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（2023 昌平二模）★★★★

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（2a＋1，m），（b，n）是抛物线

2 2

y ax a x c = − + 2

( 0 a ，c  0)

上的点．

（1）当 a＝1 时，求抛物线对称轴，并直接写出 m 与 c 大小关系；

（2）若对于任意的 2≤b≤4，都有

m c n  

，求 a 的取值范围．

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吴老师图解

（1）

m c  .

思路&图解

当

a =1

时，抛物线的解析式为

2

y x x c = − + 2 ， 2 1 3 a + = ，

易求得抛物线的对称轴为

x =1

，如图，

点

(3, ) m

比点

(0, )c

距离对称轴更远，且抛物线开口向上，

 m c  .

（2）

1

2

a −

或

a  2 .

分析

显然，

2 1 a +

与

0 、b

的大小关系未知！

如果用“对称性比远近”的话，需要对

2 1 a +

的值进行分类讨论，关键吧，

a

的正负也还不

知道呢，那就不如用“代数法硬算”得了…

再细细分析，发现抛物线的对称轴是

x a =

，而点

(0, )c

关于对称轴的对称点是

(2 , ) a c ，

貌似和

(2 1, ) a m +

有点关系…

思路一：代数法硬算

思路&图解

1）

2 2 2

m a a a a c a a c = + − + + = + + (2 1) 2 (2 1) 2 ，

2 2 2 2 n ab a b c ba b a c = − + = − + + 2 2 ，

2）①若

m c 

，则

2

2a a c c + + 

，即

2

2 0 a a + 

，因式分解得

a a (2 1) 0 +  ，

如图，解得

1

2

a −

或

a  0 ，

②若

c n 

，则

2 2 c ba b a c  − + + 2

，即

2 2 2 0 ba b a − 

，因式分解得

ba a b (2 ) 0 −  ，

由于

b  0

，进一步化简得

aab (2 ) 0 −  ，

如图，解得

a  0

或

2

b

a 

，由题知

2 max

b

a

 

    

（提示：任意性），即

a  2 .



综上所述：

1

2

a −

或

a  2 .

x=1

(0,c)

(3,m)

1

2

0

0 b

2

a 才是要求的未知数，对 a 进

行降幂排列！

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思路二：对称性比远近（对称轴偏移/比中轴）

思路&图解

1）若抛物线开口向上（下），则抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大（小），

2）易求得抛物线的对称轴为

x a = ，

3）①当

2 1 0 a + 

，即

1

2

a −

时，

如图，此时

a  0 ，

若

m c 

，则

2 1 0

2

a

a

+ +

 ，此不等式恒成立，

若

c n 

，则

min

0

2

b

a

  +

    

（提示：任意性），即

a  2 ，



1

2

a − *，

②当

2 1 0

0

a

a

 +  

 

，即

1

0

2

−   a

时，

如图，此时

a  0

，若

m c 

，则

2 1 0

2

a

a

+ +



，不等式无解，故此情况不存在！

③当

0

2 1 2

a

a

 



 + 

，即

1

0

2

  a

时，

如图，此时

a  0

，此情况下不可能同时出现

m c  ，c n 

！

④当

2 1 4 a + 

，即

3

2

a 

时，

如图，此时

a  0 ，

若

m c 

，则

2 1 0

2

a

a

+ +

 ，此不等式恒成立，

若

c n 

，则

min

0

2

b

a

  +

    

，即

a  2，

 a  2

*.



综上所述：

1

2

a −

或

a  2 .

2a+1

m c n

0 b

2a+1

c m n

0 b

2a+1

c m n

0 b

2a+1

c n m

0 b

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思路三：

思路&图解

1）易求得抛物线的对称轴为

x a = ，

2）点

(2 , ) a c

与点

(0, )c

关于对称轴对称，

3）点

(2 1, ) a m +

在点

(2 , ) a c

的右侧，

1】

a  0

如图，

显然，

m c 

恒成立，若要保证

c n 

，则只需保

证

0 2  b a

，解得

2

b

a  ，

由于是任意的

2 4 b

，故

a  2 .

2】

a  0

如图，

显然，

c n 

恒成立，若要保证

m c 

，则只需保

证

2 2 1 0 a a  + 

，解得

1

2

a − .



综上所述：

1

2

a −

或

a  2 .

x

y

(2a+1,m)

(0,c) (2a,c)

O

(b,n)

x

y

(2a+1,m)

(2a,c) (0,c)

O

(b,n)