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（2023 海淀一模）★★★☆

26．在平面直角坐标系

xOy

中，点

0 A x m ( , ) ， 0 B x n ( 4, ) +

在抛物线

2

y x bx = − + 2 1

上．

（1）当 b＝5， 0

x = 3

时，比较 m 与 n 的大小，并说明理由；

（2）若对于

0

3 4 x

，都有

m n  1

，求 b 的取值范围．

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吴老师图解

（1）

m n = .

思路&图解

由题知抛物线的解析式为

2

y x x = − + 10 1，点

A m (3, ) ， B n (7, ) ，

易求得对称轴为

x =5，

如图，点

A

与点

B

关于对称轴对称，故

m n = .

（2）

4 5  b .

思路一：对称性比远近

思路&图解

如图，

1）由题知抛物线开口向上，故抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）易求得对称轴为

x b = ，

3）①若

m n  ，则

0 0 4

2

x x b

+ +



，即

0

b x  + 2 ，

根据题意，当

0

3 4 x

时，都有

m n  ，故

0 min b x  + ( 2)

，即

b 5 ，

②若

n 1，同理，

0

max

0 4

2

x

b

  + +

    

，即

b  4，



综上所述：

4 5  b .

提示：把

m n  1

中的“1”当成第 3 个函数值

3

y .

思路二：代数“硬算”

思路&图解

1）

2 2

0 0 0 0 m x bx x b x = − + = − + + 2 1 2 1，

2 2

0 0 0 0 n x b x x b x = + − + + = − + + + + ( 4) 2 ( 4) 1 2( 4) ( 4) 1，

2）①若

m n  ，则

2 2

0 0 0 0 − + +  − + + + + 2 1 2( 4) ( 4) 1 x b x x b x ，整理得

0

b x  + 2 ，

根据题意，当

0

3 4 x

时，都有

m n  ，故

0 min b x  + ( 2)

，即

b 5 ，

②若

n 1，则

2

0 0 − + + + +  2( 4) ( 4) 1 1 x b x

，同理，有

0

max

4

2

x

b

  +

    

，即

b  4，



综上所述：

4 5  b .

x=5

3 7

n

x0+4

m

x0

1

0