3,

AA′ = 5,

所以| AC′

→ |

2 =| AB

→|

2 +| AD

→|

2 +| AA′

→|

2 + 2(AB

→·

AD

→ + AB

→·AA′

→ + AD

→·AA′

→) = | AB

→ |

2 + | AD

→ |

2 +

| AA′

→ |

2 + 2(AB

→·AD

→ +| AB

→|·| AA′

→| cos∠BAA′ +

| AD

→ |·| AA′

→ | cos∠DAA′) = 4

2 + 3

2 + 5

2 + 2 ×

0 + 4 × 5 ×

1

2

+ 3 × 5 ×

1

2

( ) = 85,

所以 AC′ =| AC′

→ | = 85 .

(2) 因为侧面 BCC′B′ 是平行四边形,

所以 F 是 BC′ 的中点,

又 AE = 2EC′,

·21·

所以EF

→ =EC′

→ +C′F

→ =

1

3

AC′

→ -

1

2

BC′

→ =

1

3

(AB

→ +

AD

→ +AA′

→) -

1

2

( AD

→ + AA′

→) =

1

3

AB

→ -

1

6

AD

→ -

1

6

AA′

→,

又EF

→ = xAB

→ + yAD

→ + zAA′

→,

所以 x =

1

3

,y = z = -

1

6

,

所以 x + y + z = 0.

18. 【解析】(1) 因为抛物线 y

2 = 2px 的准线方程为

x = - 1,

所以 -

p

2

= - 1,解得 p = 2,

所以抛物线的方程为 y

2 = 4x.

(2) 由(1) 知抛物线的方程为 y

2 = 4x,

由

x = my + 4,

y

2 = 4x { 得 y

2 - 4my - 16 = 0.

设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),

则 y1

y2

= - 16,x1

x2

=

y

2

1

y

2

2

16

= 16,

所以OA

→·OB

→ = x1

x2

+ y1

y2

= 16 - 16 = 0,

所以 OA ⊥ OB.

19. 【解析】(1) 设 P(x,y).

由题意知 PQ ⊥ OQ,

∴ | PQ |

2 =| OP |

2 -| OQ |

2

.

又 | PQ | =| PA | ,A(2,1),

∴ (x

2 + y

2

) - 1

2 = (x - 2)

2 +(y - 1)

2

,整理得2x +

y - 3 = 0,

∴ 点 P 的轨迹方程为 2x + y - 3 = 0.

(2) 设圆 P 的半径为 R,P(a,b).

∵ 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

∴ | R - 1 | ≤| OP | ≤ R + 1,即 R ≥| | OP | - 1 |

且 R ≤| OP | + 1,

又 | OP | = a

2 + b

2 = a

2 +( - 2a + 3)

2 =

5 a -

6

5

( )

2

+

9

5

,

∴ 当 a =

6

5

时,| OP | min

=

3 5

5

,此时 b = - 2a +

3 =

3

5

,Rmin

=

3 5

5

- 1,

∴ 半 径 最 小 的 圆 P 的 方 程 为 x -

6

5

( )

2

+

y -

3

5

( )

2

=

3 5

5

( - 1)

2

.

(3) 如图,设O关于直线2x + y - 3 = 0的对称点为

O′(m,n).

由

n

m

× ( - 2) = - 1,

2 ×

m

2

+

n

2

- 3 = 0,

ì

î

í

ï

ïï

ï

ï

解得

m =

12

5

,

n =

6

5

,

ì

î

í

ï

ïï

ï

ï

∴ O′

12

5

,

6

5

( ) ,

∴ | PO | -| PQ | =| PO′ | -| PA | ≤| O′A | =

12

5

- 2 ( )

2

+

6

5

- 1 ( )

2

=

5

5

,当且仅当 P,A,

O′ 三点共线时等号成立,

∴ | PO | -| PQ | 的最大值为

5

5

.

20. 【解析】(1) 第一步,先将除“京剧”“剪纸” 外的

四门课程排好,有 A

4

4 种情况;

第二步,将“京剧” 和“剪纸” 课程分别插入排好

的四门课程所形成的 5 个空隙中,有 A

2

5 种情况.

所以“京剧” 和“剪纸” 课程排在不相邻的两周

的所有排法有 A

4

4

× A

2

5

= 480(种).

(2) 第一步, 先将甲和乙的不同课程排好, 有

A

2

6 种情况;

第二步, 将甲和乙的相同课程排好, 有 C

1

4 种

情况;

第三步,因为丙和甲、乙的课程都不同,

所以丙的课程的排法有 C

2

3 种情况.

因此所有选课种数为 A

2

6

× C

1

4

× C

2

3

= 360.

·22·

(3) 当 A 只任教1 门课程时:先排 A 任教课程,有

C

1

5 种情况;再从剩下 5 门课程中排 B 的任教课

程,有 C

1

5 种情况;最后剩余 4 门课程中必有 2 门

课程为同一名老师任教, 分三组全排列, 共有

C

2

4A

3

3 种情况.

所以当 A 只任教 1 门课程时,共有 C

1

5C

1

5C

2

4A

3

3

=

900(种) 安排方法.

当 A 任教2 门课程时:先选 A 任教的2 门课程,有

C

2

5 种情况,剩余的 4 门课程分为 4 组,再分配给

四名教师,有 A

4

4 种情况.

所以当A 任教2门课程时,共有C

2

5A

4

4

= 240(种) 安

排方法.

综上,A 不任教“围棋” 课程,B 只任教一门课程

的安排方案有 900 + 240 = 1 140(种).

21. 【解析】(1) 易知 PO ⊥ 平面 ABCD.

因为 BD ⊂ 平面 ABCD,

所以 PO ⊥ BD.

因为底面 ABCD 为菱形,∠BAD = 60°,AB = 2,

所以 BD = 2.

在 Rt△POB 中,PO = 3 ,OB = 1,PO ⊥ OB,

所以 PB = 2,

所以 PB = BC = 2.

又 E 为 PC 的中点,

所以 PC ⊥ BE.

同理,PC ⊥ DE.

因为 BE ∩ DE = E,BE,DE ⊂ 平面 BDE,

所以 PC ⊥ 平面 BDE,

又 PC ⊂ 平面 PBC,

所以平面 PBC ⊥ 平面 BDE.

(2) 易知 OA,OB,OP 两两垂直.

以 O 为坐标原点,OA,OB,OP 所在直线分别为 x

轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

易 得 A( 3 ,0,0),C( - 3 ,0,0),B(0,1,0),

D(0, - 1,0),P(0,0, 3 ),

则DB

→ = (0,2,0).

因为 PQ = 2QA,

所以 Q

2 3

3

,0,

3

3

( ) ,

所以BQ

→ =

2 3

3

, - 1,

3

3

( ) .

易得 平 面 BDE 的 一 个 法 向 量 为 CP

→ = ( 3 ,

0, 3 ).

设平面 QBD 的一个法向量为 n = (x,y,z),

则

n·DB

→ = 0,

n·BQ

→ = 0, { 即

2y = 0,

2 3

3

x - y +

3

3

z = 0,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

令 x = 1,可得 n = (1,0, - 2),

所以 cos〈CP

→,n〉 =

CP

→·n

| CP

→ | | n |

=

- 3

6 × 5

= -

10

10

.

设二面角 Q - BD - E 的平面角为 θ,则 sin θ =

1 - cos

2

〈CP

→,n〉 =

3 10

10

.

所以二面角 Q - BD - E 的正弦值为

3 10

10

.

22. 【解析】(1) 由题意知 a = 1,b = 2 ,

∴ C 的方程为 x

2 -

y

2

2

= 1.

显然直线 l 的斜率存在且不为 ± 2 ,

设直线 l:y = kx + m,P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 ),

由

x

2 -

y

2

2

= 1,

y = kx + m

ì

î

í

ï

ï

ïï

得(2 - k

2

)x

2 - 2kmx - (m

2 +

2) = 0,

∴ x1

+ x2

=

2km

2 - k

2

,x1

x2

=

- m

2 - 2

2 - k

2

.

∵ PQ 不过点 A,

∴ m - k ≠ 0,

设直线 AP,AQ 的斜率分别为 k1 ,k2 ,

易知 k1

=

y1

x1

+ 1

,k2

=

y2

x2

+ 1

,

·23·

∴ k 1

+ k 2

=

y 1

x 1

+ 1

+

y 2

x 2

+ 1

=

x2

y1

+ x1

y2

+ y1

+ y2

x1

x2

+ x1

+ x2

+ 1

,

又 x1

y2

+ x2

y1

= x1(kx2

+ m) + x2(kx1

+ m) =

2kx1

x2

+ m(x1

+ x2 ) =

- 4k

2 - k

2

,y1

+ y2

= k(x1

+

x2 ) + 2m =

2k

2m

2 - k

2

+ 2m =

4m

2 - k

2

,

∴ k1

+ k2

=

- 4k

2 - k

2

+

4m

2 - k

2

- m

2 - 2

2 - k

2

+

2km

2 - k

2

+ 1

=

- 4k + 4m

- m

2 - 2 + 2km + 2 - k

2

=

4(m - k)

-(m - k)

2

= - 2,

∴ (m - k)(m - k - 2) = 0,

∴ m = k + 2,

∴ y = k(x + 1) + 2,

∴ 直线 l 过定点( - 1,2).

(2) 由题设直线 AP:y = k1(x + 1),直线 AQ:y =

k2(x + 1),直线 PR:y = t(x + 1) + r(r ≠ 0).

由

y = k1(x + 1),

x

2 -

y

2

2

= 1

ì

î

í

ï

ï

ïï

得 P

2 + k

2

1

2 - k

2

1

,

4k1

2 - k

2

1

( ) ,

∴ | AP | =

4 1 + k

2

1

| 2 - k

2

1

|

.

由

y = k1(x + 1),

y = t(x + 1) + r { 得 P

r

k1

- t

- 1,

rk1

k1

- t

( ) ,

∴ | AP | =

r 1 + k

2

1

k1

- t

.

易知 2 - k

2

1 与 k1

- t 同号,

∴ | AP |

2 =

4 | r | (1 + k

2

1 )

(2 - k

2

1 )(k1

- t)

,

由

y =k2(x + 1),

x

2 -

y

2

2

= 1

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

得 Q(

2 +k

2

2

2 -k2

,

4k2

2 -k

2

2

),

∴ | AQ | =

4 1 +k

2

2

| 2 -k

2

2

|

.

由

y =k2(x + 1),

y = t(x + 1) + r { 得 R

r

k2

- t

- 1,

rk2

k2

- t

( ) ,

∴ | AR | =

r 1 +k

2

2

k2

- t

.

易知 2 - k

2

2 与 k2

- t 同号,

∴ | AQ |·| AR | =

4 | r | (1 + k

2

2 )

(2 - k

2

2 )(k2

- t)

.

∵ ∠APQ = ∠ARP,∠PAQ = ∠PAR,

∴ △APR ∽ △AQP,

∴ | AP |

2 = | AQ |·| AR | , 即

4 | r | ( 1 + k

2

1 )

( 2 - k

2

1 ) ( k 1

- t)

=

4 | r | (1 + k

2

2 )

(2 - k

2

2 )(k2

- t)

.

∵ k1 ≠ k2 ,k1

+ k2

= - 2,

∴ t = -

k1

k2

+

1

2

( )

2

+

7

4

6

≤-

7

24

,

∴ 直线 PR 斜率的最大值为 -

7

24

.