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（2023-2024 丰台九上期中——二次变换图形）★★☆
28．在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：将图形 M 绕直线 x＝3 上某一点 P 顺时针
旋转 90°，得到图形 M'，再将图形 M'关于直线 x＝3 对称，得到图形 N，此时称图形 N 为图形
M 关于点 P 的“二次变换图形”
已知点 A（0，1）．
（1）若点 P（3，0），直接写出点 A 关于点 P 的“二次变换图形”的坐标；
（2）若点 A 关于点 P 的“二次变换图形”与点 A 重合，求点 P 的坐标；
（3）若点 P（3，－3），⊙O 半径为 1．已知长度为 1 的线段 AB，其关于点 P 的“二次变
换图形”上的任意一点都在⊙O 上或⊙O 内，直接写出点 B 的纵坐标 yB的取值范
围．
备用图
备注：改编自·2022-2023 东城九上期末
x
y
O
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吴老师图解
（1）（2，3）.
思路&图解
如图，根据题意，“二次变换图形”的
坐标为（2，3）.
备注：三垂直模型.
（2）（3，－2）.
思路一：正向思考
思路&图解
如图，设 P（3，y），
1）利用“三垂直模型”可得 A'（3＋1－y，y＋3），
2）利用对称得 N（2＋y，y＋3），
2）若点 N 与点 A 重合，则
2 0
3 1
y
y
+ =
+ =
，解得 y＝－2.
∴综上所述：P 的坐标为（3，－2）.
思路二：逆向思考
思路&图解
如图，
1）先将点 A 关于 x＝3 对称，得到点 A'
（6，1），
2）以 AA'为斜边构造等腰直角△AA'P，
那么，点 A'绕点 P 逆时针旋转 90°后可与点 A
重合，满足题意，
易知，点 P 的坐标为（3，－2）.
x
y
x = 3
N A'
P
A
O
x
y
x = 3
N A'
A
P
x
y
x = 3
P
A A'
O
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（3）0≤yB≤
1
2
.
规律总结
既然，线段 AB 的“二次变换图形”上任意一点都在⊙O 上或内，即出发地未知&目的地
明确，那么，我们就直接利用“逆向思维”倒推呗...
如图，根据题意，点 B 应在图示弧 MN 上！
思路&图解
如图，
1）△AOM 是等边三角形，
2）yM＝yN＝OH＝
1
2
，
∴0≤yB≤
1
2
.
x
y
x = 3
M N
P
O'
A
O
B
x
y
M H N
A
O
B
