1 / 3
(2023 朝阳二模)★★★★
26.在平面直角坐标系 xOy 中,点(-1,y1)在抛物线
2
y x ax = −
上.
(1)求
1
y
的值(用含 a 的式子表示);
(2)若
a −1
,试说明:
1
y 0
;
(3)点
2
(1, ) y , 3
( 2, ) a y −在该抛物线上,若
1
y , 2
y , 3
y
中只有一个为负数,求 a 的取值
范围.
1 / 3
(2023 朝阳二模)★★★★
26.在平面直角坐标系 xOy 中,点(-1,y1)在抛物线
2
y x ax = −
上.
(1)求
1
y
的值(用含 a 的式子表示);
(2)若
a −1
,试说明:
1
y 0
;
(3)点
2
(1, ) y , 3
( 2, ) a y −在该抛物线上,若
1
y , 2
y , 3
y
中只有一个为负数,求 a 的取值
范围.
2 / 3
吴老师图解
(1)
1+ a .
思路&图解
将
x =−1
代入解析式得
1
y a = +1 .
(2)
思路&图解
a −1,
a + − + 1 1 1
,即
a + 1 0
,由(1)知
1
y a = +1,
1
y 0 .
(3)
a −1
或
1 2 a .
思路一:数形结合
分析
【1】“定调”
a =1
,即抛物线开口向上,大小固定!无需对开口方向进行分类讨论!
【2】“五大步”
对称轴
2 2
b a
x
a
= − =
顶点(有轨迹)
2
,
2 4
a a −
2
y x =− y
轴交点以及对称点
(0,0) ,( ,0) a
x
轴交点
(0,0) ,( ,0) a
“支撑点”
(0,0)
思路&图解
1】
a 0
如图,若
a 0
,则必有
1
y 0 ,
1)当
0 1 a
时,有
2
y 0 , 3
y 0
(提示:
a − 2 0
),故不符合题意,
2)当
a 1
时,有
2
y 0
,故需保证
3
y 0
,则有
a −2 0
,即
a 2,
1 2 a .
x
y
O a 1
x
y
O 1 a
3 / 3
思路&图解
2】
a 0
如图,
若
a 0
,则必有
2
y 0 , 3
y 0 ,
所以,只能让
1
y 0
,即
a −1.
综上所述:
a −1
或
1 2 a .
思路二:代数法“硬算”
分析
如何理解只有一个是负数?
令
1 2 3 y y y 0
,解该不等式,最后对其结果进行验证…
思路&图解
1)易求得
1
y a = +1, 2
y a = − +1, 3
y a = − + 2 4 ,
2)令
1 2 3 y y y 0
,即
( 1)( 1)( 2 4) 0 a a a + − + − + ,
变形为
( 1)( 1)(2 4) 0 a a a + − − ,
如图,解得
a −1
或
1 2 a ,
3)检验:
当
a =−1
时,
1
y = 0 , 2
y = 2, 3
y = 6
,不符合题意,
当
a =1
时,
1
y = 2 , 2
y = 0 , 3
y = 2
,不符合题意,
当
a = 2
时,
1
y = 3, 2
y =−1, 3
y = 0
,符合题意,
且当
a −1
或
1 2 a
时,均符合题意(只有一个为负数).
综上所述:
a −1
或
1 2 a .
x
y
a 1
O
-1 1 2