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（2023 平谷一模——对炫点）★★★☆
28．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
M m n ( , )
，我们将点 M 的横纵坐标交换位置得到点
N n m ( , )
．给出如下定义：对于平面上的点 C，若满足
NC =1
，则称点 C 为点 M 的“对炫点”．
（1）已知点
A(2,0) ．
①下列各点：
1 Q (0,1) ， 2 Q (1,1) ， 3 Q ( 1,2) −中为点 A 的“对炫点”的是_________；
②点 P 是直线
y x = + 2
上一点，若点 A 是点 P 的对炫点，求出点 P 的坐标；
（2）设点
A a b ( , )
是第一象限内一点，点 P 是直线
y x b = +
上一点，至少存在一个点 P，使
得点 A 的对炫点也是点 P 的对炫点，求
a 、b
的取值范围．
x
y
O
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吴老师图解
（1）①
Q1 ，Q3
.
规律总结
如图，点
M m n ( , )， M n m '( , ) ，
1）易知点
M
与点
M '
关于直线
y x =
对称（提示：可以用
'
1 MM k = −
+中点坐标证，也可用
全等+三线合一证．方法不唯一，有兴趣的同学可以试试），
2）以点
M '
为圆心，1 为半径作
M '，
根据题意，点
M
的“对炫点”在：
M '
上.
思路&图解
如图，由【规律总结】知点
Q1 ，Q3
符合题意.
（1）②
2 2 , 2
2 2
+
或
2 2 , 2
2 2
− − +
.
分析
如图，点
P
的“对炫点”在图示灰色阴影部分的内部及其（绿色）边界上！
但若仅仅研究点
A
是点
P
的“对炫点”，那我们只需要考虑
AP' 1=
就行了…
x
y
y = x
M'
O
M
x
y
y = x
Q3
Q1 Q2
A'
O A
x
y
y=x-2
y = x + 2
A
P'
O
P
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思路&图解
设点
P a a ( , 2) + ，则
P a a '( 2, ) + ，
1）已知
A(2,0)
，易求得
2 2 2 AP a a a ' ( 2 2) ( 0) 2 = + − + − = ，
3）由【分析】知
AP' 1=
，即
2
2 1 a =
，解得
2
2
a = ，
点
P
的坐标为
2 2 , 2
2 2
+
或
2 2 , 2
2 2
− − +
.
（2）
b 0，0 2 2 a .
分析
如图，
1）点
A a b ( , )
在第一象限，故
a 0 ，b 0，
2）点
P
的“对炫点”在图示灰色阴影部分的内部及其（绿色）边界上，
3）点
A
在射线
y b =
上，对于某一位置的点
A
，它的“对炫点”在半径为 1 的
A'
上，
其中点
A b a '( , )
在射线
x b =
上（备注：对于点
A
的“对炫点”，无需考虑整体区域），
根据题意，只需让
A'
与灰色阴影部分有交点即可！
思路&图解
如图，
A'
与直线
y x b = − + 2
相切，
1）由【分析】知
G
x b =
，则
2 G
y = ，
2）由【分析】知
A G' 2 =
，即
'
2 2 A
y = ，
综上所述：
b 0，0 2 2 a .
x
y
y=x+b
y=b
y=x-b
x=b
b
y=x b 2
y=x b+ 2
y = x
A'
P'
O
P
A
x
y
y=x-b
x=b
y=x b+ 2
G
H
A'
O
