2023.4 北京高考一模数学知识点分类汇编

（选填部分-答案）

集合........................................................................................................................................................2

复数........................................................................................................................................................3

二项式定理............................................................................................................................................4

向量........................................................................................................................................................5

三角函数与解三角形............................................................................................................................6

数列........................................................................................................................................................8

概率........................................................................................................................................................9

小函数..................................................................................................................................................10

不等式..................................................................................................................................................15

直线和圆的方程..................................................................................................................................16

立体几何..............................................................................................................................................17

双曲线与抛物线..................................................................................................................................19

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集合

1．（2023·北京海淀高三一模）已知集合 A  x∣1 x  3,B  0,1,2，则 A∩B  （ A ）

A．{2} B．{0,1} C．{1,2} D．{0,1,2}

2．（2023·北京房山高三一模）已知集合 A  {x∣1 x 1},B  {x∣0  x  3} ，则 A B （ C ）

A．[0,1) B．[0,1] C．(1,3] D．(1.3)

3．（2023·北京石景山高三一模）已知集合 A {x | 2≤x≤2}，2 B  {x | x  x  2 ≤ 0}，则 A B  （A）

（A）[2,2] （B）[2,1] （C）[0,1] （D）[0,2]

4．（2023·北京东城高三一模）已知集合 2 A  {x | x  2  0}，且 aA，则 a可以为 B

（A） 2 （B） 1 （C）

3

2 （D） 2

5．（2023·北京西城高三一模）已知集合 A  { 1,0,1,2,3 } ，2 B  { x | x  3x  0}，则 A ∩ B =（B）

（A）{ 1 } （B）{1,2 } （C）{1,2,3 }（D）{ 1,0,1,2 }

6．（2023·北京朝阳高三一模）已知集合 2 A {x | x ≤4}，集合 B {x | x  0}，则 A  B  C

（A） (， 2] （B）[2,0) （C）[2,) （D） (0，2]

7．（2023·北京丰台高三一模）已知集合 A  x 1≤x ≤1 ， B  x 0  x≤2，则 A U B  （D）

（A）x 1≤ x≤1 （B）x 0  x≤1 （C）x 0  x≤2 （D）x 1≤ x≤2

8．（2023·北京延庆高三一模）已知集合 A  {0,1}， B  {1,0,a  3} ，且 A  B ，则 a 等于（D）

（A）1 （B） 0 （C） 1 （D） 2

9．（2023·北京门头沟高三一模）已知集合 A  {4,3,2,1,0,1,2,3,4} ， B  {x | x | 2} ，则 A∩ B  (A)

（A）{4,3,3,4}（B） (,2) U(2,) （C）{2,1,0,1,2} （D）[2, 2]

10．（2023·北京顺义高三一模）A

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复数

1．（2023·北京海淀高三一模）若 a  2i  i(b  i)(a,bR)，其中 i 是虚数单位，则a  b （ B ）

A．1 B．1 C．3 D．3

2．（2023·北京东城高三一模）在复平面内，复数 iz 对应的点的坐标是3,1 ，则 z  （ A ）

A．1 3i B．3  i C．3  i D．1 3i

3．（2023·北京石景山高三一模）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为2,1，则 i

z  （ C ）

A．1 2i B．2i C．1 2i D．2 i

4．（2023·北京房山高三一模）在复平面内复数 z 对应点的坐标为0,1 ，则(1 i)z  __-1+i_______. 5．（2023·北京丰台高三一模）若复数

i ( ) 1 i

a

a







R 是纯虚数，则a  ___-1_____．

6．（2023·北京西城高三一模）复数

2

1

i

z

i 



，则 z  __________________. 2

7．（2023·北京朝阳高三一模）若复数

2

1 i

z 



，则| z |________. 2

8．（2023·北京门头沟高三一模）复数 z  (1 i)(2+i) ，则| z | (B)

（A） 5 （B） 10 （C） 2 （D）3

9．（2023·北京延庆高三一模）若 mR ，则“ m 1”是“复数

2

z  m (1i)  m(i 1) 是纯虚数”的（C）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

10．（2023·北京顺义高三一模）若复数 z =

1+2i

i ，则 z  _____ 5_____________.

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二项式定理

1．（2023·北京海淀高三一模）若 4 4 3 2

4 3 2 1 0 (x 1)  a x  a x  a x  a x  a ，则 4 3 2 1 a  a  a  a （ C ）

A．1 B．1 C．15 D．16

2．（2023·北京房山高三一模）在

4 2

x

x

 

  

  的展开式中，2 x 的系数是（ A ）

A．8 B．8 C．4 D．4

3．（2023·北京西城高三一模）在

2 5 (x )

x  的展开式中，x 的系数为 （ A ）

A．40 B．10 C．40 D．10

4．（2023·北京朝阳高三一模）设 

2

0 1 2 1

n n

n  x  a  a x  a x  a x ，若 2 3 a  a ，则 n （ A ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（2023·北京东城高三一模）在

6 a

x

x

 

  

  的展开式中，2 x 的系数为 60，则实数a  _±2___. 6．（2023·北京石景山高三一模）若

1

n x

x

    

  的展开式中含有常数项，则正整数n的一个取值为_

__3（答案不唯一，是 3 的正整数倍数即可）______. 7．（2023·北京延庆高三一模）已知

1 2 2 3 3 4 4

4 4 4 4

f (x) 1C x C x C x C x ，则 f (2) 等于（C）

A.16 B. 80 C. 81 D. 243

8．（2023·北京门头沟高三一模）在 2 6 (2x 1) 的展开式中，2 x 的系数为 -12 ．（用数字作答）

9．（2023·北京顺义高三一模）-8

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向量

1．（2023·北京海淀高三一模）在 ABC 中，C  90，B  30， BAC 的平分线交 BC 于点 D．若

AD   AB   AC

  

(, R)，则 



（ B ）

A．

1

3

B．

1

2

C．2 D．3

2．（2023·北京东城高三一模）已知正方形 ABCD 的边长为 2，P 为正方形 ABCD 内部（不含边界）的动

点，且满足 PAPB  0

  ，则CP DP

  的取值范围是（ D ）

A．0,8 B．0,8 C．0,4 D．0, 4

3．（2023·北京西城高三一模）已知 P 为 ABC 所在平面内一点， ，则（ A ）

4．（2023·北京石景山高三一模）向量 a  2sin,cos 

 ，b  1,1

 ，若 ，则 tan  ___

1

2______. 5．（2023·北京朝阳高三一模）如图，圆 M 为 ABC 的外接圆， AB  4 ， AC  6 ，N 为

边 BC 的中点，则 AN  AM 

  （ C ）

A．5 B．10 C．13 D．26

6．（2023·北京丰台高三一模）已知正方形 ABCD的边长为 2 ，则  

  AB AC ___4_____．

7．（2023·北京门头沟高三一模）已知非零向量 a, b

  ，则“ a

与b

共线”是“| a  b | || a |  | b ||     ≤ ”的(B)

（A） 充分不必要条件（B）必要不充分条件（C） 充要条件（D）即不充分也不必要条件

8．（2023·北京房山高三一模）在△ ABC 中， C  90 ， AC  BC  2 ． P 为△ ABC 所在平面内的动点，

且 PC  1，则|PA  PB|  的最大值为 D

（A）16 （B）10 （C）8 （D） 4

9．（2023·北京延庆高三一模）△ ABC 的外接圆半径为1，圆心为O，且

2OA  AB  AC  0

    ，| OA || AB |   ，则CA CB

 等于 C

（A）

3

2

（B） 3 （C）3 （D） 2 3

10. （2023·北京顺义高三一模）B

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三角函数与解三角形

1．（2023·北京朝阳高三一模）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合

音．若一个复合音的数学模型是函数     1

sin 2 R

2

f x  sin x  x x  ，则下列结论正确的是（ D ）

A． f  x 的一个周期为 π B． f  x 的最大值为

3

2

C． f  x 的图象关于直线 x  π 对称 D． f  x 在区间0,2π上有 3 个零点

2．（2023·北京房山高三一模）“ π

0

4

 x  ”是“ tan x  1”的（ A ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2023·北京延庆高三一模）O为坐标原点，点 A ， B 的坐标分别为(2, 1) ，(1,3) ， tanAOB=B

（A）1 （B） 1 （C）

5

5 （D）

5

5 

4．（2023·北京西城高三一模）函数 f (x)  sin 2x  tan x 是 C

A.奇函数，且最小值为0 B.奇函数，且最大值为 2 C.偶函数，且最小值为 0 D.偶函数，且最大值为 2

5．（2023·北京丰台高三一模）在平面直角坐标系 xOy 中，若角 以 x 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆

交点的横坐标为

3

2 ，则 的一个可能取值为（ B ）

A．60 B．30 C．45 D．60

6．（2023·北京顺义高三期末）已知 ，  R 则“存在 k Z 使得  (2k 1)π   ”是“ cos  cos   0 ”的 A

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（2023·北京海淀高三一模）已知函数 f (x)  sin(x )(0   2π) ．若 f (x) 在区间

π

, π

3

 

 

  上单调递减，则

 的一个取值可以为_________．

8．（2023·北京延庆高三一模）将 f (x) 的图象向左平移

2



个单位，所得图象与

y  sin 2x 的图象关于 y 轴对称，则 f (x) 

B

（A）  sin 2x （B） sin 2x （C）  cos 2x （D）cos 2x

9．（2023·北京延庆高三一模）如图，某地一天从 6 时至14 时的温度变化曲线近

似满足函数 y  Asin(x  )  b ，其中 A  0 ，且函数在 x  6 与

x  14 时分别取得最小值和最大值. 这段时间的最大温差为 20° ； 的一个取值为

3π

4 答案不唯一. 10．（2023·北京门头沟高三一模）在平面直角坐标系中，角 与  的顶点在原点，始边与 x 轴正半轴重合，

终边构成一条直线，且

3

sin

3

  ，则 cos(   ) 

(C)

（A）1 （B）

1

3 （C）

1

3  （D） 1

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11．（2023·北京门头沟高三一模）设函数

π

( ) sin( ) ( 0) 3

f x  x    . ①给出一个 的值，使得 f (x) 的图像向右平移

π

6 后得到的函数 g(x) 的图像关于原点对称，  ；

②若 f (x) 在区间(0, π) 上有且仅有两个零点，则 的取值范围是 ．

12．（2023·北京石景山高三一模）若函数 ( ) sin( )( 0, 0,0 ) 2

f x A x  A  



      的部分图象如图所示，

则 的值是 A

（A）

3

 （B）

6



（C）

4

 （D）

12



13．（2023·北京东城高三一模）在 ABC 中，a  2 6 ，b  2c，

1

cos

4

A   ，则 ABC S  （ C ）

A．

3

15

2

B．4 C． 15 D．2 15

14．（2023·北京房山高三一模）在 ABC 中，sin A  sin 2A,2a  3b ，则A _π

3____；

b

c的值为_2____. 15．（2023·北京顺义高三期末）在 ABC 中，a sin B  3b cos A ，a  19 ，b  2 ，则 A=π

3

c  5．

16．（2023·北京丰台高三一模）在 ABC 中，若2cos Asin B  sinC ，则该三角形的形状一定是（ A ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

17．（2023·北京西城高三一模）设 A(cos,sin), B(2cos,2sin )，其中,   R ．当

π

π , 2     时，

AB  ____；当 AB  3 时，   的一个取值为____．

18．（2023·北京朝阳高三一模）在△ABC 中， a  4 2 ，b  m ，sin A  cos A  0．

①若 m  8 ，则 c  ；

②当 m  （写出一个可能的值）时，满足条件的△ABC 有两个．

19．（2023·北京顺义高三一模）B

m

O

y

x

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数列

1．（2023·北京海淀高三一模）在等差数列an中， 2 a 1， 4 a  5，则 8 a （ C ）

A．9 B．11 C．13 D．15

2．（2023·北京石景山高三一模）已知数列an满足：对任意的m,n

 N ，都有 m n m n a a a   ，且 2 a  3 ，则

10 a  （ B ）

A．3

4 B．3

5 C．6 3 D．10 3

3．（2023·北京房山高三一模）已知数列an对任意 * nN 满足 n 1 n 1 a a a    ，且 1 a  1，则 5 a 等于（ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2023·北京朝阳高三一模）已知项数为  

* k k N 的等差数列an满足 1 a  1，

-1   1

2,3, , 4

n n a  a n   k ．若 1 2 8 k a  a  a  ，则 k 的最大值是（ B ）

A．14 B．15 C．16 D．17

5．（2023·北京门头沟高三期末）已知数列{ }n a 满足 1a 1，

2

1

1

2

n n n a a a    . ① 数列{ }n a 每一项 n a 都满足 0 1 ( ) n a n

  ≤  N ② 数列{ }n a 的前 n项和 2 n S 

;

③ 数列{ }n a 每一项 n a 都满足

2

1

n a

n 

≤ 成立; ④ 数列{ }n a 每一项 n a 都满足

1 1

( ) ( ) 2

n

n a n

  ≥ N

.其中，所有正确结论的序号是(C) （A）①③ （B） ② ④（C）①③④ （D） ①②④

6．（2023·北京延庆高三一模） ISO216 是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了

A, B 系列的纸张尺寸. 设型号为 A ( 0,1,2,3,4,5,6)

i i  的纸张面积分别是 ( 0,1,2,3,4,

i a i  5, 6) ，它

们 组 成 一 个 公 比 为

1

2 的 等 比 数 列 ， 设 型 号 为 B ( 1,2,3,4,5,6)

i i  的 纸 张 的 面 积 分 别 是

( 1,2,3,4,5,6)

i b i  ，已知

2

1 ( 1,2,3,4,5,6)

i i i b a a i    ，则 4

5

a

b 的值为（C）

（A）

1

2 （B）

2

2 （C） 2 （D） 2

7．（2023·北京石景山高三一模）项数为k k ,k 2

 N  的有限数列an的各项均不小于1的整数，满足

1 2 3

1 2 3 1 2 2 2 2 0

k k k

k k a a a a a

  



         ，其中 1 a  0.给出下列四个结论：

①若k  2，则 2 a  2；②若k  3，则满足条件的数列an有 4 个；

③存在 1 a  1的数列an；④所有满足条件的数列an中，首项相同.其中所有正确结论的序号是__①②④_______. 8．（2023·北京东城高三一模）已知数列an各项均为正数， 2 1 a  3a ， n S 为其前 n 项和.若 Sn  是公差为

1

2 的等差数列，则 1 a  ______， n a  ______.

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9．（2023·北京丰台高三一模）设无穷等差数列{ }n a 的前 n项和为 n S ，则“对任意 * nN ，都有 0 n a  ”是

“数列{ }n S 为递增数列”的 A

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

10．（2023·北京顺义高三一模）已知 �� 是无穷等差数列，其前 n 项和为Sn，则\" ��为递增数列\"是\"存在 n ∈ N∗使得Sn＞0\"的 A

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

11．（2023·北京门头沟高三一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数

学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几

何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 天共织 5 尺，问每日各织布多少

尺？”，则该女子第二天织布(B)

（A）

5

31 尺 （B）

10

31 尺 （C）

15

16 尺 （D）

5

16 尺

12 ．（ 2023· 北 京 海 淀 高 三 一 模 ） 已 知 等 比 数 列 { }n a 的 公 比 为 q ， 且 q  1 ， 记

1 2 ( 1,2,3, ) Tn n  a a a n   ，则“ 1 a  0且q  1”是“{ } Tn 为递增数列”的（B）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

概率

1．（2023·北京丰台高三一模）从 2 ，1，1，2，3 这 5 个数中任取 2 个不同的数，记

“两数之积为正数”为事件 A， “两数均为负数”为事件 B ，则 P(B A)  __

1

4_______. 2．（2023·北京西城高三一模） n 名学生参加某次测试，测试由m 道题组成．若一道题至少有

2

3

n 名学生未解

出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了

2

3

m 道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测

试至少有

2

3

n 名学生成绩合格，且测试中至少有

2

3

m 道题为难题，那么 mn 的最小值为 B

（A） 6 （B）9 （C）18（D） 27

3．（2023·北京门头沟高三一模）同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应．由长期的经验知，三家产品的正

品率分别为 0.95、0.90、0.80，甲、乙、丙三家产品数占比例为 2 ∶ 3 ∶ 5，将三家产品混合在一起．从中

任取一件，求此产品为正品的概率 0.86 . 4．（2023·北京顺义高三一模）A

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小函数

1．（2023·北京房山高三一模）已知函数 f (x) 同时满足以下两个条件：①对任意实数 x，都有

f (x)  f (x)  0；②对任意实数 1 2 x , x ，当 1 2 x  x  0时，都有

 1   2 

1 2 0

f x f x

x x







.则函数 f (x) 的解析式可能

为（ B ）

A． f (x)  2x B． f (x)  2x C． ( ) 2

x f x  D． ( ) 2

x f x  

2．（2023·北京房山高三一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是

95% ~ 100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数

模型： 0 ( ) e

Kt S t  S 描述血氧饱和度 S(t)随给氧时间 t（单位：时）的变化规律，其中 0 S 为初始血氧饱和度，

K 为参数.已知 0 S  60% ，给氧 1 小时后，血氧饱和度为80% .若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要

给氧时间（单位：时）为（ B ）（精确到 0.1，参考数据：ln 2  0．69，ln 3 1．10 ）

A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9

3．（2023·北京房山高三一模）设函数 2

|ln | 0

( ) 4 1 0. x x

f x

x x x

 

 

   ， ，

， ≤

给出下列四个结论：

① 函数 f (x) 的值域是 R ；② a  1，方程 f (x)  a恰有3 个实数根；

③ 0 x

   R ，使得 0 0

f (x )  f (x )  0 ；

④ 若实数 1 2 3 4 x  x  x  x ，且 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4

f x  f x  f x  f x ，则 ( )( ) 1 2 3 4 x  x x  x 的最大值为

4

4e

e  . 其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．

4．（2023·北京西城高三一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v ( km / s)和燃料的质量 M (kg)

以及火箭（除燃料外）的质量 N (kg) 间的关系为

2ln (1 ) M

v N

  ．若火箭的最大速度为12 km / s ，则下列各数

中与

M

N 最接近的是（ B ）（参考数据：e  2.71828）

A．200 B．400

C．600 D．800

5．（2023·北京东城高三一模）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数

学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家

的寿命”.已知正整数 N 的 70 次方是一个 83 位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到 0.001），

可得 N 的值为（C ）

M 2 3 7 11 13

lg M 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114

A．13 B．14 C．15 D．16

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6．（2023·北京西城高三一模）设cR ，函数

, 0, ( ) 2 2 , 0. x x c x

f x

c x

  

 

  

若 f (x) 恰有一个零点，则c的取值范围

是（ D ）

A．(0,1) B．{ 0 } U[1,  ) C．

1

(0, ) 2

D．

1

{ 0 } [ , ) 2

U 

7．（2023·北京丰台高三一模）已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， 2

f (x)  log x ，则 f 2  （ A ）

A．1 B．0 C．1 D．2

8．（2023·北京丰台高三一模）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，存在常数 t（t  0），使得对任意 xR ，都

有 f (x  t)  f (x) ，当 x[0,t) 时， ( ) | | 2

t

f x  x  .若 f (x) 在区间 (3,4) 上单调递减，则t 的最小值为

（A）3 （B）

8

3 （C）2 （D）

8

5

9．（2023·北京丰台高三一模）设函数   3

. a x x a

f x

x  x x a

  

 

 ≥

, ,

,若 f (x) 存在最小值，则 a 的一个取值为

___0______；a 的最大值为____1_____．

10．（2023·北京石景山高三一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ D ）

A． f  x  sin x B．   2

x f x 

C．  

3

f x  x  x D．    

1

e e

2

x x f x

  

11．（2023·北京石景山高三一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v( 单位： km / s) 与燃料的

质量 M ( 单位： kg) ，火箭 ( 除燃料外 ) 的质量 m( 单位： kg) 的函数关系是 2000ln(1 ) M

v

m

  ．当燃

料质量与火箭质量的比值为 0

t 时，火箭的最大速度可达到 0 v km / s. 若要使火箭的最大速度达到

0 2v km / s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为 D

（A） 2

0 2t （B） 2

0 0

t  t （C） 0 2t （D） 2

0 0

t  2t

12．（2023·北京东城高三一模）过坐标原点作曲线

2 e 1

x y

   的切线，则切线方程为 A

（A） y  x （B） y  2x （C） 2

1

e

y  x （D） y  ex

12．（2023·北京海淀高三一模）已知二次函数 f (x) ，对任意的 x  R ，有 f (2x)  2 f (x) ，则 f (x) 的图象可

能是 （A）

y

O x

y

O x

y

O x

y

O x

（A） （B） （C） （D）

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13．（2023·北京西城高三一模）下列函数中，在区间(0,  ) 上为增函数的是 D

（A） y  | x | （B） 2 y  x  2x

（C） y  sin x （D）

1

y x

x  

14．（2023·北京朝阳高三一模）已知函数 3

f (x)  x  x，则“ 1 2 x  x  0 ”是“ 1 2

f (x )  f (x )  0”的 C

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

15．（2023·北京朝阳高三一模）函数 f (x) =

1

3

log , 3 , 1

x x x

x







 

≥1,的值域为 ．

16．（2023·北京朝阳高三一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的

变化遵循兰彻斯特模型：

0 0

0 0 ( ) cosh( ) sinh( ), ( ) cosh( ) sinh( ), b

x t X abt Y abt

a

a

y t Y abt X abt

b



  



  



其中正实数 X0 ，Y0 分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间； x(t) ， y(t) 分别为红、蓝两方t 时

刻的兵力；正实数 a ， b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；

e e

cosh

2

x x x

 

 和

e e

sinh

2

x x x

 

 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为 0 时战斗

演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．

给出下列四个结论：

1 若 X0  Y0 且 a  b ，则 x(t)  y(t) (0≤t≤T ) ；

②若 X0  Y0 且 a  b ，则 0 0

0 0 1

ln

X Y

T

a X Y





 ；

③若

0

0 X b

Y a

 ，则红方获得战斗演习胜利；

④若 0

0 X b

Y a

 ，则红方获得战斗演习胜利．

其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．

17．（2023·北京东城高三一模）函数 f  x  1 x  ln x的定义域是____________．

18．（2023·北京海淀高三一模）设函数

 1 1, 1

( )

lg , 1

x a x x

f x

x a x

    

 

  

①当a  0 时， f ( f (1))  _________；②若 f (x) 恰有 2 个零点，则 a 的取值范围是_________．

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19．（2023·北京门头沟高三一模）在声学中，音量被定义为：

0 20lg p p L

p  ，其中 Lp 是音量（单位为 dB ），

0 p 是基准声压为 2 × 10−5 a p ， p 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，

人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中 240Hz 对应的听觉下限阈值为 20 dB ，

1000 Hz 对应的听觉下限阈值为 0 dB ，则下列结论正确的是(D)

（A）音量同为 20 dB 的声音, 30 100Hz 的低频比1000 10000Hz 的高频更容易被人们听到. （B）.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. （C） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa . （D） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍. 20．（2023·北京门头沟高三一模）已知函数 ( ) e

x

f x  ，若存在 0x [1,2] 使得 0 0

f (t)  x  f (x )  t 恒成立，

则 0 b  f (x )  t 的取值范围(D)

（A）

1

[0, 1]

e

 （B）

1 2

[ 1,e 2]

e

  （C）

1

[1, 1]

e

 （D） 2

[1,e  2]

21．（2023·北京延庆高三一模）已知函数 y  ax 1 的定义域为 A ，且 3 A ，则 a 的取值范围是

−∞，

1

3

] ．

22．（2023·北京延庆高三一模）数列{ }n a 中， 1

log ( 2) ( N )

n n a n n

     ，定义：使 1 2 k a  a    a 为整

数的数 k (k N )

  叫做期盼数，则区间[1, 2023]内的所有期盼数的和等于(D)

（A） 2023 （B） 2024 （C） 2025 （D） 2026

23．（2023·北京顺义高三一模）B

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24．（2023·北京顺义高三一模）C

25．（2023·北京顺义高三一模）f（x） = （x - 1）

2答案不唯一

26．（2023·北京顺义高三一模）①②③

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不等式

1．（2023·北京海淀高三一模）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于1km ）按逆

时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km ，软件会

在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了11km ，恰好回到起点，前

5km 的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ B ）

A．7 B．8 C．9 D．10

2．（2023·北京朝阳高三一模）若 a  0  b ，则 A

（A） 3 3 a  b （B）| a |  | b | （C）

1 1

a b

 （D） ln(a b)  0

3．（2023·北京东城高三一模）已知 x  0 ，则

4

x 4

x   的最小值为（ B ）

A．－2 B．0 C．1 D．2 2

4．（2023·北京丰台高三一模）设a, b, c  R ，且 a  b ，则（ D ）

A．1 1

a b  B．2 2 a  b C．a  c  b  c D．ac  bc

5．（2023·北京海淀高三一模）不等式

1

0

2

x

x 





的解集为_________．

6．（2023·北京房山高三一模）能够说明“设a,b, c 是任意实数，若a  b  c ，则ac  bc ”是假命题的一组整

数a,b, c 的值依次为__-3，-2，-1（答案不唯一）________. 7.（2023·北京西城高三一模）设a  lg 2 ，b  cos 2 ，0.2 c  2 ，则（ C ）

A．b<c<a B．c  b  a C．b  a  c D．a  b  c

8.（2023·北京延庆高三一模）设 2

1

log

5

a  ， 3

1

log

5

b  ，

1

5 1

( ) 5

c

  ，则 a ，b ，c 的大小关系是(A)

（A） c  b  a （B）c  a  b （C）b  a  c （D） a  b  c

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直线和圆的方程

1．（2023·北京海淀高三一模）已知直线 y  x  m与圆 2 2 O : x  y  4交于 A，B 两点，且 AOB为等边三角

形，则 m 的值为（ D ）

A． 2 B． 3 C．2 D． 6

2．（2023·北京房山高三一模）已知直线 y 1 m(x  2) 与圆 2 2 (x 1)  ( y 1)  9 相交于 M，N 两点.则| MN |

的最小值为（ C ）

A． 5 B．2 5 C．4 D．6

3．（2023·北京朝阳高三一模）已知点 A1,0，B1,0 ．若直线 y  kx  2上存在点 P，使得APB  90，

则实数 k 的取值范围是（ D ）

A．, 3



B．3, 

  

C． 3, 3

  D． , 3 3,         

4．（2023·北京丰台高三一模）已知圆     

2 2 2 x  2  y  3  r r  0 与 y 轴相切，则r  （ C ）

A． 2 B． 3 C．2 D．3

5．（2023·北京石景山高三一模）已知直线l : kx  y  2k  2  0 被圆C:  

2 2 x  y 1  25 所截得的弦长为整数，

则满足条件的直线l 有（ B ）

A．6 条 B．7 条 C．8 条 D．9 条

6．（2023·北京顺义高三一模）D

A．2 B．4 C．2 2 D．2 3

7．（2023·北京门头沟高三一模）若点 M 是圆 2 2 C : x  y  4x  0 上的任一点，直线l : x  y  2  0 与 x 轴、

y 轴分别相交于 A 、 B 两点，则 MAB 的最小值为 A

（A）

π

12 （B）

π

4 （C）

π

3 （D）

π

6

8．（2023·北京延庆高三一模）若直线 x  y 1 0 与圆

2 2

x  y  2x 1 a  0 相切，则 a 等于(A)

（A） 2 （B）1 （C） 2 （D） 4

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立体几何

1．（2023·北京房山高三一模）如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1，则下列结论中正确的是（ D ）

A．与三条直线 1 1 1 AB,CC , D A 所成的角都相等的直线有且仅有一条

B．与三条直线 1 1 1 AB,CC , D A 所成的角都相等的平面有且仅有一个

C．到三条直线 1 1 1 AB,CC , D A 的距离都相等的点恰有两个

D．到三条直线 1 1 1 AB,CC , D A 的距离都相等的点有无数个

2．（2023·北京丰台高三一模）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AC  BC ， AC  2 ， BC 1， 1 AA  2，

点 D 在棱 AC 上，点 E 在棱 BB1上，给出下列三个结论：

①三棱锥 E  ABD的体积的最大值为

2

3 ；② A1DDB的最小值为 2  5 ；

③点 D 到直线C1E的距离的最小值为

2 5

5 ．其中所有正确结论的个数为（ C ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2023·北京西城高三一模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M， N 分别在线段 AD1

和B1C1 上．给出下列四个结论：

①MN 的最小值为 2 ；

②四面体 NMBC 的体积为

4

3

；

③有且仅有一条直线MN 与 AD1垂直；

④存在点 M， N ，使△MBN 为等边三角形．

其中所有正确结论的序号是_①②④___．

4．（2023·北京东城高三一模）设 m, n 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，且 m  ，   ，

则“ m  n ”是“ n   ”的 B

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

5．（2023·北京海淀高三一模）在△ABC 中, ACB  90 , AC=BC=2, D 是边 AC 的中点, E 是边 AB 上的动

点（不与 A, B 重合）,过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 F，将△BEF 沿 EF 折起，点 B 折起后的位置记

为点 P，得到四棱锥 P  ACFE ，如图所示. 给出下列四个结论：

① AC // 平面 PEF；

② △PEC 不可能为等腰三角形；

③ 存在点 E，P，使得 PD  AE ；

④ 当四棱锥 P  ACFE 的体积最大时， AE  2 .其中所有正确结论的序号是__①③_______. D

E

A C

B

F

P

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6．（2023·北京石景山高三一模）已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 2 ，点 P 为正方形 ABCD 所在平面

内一动点，给出下列三个命题：

①若点 P 总满足 PD1  DC1，则动点 P 的轨迹是一条直线；

②若点 P 到直线 BB1与到平面CDD1C1的距离相等，则动点 P 的轨迹是抛物线；

③若点 P 到直线 DD1的距离与到点C 的距离之和为 2 ，则动点 P 的轨迹是椭圆．

其中正确的命题个数是 C

（A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3

7．（2023·北京门头沟高三一模）在正方体 ABCD  A1B1C1D1中，棱长为1，已知点 P ，Q 分别是线段 AD1 ，

AC1上的动点(不含端点).其中所有正确结论的序号是 . ① PQ 与 B1C 垂直 ;

②直线 PQ 与直线CD不可能平行;

③二面角 P  AC  Q 不可能为定值;

④则 PQ  QC 的最小值是

4

3

.其中所有正确结论的序号是 ①④ . 8．（2023·北京延庆高三一模）四面体OABC 的三条棱OA,OB,OC 两两垂直，OA  OB  2 ，OC  4 ，D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题：

① 不存在点 D ，使四面体 ABCD三个面是直角三角形；

② 存在点 D ，使四面体 ABCD是正三棱锥；

③ 存在无数个点 D ，使点O在四面体 ABCD的外接球面上；

④ 存在点 D ，使CD 与 AB 垂直且相等，且 BD  5 .其中真命题的序号是 ②③④ . 9．（2023·北京顺义高三一模）D

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双曲线与抛物线

1．（2023·北京东城高三一模）抛物线

2

x  4y 的准线方程为 D

（A） x  1 （B） x  1 （C） y 1 （D） y  1

2．（2023·北京东城高三一模）已知双曲线

2 2

2 2 1( 0, 0) x y a b

a b     的一个焦点为 ( 5,0)，且与直线 y  2x

没有公共点，则双曲线的方程可以为_______．�

2 −

�2

4 = 1(答案不唯一)

3．（2023·北京西城高三一模）已知双曲线C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C 的离心率为 2 ”是

“C 的一条渐近线为 y  3x ”的 D

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

4．（2023·北京西城高三一模）已知抛物线 2 y  2 px ( p  0) 的顶点为 O ，且过点 A,B ．若△OAB 是边长为

4 3 的等边三角形，则 p  __1__．

5．（2023·北京海淀高三一模）已知抛物线 2 y  4x 的焦点为 F，点 P 在该抛物线上，且 P 的横坐标为 4，

则| PF | _D___ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5

6．（2023·北京海淀高三一模）已知双曲线

2 2

2 2

: 1

x y C

a b   的渐近线方程为 y   3x ，则 C 的离心率为_2__. 7．（2023·北京朝阳高三一模）过双曲线

2 2

2 2 1 ( 0, 0) x y a b

a b     的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为

A．若AFO  2AOF （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为 B

（A）

5

2 （B）

2 3

3 （C） 2 （D）

2 3

3 或 2

8．（2023·北京朝阳高三一模）经过抛物线 2 x  4y 的焦点的直线与抛物线相交于 A , B 两点，若| AB| 4，

则△OAB （O 为坐标原点）的面积为 2 ．

9．（2023·北京丰台高三一模）已知抛物线 C：2 y =2 px (p>0)的顶点是坐标原点 O，焦点为 F，A 是抛物

线 C 上的一点，点 A 到 x 轴的距离为 2 2 ，过点 A 向抛物线 C 的准线作垂线，垂足为 B.若四边形

ABOF 为等腰梯形，则 p 的值为 C

（A）1 （B） 2 （C）2 （D） 2 2

10．（2023·北京丰台高三一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺

规作图仍不能解决这个问题.古希腊数学家 Pappus（300~350 前后）借助圆弧和

双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C 为圆心作圆交角的两边

于 A ， B 两点；取线段 AB 的三等分点O ， D ；以 B 为焦点， A， D 为顶点作

双曲线 . 双曲线 与弧 AB 的交点记为 E ，连接 CE，则

1

3

BCE  ACB . （Ⅰ）双曲线 的离心率为____2_____；

（Ⅱ）若

2

ACB

   ， AC  3 2 ，CE 交 AB 于点 P，则 OP  __7 − 3 3_______.

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11．（2023·北京石景山高三一模）抛物线 2 C : x  4y 的焦点坐标为__（0，1）___，若抛物线C 上一点 M

的纵坐标为 2 ，则点 M 到抛物线焦点的距离为____3____．

12．（2023·北京石景山高三一模）已知双曲线

2 2

2 1( 0) 4

x y b

b    的离心率是 2 ，则b  （B）

（A）12 （B） 2 3 （C） 3 （D）

3

2

13．（2023·北京房山高三一模）已知抛物线C :

2 y  4x 的焦点为 F ，抛物线C 上一点 P 到点 F 的距离为

3，则点 P 到原点的距离为 D

（A） 2 （B）3 （C） 2 2 （D） 2 3

14．（2023·北京房山高三一模）已知双曲线

2 2

2 2

: 1

x y C

a b  的一条渐近线方程为 y  3x ，则双曲线 C 的

离心率为 2 ．

15．（2023·北京门头沟高三一模）双曲线

2 2

2 2 1( 0, 0) y x

a b

a b     的离心率为 2 ，则其渐近线方程为 C

（A） y   2x （B） y   3x （C）

3

3

y   x （D） y  2x

16．（2023·北京延庆高三一模）若双曲线

2 2 kx  y  1的焦距是6 ，则实数 k ___−

1

8_________．

17．（2023·北京延庆高三一模）曲线

2 2

x  2x | y | 2y 1  0 的一条对称轴是 ； y 的取值范围是 . 18．（2023·北京顺义高三一模）C