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数 学 基础版
2023江海名师零距离高考一轮总复习
课时达标练
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2023一轮数学基础版 课后达标检测
◆1目录??目 录第一章 集合、常用逻辑用语、不等式…………………………………………………………………………………… 1课时1 集合及其运算 ……………………………………………………………………………………………… 1课时2 常用逻辑用语 ……………………………………………………………………………………………… 3课时3 等式与不等式的性质 ……………………………………………………………………………………… 5课时4 基本不等式 ………………………………………………………………………………………………… 7课时5 从函数观点看一元二次方程和不等式 ………………………………………………………………… 11第二章 基本初等函数 ………………………………………………………………………………………………… 15课时1 函数的概念及表示 ……………………………………………………………………………………… 15课时2 函数的单调性与最值 …………………………………………………………………………………… 17课时3 函数的奇偶性与周期性 …………………………………………………………………………………...
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文本内容
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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式…………………………………………………………………………………… 1
课时1 集合及其运算 ……………………………………………………………………………………………… 1
课时2 常用逻辑用语 ……………………………………………………………………………………………… 3
课时3 等式与不等式的性质 ……………………………………………………………………………………… 5
课时4 基本不等式 ………………………………………………………………………………………………… 7
课时5 从函数观点看一元二次方程和不等式 ………………………………………………………………… 11
第二章 基本初等函数 ………………………………………………………………………………………………… 15
课时1 函数的概念及表示 ……………………………………………………………………………………… 15
课时2 函数的单调性与最值 …………………………………………………………………………………… 17
课时3 函数的奇偶性与周期性 ………………………………………………………………………………… 19
课时4 指数与对数 ……………………………………………………………………………………………… 21
课时5 幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质 …………………………………………………………… 23
课时6 幂函数、指数函数、对数函数的综合应用 ……………………………………………………………… 27
课时7 函数的图象 ……………………………………………………………………………………………… 31
课时8 函数与方程 ……………………………………………………………………………………………… 35
课时9 函数模型及其应用 ……………………………………………………………………………………… 37
第三章 导数及其应用 ………………………………………………………………………………………………… 41
课时1 导数的概念及运算 ……………………………………………………………………………………… 41
课时2 导数与函数的单调性 …………………………………………………………………………………… 43
课时3 导数与函数的极值、最值 ………………………………………………………………………………… 45
课时4 导数研究不等式问题 …………………………………………………………………………………… 47
课时5 导数的综合应用(1)……………………………………………………………………………………… 49
课时6 导数的综合应用(2)……………………………………………………………………………………… 53
第四章 三角函数、解三角形…………………………………………………………………………………………… 55
课时1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 …………………………………………………………………… 55
课时2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ………………………………………………………………… 59
课时3 两角和与差的三角函数 ………………………………………………………………………………… 61
课时4 三角恒等变换 …………………………………………………………………………………………… 63
课时5 三角函数的图象与性质 ………………………………………………………………………………… 65
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课时6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 …………………………………………………………………… 69
课时7 正弦定理与余弦定理 …………………………………………………………………………………… 73
课时8 解三角形的综合应用 …………………………………………………………………………………… 75
第五章 平面向量与复数 ……………………………………………………………………………………………… 77
课时1 平面向量的概念与线性运算 …………………………………………………………………………… 77
课时2 平面向量的基本定理与坐标表示 ……………………………………………………………………… 81
课时3 平面向量的数量积 ……………………………………………………………………………………… 83
课时4 平面向量的综合应用 …………………………………………………………………………………… 87
课时5 复数的概念与运算 ……………………………………………………………………………………… 89
课时6 复数的性质与几何意义 ………………………………………………………………………………… 91
第六章 数列 …………………………………………………………………………………………………………… 93
课时1 数列的概念与简单表示法 ……………………………………………………………………………… 93
课时2 等差数列的通项与求和公式 …………………………………………………………………………… 97
课时3 等比数列的通项与求和公式 …………………………………………………………………………… 99
课时4 数列求和方法 …………………………………………………………………………………………… 101
课时5 递推数列 ………………………………………………………………………………………………… 103
课时6 数列的综合应用 ………………………………………………………………………………………… 105
第七章 立体几何……………………………………………………………………………………………………… 109
课时1 空间几何体的结构特征 ………………………………………………………………………………… 109
课时2 空间几何体的表面积与体积 …………………………………………………………………………… 113
课时3 球的接、切、截问题 ……………………………………………………………………………………… 117
课时4 空间点、线、面的位置关系 ……………………………………………………………………………… 119
课时5 直线、平面平行的判定与性质 ………………………………………………………………………… 123
课时6 直线、平面垂直的判定与性质 ………………………………………………………………………… 127
课时7 综合法求空间角与距离 ………………………………………………………………………………… 131
课时8 空间向量与立体几何 …………………………………………………………………………………… 135
课时9 立体几何的综合应用 …………………………………………………………………………………… 139
第八章 解析几何……………………………………………………………………………………………………… 143
课时1 直线的倾斜角、斜率与方程 …………………………………………………………………………… 143
课时2 两条直线的位置关系 …………………………………………………………………………………… 145
课时3 圆的方程 ………………………………………………………………………………………………… 147
课时4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ………………………………………………………………………… 149
课时5 椭圆的方程与性质 ……………………………………………………………………………………… 151
课时6 双曲线的方程与性质 …………………………………………………………………………………… 155
课时7 抛物线的方程与性质 …………………………………………………………………………………… 159
课时8 直线与圆锥曲线的位置关系 …………………………………………………………………………… 163
课时9 圆锥曲线的综合应用 …………………………………………………………………………………… 167
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第九章 计数原理与概率……………………………………………………………………………………………… 171
课时1 排列与组合 ……………………………………………………………………………………………… 171
课时2 二项式定理 ……………………………………………………………………………………………… 173
课时3 随机事件的概率、古典概型 …………………………………………………………………………… 175
课时4 事件的独立性与条件概率 ……………………………………………………………………………… 179
课时5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差 ………………………………………………………… 183
课时6 超几何分布与二项分布 ………………………………………………………………………………… 187
课时7 正态分布 ………………………………………………………………………………………………… 191
第十章 统计与统计案例……………………………………………………………………………………………… 195
课时1 随机抽样、统计图表 …………………………………………………………………………………… 195
课时2 用样本估计总体 ………………………………………………………………………………………… 199
课时3 回归分析 ………………………………………………………………………………………………… 203
课时4 独立性检验 ……………………………………………………………………………………………… 207
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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
课时1 集合及其运算
一、单选题
1.(2021·山东东营一中检测)下列四
个关系中,正确的是 ( )
A.a∈{a,b} B.{a}∈{a,b}
C.a∉{a} D.a∈{(a,b)}
2.(2021· 陕 西 卷)设 集 合 A = {x|
3x-1<m},若1∈A,且2∉A,则实数 m
的取值范围是 ( )
A.(2,5) B.[2,5)
C.(2,5] D.[2,5]
3.(2016· 天 津 卷 · 理 科)已 知 集 合
A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},
则A∩B= ( )
A.{1} B.{4}
C.{1,3} D.{1,4}
4.(2021·陕西延安市洛川县校级月考
改编)已知集合 M 满足{1,2}⊆M ⫋{1,2,
3,4,5,6},则集合 M 的个数为 ( )
A.14 B.15
C.16 D.17
5.(2011·辽宁卷)已知 M,N 为集合
I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N ∩
∁IM =∅,则 M ∪N= ( )
A.M B.N
C.I D.∅
6.中国古代重要的数学著作《孙子兵
法》下卷有题:今有物,不知其数.三三数之,
剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:
物几何? 现有如下表示:已知 A={x|x=
3n+2,n∈N
* },B = {x|x=5n+3,n∈
N
* },C={x|x=7n+2,n∈N
* },若x∈
(A∩B∩C),则x 的最小值为 ( )
A.128 B.127
C.37 D.23
二、多选题
7.(2020·山东潍坊市质检)已知集合
A={x|-1<x≤3},B={x||x|≤2},则
( )
A.A∩B=∅
B.A∪B={x|-2≤x≤3}
C.A∪∁RB={x|x≤-1或x>2}
D.A∩∁RB={x|2<x≤3}
8.已知集合A={x|ax
2+2x+a=0,
a∈R},若 集 合 A 有 且 仅 有 2 个 子 集,则
a 的可能值为 ( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
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三、填空题
9.(2020·全国卷Ⅲ·理科)已知集合
A={(x,y)|x,y∈N
* ,y≥x},B={(x,
y)|x+y=8},则 A ∩B 中元素的个数为
.
10.(2021·天津市西青区校级月考)已
知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|
x≤1 或 x≥4}.当a=3 时,则 A ∩B =
;若 a>0,且 A ⊆ ∁RB,则 实 数
a 的取值范围为 .
四、解答题
11.(2021·湖北荆州市沙市区校级月
考)在 ① A ∩B = {3};② A ∩B = {6};
③ A∩B={3,6}这三个条件中任选一个,
补充在下面问题中并求解.
问题:是否存在实数a,使得 A={1,3,
a
2+3a-4},B={0,6,a
2+4a-2,a+3},
且 ?
12.已知函数f(x)=
1
x
的定义域为集
合A,集合B={x|ax-1<0,a∈N
* },集
合C={x|1<2x+1<2}.
(1)求A,C;
(2)若C⫋(A∩B),求a 的值.
13.(2021·广西桂林市七星区校级月
考)已知集合A={x|x
2-2x≤0},B={x|
2+a≤x≤1-a,a∈R}.
(1)若A∪B=A,求a 的取值范围;
(2)若A∩B=∅,求a 的取值范围.
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课时2 常用逻辑用语
一、单选题
1.命题“∀x∈R,x
2-x+1>0”的否
定是 ( )
A.∀x∈R,x
2-x+1≤0
B.∃x∈R,x
2-x+1≤0
C.∃x∈R,x
2-x+1>0
D.∀x∈R,x
2-x+1≥0
2.(2021·北京卷)设函数f(x)的定
义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调
递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为
f(1)”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2021· 辽宁沈阳市和平区校级月
考)已知p:x
2-2x-3≤0,q:x
2 -2mx+
m
2-4>0,若p 是q 成立的充分不必要条
件,则 m 的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3)∪(5,+∞)
B.(-3,5)
C.[-3,5]
D.(-∞,-3]∪[5,+∞)
4.(2021· 天 津 市 河 西 区 月 考)命 题
“∀x∈[1,2],x
2-a<0”为真命题的一个
充分不必要条件是 ( )
A.a≤4 B.a≥4
C.a≤5 D.a≥5
5.(2021· 江苏扬州市广陵区校级月
考)若命题“∃x0∈R,使得x
2
0+4x0+2k<
0”是假命题,则实数k 的取值范围是 ( )
A.k≤2 B.k≥2
C.k<2 D.k>2
6.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之
奇伟、瑰怪、非常之观,常在于险远,而人之所
罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“到达奇
伟、瑰怪、非常之观”是“有志”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、多选题
7.(2021·山东济宁市期末)下列命题
中的真命题是 ( )
A.∀x∈R,2
x-1>0
B.∀x∈N
* ,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lgx<1
D.∃x∈R,tanx=2
8.(2021·山东青州二中检测)下列叙
述不正确的是 ( )
A.若a≠0,b,c∈R,则“ax
2+bx+c≥
0”的充要条件是“b
2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ac
2>bc
2”的充要
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条件是“a>b”
C.“a<0”是“方程x
2+x+a=0有一
个正根和一个负根”的充分不必要条件
D.“a>1”是“
1
a
<1”的充分不必要条件
三、填空题
9.试 写 出 一 个 实 数 m,使 得 命 题
“∀x∈[0,m],tanx≤ 3”是真命题,m 的
值可以是 .
10.设p:实数x 满足x
2-4ax+3a
2<
0, 其 中 a ≠ 0,q: 实 数 x 满 足
x
2-x-6≤0,
x
2 +2x-8>0.
若p 是q 的必要不充分条
件,则实数a 的取值范围是 .
四、解答题
11.已知函数f(x)=x
2,g(x)=x-1.
(1)∃x∈R,使f(x)<bg(x),求实数
b 的取值范围;
(2)∀x∈R,使f(x)≥bg(x),求实数
b 的取值范围.
12.(2021· 江苏省南通中学检测)请
在① 充分不必要条件,② 必要不充分条件,
③ 充要条件这三个条件中任选一个,补充在
下面问题(2)横线中,并完成解答.
已知集合 A={x
2-4x-12≤0},B=
{x|x
2-2x+1-m
2≤0,m>0}.
(1)求集合A,B;
(2)若x∈A 是x∈B 成立的 ,
试判断实数m 是否存在.若m 存在,求出m
的取值范围;若不存在,请说明理由.
13.已知函数 f(x)=x2
x
,x∈[1,
2],g(x)=acos
πx
2
+5-2a(a>0),且对任
意的x1∈[1,2],总存在 x2 ∈[0,1],使得
g(x2)=f(x1)成立,求实数a 的取值范围.
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课时3 等式与不等式的性质
一、单选题
1.限速40km/h的路标,指示司机在
前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过
40km/h,写成不等式为 ( )
A.v<40km/h B.v>40km/h
C.v≠40km/h D.v≤40km/h
2.(2021·江西上饶市期末)若a>b,
c>d,则下列不等关系不一定成立的是
( )
A.a-b>c-d B.a+c>b+d
C.a-c>b-c D.a-c<a-d
3.(2020·江苏苏锡常镇调研)若实数
x,y 满足x>y,则下列不等式成立的是
( )
A.
y
x
<1 B.2
-x <2
-y
C.lg(x-y)>0 D.x
2>y
2
4.(2020·江西上饶市期末)如果a>
b>0,t>0,设 M =
b
a
,N=
b+t
a+t
,那么
( )
A.M <N
B.M >N
C.M =N
D.M 与N 的大小关系和t有关
5.(2020·江苏盐城市模拟)已知a,b,
c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项一定
成立的是 ( )
A.ab>ac B.c(b-a)<0
C.cb
4<ab
4 D.ac(a-c)>0
6.(2021· 齐 鲁 名 校 联 考)若α,β 满
足π
2
<α<β<
π
2
,则2α-β的取值范围是
( )
A.(-π,0) B.(-π,π)
C. -
3π
2
,
π 2 D. -
3π
2
,
3π 2
二、多选题
7.十六世纪中叶,英国数学家雷科德
在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使
用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”
和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号
的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,
c∈R,则下列命题正确的是 ( )
A.若ab≠0且a<b,则
1
a
>
1
b
B.若0<a<1,则a
3<a
C.若a>b>0,则
b+1
a+1
>
b
a
D.若 a <b <0 且 0<c <1,则
logca
2>logcb
2
8.若a<b<0,则下列不等关系成立的
是 ( )
A.
1
a
>
1
b
B.
1
a-b
>
1
a
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C.a
2
3 >b
2
3 D.a
2>b
2
三、填空题
9.给出三个不等式:①a
2>b
2;②2
a >
2
b-1;③ a-b> a- b.能够使以上三个
不等式同 时 成 立 的 一 个 条 件 是 .
(答案不唯一,写出一个即可)
10.(2010·江苏卷)设x,y 为实数,满
足3≤xy
2≤8,4≤
x
2
y
≤9,则
x
3
y
4 的最大值是
.
四、解答题
11.已知a≠1且a∈R,试比较
1
1-a
与
1+a 的大小.
12.(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:
a+b
b
≤
c+d
d
;
(2)已知c>a>b>0,求证:
a
c-a
>
b
c-b
.
13.设 函 数 f (x)=ax
2 +bx,1≤
f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值
范围.
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课时4 基本不等式
一、单选题
1.(2021·江苏南通市启东市联考)下
列不等式一定成立的是 ( )
A.
a+b
2
≥ ab
B.
a+b
2
≤- ab
C.x+
1
x
≥2
D.x
2+
1
x
2≥2
2.(2021· 江西南昌市东湖区校级月
考)已知正数x,y 满足x+y=1,若t>2xy
恒成立,则实数t的取值范围是 ( )
A.
1
2 ,+∞
B. -∞,
1 2
C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
3.(2020· 湖南长沙市天心区校级月
考)已知圆的直径为2,则其内接矩形的周长
的最大值为 ( )
A.4 2
B.8
C.8 2
D.12
4.已知x>0,y>0,且
1
x+1
+
1
y
=
1
2
,
则x+y 的最小值为 ( )
A.3 B.5
C.7 D.9
5.(2021· 湖 南 衡 阳 市 三 模)已 知a,
b∈R+ ,2a+b=2,则
a
b
+
1
a
的最小值为
( )
A.
3
2
B.2+1
C.
5
2
D.2 2
6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几
何方法研究代数问题)成了后世西方数学家
处理问题的重要依据,通过这一原理,很多
的代数的公理或定理都能够通过图形实现
证明,也称之为无字证明.现有如图所示图
形,点F 在半圆O 上,点 C 在直径AB 上,
且OF⊥AB,设 AC=a,BC=b,则该图形
可以完成的无字证明为 ( )
A.
a+b
2
≥ ab(a>0,b>0)
B.a
2+b
2≥2ab(a>0,b>0)
C.
2ab
a+b
≤ ab(a>0,b>0)
D.
a+b
2
≤
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
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二、多选题
7.(2021·山东临沂市临沭县期末)给
出下列四个推断,其中正确的为 ( )
A.若a,b∈(0,+∞),则
a
b
+
b
a
≥2
B.若x,y∈(0,+∞),则lgx+lgy≥
2 lgxlgy
C.若a∈R,a≠0,则
4
a
+a≥4
D.若x,y∈R,xy<0,则
x
y
+
y
x
≤-2
8.设a,b 均为正数,且a+2b=1,则下
列结论正确的是 ( )
A.ab 有最大值
1
8
B. a+ 2b有最大值 2
C.a
2+b
2 有最小值
1
5
D.a
2-b
2 有最小值1
4
三、填空题
9.(2019·天津卷改编)设x>0,y>
0,x +2y =4,则 x = ,y =
时,
(x+1)(2y+1)
xy
取 得 最 小 值,
其最小值为 .
10.已知x>0,y>0,满足xy=1,则
M =
1
1+x
+
1
1+2y
的最小值为 .
四、解答题
11.已知x>0,y>-1,且x+y=1,
求
x
2+3
x
+
y
2
y+1
的最小值.
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◆9
第一章集合︑常用逻辑用语︑不等式 ???????? 12.(2021· 全国卷 Ⅰ 模拟)若a>0,
b
>
0
,
且
2
a
+
b
+
2
=
3
a
b
.
(
1
)
求
2
a
+
b
的
最
小
值
;
(
2
)
是
否
存
在
a
,
b
,
使
得
a
3
+
b
3
=
4
2
?
并
说
明
理
由
. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
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13.某房地产开发公司计划在一楼区内
建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为
长方形A1B1C1D1 的休闲区和环公园人行
道 (阴 影 部 分 )组 成.已 知 休 闲 区
A1B1C1D1 的面积为4000平方米,人行道
的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)设休闲区的长和宽的比
A1B1
B1C1
=x
(x>1),求公园 ABCD 所占面积S 关于x
的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区
A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?
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课时5 从函数观点看一元二次
方程和不等式
一、单选题
1.(2021· 辽宁沈阳市和平区校级月
考)不等式2x
2+x-6<0的解集为 ( )
A. -
3
2 ,2
B. -2,
3 2
C. -∞,-
3 2 ∪(2,+∞)
D.∅
2.(2021·福建福州市月考)已知关于
x 的不等式a(x-1)>x
2-x+b 的解集为
{x|2<x<3},则a+b= ( )
A.4
B.5
C.6
D.7
3.(2021· 重 庆 市 沙 坪 坝 区 校 级 月
考)若方程-x
2+ax+4=0的两实根中一
个小于-1,另一个大于2,则a 的取值范围
是 ( )
A.(0,3)
B.[0,3]
C.(-3,0)
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
4.已知函数f(x)=x
2-2x,g(x)=
ax+2(a>0),若 ∀x1 ∈[-1,2],∃x2 ∈
[-1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a 的
取值范围是 ( )
A.0,
1 2
B.
1
2
,3
?
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??
?
?
??
C.(0,3]
D.[3,+∞)
5.(2021· 福建南平市建瓯市校级月
考)若关于x 的不等式x
2-(a+1)x+a<0
的解集中恰有两个整数,则a 的取值范围是
( )
A.{a|3<a<4}
B.{a|-2<a<-1或3<a<4}
C.{a|3<a≤4}
D.{a|-2≤a<-1或3<a≤4}
6.中国古代名词“刍童”原来是草堆的
意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算
术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上
袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六
而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,
与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,
将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再
与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与
高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”
的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形
的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍
童”的体积的最大值为 ( )
A.
39
2
B.
75
2
C.39 D.
601
16
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二、多选题
7.(2021· 福建南平市建瓯市校级月
考)若 不 等 式 ax
2 -bx +c>0 的 解 集 是
(-1,2),则下列选项正确的是 ( )
A.b<0且c>0
B.a-b+c>0
C.a+b+c>0
D.不等式ax
2 +bx+c>0 的解集是
{x|-2<x<1}
8.若关于x 的方程x
2 -(m -1)x+
2-m=0的两根为正数,则 m 的取值可以
是 ( )
A.-1-2 2
B.-1+2 2
C.1.9
D.1.99
三、填空题
9.(2021 · 浙 江 期 中 )已 知 函 数
f(x)= -x
2 -2mx+4,若 对 于 任 意 x∈
[m,m +2]都有f(x)>0成立,则实数 m
的取值范围为 .
10.(2021·山东月考)设函数f(x)=
x
2-2ax+a
2,x∈[0,2],当a=-1时,f(x)的
最小值是 ;若f(a)是f(x)的最小
值,则a 的取值范围为 .
四、解答题
11.(2021·浙江温州市苍南县校级月
考)已知二次函数f(x)=ax
2+bx+c 满足
f(1+x)=f(1-x)且不等式f(x)≤2x 的
解集为[1,3].
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)方程f(x)=2x+k 在(0,3]上有
解,求实数k 的取值范围.
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12.(2020·江苏苏州市模拟)已知函数
f(x)=x
2+ax+3.
(1)当x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求
实数a 的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成
立,求实数a 的取值范围;
(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,
求实数x 的取值范围.
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13.(2021·安徽六安市金安区校级期
中)已 知 关 于 x 的 二 次 方 程x
2 +2mx +
2m+1=0.
(1)若 方 程 有 两 根,其 中 一 根 在 区 间
(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的
取值范围;
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求
m 的取值范围.
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◆15
第
二
章
基
本
初
等
函
数
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第二章 基本初等函数
课时1 函数的概念及表示
一、单选题
1.(2020· 河南期末)下列函数中,与
y=x 表示为同一函数的是 ( )
A.y=
x
2-x
x-1
B.y= x
2
C.y=log22
x D.y=e
lnx
2.(2021·江苏南京市期末调研)记函
数 y= 4-x
2 的 定 义 域 为 A,函 数 y =
ln(x-1)的定义域为B,则A∩B= ( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
3.(2021· 湖 南 长 沙 市 检 测)设 函 数
f(x)=
x-2, x≥10 f[f(x+6)],x<10,
则f(5)的值
为 ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
4.若函数f(x)=x+log2(x-a)的定
义域为(1,+∞),则f(3a)= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.函数f(x)=
2x
2,0≤x≤1,
2, 1<x<2,
3, x≥2
?
?
?
??
??
的值域
是 ( )
A.R
B.[0,+∞)
C.[0,3]
D.{x|0≤x≤2或x=3}
6. 已 知 f
1
2 x-1 = 2x - 5,且
f(a)=6,则a= ( )
A.
7
4
B.-
7
4
C.
4
3
D.-
4
3
二、多选题
7.下列四组函数中,f(x)与g(x)表示
同一函数的是 ( )
A.f(x)=x-1,g(x)=
x
2-1
x+1
B.f(x)=|x+1|,g(x)=
x+1,x≥-1, -1-x,x<-1
C.f(x)=1,g(x)=(x+1)0
D.f(x)=
(x)2
x
,g(x)=
x
(x)2
8.中国清朝数学家李善兰在1859年翻
译《代 数 学》中 首 次 将 “function”译 作:“函
数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释
说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函
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◆16
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数”.1930年美国人给出了我们课本中所学
的集合论的函数定义,已知集合 M ={-1,
1,2,4},N ={1,2,4,16},给出下列四个对
应法则,请由函数定义判断,其中能构成从
M 到N 的函数的是 ( )
A.y=log2|x| B.y=x+1
C.y=2
|x| D.y=x
2
三、填空题
9.已知y=f(x)是二次函数,若方程
f(x)=0有两个相等实根,且f'(x)=2x+
2,则f(x)= .
10.(2021·浙江绍兴市诸暨市期中)设
函 数 f(x)=
2
x +a,x>2, ax+1,x≤2,
若 a =1,则
f(f(2))= ;若f(x)的值域为 R,
则实数a 的取值范围是 .
四、解答题
11.(2021· 海 南 调 研 )已 知 函 数
f(x)=
2
-x , x≤-1, x+1,x>-1.
(1)求f(f(-2))的值;
(2)求不等式f(x)≥2的解集.
12.(1)已 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为
[-1,5],求函数f(x-5)的定义域;
(2)已知函数f(x-1)的定义域是[0,
3],求函数f(x)的定义域.
13.(2021·上海市虹口区期末)已知函
数f(x)的定义域是使得解析式有意义的x
取值集合,若对于定义域内的任意实数x,
函数值均为正,则称此函数为“正函数”.
(1)证 明:函 数 f(x)=lg(x
2 +1)+
1是“正函数”;
(2)如果函数f(x)=|x|+
a
|x|+1
-
1不是“正函数”,求正数a的取值范围.
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函
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课时2 函数的单调性与最值
一、单选题
1.(2021· 山 东 青 岛 一 中 月 考)函 数
f(x)=log1
2
(x
2-4)的单调增区间为
( )
A.(-∞,-2) B.(2,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
2.(2021· 广西桂林市七星区校级月
考)函 数 f(x)=
x
2+6,x∈[1,2], x+7,x∈[-1,1),
则
f(x)的最大值和最小值分别为 ( )
A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.10,7
3.函数f(x)=|x-2|x 的单调减区
间是 ( )
A.[1,2] B.[-1,0]
C.[0,2] D.[2,+∞)
4.(2021· 四川成都市武侯区校级月
考)已知函数f(x)=kx
2-4x+8在[5,10]
上单调递减,且f(x)在[5,10]上的最小值
为-32,则实数k 的值为 ( )
A.-
4
5
B.0
C.0或4
5
D.0或
1
7
5.(2021· 河南信阳市浉河区校级月
考)若函数f(x)=|3x+a|的单调递减区
间是(-∞,3],则a 的值为 ( )
A.9 B.3
C.-9 D.-3
6.(2021· 河南南阳市宛城区校级月
考)函数y=2x+|1-4x|的最小值是
( )
A.1 B.
1
2
C.
1
4
D.2
二、多选题
7.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增
函数的是 ( )
A.f(x)=lnx
B.f(x)=x
2+3x
C.f(x)=-
1
x+1
D.f(x)=3-|x|
8.已 知 函 数 f(x)=
bx+3
ax+2
在 区 间
(-2,+∞)上单调递增,则a,b 的取值可以
是 ( )
A.a=1,b>
3
2
B.0<a≤1,b=2
C.a=-1,b=2
D.a=
1
2
,b=1
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三、填空题
9.若f(x)是定义在(0,+∞)上的单
调增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),
f(3)=1,则当f(x)+f(x-8)≤2时,x 的
取值范围是 .
10.(2021·黑龙江哈尔滨市香坊区校
级月考)函数y=2- -x
2+4x 的值域是
,单调递增区间是 .
四、解答题
11.(2021·浙江金华市东阳市校级月
考)已知函数f(x)=
x+a
x-2
,x∈(2,+∞).
(1)若a=4,试判断函数f(x)在定义
域上的单调性,并利用单调性定义证明你的
结论;
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单
调递减,写出a 的取值范围.(对函数表达式
作必要的变形,但无需证明)
12.已知函数f(x)=
x
2+2x+a
x
,x∈
[1,+∞).
(1)当 a=
1
2
时,求 函 数 f(x)的 最
小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0
恒成立,试求实数a 的取值范围.
13.已知函数f(x)=
x
x-a
(x≠a).
(1)若 a = - 2,试 证:f (x )在
(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单
调递减,求a 的取值范围.
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课时3 函数的奇偶性与周期性
一、单选题
1.(2021·上海市崇明区二模)下列函
数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递
增的是 ( )
A.y=-x
3 B.y= x
C.y=lgx D.y=sinx
2.(2019 · 全 国 卷 Ⅲ · 理 科 )设
f(x)是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数,且 在 (0,
+∞)上单调递减,则 ( )
A.flog3
1 4 >f 2
-
3 2 >f 2
-
2 3
B.flog3
1 4 >f 2
-
2 3 >f 2
-
3 2
C.f 2
-
3 2 >f 2
-
2 3 >flog3
1 4
D.f 2
-
2 3 >f 2
-
3 2 >flog3
1 4
3.(2021·安徽合肥市三模)已知f(x)=
a2
3
x +1
(a 为 常 数)为 奇 函 数,则 满 足
f(ax)>f(1)的实数x 的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
4.(2021·全国甲卷·文科)设f(x)是
定义 域 为 R 的 奇 函 数,且 f(1+x)=
f(-x).若f -
1 3 =
1
3
,则f
5 3 = ( )
A.-
5
3
B.-
1
3
C.
1
3
D.
5
3
5.(2021·广东模拟)天干地支纪年法源
于中国,中国自古便有十天干与十二地支,十
天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二
地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一
个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天
干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年为“甲
子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”……以
此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开
始,即“甲戌”“乙亥”,然后地支回到“子”重新开
始,即“丙子”,以此类推可知每两个“甲子”年之
间为60年.已知1901年为“辛丑”年,那么到
2022年为 ( )
A.丙酉年 B.戊申年
C.己申年 D.壬寅年
6.(2020· 安 徽 合 肥 市 二 模)若 函 数
F(x)=f(x)-2x
4 是 奇 函 数,G (x)=
f(x)+
1 2
x
为偶函数,则f(-1)= ( )
A.-
5
2
B.-
5
4
C.
5
4
D.
5
2
二、多选题
7.已 知 函 数 f (x)是 偶 函 数,且
f(5-x)=f(5+x),g(x)=f(x)sinπx,
则 ( )
A.函数y=g(x)是奇函数
B.函数y=g(x)是偶函数
C.10是函数f(x)的一个周期
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D.对任意的x∈R,都有g(x+5)=
g(x-5)
8.(2020 · 山 东 模 拟 )已 知 函 数
f(x)的定义域为 R,且f(x+1)与f(x+
2)都为奇函数,则 ( )
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数
三、填空题
9.(2021·上海市杨浦区二模)已知函
数f(x)=g(x)+|2x-1|为 奇 函 数,若
g(-1)=7,则g(1)= .
10.(2020·河南安阳市二模)已知y=
f(x)是 定 义 在 R 上 的 函 数,且 f (x +
4)=-f(x),若当x∈[-4,0)时,f(x)=
(2)-x ,则f(266)= .
四、解答题
11.(2020· 上 海 市 模 拟)已 知 函 数
f(x)=2
x +
a
2
x,其中a 为实常数.
(1)若 f(0)=7,解 关 于 x 的 方 程:
f(x)=5;
(2)试判断函数f(x)的奇偶性,并说
明理由.
12.设f(x)是 定 义 域 为 R 的 周 期 函
数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-
x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.
(1)试判定f(x)的奇偶性;
(2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]
上的表达式.
13.设f(x)是 定 义 在 R 上 的 周 期 为
3 的 函 数,当 x ∈ [-2,1)时,f (x)=
|mx+1|,-2≤x<0, ln(x+n),0≤x<1,
其 中 m,n ∈ R,且
f(-6)=0.
(1)求n 的值;
(2)若函数f(x)的值域为[0,2],求 m
的值.
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课时4 指数与对数
一、单选题
1.(2021· 陕 西 西 安 市 模 拟 )已 知
3
a-1+3
a-2+3
a-3=117,则(a+1)(a+2)·
(a+3)= ( )
A.120 B.210
C.336 D.504
2.(2021·浙江绍兴市诸暨市模拟)已
知x,y 为正实数,则 ( )
A.lg(x
2·y)=(lgx)2+lgy
B.lg(x· y)=lgx+
1
2
lgy
C.e
lnx+lny =x+y
D.e
lnx·lny =xy
3.(2021·广东汕头市一模)若
1 5
a
=
3,则a-log1
5
15= ( )
A.-1 B.1
C.
1
5
D.3
4.(2019·内蒙古呼伦贝尔市模拟)已
知2
a =3
b =6,则a,b 不可能满足的关系是
( )
A.a+b=ab
B.a+b>4
C.(a-1)2+(b-1)2<2
D.a
2+b
2>8
5.(2020·海南海口市模拟)《千字文》
是我国传统的启蒙读物,相传是南北朝时期
梁武 帝 命 人 从 王 羲 之 的 书 法 作 品 中 选 取
1000个不重复的汉字,让周兴嗣编纂而成
的,全文为四字句,对仗工整,条理清晰,文
采斐然.已知将1000个不同汉字任意排列,
大约 有 4.02×10
2567 种 方 法,设 这 个 数 为
N,则lgN 的整数部分为 ( )
A.2566 B.2567
C.2568 D.2569
6.(2021·四川凉山州一模)a 克糖水
中含有b 克糖,糖的质量与糖水的质量之比
为
b
a
,这个质量比决定了糖水的甜度,如果
再添加 m 克糖,生活经验告诉我们糖水会
变甜,对应的不等式为
b+m
a+m
>
b
a
(a>b>0,
m >0).若 x1 =log32,x2 =log1510,x3 =
log4520,则 ( )
A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2
C.x3<x1<x2 D.x3<x2<x1
二、多选题
7.(2021·山东济南市模拟)已知a>
0,b>0,alog42+blog16 2=
6
15
,则下列结论
正确的是 ( )
A.4a+b=5
B.4a+b=
5
2
C.ab 的最大值为
25
64
D.
1
a
+
1
b
的最小值为
18
5
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8.(2021·福建漳州市三模)已知正数
x,y,z 满足2
x =4y =6
z ,则 ( )
A.x=2y B.x<2y
C.x<3z D.y<3z
三、填空题
9.(2020·湖北黄冈市模拟)已知2
a =
3,9
b =8,则ab 的值是 .
10.(2021·上海市浦东新区三模)方程
log2(x+14)+log2(x+2)=3+log2 (x+
6)的解是 .
四、解答题
11. (1 ) 计 算:
1
2
lg2 +
(lg2)2-lg2+1-
3
a
9 · a
-3 ÷
3
a
13
a
7
;
(2)若 a +a
-1 =3,求 a
1
2 -a
-
1
2 及
a
4+a
-4-4
a
2+a
-2-8
的值.
12.(1)已知2lg
x-y
2
=lgx+lgy,求
y
x
的值;
(2)已知m,n为正整数,a>0且a≠1,且
logam+loga 1+
1 m +loga 1+
1 m+1 +…+
loga 1+
1 m+n-1 =logam +logan,求 m,
n 的值.
13.已 知 实 数 x,y,z 满 足 3
x =4y =
6
z >1.
(1)求证:
2
x
+
1
y
=
2
z
;
(2)试比较3x,4y,6z 的大小.
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课时5 幂函数、指数函数、对数函数
的图象与性质
一、单选题
1.(2021· 山 东 模 拟 )已 知 幂 函 数
f(x)= (m
2 -6m +9)x
m
2-3m+1 在 (0,
+∞)上单调递增,则 m 的值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.2或4
2.(2020·北京市平谷区二模)如图,点
O 为坐标原点,点 A(1,1),若函数y=a
x
(a>0,a≠1)及logbx(b>0,b≠1)的图象与
线段OA 分别交于点 M,N,且 M,N 恰好
是线段OA 的两个三等分点,则a,b 满足
( )
A.a<b<1 B.b<a<1
C.b>a>1 D.a>b>1
3.(2020· 山 西 临 汾 市 模 拟)若 m >
n>0,a=e
m+n
2 ,b=
1
2
(e
m +e
n ),c=e
mn ,则
( )
A.b>a>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.b>c>a
4.(2021·四川成都市模拟)已知函数
f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)恒过
定点A,过定点 A 的直线l:mx+ny=1与
坐标轴的正半轴相交,则 mn 的最大值为
( )
A.
1
2
B.
1
4
C.
1
8
D.1
5.(2021· 四 川 眉 山 市 三 模)2021 年
3月20日,“沉睡三千年,一醒惊天下”的三
星堆 遗 址 向 世 人 展 示 了 其 重 大 考 古 新 发
现———6个三星堆文化“祭祀坑”,现已出土
500余件重要文物.为推测文物年代,考古学
者通常用碳14测年法推算,碳14测年法是
根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概
年代的一种测量方法.2021年,考古专家对
某次考古的文物样本上提取的遗存材料进
行碳14年代测定,检测出碳14的残留量约
为初始量的68%,已知碳14的半衰期(放射
性物质质量衰减一半所用的时间)是5730
年,以此推算出该文物大致年代是(参考数
据:log57300.510≈ -19034.7,log57300.568≈
-34881) ( )
A.公元前1400年到公元前1300年
B.公元前1300年到公元前1200年
C.公元前1200年到公元前1100年
D.公元前1100年到公元前1000年
6.(2021·江苏连云港市一模)定义方
程f(x)=f'(x)的 实 数 根 x0 叫 作 函 数
f(x)的“保值点”.如果函数g(x)=x 与函
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数h(x)=ln(x+1)的“保值点”分别为α,β,
那么α 和β的大小关系是 ( )
A.α<β B.α>β
C.α=β D.无法确定
二、多选题
7.(2021· 湖 南 模 拟)若 4
x -4y <
5
-x -5
-y ,则 ( )
A.x<y B.y
-3>x
-3
C.lg(y-x)>0 D.
1 3
y
<3
-x
8.(2021·辽宁三模)对于0<a<1,下
列四个不等式成立的是 ( )
A.loga(1+a)<loga 1+
1 a
B.loga(1+a)>loga 1+
1 a
C.a
1+a <a
1+
1
a
D.a
1+a >a
1+
1
a
三、填空题
9.(2018·湖南衡阳市二模)已知函数
y=a
x (a>1)的图象与二次函数y=x
2 的
图象恰有两个不同的交点,则实数a 的值
是 .
10.(2021·上海市崇明区二模)设函数
f(x)=lgx,若f(1-a)-f(a)>0,则实数
a 的取值范围为 .
四、解答题
11.(2018·湖南永州市祁阳县二模)已
知幂函数f(x)=(m -1)2x
m
2-4m+2 在[0,
+∞)上有意义,函数g(x)=2
x -k.
(1)求 m 的值;
(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的
值域分别为集合 A,B,设命题p:x∈A,命
题q:x∈B,若命题p 是q 成立的必要条件,
求实数k 的取值范围.
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12.(2017·广东深圳市一模)已知函数
f(x)=
1 2
ax
,a 为常数,且函数的图象过
点(-1,2).
(1)求a 的值;
(2)若函数g(x)=4
-x -2,且g(x)=
f(x),求满足条件的x 的值.
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考
一
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学
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13.已知函数f(x)=log4(4
x +1)+kx
(k∈R)是偶函数.
(1)求k 的值;
(2)设g(x)=log4 a·2
x -
4
3 a ,若函
数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共
点,求实数a 的取值范围.
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函
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课时6 幂函数、指数函数、对数
函数的综合应用
一、单选题
1.(2021·广东模拟)已知三个数a=
6
0.7,b=0.7
0.8,c=0.8
0.7,则三个数的大小
关系是 ( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
2.(2020·山东德州市二模)已知实数
x,y 满足x>1,y>0,则“x<y”是“logxy>
1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2021·云南一模)某林场计划第一
年造林1000公顷,以后每年比前一年多造
林20%,则第四年该林场造林 ( )
A.1440公顷
B.17280公顷
C.1728公顷
D.2073.6公顷
4.(2020 · 山 东 模 拟 )函 数 y =
log2x- x的图象大致是 ( )
A B
C D
5.(2018· 辽 宁 沈 阳 市 三 模)已 知a,
b∈ (0,1),且 loga2>logb2,c,d ∈ (1,
+∞),且c
-
1
3 >d
-
1
3 ,则下列不等式恒成立
的是 ( )
A.a
0.2<b
0.1 B.0.2
a <0.3
b
C.log0.2c>logd2D.0.5
-c <d
-0.5
6.(2020·陕西榆林市一模)已知函数
y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=2f(x),
且x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则当
x∈[-10,10]时,y=f(x)与g(x)=log4|x|
的图象的交点个数为 ( )
A.13 B.12
C.11 D.10
二、多选题
7.(2021·山东淄博市二模)已知e是
自然对数的底数,则下列不等关系不正确的
是 ( )
A.ln2>
2
e
B.ln3<
3
e
C.lnπ>
π
e
D.
ln3
lnπ
<
3
π
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8.(2020·山东济南市二模)已知实数
x,y,z 满足lnx=ey =
1
z
,则下列关系式可
能成立的是 ( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.z>x>y
D.z>y>x
三、填空题
9.(2019·湖南长沙市开福区模拟)已
知14C的半衰期为5730年(是指经过5730
年后,14C的残余量占原始量的一半).设14C
的原始量为a,经过x 年后的残余量为b,残
余量b 与原始量a 的关系如下:b=ae
-kx ,
其中x 表示经过的时间,k 为一个常数.现
测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的
残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下
马王堆汉墓的大致年代为距今 年.
(参考数据:log20.767≈ -0.4)
10.(2020· 江西九江市三模)如图所
示,正方形 ABCD 的四个顶点在函数y1=
logax,y2=2logax,y3=logax+3(a>1)的
图象上,则a= .
四、解答题
11.已 知 函 数 f(x)=log2
1
x +a ,
a∈R.
(1)当a=1时,解不等式:f(x)>1;
(2)设a>0,若对任意t∈
1
2
,1
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??
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??
,函数
f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值
的差不超过1,求a 的取值范围.
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12.(2016·广西钦州市钦南区一模)已
知函数f(x)=e
x +e
-x ,其中e是自然对数
的底数.
(1)证明:f(x)是 R上的偶函数.
(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e
-x +
m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取
值范围.
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江海名师零距离·高考一轮总复习·数学基础版 ??????????? 1
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(
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重
庆
市
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州
区
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模
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数
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x
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2
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当
x
1
+
x
2
=
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,
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(
x
1
)
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x
2
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的
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3
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