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（2022 海淀一模——等和点）★★★★
28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 1 1 Px y (, )，给出如下定义：当点 2 2 Qx y (, ) 满足 1 2 x x +
1 2 = + y y 时，称点 Q 是点 P 的等和点．
已知点 P(2,0) ．
（1）在 1 Q (0,2) ， 2 Q ( 2, 1) − − ， 3 Q (1,3) 中，点 P 的等和点有_________；
（2）点 A 在直线 y x =− + 4上，若点 P 的等和点也是点 A 的等和点，求点 A 的坐标；
（3）已知点 B b( ,0) 和线段 MN，对于所有满足 BC =1的点 C，线段 MN 上总存在线段 PC
上每个点的等和点．若 MN 的最小值为 5，直接写出 b 的取值范围．
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吴老师图解
（1）Q1 ，Q3 .
规律总结
思路 1：
对于 1 1 Px y (, )， 2 2 Qx y (, )，
若满足 1 2 x x + 1 2 = + y y ，则有 12 12
2 2
xx yy + + = ，
即 P ，Q 两点的中点在直线 y x = 上（中点的横、纵坐标相等）.
如图，当 P(2,0) 时，若Q 为点 P 的等和点，则 P ，Q 的中点落在直线 y x = 上，
发现，点Q 的轨迹为直线 y x = +2 .（瓜豆原理）
思路 2：
对于 1 1 Px y (, )， 2 2 Qx y (, )，
若满足 1 2 x x + 1 2 = + y y ，则 2 2 11 y x xy =+ − ( ) ，
即点Q 在直线 1 1 yx x y =+ − ( ) 上，
所以，当 P(2,0) 时，点Q 在直线 y x = + 2上.
思路&图解
如图，由【规律总结】知点Q1 ，Q3 符合题意.
x
y
y = x + 2
y = x
Q1
Q2
O P
x
y
y = x + 2
Q3
Q2
Q1
O P
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（2） A(3,1) .
思路&图解
根据直线 y x =− + 4设 Aa a ( , 4) − + ，
由【规律总结·思路 2】知点 A 的等和点在直线 yx a a x a = + −− + = + − [ ( 4)] (2 4) 上，
根据题意，由（1）知点 A 的等和点在直线 y x = + 2上，
故 2 42 a − = ，解得 a = 3，即 A(3,1) .
备注：若利用【规律总结·思路 1】，直线 y x = − 2与直线 y x =− + 4的交点即为 A .
（3）b =− + 42 2或b = + 42 2 .
分析
由 BC =1知，点C 在以 B 为圆心，1为半径的⊙B 上.
如图，我们在 x 轴的负半轴上取点 B ，点C 是⊙B 上的任意一点，
根据【规律总结·思路 1】知，每一个点的等和点都是一条直线，
故点C 的等和点在：图示阴影部分的内部或边界上（一条条直线形成的区域）！
备注：图中⊙B' 与⊙B 关于直线 y x = 对称，阴影部分的边界是⊙B' 的 2 条切线.
如图，已知点 P 的等和点在直线 y x = + 2上，那么对于线段 PC 上的任意一点 D ，
同理，点 D 的等和点在：图示阴影部分的内部或边界上（一条条直线形成的区域）！
根据题意， MN 的最小值为 5，即阴影部分的 2 条平行边界线之间的距离为 5！
x
y
阴影部分
y = x
C'
C
B'
B
x
y
阴影部分
y = x + 2
y = x
D'
C'
P'
B'
P
B
C D
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分析
如图，同理，当点 B 在 x 轴的正半轴上时，
线段 PC 上每个点的等和点在：图示阴影部分的内部或边界上，
且阴影部分的 2 条平行边界线之间的距离为 5 时为临界状态！
备注：
若点 B 与 P 离得比较近， MN 的最小值会小于 5，故不考虑！
思路&图解
1】b < 0
如图，
1）由【分析】知 EF = 5，
2）已知 ' 1 BF r = = ⊙B ，则 EB' 4 = ，
3）在等腰 Rt ' △GEB 中，GB' 42 = ，
4）由 y x = + 2知G(0,2) ，
∴ OB OB = = − ' 42 2 ，即此时b =− + 42 2 .
x
y
y = x + 2
y = x
C'
D'
P'
B'
P B
D C
x
y
y = x + 2
y = x
G
F
E
B'
B O P
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思路&图解
2】b > 0
如图，同理， EF = 5，易求得此时b OB = = + ' 42 2 .
∴综上所述：b =− + 42 2或b = + 42 2 .
x
y
y = x + 2
y = x
G
E
F
B'
P B
