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吴康专辑

余弦“三剑客”幂和式

Ŵ 华南师范大学 ŵ 吴 康

§ 1. 余弦“三剑客”

导言

三元数组 (a, b, c) 称为余弦“三剑客”, 其中

a = 2 cos

2π

7

, b = 2 cos

4π

7

, c = 2 cos

6π

7

. (1.1)

余弦“三剑客”是笔者起的名字, 缘于“7”像一把剑, 鉴于

a, b, c 的运算曾刺伤一些数学爱好者的耐心, 故起此名,

希望能被理解和接受.

§ 2. 余弦“三剑客”幂和式数列的特征方程

定义 2.1

称

Sn = a

n + b

n + c

n

(n ∈ Z) (2.1)

为余弦“三剑客”幂和式数列, a, b, c 为其特征根.

定理 2.1

{Sn}n∈Z 的特征方程 [1] 为

t

3 + t

2 − 2t − 1 = 0. (2.2)

解析

证: 考察三角方程 [2]

cos 4θ = cos 3θ, 0 ⩽ θ ⩽ π. (2.3)

易得 4θ = 2kπ ± 3θ (k ∈ Z). 由 0 ⩽ θ ⩽ π 可得

θ = 0,

2π

7

,

4π

7

,

6π

7

. (2.4)

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另一方面, 令 cos θ = x, 展开可得

8x

4 − 8x

2 + 1 = 4x

3 − 3x

=⇒(x − 1) (

8x

3 + 4x

2 − 4x − 1

)

= 0. (2.5)

可知 cos

2π

7

, cos

4π

7

, cos

6π

7

满足方程

8x

3 + 4x

2 − 4x − 1 = 0.

令 t = 2x, 即知 a, b, c 是方程 (2.2) 的三根.

§ 3. 杨志明文 [3] 四题另解

导言

文 [3] 四道题实质为求 1

a

+

1

b

+

1

c

, −2

(

1

a

+

1

b

+

1

c

)

,

−

1

2

(a + b + c), −

1

8

abc 的值. 另解如下.

解析

解: 因 a, b, c 为 (2.2) 的三根, 由三阶韦达定理得

a + b + c = −1, bc + ca + ab = −2, abc = 1. (3.1)

故

1

a

+

1

b

+

1

c

=

bc + ca + ab

abc = −2. (3.2)

从而 [3] 中四道题的答案分别为 −2, 4,

1

2

, −

1

8

.

§ 4. 余弦“三剑客”幂和式数列满足的递推关系式

结论

由定理 2.1 即知 [1]

{Sn}n∈Z 满足常系数线性齐次 3

阶递推关系式

Sn+3 + Sn+2 − 2Sn+1 − Sn = 0 (n ∈ Z). (4.1)

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其初始值组 [4]Ω0 = (S0, S1, S2) 可计算如下:

S0 = a

0 + b

0 + c

0 = 3, (4.2)

S1 = a + b + c = −1, (4.3)

S2 = a

2 + b

2 + c

2

= (a + b + c)

2 − 2 (bc + ca + ab) = 5. (4.4)

§ 5. 余弦“三剑客”幂和式数列的求值

结论

由 (4.1) ∼ (4.4) 可逐步双向递推算得下表:

表 5.1 余弦“三剑客”幂和式数列表

n −17 −16 −15 −14

Sn −948823 422266 −187926 83635

n −13 −12 −11 −10

Sn −37221 16565 −7372 3281

n −9 −8 −7 −6

Sn −1460 650 −289 129

n −5 −4 −3 −2

Sn −57 26 −11 6

n −1 0 1 2

Sn −2 3 −1 5

n 3 4 5 6

Sn −4 13 −16 38

n 7 8 9 10

Sn −57 117 −193 370

n 11 12 13 14

Sn −639 1186 −2094 3827

n 15 16 17 18

Sn −6829 12389 −22220 40169

n 19 20 21 22

Sn −72220 130338 −234609 423065

n 23 24 25 26

Sn −761945 1373466 −2474291 4459278

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参考文献

[1] 曹汝成. 组合数学 [M]. 第二版. 广州: 华南理工大学出版

社, 2012, P80 ∼ 94.

[2] 吴 康, 龙开奋. 关于切比雪夫多项式的一些研究 [J]. 中

学数学研究, 2006 年第 3 期, P27 ∼ 30.

[3] 杨志明. 一个未解决的复数求值问题的解答及相关问题

[J].“杨志明数学角”公众号, 2022-12-03.

[4] 吴 康. k 元幂和式满足的递推关系式 (I)[J].“苏国东数

学教学”公众号, 2022-11-23.

作者简介

吴 康 （1957 ∼ ），

男，广东高州人。华南师范

大学原教学督导，数学科学

学院副教授、《中学数学研

究》原主编。首批中国数学

奥林匹克高级教练，高校竞赛数学课程首位主讲，

首批数学国家集训队教练。全国初等数学研究会

理事长，广东省初等数学学会创会会长、名誉会

长，广东省高考研究会创会理事长，中国高等教

育学会教育数学专业委员会副理事长，原丘成桐

中学数学奖南部赛区组委会主任，广东省教育系

统棋类协会常务副会长。荣获全国初等数学研究

突出贡献奖、广西壮族自治区科技进步奖一等奖、

广东省高等教育教学成果一等奖。

（2022 年 8 月）