2024 高考数学专题突破及解密讲义：整理：陈老师主讲：陈老师

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师1专题 01 不等式及基本不等式（解密讲义）考点 命题点 考题

不等式 ①不等式的性质

②不等式的求解

③含参数的一元二次不等式恒成

立问题

2024 预测新高考 I 卷 T11，2024 预测全国乙卷（文）T52024 预测浙江卷 T3，2024 预测全国甲卷T162024 预测全国甲卷（文）T12

2024 预测全国 I 卷 T1

基本不等式及

应用

①利用基本不等式求最值

②基本不等式的综合应用

2024 预测新高考Ⅱ卷 T12，2024 预测全国乙卷T82024 预测天津卷 T14

考点一不等式 命题点 1 不等式的性质典例 01（2024 预测·全国·高考真题）若 a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a

3−b

3>0 D．│a│>│b│

典例 02（多选）（2024 预测·全国·统考高考真题）若 x，y 满足

2 +

2 − = 1，则（）A． + ≤ 1 B． + ≥− 2

C．

2 +

2 ≤ 2 D．

2 +

2 ≥ 1

 命题点 2 不等式的求解 典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知集合 = −2, − 1,0,1,2 ， =

2 − −6 ≥0，则∩ =（ ）

A． −2, − 1,0,1 B． 0,1,2 C． −2 D．2

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）已知集合 = {|

2 − 3 − 4 < 0}, = { − 4,1,3,5}，则∩=（ ）

A．{ − 4,1} B．{1,5}

C．{3,5} D．{1,3}

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师2典例 03（2024 预测·山东·统考高考真题）已知二次函数 =

2 + + 的图像如图所示，则不等式2+ + > 0 的解集是（ ）

A． −2,1 B． −∞, − 2 ∪ 1, + ∞

B． C． −2,1 D． −∞, − 2 ∪ 1, + ∞  命题点 3 含参数的一元二次不等式恒成立问题

典例 01（2024 预测·天津·高考真题）已知函数() =

2 − + 3, ≤ 1, +

2

, > 1.设 ∈ ，若关于x 的不等式()≥| 2 + |在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是

A．[ −

47

16

, 2] B．[ −

47

16

, 39

16

] C．[ − 2 3, 2] D．[ − 2 3, 39

16

]

典例 02（2024 预测·天津·高考真题）已知 ∈ ，函数 =

2 + 2 + − 2， ≤ 0，−

2 + 2 − 2， > 0．若对任意x∈［–3，+∞），f(x)≤ 恒成立，则 a 的取值范围是 ．

1．已知函数 =

2

−2−−sin2 ，若对于一切的实数，不等式 2

2 <

3

8 − 恒成立，则的取值范围为（ ）

A． −2,0 B． −2,0 C． −3,0 D． −3,0

2．已知函数 =

2 + + ，若不等式 ≤ 2 在 ∈ 1,5 上恒成立，则满足要求的有序数对(, )有（ ）

A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个3．若命题：“∃ ∈ ，

2 − 1

2 + 4 1 − + 3 ≤ 0”是假命题，则的取值范围是.考点二 基本不等式及应用

 命题点 1 利用基本不等式求最值

典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）已知1，2是椭圆：

29

+

24 = 1 的两个焦点，点在上，则1⋅2 的最大值为（ ）

A．13 B．12 C．9 D．6

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师3典例 02（多选）（2024 预测·全国·统考高考真题）若 x，y 满足

2 +

2 − = 1，则（）A． + ≤ 1 B． + ≥− 2

C．

2 +

2 ≤ 2 D．

2 +

2 ≥ 1

典例 03（2024 新·天津·统考高考真题）在△ 中，∠ = 60

∘， = 1，点为的中点，点为的中点，若设 = , = ，则 可用 , 表示为 ；若 =

1

3

，则 ⋅ 的最大值为． 命题点 2 基本不等式的综合应用典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）已知△ 中，点 D 在边 BC

上，∠ = 120°, = 2, = 2．当

取得最小值时， = ．1．（多选）（2024 新·全国·模拟预测）已知数列 满足+1 = −

2 + 2 + 1, ≥1, 为 的前项和．则下列说法正确的是（ ）

A．3取最大值时，2023 = 3035 B．当3取最小值时，2023 = 3033

C．当100取最大值时，200 = 300 D．100的最大值为 100 + 50 2

2．（多选）（2024 新·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知 P，Q 是双曲线

2

2 −

2

2 =1上关于原点对称的两点，过点 P 作 ⊥ 轴于点 M，MQ 交双曲线于点 N，设直线PQ 的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）

A．k 的取值范围是−

< <

且 ≠ 0 B．直线 MN 的斜率为

2

C．直线 PN 的斜率为

2

2

2 D．直线 PN 与直线 QN 的斜率之和的最小值为 3．（2024 新·广东深圳·统考二模）如图，已知球的表面积为 16π，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为 .

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师41．（2024 新·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知 4 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2

= 1，则（）A． > >− 1 B． > >− 1

C． < <− 1 D． < <− 1

2．（多选）（2024 新·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知实数 a，b，则下面说法正确的是（）A．若 > ，则

3 >

3

B．若 a，b 均大于 0 且ln = ln，则 >

C．若 > 0， > 0， + = 2，则

1

2+1

+

1

2+1最大值为

2+1

2

D．若

2 +

2 = 1，则的取值范围为 −

1

2

, 1

2

3．（多选）（2024 新·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有 ≥ 2 封不同的信，投入个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为.例如两封信都投错有2 = 1 种方法，三封信都投错有3 = 2 种方法，通过推理可得：+1 = +−1 ≥ 3 .高等数学给出了泰勒公式：e

= 1 + +

22!

+

33!

+ ⋯ +

!

+ ⋯，则下列说法正确的是（）A．4 = 9

B． +2 − + 2 +1 为等比数列

C．

! =

(−1)2 2!

+

(−1)3 3!

+ ⋯ +

(−1)!

≥ 2

D．信封均被投错的概率大于

1

e 4．（多选）（2024 新·山东淄博·统考一模）已知函数 =

+ − 1 ∈ ，则（）A．当 =− 1 时， 在 0, + ∞ 有最小值 1

B．当 = 3 时， 图象关于点 0,1 中心对称

C．当 = 2 时， > ln对任意 > 0 恒成立

D． 至少有一个零点的充要条件是 > 0

专题 03 函数的图像与性质（解密讲义）

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师5【知识梳理】

1．函数周期性的结论

(1)若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则 f(x)为周期函数，且2a 是它的一个周期．(2)若函数 f(x)满足

1

( )

( )

a

x

f x

f

  (a＞0)，则 f(x)为周期函数，且2a 是它的一个周期．(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于 x＝

a＋b

2

对称．【考点 2】函数图像及应用

考点 命题点 考题

函数的性质及

应用

①函数的单调性及最值

②函数的奇偶性

③函数的周期性及对称性

2024 新北京卷 T15，2024 新全国甲卷T11，2024 新全国乙卷 T4，2024 预测新高考II 卷T8，2024 预测全国 I 卷 T12，2024 预测全国I 卷T132024 预测全国 II 卷 T9，2024 预测全国III 卷T12函数图像及应

用

①函数图像的识别

②函数图像变换

③函数图像的应用

2024 新天津卷 T4，

2024 预测全国 III 卷 T7

2024 预测全国 II 卷 T3

考点一 函数的性质及应用

 命题点 1 函数的单调性及最值

典例 01（2024 预测·北京·统考高考真题）已知()是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()在[0,1]上单调递增”是“函数()在[0,1]上的最大值为(1)”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 = e−(−1)2．记 =

2

2

, =

3

2

, =62，则（ ）

A． > > B． > > C． > > D． > >

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师6典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）设函数 = 2

− 在区间 0,1 上单调递减，则的取值范围是（ ）

A． −∞, − 2 B． −2,0

C． 0,2 D． 2, + ∞  命题点 2 函数的奇偶性典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知() =

e

e

−1是偶函数，则 =（）A．−2 B．−1 C．1 D．2

典例 02（多选）（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为， =

2 +2，则（ ）．

A． 0 = 0 B． 1 = 0

C． 是偶函数 D． = 0 为 的极小值点

典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）若 = ( − 1)

2 + + sin +

π

2 为偶函数，则 =． 命题点 3 函数的周期性及对称性典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数 f (x), g(x)的定义域均为R，且f ( x)  g(2  x)  5, g( x)  f ( x  4)  7 ．若 y  g(x) 的图像关于直线 x  2对称，g(2) 4，则22

k 1

f k（）A．21 B．22 C．23 D．24

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数 f (x) 的定义域为 R，且f (x  y)  f (x  y)  f (x) f ( y), f (1)  1，则

22

1 ( )

k f k

 （ ）

A．3 B．2 C．0 D．1

典例 03（多选）（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数 f (x) 及其导函数f (x)

 的定义域均为R，记g(x)  f (x) ，若

3

2

2

f x

 

  

 ， g(2  x) 均为偶函数，则（ ）

A． f (0)  0 B．

1

0

2

g

 

  

 

C． f (1)  f (4) D． g(1) g(2)

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师71．已知函数 = 4 + 2sin + ln

2 + 1 + ，若不等式 3

− 9

+ ⋅ 3

− 2 <0 对任意∈R均成立，则的取值范围为（ ）

A． −∞, 2 2 − 1 B． −∞, − 2 2 + 1

C． −2 2 + 1,2 2 − 1 D． −2 2 + 1, + ∞

2．（多选）已知函数 满足对任意的 ∈ R 都有 + 2 =− ， 1 = 3，若函数 = −1的图象关于点 1,0 对称，且对任意的1

, 2 ∈ 0,1 ，1 ≠ 2，都有1 1 + 2 2 > 1 2 +2 1 ，则下列结论正确的是（ ）

A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 = 1 对称C． 2022 − 2023 = 3 D． −

5

2

<

5

4

3．（多选）（2024 预测·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为R，且 +2− = 5， − − 4 = 7．若 = 的图象关于直线 = 2 对称，(2) = 4，则下列结论正确的是（）A． 3 = 6 B． −1 =− 1 C． 1 = 1 D． =1

2021 =−2021

 命题点 函数图像变换典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）函数 y  f  x 的图象由函数

πcos 26y x

    

 的图象向左平移π6个单位长度得到，则 y  f  x 的图象与直线

1 1

2 2

y  x  的交点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

典例 02（2024 预测·浙江·统考高考真题）为了得到函数 y  2sin 3x 的图象，只要把函数π2sin35yx图象上所有的点（ ）

A．向左平移

π

5 个单位长度 B．向右平移

π

5 个单位长度

C．向左平移

π

15 个单位长度 D．向右平移

π

15 个单位长度

典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）将函数

π

( ) sin ( 0) 3

f x x         的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）

A．

1

6

B．

1

4

C．

1

3

D．

1

2

 命题点 3 函数图像的应用

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师8典例 01（2024 预测·北京·统考高考真题）已知函数() = 2

− − 1，则不等式() >0 的解集是（）．A．( − 1,1) B．( − ∞, − 1) ∪ (1, + ∞)

C．(0,1) D．( − ∞, 0) ∪ (1, + ∞)

典例 02（2024 新·北京·统考高考真题）设 > 0，函数() =

+ 2, <− ,

2 −

2

, − ≤ ≤ , − − 1, > . ，给出下列四个结论：

①()在区间( − 1, + ∞)上单调递减；

②当 ≥ 1 时，()存在最大值；

③设 1

, 1 1 ≤ , 2

, 2 2 > ，则|| > 1；

④设 3

, 3 3 <− , 4

, 4 4 ≥− ．若||存在最小值，则 a 的取值范围是0, 1

2 ．其中所有正确结论的序号是 ．

1．函数 = sin

33

+ ⋅ ln

2

+2

2

的图像可能是（ ）

A． B．

C． D．

2．将函数 =−

3 + ， ∈ 0,1 的图象绕点 1,0 顺时针旋转角（0 < <

π

2）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ）

A．arctan

1

2

B．

π

6

C．

π

4

D．arctan2

3．已知 =

2

2−−

1

2

, < 0

log1

4, > 0 若函数()的图像上存在关于直线 = 对称的点，则实数的取值范围是 ．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师91．（2024 新·四川资阳·统考模拟预测）已知 是定义域为的奇函数，当 > 0 时， 单调递增，且4=0，则满足不等式 ⋅ − 1 < 0 的的取值范围是（ ）

A． −3,1 B． 1,5 C． −3,0 ∪ 1,5 D． −∞, − 3 ∪ 1,5

3．（2024 新·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（）A． =

2+3sin4

+4− B． =

3+cos

2+2

C． =

3+cos4

+4− D． =

2+3sin

2+2

4．（2024 新上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）已知函数 的定义域为 R， 2 − = 2 + ， 5 = 2，且∀1，2 ∈ −∞, 2 ，当1 ≠ 2时， 1 − 21−2 >0，则不等式+4 + 3 >

2的解集为（ ）

A． <− 1 或 > 5 B． −1 < < 5

C． <− 5 或 > 5 D． −5 < < 5

5．（多选）（2024 新·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知定义域为 R 的函数 对任意实数x，y都有 + + − = 2 ，且

1

2 = 0， 0 ≠ 0，则以下结论一定正确的有（）A． 0 = 1 B． 是奇函数

C． 关于

1

2

, 0 中心对称 D． 1 + 2 + ⋯ + 2023 = 0

6．（2024 新·山西临汾·校考模拟预测）已知函数 及其导函数

' 的定义域均为，且 + 2−=2，

' +

' 4 − = 2，

' 1 = 3，若 = 3 − + 3，则 =1

34

' = ．7．（2024 新·黑龙江·校联考模拟预测）已知函数 是定义在上的奇函数，当 < 0 时， = −cos+1，则当⩾0 时， = ．

9．（2024 新·上海金山·统考一模）若函数 = (1 −

2)(

2 + + ) − ( ≠ 0) 的图像关于直线=−2对称，且该函数有且仅有 7 个零点，则 + + 的值为 ．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师10专题 04 基本初等函数与比大小问题（解密讲义）【知识梳理】

【考点 1】基本初等函数

方法技巧：

比较大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性，有时需要根据代数式特点，构造相关函数并研究性质．

指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．

考点 命题点 考题

基本初等函数 ①指数函数

②对数函数

③幂函数

2024 新北京卷 T4，2024 新北京卷T11

2024 新全国乙卷（理）T16，2024 新新课标I 卷T102024 预测天津卷 T6，2024 预测浙江卷T7，2024预测北京卷 T7

利用基本初等

函数比较大小

①比大小问题 2024 新全国甲卷（文）T11，2024 新天津卷T32024 预测天津卷 T5，2024 预测全国甲卷（文）T122024 预测新高考 I 卷 T7

考点一基本初等函数 命题点 1 指数函数

典例 01（2024 预测·北京·统考高考真题）已知函数

1

( ) 1 2

x f x 

 ，则对任意实数x，有（）A． f (-x)+ f (x) = 0 B． f (x)  f (x)  0

C． f (x)  f (x) 1 D．

1

( ) ( ) 3

f x  f x 典例 02（2024 预测下·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）下列函数中最小值为4 的是（）

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师11A． 2 y  x  2x  4 B．

4

sin

sin

y x

x  

C． 2 y 2 2

x x   D．

4

ln

ln

y x

x  

典例 03（2024 新·北京·统考高考真题）已知函数 2 ( ) 4 log

x f x   x ，则

1

2

f  

    ． 命题点 2 对数函数

典例 01（2024 预测·天津·统考高考真题）化简(2log43 + log83)(log32 + log92)的值为（）A．1 B．2 C．4 D．6

典例 02（2024 预测·浙江·统考高考真题）已知2

= 5, log83 = ，则4

−3 =（）A．25 B．5 C．

25

9

D．

5

3

 命题点 3 幂函数

典例 01（2024 新·天津·统考高考真题）若 = 1.01

0.5

, = 1.01

0.6

, = 0.6

0.5，则, , 的大小关系为（）A． > > B． > >

C． > > D． > >

1．集合 = ∣

2 − 2 − 15 < 0 ， = ∣log2 + 1 ≤ 3 ，则 ∩ =（）A． −3,5 B． −1,7 C． −3,7 D． −1,5

2．今年 8 月 24 日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有 21 种半衰期在10 年以上；有8种半衰期在 1 万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 Bq L 与时间（年）近似满足关系式 =⋅ (, 为大于 0 的常数且 ≠ 1).若 =

1

6时， = 10；若 =

1

12时， = 20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为

1

120时，大约需要（ ）（参考数据:log23 ≈ 1.58, log25 ≈ 2.32）A．43 年 B．53 年 C．73 年 D．120 年

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师123．（多选）已知定义：e+

=

1, < 0, e

, ≥ 0,则下列命题正确的是（ ）

A．∀ ∈ R

+， e+

= e+

B．若1

, 2 ∈ R，则e+

1

⋅ e+

2 = e+

1+2 C．∀ ∈ R，ln e+

+ 1 −

2 ≥ ln2 D．若1

, 2 ∈ R，则e+

1 ÷ e+

2 = e+

1−2考点二 利用基本初等函数比大小 命题点 1 比大小问题

典例 01（2024 预测·天津·统考高考真题）已知 = 2

0.7， = (

1

3 )

0.7， = log2

1

3，则（）A． > > B． > > C． > > D． > >

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）设 = 0.1e

0.1

, =

1

9 ， =− ln0.9，则（）A． < < B． < < C． < < D． < <

典例 03（2024 预测·天津·统考高考真题）设 = log20.3, = log1

20.4, = 0.4

0.3，则a，b，c 的大小关系为（ ）

A． < < B． < < C． < < D． < <

典例 04（2024 预测·全国·统考高考真题）已知 = log52， = log83， =

1

2，则下列判断正确的是（）A． < < B． < < C． < < D． < <

1．已知 a，b，c 为正实数，满足 + 5

= 5, + log2 = 5, +

3 = 5，则实数a，b，c 之间的大小关系为（ ）

A． > > B． > > C． > > D． > >

2．已知 为定义在 R 上的奇函数，且满足 − 3 = 1 − ，当 ∈ −2, − 1 时， =2 +2−，若 = log32 ， = log54 ， =

2

3 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）

A． < < B． < <

C．c < a < b D． < <

3．（多选）若实数1，2，3满足3

⋅ 2

1 = 3

⋅ 3

2 = 1，则下列不等关系可能成立的是（）A．1 < 2 < 3 B．2 < 3 < 1 C．3 < 2 < 1 D．3 < 1 < 2

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师131．（2024 新·上海杨浦·统考一模）等比数列 的首项1 =

1

64，公比为，数列 满足=log0.5（是正整数），若当且仅当 = 4 时， 的前项和取得最大值，则取值范围是（）A． 3,2 3 B． 3,4 C． 2 2, 4 D． 2 2, 3 2

2．（2024 新·河北·校联考模拟预测）设 = ln2, = 1.09, = e

0.3，则（ ）A． < < B． < <

C． < < D． < <

3．（2024 新·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数() = ln

e(−2) ，下列函数是奇函数的是（）A． + 1 + 1 B． − 1 + 1 C． − 1 − 1 D． + 1 − 1

4．（2024 新·河北邯郸·统考模拟预测）已知函数 =

1

e

−2 − e

−2，若 − 2 + 2

2 >0，则实数的取值范围是（ ）

A． 2, + ∞ B． −2, 3

2

C． −∞, −

3

2

D． −2, + ∞

5．（2024 新·广西玉林·校联考模拟预测）已知正实数 x，y 满足e

= ln − ln，则ln+1

+ln的最大值为（ ）

A．−1 B．0 C．1 D．2

6．（2024 新上·四川雅安·高三校联考期中）已知

' 是函数 的导函数，若函数 =e

' 的图象大致如图所示，则 的极大值点为（ ）

A． B． C． D．

7．（2024 新·黑龙江·校联考模拟预测）已知 < 0, < 0，且 2 + =− 2，则4

+ 2

的最小值为（ ）

A．1 B． 2 C．2 D．2 2

8．（2024 新·全国·模拟预测）已知7

9 < 6

10，设 = log76， = log87， = 0.9，则（）A． < < B． < < C． < < D． < <

专题 05 函数的应用及参数问题（解密讲义）

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师14考点 命题点 考题

函数的应用 ①函数的零点问题

②函数的实际应用问题

2024 新年新课标 I 卷 T10，2024 预测年北京卷T132024 预测年北京卷 T15 2024 预测年山东卷T6函数的参数相

关问题

①根据函数的性质求参数范围

②函数的零点与参数问题

2024 新天津卷 T15，2024 新年新课标I 卷T152024 预测天津卷 T15，2024 预测天津卷T9

考点一函数的应用 命题点 1 函数的零点问题典例 01（多选）（2024 新·全国·统考高考真题）若函数 = ln +

+

2 ≠ 0 既有极大值也有极小值，则（ ）．

A． > 0 B． > 0 C．

2 + 8 > 0 D． < 0

典例 02（2024 预测·北京·统考高考真题）若函数() = sin − 3cos的一个零点为

3，则=；(

12 ) = ．典例 03（2024 预测·北京·统考高考真题）已知函数() = lg − − 2，给出下列四个结论：①若 = 0，()恰 有 2 个零点；

②存在负数，使得()恰有 1 个零点；

③存在负数，使得()恰有 3 个零点；

④存在正数，使得()恰有 3 个零点．

其中所有正确结论的序号是 ．  命题点 2 函数的实际应用问题典例（2024 预测·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为0.05，志愿者每人每天

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师15能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）

A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名1．定义在 R 上的奇函数()满足(2 − ) = ()，且在[0,1)上单调递减，若方程() =−1 在[0,1)上有实数根，则方程() = 1 在区间[ − 1,7]上所有实根之和是（ ）

A．30 B．14 C．12 D．6

2．设函数() =

−

2 + 4, ≤ 4, log2( − 4) , > 4,关于的方程() = 有四个实根1，2，3，4 1 <2 <3 <4，则1 + 2 + 3 +

1

4

4的最小值为 .考点二 函数的参数相关问题 命题点 1 根据函数性质求参数范围

典例 01（2016·天津·高考真题）已知 是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足 ，则 的取值范围是

A． B． C． D．典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）已知 = 1和 = 2分别是函数() = 2

−e（2 >0且≠1）的极小值点和极大值点．若1 < 2，则 a 的取值范围是 ．  命题点 2 函数的零点与参数范围

典例 01（2024 预测·天津·统考高考真题）设 ∈ ，函数() =

cos(2 − 2). <

2 − 2( + 1) +

2 +5, ≥，若()在区间(0, + ∞)内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（ ）

A． 2, 9

4

∪

5

2

, 11

4

B．

7

4

, 2 ∪

5

2

, 11

4

C． 2, 9

4

∪

11

4

, 3 D．

7

4

, 2 ∪

11

4

, 3

典例 02（2024 新·天津·统考高考真题）若函数 =

2 − 2 −

2 − + 1 有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师16典例 03（2024 预测·天津·统考高考真题）设 ∈ ，对任意实数 x，记

= min − 2,

2 − + 3 − 5 ．若 至少有 3 个零点，则实数的取值范围为. 1．已知函数 = 2

−1 − 2 + 有两个零点，则的取值范围是（ ）

A． 0,2 B． 0, + ∞

C． −2,0 D． −∞, 0

2．已知函数 =

− 3, ≤ 3 −

2 + 6 − 9, > 3 ，若函数 =

2 − + 2 有6 个零点，则的值可能为（ ）

A．−1 B．−2 C．−3 D．−4

3．已知函数 =

ln , > 0 −e

, < 0 ，若函数 = −

2 − 恰有 3 个零点，则实数的取值范围是（）A． −∞, − 1 ∪ 1, + ∞ B． 1, + ∞

C． −∞, − 1 ∪ 1, + ∞ D． −∞, − 1 ∪ 1, + ∞

4．若函数()为偶函数，且当 ≥ 0 时，() =

3 + 2

2 + 3．若( − 9) ≥

2 − 2 +1 ，则实数的取值范围为（ ）

A．[ − 2 3, 4] B．[ − 4,2] C．[ − 2,4] D．[ − 4,2 3]

专题 06 导数在函数中的应用（解密讲义）考点 命题点 考题

导数的定义 ①导数的概念

②导数的计算

2024 新全国甲卷（文）T8，2024 新全国乙卷（文）T20

2024 新北京卷 T20

2024 预测新高考 II 卷T9，2024 预测新高考II 卷T142024 预测新高考 I 卷T15，2024 预测北京卷T20利用导数研究

函数相关问题

①利用导数研究函数的单调性

②利用导数研究函数的极值和最值

2024 新全国乙卷（理）T21，2024 新全国乙卷（理）T16

2024 新新高考 I 卷 T19，2024 新新高考I 卷T112024 预测全国乙卷（文）T11，2024 预测全国甲卷（文）T20

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师17考点一 导数的定义

 命题点 1 导数的概念

典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）曲线 =

e

+1在点 1, e2 处的切线方程为（）A． =

e4

B． =

e2

C． =

e4

+

e4

D． =

e2

+

3e4

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）曲线 = ln||过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）若曲线 = ( + )e

有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 ．  命题点 2 导数的计算

典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）当 = 1 时，函数() = ln +

取得最大值−2，则'(2) =（）A．−1 B．−

1

2

C．

1

2

D．1

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）设函数() =

+．若

'(1) =

4，则a= ．典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 : ．① 12 = 1 2 ；②当 ∈ (0, + ∞)时，

'() > 0；③

'()是奇函数．1．已知 = 2sin + − 1, ＞0 在 π，1 处的切线与 x 轴平行，则下列的值符合要求的是（）A．

1

2

B．

3

2

C．

π

2

D．

3π

2

2．已知 > 0， ∈ ，( − )

2 +

2 − ln + 2 −

2的最小值为（ ）

A． 2 B．2 C．

4 3

3

D．

16

3

考点二 利用导数研究函数相关问题 命题点 1 利用导数研究函数的单调性

典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 = e

− ln在区间 1,2 上单调递增，则a的最小值为（ ）．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师18A．e

2 B．e C．e−1 D．e−2

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 = e

+ − ．

(1)讨论 的单调性；

(2)证明：当 > 0 时， > 2ln +

3

2．典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数 f（x）=2lnx+1．

（1）若 f（x）≤2x+c，求 c 的取值范围；

（2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）=

()−()−的单调性．命题点 2 利用导数研究函数的极值和最值

典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）函数 = cos + + 1 sin + 1 在区间0,2π 的最小值、最大值分别为（ ）

A．−

π

2 ，

π

2

B．−

3π

2 ，

π

2

C．−

π

2 ，

π

2

+ 2 D．−

3π

2 ，π

2

+ 2

典例 02（多选）（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数() =

3 − + 1，则（）A．()有两个极值点 B．()有三个零点

C．点(0,1)是曲线 = ()的对称中心 D．直线 = 2是曲线 = ()的切线典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）（1）证明：当 0 < < 1 时， −

2 < sin <；（2）已知函数 = cos − ln 1 −

2 ，若 = 0 是 的极大值点，求 a 的取值范围．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师19典例 04（2024 预测·北京·统考高考真题）已知函数 =

3−2

2+．

（1）若 = 0，求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程；

（2）若 在 =− 1 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．1．（多选）设函数() = sin( + ) −

1

2

> 0, > 0,0 ≤ ≤

π

2 的最小正周期 >3π，且(+2π)+() = 0，()的极大值与极小值的差为 2．若()在[0,5π]内恰有 3 个零点，则的值可能是（）A．

π

7

B．

π

5 C．

π

3

D．

6π

11

2．已知函数() = ln

2 + 1 + + e

− e−− 2 + 3，若 e

+ (ln − ln) > 6 对于 ∈(0, +∞)恒成立，则实数的取值范围是 ．

3．已知函数() =

2 − + ln − 3．

(1)讨论函数()的单调性；

(2)已知1，2 0 < 1 < 2

, 1 + 2 = 3e 是函数() = () −

2 + 2 + 3 的两个零点，记()的导函数为

'()，证明：

'ln

1

12 > 0 恒成立．

4．已知函数() = e

−1 −

2 + − eln．

(1)求曲线 = ()在点(1, (1))处的切线方程；

(2)当 ∈ (0,1)时，证明：() > 0 恒成立．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师2007 导数综合应用（解密讲义）方法技巧：

求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”

转化关

通过分离参数法，先转化为 f(a)≥g(x)(或 f(a)≤g(x))对∀x∈D 恒成立，再转化为 f(a)≥g(x)max(或 f(a)≤g(x)min)

求最值关 求函数 g(x)在区间 D 上的最大值(或最小值)问题

考点 考题

利用导数研究不等式恒成立

问题

2024 新全国甲卷（文）T20，2024 新全国甲卷（理）T21

2024 新天津卷 T20，2024 新全国新课标 I 卷 T19

2024 新全国新课标 II 卷 T22，2024 预测年新高考II 卷T22

利用导数研究函数的零点和

方程的根

2024 新全国乙卷（文）T8，2024 预测全国乙卷（文）T20

2024 预测全国甲卷（理）T21，2024 预测全国乙卷（理）T21

2024 预测新高考 I 卷 T10

考点一 利用导数研究不等式恒成立问题典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 = −

sin

cos2

, ∈ 0, π

2 ．(1)当 = 1 时，讨论 的单调性；

(2)若 + sin < 0，求的取值范围．典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数() = −

sin

cos3

, ∈ 0, π

2

(1)当 = 8 时，讨论()的单调性；

(2)若() < sin2恒成立，求 a 的取值范围．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师21典例 04（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 = e

+ − ．

(1)讨论 的单调性；

(2)证明：当 > 0 时， > 2ln +

3

2．典例 05（2024 新·全国·统考高考真题）（1）证明：当 0 < < 1 时， −

2 < sin <；（2）已知函数 = cos − ln 1 −

2 ，若 = 0 是 的极大值点，求 a 的取值范围．1．已知函数() =

1

2

2e

2 + 2 − 3 e

−

2在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． −∞, −

2

e B．

2

e

, + ∞ C． −∞, −

2

e ∪ e D． −∞, −

2

e ∪ e

2．已知函数 = + ln − e − 1 ∈ ．

(1)当 = 0 时，讨论函数()的单调性；

(2)若() > 0 在(1, + ∞)上恒成立，求的取值范围．

3．已知函数() =

1

2

2 − ln．

(1)当 = 1 时，求()的极值；

(2)若不等式() ≥ 恒成立，求实数的取值范围．考点二 利用导数研究函数的零点和方程的根

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师22典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）函数 =

3 + + 2 存在 3 个零点，则的取值范围是（）A． −∞, − 2 B． −∞, − 3 C． −4, − 1 D． −3,0

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数() = −

1

− ( + 1)ln．(1)当 = 0 时，求()的最大值；

(2)若()恰有一个零点，求 a 的取值范围．典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数 =

− ln + − ．(1)若 ≥ 0，求 a 的取值范围；

(2)证明：若 有两个零点1

, 2，则12 < 1．典例 04（2024 预测·全国·统考高考真题）已知函数 = ln 1 + + e−

(1)当 = 1 时，求曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程；

(2)若 在区间 −1,0 , 0, + ∞ 各恰有一个零点，求 a 的取值范围．

1．已知函数 = e

−

3

2

2 + 4有 3 个零点，则实数的取值范围为（ ）A．

8

e

4

, 16

e

4 B． 0, 8

e

4 C． 0, 16

e

4 D．

8

e

4

, 1

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师232．已知函数 = e

+

2 + ．

(1)若曲线 = 在 = 0 处的切线方程为 = 2 + ，求，的值；

(2)若函数ℎ = + ln −

2 − − ln，且ℎ 恰有 2 个不同的零点，求实数的取值范围．3．已知函数 = ln −

1

2 + ， = + − 1 +

1−

2 ∈ ．

(1)若 与 在定义域上有相同的单调性，求的取值范围；

(2)当 > 1 时，记 ， 的零点分别为0

, 1，判断0与1的大小关系，并说明理由．专题 08 三角函数及恒等变换（解密讲义）考点 命题点 考题

任意角的三角

函数

①任意角及扇形相关公式

②同角三角函数关系

③三角函数诱导公式

2024 新北京卷 T13，2024 新全国乙卷（文）T142024 预测浙江卷 T14，2024 预测全国甲卷（理）T82024 预测年北京卷 T14

三角恒等变换 ①两角和与差的三角函数

②二倍角公式

2024 新新课标 I 卷 T8，2024 新新课标II 卷T72024 预测新高考 II 卷 T6，2024 预测全国乙卷（文）T62024 预测新高考 I 卷 T6

考点一 任意角的三角函数 命题点 1 任意角及扇形相关公式

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师24典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D在 上， ⊥ ．“会圆术”给出 的弧长的近似值 s 的计算公式： = +

2 ．当 =2, ∠ = 60°时， =（ ）

A．

11−3 3

2

B．

11−4 3

2

C．

9−3 3

2

D．

9−4 3

2

典例 02（2024 预测·北京·统考高考真题）若点(cos, sin)关于轴对称点为(cos( +

6 ), sin( +

6 ))，写出的一个取值为 ．典例 03（2024 预测·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是 ．  命题点 2 同角三角函数关系典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）设甲：sin

2 + sin

2 = 1，乙：sin + cos =0，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件典例 02（2024 预测·浙江·统考高考真题）设 ∈ ，则“sin = 1”是“cos = 0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）若 ∈ 0, π

2

,tan =

1

2，则 sin − cos = ． 命题点 3 三角函数诱导公式典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）cos

2 π

12 − cos

2

5π

12 =（ ）

A．

1

2

B．

3

3

C．

2

2

D．

3

2

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）在△ 中，内角, , 的对边分别是, , ，若cos−cos=，且 =

5，则∠ =（ ）

A．

10

B．

5 C．

3

10

D．

2

5

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师25典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）若 = ( − 1)

2 + + sin +

π

2 为偶函数，则 =．1．已知直线: 2 + 3 − 1 = 0 的倾斜角为，则 sin − π ⋅ sin

π

2 − =（）A．

6

13

B．−

6

13

C．

2

5 D．−

2

5

2．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（ ）

A．sin

B．2sin

C． 1 − cos

D． 1 + cos

3．如图，直径 = 10 的半圆，为圆心，点在半圆弧上，sin∠ = 0.8, 为 的中点，与相交于点，则 cos∠ = .考点二 三角恒等变换

 命题点 1 两角和与差的三角函数

典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）若 sin( + ) + cos( + ) = 2 2cos +

4

sin，则（）A．tan( − ) = 1 B．tan( + ) = 1

C．tan( − ) =− 1 D．tan( + ) =− 1

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知 sin − =

1

3

, cossin =

1

6，则cos 2 +2=（）．A．

7

9

B．

1

9

C．−

1

9

D．−

7

9

典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点1(cos, sin)，2(cos, −sin)，3(cos( + ), sin( + ))，(1,0)，则（ ）

A．|1

| = |2

| B．|1

| = |2

|

C． ⋅ 3 = 1

⋅ 2

D． ⋅ 1

= 2

⋅ 3

 命题点 2 二倍角公式

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师26典例 01 （2024 新·全国·统考高考真题）已知为锐角，cos =

1+ 5

4 ，则 sin

2 =（）．A．

3− 5

8

B．

−1+ 5

8

C．

3− 5

4

D．

−1+ 5

4

2．（2024 预测·北京·统考高考真题）已知函数() = cos

2 − sin

2，则（ ）A．()在 −

2

, −

6 上单调递减 B．()在 −

4

,

12 上单调递增C．()在 0,

3 上单调递减 D．()在

4

, 7

12 上单调递增

3．（2024 预测·全国·统考高考真题）若 ∈ 0,

2

, tan2 =

cos

2−sin，则 tan =（）A．

15

15 B．

5

5 C．

5

3

D．

15

3

1．已知 cos −

π

3 − 3sin =−

4

5，则 sin 2 +

π

6 =（ ）

A．

7

25 B．

24

25 C．−

7

25 D．−

24

25

2．已知sin

2 +

π

4 − sin

2 +

π

12 − cos 2 +

π

3 =

1

2，则 tan

π

12 − =（）A．2m B．−2 C．

1

2 D．−

1

2

3．若 sin + 20° + cos + 20° =

4

3，则 cos 2 + 70° − 3sin 2 + 70° 的值为（）A．

7

9

B．−

7

9

C．

14

9

D．−

14

9

4．已知 cos + 3sin =

2 6

3 ，则 cos(2 +

π

3 ) =（ ）

A．−

2

3

B．

2

3

C．−

1

3

D．

1

3

1．（2024 新·浙江·统考一模）已知 ∈ ( −

π

2

, 0)，且 tan( π

4 − ) = 3cos2，则sin2 =（）A．−

1

6

B．−

1

3

C．−

2

3

D．−

5

6

2．（2024 新·湖南·校联考模拟预测）设 ∈ 0, π

2 ， ∈ 0, π

2 ，且 tan + tan =

1

cos，则（）

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师27A．2 + =

π

2

B．2 − =

π

2

C．2 − =

π

2

D．2 + =

π

2

3．（2024 新·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知 sin +

π

3 =

1

3，则 cos + sin +π

6 =（）A．

3

2

B． 3 C．

1

2

D．

3

3

4．（2024 新·全国·模拟预测）已知 sin − cos =

1

3，cos + sin =

1

2，则 sin − =（）A．

5

72

B．−

5

72

C．

59

72

D．−

59

72

5．（2024 新·重庆北碚·西南大学附中校考模拟预测）已知为锐角，sin +

π

3 =

3

5，则sin=（）A．

3−4 3

10

B．

4 3−3

10

C．

3+4 3

10

D．−

3+4 3

10

6．（2024 新·浙江金华·校联考模拟预测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为1m，筒车的半径是 3m，盛水筒的初始位置为0

, 0与水平正方向的夹角为

6．若筒车以角速度2rad/min沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点1所需的时间（单位：min），则（ ）

A．cos =

1

2

B．sin =

2

2

C．cos2 =−

2 6+1

6

D．sin2 =−

3+2 2

6

7．（2024 新·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知 ∈ −

π

2

, 0 且 tan

π

4 − =3cos2，则sin2 = ．

8．（2024 新·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数 = 2cos sin + 3cos −3. (1)若 +

π

4 =

10

13，求 2 −

π

12 的值；

(2)设 = +

π

12 + −

π

6 −

1

2 +

π

12 −

π

6 ，求函数 的最小值.

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师289．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）△ 的内角, , 的对边分别为, , ，且满足

1

tan

+

1

tan=

tan

2 ．

(1)求 tantan的值；

(2)若 coscos =

10

10 ，△ 的面积为 3，求的值．专题 09 三角函数的图像及性质（解密讲义）.考点 命题点 考题

基本三角函数

的图像及性质

①正余弦函数的图像及性质

②正切函数的图像及性质

2024 新北京卷 T13，2024 新全国乙卷（理）T102024 新天津卷 T5，2024 预测天津卷T9

三角函数图像

变换

①三角函数图像的四种基本变换

②函数 y=Asin(wx+φ)的图像及性质

2024 新北京卷 T17，2024 新全国甲卷（理）T102024 新全国乙卷（理）T6，2024 新新课标II 卷T162024 预测新高考 II 卷T9，2024 预测全国甲卷（文）T5考点一 基本三角函数的图像及性质 命题点 1 正余弦函数的图像及性质典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知等差数列 的公差为

2

3 ，集合 = cos ∈ N∗ ，若=, ，则 =（ ）

A．－1 B．−

1

2

C．0 D．

1

2

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师29典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）已知命题: ∃ ∈ , sin < 1﹔命题: ∀ ∈ ﹐e

|| ≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）

A． ∧ B．¬ ∧ C． ∧ ¬ D．¬ ∨

典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 = cos − 1( > 0)在区间0,2π 有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．命题点 2 正切函数的图像及性质典例 01（2014·全国·高考真题）设a  sin 33,b  cos 55, c  tan 35, 则

A．a  b  c B．b  c  a C．c  b  a D．c a b2．（2014·山东·高考真题）对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有，则称 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

A． B．

C． D．

3．（2024 新·北京·统考高考真题）已知命题 p :若, 为第一象限角，且，则tantan．能说明p为假命题的一组, 的值为  ，   ．

1．设 = sin0.2, = 0.16, =

1

2

ln

3

2，则（ ）

A． > > B． > >

C． > > D． > >

2．已知 =

e

e

2−1

+ sin + 2（ ≠ 0）， 4 = 6，则 −4 =（ ）

A．−4 B．−2 C．4 D．6

3．sin = 1 的一个充分不必要条件是 .考点二 三角函数图像变换

 命题点 1 三角函数图像的四种基本变换

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师30典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）函数 = 的图象由函数 = cos 2 +

π

6 的图象向左平移π6个单位长度得到，则 = 的图象与直线 =

1

2

−

1

2的交点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2024 预测·浙江·统考高考真题）为了得到函数 = 2sin3的图象，只要把函数 =2sin 3 +π

5 图象上所有的点（ ）

A．向左平移

π

5个单位长度 B．向右平移

π

5个单位长度

C．向左平移

π

15个单位长度 D．向右平移

π

15个单位长度

3．（2024 预测·全国·统考高考真题）将函数() = sin +

π

3 ( > 0)的图像向左平移π

2个单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则的最小值是（ ）

A．

1

6

B．

1

4

C．

1

3

D．

1

2

命题点 2 函数 y=Asin(wx+φ)的图像及性质典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数() = sin( + ), > 0 在区间π

6

, 2π

3 单调递增，直线 =

π

6和 =

2π

3 为函数 = 的图像的两条相邻对称轴，则 −

5π

12 =（ ）A．−

3

2

B．−

1

2

C．

1

2

D．

3

2

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知函数 = sin + ，如图 A，B 是直线 =1

2与曲线=的两个交点，若 =

π

6，则 π = ．典例 03（2024 新·北京·统考高考真题）设函数() = sincos +

cossin > 0, || <

π

2 ．

(1)若(0) =−

3

2 ，求的值．

(2)已知()在区间 −

π

3

, 2π

3 上单调递增，

2π

3 = 1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()存在，求, 的值．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师31条件①：

π

3 = 2；

条件②： −

π

3 =− 1；

条件③：()在区间 −

π

2

, −

π

3 上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

1．（多选）若函数 = 2sin

5 −

4 则（ ）

A． 的最小正周期为 10 B． 的图象关于点

4

5

, 0 对称C． 在 0, 25

4 上有最小值 D． 的图象关于直线 =

15

4 对称2．（多选）已知函数 = cos + sin( > 0)在 =

π

6处取得最大值 2， 的最小正周期为π，将= 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

3个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ）

A． =

π

6是 图象的一条对称轴 B． = 2cos 2 −

π

6

C． +

π

2 是奇函数 D．方程 − 2lg = 0 有 3 个实数解3．已知函数 = cos(

3π

2

+ ) > 0 在区间

π

4

, π

3 上单调递增,那么实数ω的取值范围是.

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师321．（2024 新·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）将函数 = sin 2 +

12 的图象向左平移

6个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在 −2, ( > 0)上单调递增，则实数的取值范围是（）A． 0, 11

48

B． 0,

24 C．

24

, 11

48

D．

24

, 11

48

2．（2024 新·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数() = 2sin −

π

6 ( > 0)在0, π

2 上的值域为−1,2 ，则的取值范围为（ ）

A．

4

3

, 2 B．

4

3

, 8

3

C．

2

3

, 4

3

D．

2

3

, 8

3

3．（多选）（2024 新·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知函数 = cos + ϕ ( >0, >0, ϕ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．函数 的图象关于直线 =

π

6对称

B．函数 的图象关于点

3π

2

, 0 对称

C．函数 在

π

12

, 13π

24 的值域为 − 2, 2

D．将函数 的图象向右平移

π

12个单位，所得函数为 = 2sin2

4．（多选）（2024 新·山东潍坊·山东省昌乐第一中学校考模拟预测）将函数 = sin2的图象向右平移π4个单位后得到函数 的图象，则函数 具有性质（ ）

A．在 0, π

4 上单调递增，为偶函数 B．最大值为 1，图象关于直线 =−

3π

2 对称C．在 −

3π

8

, π

8 上单调递增，为奇函数 D．周期为π，图象关于点

3π

4

, 0 对称5．（多选）（2024 新·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）函数() = sin( + )（>0，>0， <

π

2）的部分图象如图所示，将函数()的图象上所有点的横坐标变为原来的3 倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移

3π

4 个单位长度，得到函数()的图象，则（ ）

A． = 1

B．()的解析式为 = 2sin

2

3

+

π

3

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师33C．

7π

2

, 0 是()图象的一个对称中心

D．()的单调递减区间是 3π −

11π

4

, 3π −

5π

4 ， ∈ Z

6．（2024 新·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知函数 = cos + +，（>0，>0， <

π

2）的大致图象如图所示，将函数 的图象上点的横坐标拉伸为原来的3 倍后，再向左平移π

2个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为 . 7．（2024 新·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知函数 = cos +

π

4 ， > 0，且∀ ∈ ，都有() ≤

π

6 ，若函数 = () − 1 在

π

15

, π

6 上有且只有一个零点，则的最大值为 . 8．（2024 新·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）设函数 =

2

2

cos 2 +

π

4 + sin

2.求函数 在区间−

π

12

, π

3 上的最大值和最小值；

9．（2024 新·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数 = 3sin + 的部分图象如图所示，其中 > 0, <

π

2，且∠ = 90°. (1)求与的值；(2)若斜率为

6π

4 的直线与曲线 = 相切，求切点坐标.

1．已知函数() = 2sin −

π

6 ( > 0)在 0, π

3 上存在最值，且在

2π

3

, π 上单调，则的取值范围是（）A． 0, 2

3

B．

11

4

, 17

3

C． 1, 5

3

D．

5

2

, 8

3

2．将函数 = sin的图像向左平移

5π

6 个单位长度后得到函数 的图像，再将 的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的

1（ > 0）倍，得到函数ℎ 的图像，且ℎ 在区间0, π 上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（ ）

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师34A．

7

6

, 8

3

B．

5

3

, 13

6 C．

5

3

, 13

6

D．

7

6

, 8

3

3．（多选）已知点

3π

8

, 1 是函数 = sin +

π

4 + > 0 的图象的一个对称中心，则（）A． −

3π

8 − 1 是奇函数

B． =−

2

3

+

8

3

， ∈ ∗ C．若 在区间

3π

8

, 11π

8 上有且仅有 2 条对称轴，则 = 2

D．若 在区间

π

5

, 2π

5 上单调递减，则 = 2 或 =

14

3

4．（多选）函数() = cos +

π

6 ( > 0)的图象向左平移

π

2个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）

A．

π

2 =−

3

2

B．()的一个周期是π

C． −

π

12 是偶函数 D．()在 0, π

3上单调递减

5．（多选）已知函数 =

1

2

tan sin2 +cos cos ，则下列结论正确的是（）A． 的最大值为 1 B． 的图象关于点

π

2

, 0 对称

C． 在 π, 3π

2 上单调递增

D．存在 ∈ 0,2π ，使得 − = 对任意的 ∈ R 都成立

6．已知函数 = sin ∈ 在

π

2

, 7π

12 上是增函数，且

π

4 −

3π

4 = 2，则 −π

12 的取值的集合为专题 10 平面向量与解三角形（解密讲义）方法技巧：

运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师35(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点 命题点 考题

解三角形 ①正弦定理和余弦定理

②解三角形的实际应用

2024 新北京卷 T7，2024 新全国乙卷（文）T4，2024 新全国甲卷（文）T17，2024 新全国甲卷（理）T162024 新全国乙卷（理）T18，2024 新天津卷T162024 新新课标 I 卷 T17，2024 新新课标II 卷T17平面向量 ①平面向量的线性运算和数量积

②平面向量的基本定理和坐标表示

③平面向量的应用

2024 新北京卷 T3，2024 新全国乙卷（文）T62024 新全国甲卷（文）T3，2024 新全国甲卷（理）T42024 新全国乙卷（理）T12，2024 新天津卷T142024 新新课标 I 卷 T3，2024 新新课标II 卷T13考点一 解三角形

 命题点 1 正弦定理和余弦定理

典例 01（2024 新·北京·统考高考真题）在△ 中，( + )(sin − sin) = (sin − sin)，则∠=（）A．

π

6

B．

π

3

C．

2π

3

D．

5π

6

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）在△ 中，内角, , 的对边分别是, , ，若cos−cos=，且 =

5，则∠ =（ ）

A．

10

B．

5 C．

3

10

D．

2

5

典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）记△ 的内角, , 的对边分别为, , ，已知

2+

2−

2

cos=2．(1)求；

(2)若

cos−cos

cos+cos−

= 1，求△ 面积．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师36命题点 2 解三角形的实际应用典例 02（2024 预测·浙江·统考高考真题）在△ 中，∠ = 60°, = 2，M 是的中点，=23，则 = ，cos∠ = .典例 03（2024 预测·浙江·统考高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3，4，记大正方形的面积为1，小正方形的面积为2，则

12 = .

1．如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部， = 3， = 7，△为正三角形，设∠ = . (1)求的取值范围；

(2)当变化时，求四边形面积的最大值.

3．记△ 的内角, , 的对边分别为, , ，已知

2+

2−

2

cos= 4. (1)求：

(2)若

cos−cos

cos+cos=

+ 1，求△ 面积.

4．在△ 中，角, , 的对边分别为, , , sin + sin − = sin − sin .

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师37(1)求的大小；

(2)若∠的平分线交于点，且 = 2, = 2，求△ 的面积.考点二平面向量 命题点 1 平面向量的线性运算和数量积典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知向量 , , 满足 = = 1, = 2，且 + + = 0 ，则cos〈 − , − 〉 =（ ）

A．−

4

5 B．−

2

5 C．

2

5

D．

4

5

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知⊙ 的半径为 1，直线 PA 与⊙相切于点A，直线PB与⊙交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点，若 = 2，则 ⋅ 的最大值为（ ）A．

1+ 2

2

B．

1+2 2

2

C．1 + 2 D．2 + 2

典例 03（2024 新·天津·统考高考真题）在△ 中，∠ = 60

∘， = 1，点为的中点，点为的中点，若设 = , = ，则 可用 , 表示为 ；若 =

1

3

，则 ⋅ 的最大值为．命题点 2 平面向量的基本定理和坐标表示典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）正方形的边长是 2，是的中点，则 ⋅ =（）A． 5 B．3 C．2 5 D．5

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知向量 = 1,1 , = 1, − 1 ，若 + ⊥ + ，则（）A． + = 1 B． + =− 1

C． = 1 D． =− 1

典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）在△ 中，点 D 在边 AB 上， = 2．记 = ， = ，则 =（ ）

A．3 − 2 B．−2 + 3 C．3 + 2 D．2 + 3 命题点 3 平面向量的应用

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师38典例 01（2024 预测·全国·高考真题）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若A P = A B + A D ，则+的最大值为

A．3 B．2 2 C． 5 D．2

典例 02（2024 预测·浙江·统考高考真题）设点 P 在单位圆的内接正八边形12⋯8的边12上，则 12+2

2

+ ⋯ + 8

2的取值范围是 ．

2．（2024 新·全国·校联考模拟预测）已知非零向量 与 满足| | = 2|

|，若| + 2 | = | + |，则cos , =（ ）

A．

1

2

B．−

3

4

C．

3

2

D．−

3

2

3．（2024 新·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知 = = 1， = =3， = 2，点在边上，则 ⋅ 的最小值为（ ）

A．

21

16

B．

21

8

C．

21

32

D．

7

4

4．（2024 新·四川成都·石室中学校考一模）在等腰直角三角形中， = 2，为斜边的中点，以为圆心，为半径作 ，点在线段上，点在 上，则 + 的取值范围是.

1．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知椭圆:

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的左顶点为，上顶点为，右焦点为F，的中点为 M， ⋅ = 0，则椭圆的离心率为（ ）

A．

3−1

4

B．

1

4

C．

3−1

2

D．

1

2

2．（2024·陕西渭南·统考一模）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 1

, 1 ，2

, 2 ，为坐标原点，余弦相似度为向量 ， 夹角的余弦值，记作 cos(, )，余弦距离为1 −cos(, ).已知

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师39(cos, sin)，(cos, sin)，(cos, − sin)，若 P，Q 的余弦距离为

1

3，tan ⋅ tan =1

4，则Q，R的余弦距离为（ ）

A．

3

5 B．

2

5 C．

1

4

D．

3

4

3．（2024 新·安徽·校联考模拟预测）已知向量 = (2, )， = ( + 1, − 1)，且 ⊥ ，若 =(2,1)，则 在 方向上的投影向量的坐标是（ ）

A．

4

5

, 2

5 B．

1

2

, −

1

2

C． −

1

2

, 1

2

D． −

4

5

, −

2

5

4．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）记△ 的内角, , 的对边分别为, , ．若 =1，=2，则 + 的取值范围是（ ）

A．

2π

3

, 5π

6

B．

2π

3

, π C．

5π

6

, π D．

π

2

, 5π

6

5．（2024·安徽淮北·统考一模）已知抛物线

2 = 2 > 0 准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足： = ， = ，若 = 3，则实数 = . 6．（2024 新·山东潍坊·统考模拟预测）正三棱台111 − 中，11 = 1， = 1 =2，点，分别为棱1，11的中点，若过点，，作截面，则截面与上底面111的交线长为．7．（2024 新·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知双曲线：

2

2 −

2

2 = 1( > 0, >0)的左、右焦点分别为1，2，倾斜角为

π

3的直线2与双曲线在第一象限交于点，若∠12 ≥ ∠21，则双曲线的离心率的取值范围为 . 8．（2024·全国·模拟预测）在△ 中，角, , 的对边分别为, , ，且 =

π

3，sin =sin+3cos．(1)求的长；

(2)设为边的中点，若线段的长不大于 3，求的长的最大值．

9．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知向量 = cos − sin, sin ，向量 =cos+sin, 2 3cos ， = ⋅ . (1)求 的最小正周期；

(2)求 在 0, 3

2

π 上零点和极值点的个数.

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师4010．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）记钝角△ 的内角, , 的对边分别为, , ．若为锐角且 cos( − ) = 0．

(1)证明： = sin − sin；

(2)若 = 2，求△ 周长的取值范围．专题 11 数列的通项公式和前n 项和（解密讲义）考点 命题点 考题

数列的通

项公式

①等差、等比数列的通项公式及性质

②求数列的通项公式

2024 新北京卷 T14，2024 新北京卷T10，2024新全国乙卷（理）T15，2024 新全国乙卷（理）T10，2024新天津卷 T6，2024 预测浙江卷T10，2024 预测新高考II 卷T3，2024 预测全国乙卷（文）T10，2024 预测全国乙卷（理）T8

数列的前 n

项和

①公式法及分组法求前 n 项和

②裂项相消法

③错位相减法

2024 新全国乙卷（文）T18，2024 新全国甲卷（理）T17，2024 新新课标 I 卷 T20，2024 新新课标II 卷T18，2024预测天津卷 T18，

2024 预测新高考 II 卷 T17，考点一 数列的通项公式

 命题点 1 等差、等比数列的通项公式及性质

典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）记为等差数列 的前项和．若2 + 6 = 10, 48 =45，则5=（ ）

A．25 B．22 C．20 D．15

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前 3 项和为 168，2 − 5 =42，则6 =（）

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师41A．14 B．12 C．6 D．3

典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）记为等差数列 的前 n 项和．若23 =32 +6，则公差 = ．典例 04（2024 新·全国·统考高考真题）已知 为等比数列，245 = 36，910 =−8，则7 =.  命题点 2 求数列的通项公式典例 01（2024 新·北京·统考高考真题）已知数列 满足+1 =

1

4

− 6

3 + 6( =1,2,3, ⋯)，则（）A．当1 = 3 时， 为递减数列，且存在常数 ≤ 0，使得 > 恒成立B．当1 = 5 时， 为递增数列，且存在常数 ≤ 6，使得 < 恒成立C．当1 = 7 时， 为递减数列，且存在常数 > 6，使得 > 恒成立D．当1 = 9 时， 为递增数列，且存在常数 > 0，使得 < 恒成立典例 02（2024 预测·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n 项和满足

⋅ =9(=1,2, ⋯)．给出下列四个结论：

① 的第 2 项小于 3； ② 为等比数列；③ 为递减数列； ④ 中存在小于1

100的项．其中所有正确结论的序号是 ．典例 03（2024 预测·全国·统考高考真题）记为数列 的前 n 项和，为数列 的前n 项积，已知2+1

= 2．

（1）证明：数列 是等差数列;

（2）求 的通项公式．

1．已知数列 的前 n 项和为，且=

3

−2

3

，则下列说法正确的是（ ）A． < +1 B． > +1 C．2 + = 1 D．0 < ≤

4

9

2．（多选）已知正项等比数列 的前项的积为，且公比 ≠ 1，若对于任意正整数， ≥2023，则（ ）

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师42A．0 < 1 < 1 B．0 < < 1 C．2023 = 1 D．4047 ≥ 1

3．已知等差数列 的前 n 项和为，1 >

1

2，− 2，1，3成等差数列，1，2 − 1，3 −1 成等比数列．(1)求及；

(2)若=

1

1+

2+1 ，求数列 的前 n 项和．考点二数列的前n 项和 命题点 1 公式法及分组求和法求前n 项和典例 01（2024 预测·江苏·统考高考真题）设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和=

2 − + 2

− 1( ∈ +)，则 d+q 的值是 ．典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知 为等差数列，=

− 6, 为奇数2

, 为偶数，记，分别为数列 ， 的前 n 项和，4 = 32，3 = 16．

(1)求 的通项公式；

(2)证明：当 > 5 时， > ．  命题点 2 裂项相消法

典例 02（2024 预测·全国·统考高考真题）记为数列 的前 n 项和，已知1 = 1,是公差为1

3的等差数列．

(1)求 的通项公式；

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师43(2)证明：

11 +

12 + ⋯ +

1< 2．  命题点 3 错位相减法

典例 01（2024 预测·全国·统考高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20dm × 12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm× 12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和1 = 240dm2，对折 2 次共可以得到 5dm × 12dm，10dm×6dm，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和2 = 180dm2，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 =1 = dm2

.典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）设为数列 的前 n 项和，已知2 = 1,2=．(1)求 的通项公式；

(2)求数列

+1 2

的前 n 项和．

1．在等比数列 中，2 = 2, 46 − 165 = 0，若=

−2, 为偶数

, 为奇数

，且 的前项和为，则满足2>360 的最小正整数的值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．已知正项数列 的前项和为，1 = 4，且当 ≥ 2 时2

−1

⋅ + −1 = ．(1)求数列 的通项公式；

(2)若数列 满足=

log2 ，数列 的前项和为，试比较与

8

9的大小，并加以证明.

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师443．已知首项为正数的等差数列 的公差为 2，前项和为，满足4 = 1

⋅ 2．(1)求数列 的通项公式；

(2)令= 4cos π ⋅+1⋅+1，求数列 的前项和．

1．（2024 新·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）已知等差数列 与等差数列 的前项和分别为 与 , 且

2−1 =

5+3

4−2

, 则

311 +

911 =（ ）

A．

29

21

B．

29

11

C．

58

21

D．

58

11

2．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知等比数列 满足1 = 1，其前项和=+1 +∈

∗

, > 0 ．则（ ）

A．数列 的公比为 B．数列 为递减数列

C． =− − 1 D．当 −

1

4取最小值时，= 3

−1

3．（2024 新·全国·模拟预测）已知数列 满足

1 2

+1 +

2 2

+

3 2

−1 + ⋯ +

2

2 = ， ∈ N

∗，且数列−的前项和为．若的最大值为2023，则实数的最大值是 ．

4．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列 的前项和为，且+1 =3 +2∈

∗ ．

(1)求数列 的通项公式；

(2)在与+1之间插入个数，使这 + 2 个数组成一个公差为的等差数列，在数列 中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明理由．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师455．（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知数列 是公比为 2 的等比数列，数列 是等差数列，1 = 3

, 2 = 5

, 3 = 8 + 1．

(1)求数列 , 的通项公式；(2)设= +

1

+1⋅+2，求数列 的前项和．6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足

11 +

22 +⋅⋅⋅+

= 1 −

1

2

， ∈

∗．(1)求数列 的通项公式；

(2)设= log2 （ 表示不超过的最大整数），求数列 的前 100 项和．7．（2024 新·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列 的前项和为，且满足=

+1

2

，1 =1．(1)求数列 的通项公式；

(2)设数列 满足=

2

, 为偶数

+2+

+2 − 2, 为奇数

，求数列 的前 2项和2．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师46专题 12 数列与函数、不等式的综合问题（解密讲义）考点 命题点 考题

数列与函数、

不等式的综合

问题

①数列中函数模型的应用

②数列不等式的恒成立问题

③数列新定义

2024 新北京卷 T21，2024 新天津卷T19，2024 预测北京卷 T21，2024 预测浙江卷T10，2024 预测浙江卷 T20，2024 预测新高考II 卷T17考点一 数列与函数、不等式的综合问题 命题点 1 数列中函数模型的应用典例 01（2024 预测·北京·高考真题）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为

A．

3 2 B．

3 2

2 C．

12 2

5 D．

12 2

7

典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8．由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；

(2)求第次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量服从两点分布，且 = 1 = 1 − = 0 =

, = 1,2, ⋅⋅⋅ , ，则=1 ==1 ．记前次（即从第 1 次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求 ．

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师47 命题点 2 数列不等式的恒成立问题典例（2024 预测·浙江·统考高考真题）已知等差数列 的首项1 =− 1，公差 > 1．记 的前n项和为 ∈ ∗ ．

(1)若4 − 223 + 6 = 0，求；

(2)若对于每个 ∈ ∗，存在实数，使 +

, +1 + 4

, +2 + 15成等比数列，求d 的取值范围．1．数列 中，1 = 3, +1 = 1 +

1 + 2 + 2，若∀ ∈ ∗，都有

9

− 8

≥ 0 恒成立，则实数的最小值为（ ）

A．

8

3

B．15 ×

8

9

7

C．17 ×

8

9

8

D．19 ×

8

9

9

2．已知等比数列 的前项和为，且3 = 7，6 = 63，若关于的不等式2− +33 ≥0对∈N∗恒成立，则实数的最大值为 ．

3．已知数列 的前项和为，且 + 是以 2 为公差的等差数列．

(1)若1 ≠ 2，求证： − 2 是等比数列；

(2)对任意, ∈ N

∗

, ≠ ，都有

−

−> 1 成立，求1的取值范围．

4．已知为数列 的前项和，且=

6+2

, 4 = 12, 为正项等比数列，1 = 1 −4，4 =6. (1)求证：数列 +1+2 −

2 是等差数列；

(2)求数列 的通项公式；

(3)设=

−2

2 ，且数列 的前项和为，若 +

+1 ≥ 3 恒成立，求实数的取值范围.

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师48 命题点 3 数列新定义

典例 03（2024 预测·北京·统考高考真题）设 p 为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为ℜ数列：

①1 + ≥ 0，且2 + = 0；

②4−1 < 4

, ( = 1,2, ⋅⋅⋅ )；

③+ ∈ + + , + + + 1 ，(, = 1,2, ⋅⋅⋅ )．

（1）如果数列 的前 4 项为 2，-2，-2，-1，那么 是否可能为ℜ2数列？说明理由；（2）若数列 是ℜ0数列，求5；

（3）设数列 的前项和为.是否存在ℜ数列 ，使得 ≥ 10恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．

1．设数列 的前项和为，若

2为常数，则称数列 为“吉祥数列”.已知等差数列 的首项为2，且公差不为 0，若数列 为“吉祥数列”，则数列 的通项公式为（ ）

A．= 2 B．= + 1 C．= 3 − 1 D．= 4 − 2

2．（多选）若数列 满足+1 =

2，则称 为“平方递推数列”.已知数列 是“平方递推数列”，且1>0, 1 ≠ 1，则（ ）

A． lg 是等差数列 B． lg 是等比数列

C． +1 是“平方递推数列” D． +1 + 是“平方递推数列” 3．已知数列 满足： ＋1＋＝2＋7（ ∈

∗），且1＝4. (1)求数列 的通项公式；

(2)已知数列 满足＝

1， = 1

log +2

, ≥ 2, ∈ N

∗

, 定义使1

·2

·3⋯ ∈ ∗ 为整数的k 叫做“幸福数”，求区间[1，2024]内所有“幸福数”的和.

2024 高考数学专题突破及解密讲义整理：陈老师49专题 13 空间向量与立体几何（解密讲义）考点 命题点 考题

空间几何体 ①空间几何体的表面积与体积 2024 新全国甲卷（文）T16，2024 新全国甲卷（文）T102024 新全国甲卷（理）T15，2024 新全国乙卷（理）T32024 新全国乙卷（理）T8，2024 新新课标I 卷T14点、直线、平

面之间的位置

关系

①直线、平面平行的判定与性质

②直线、平面垂直的判定与性质

③二面角

2024 新北京卷 T16，2024 新全国乙卷（文）T192024 新全国甲卷（文）T18，2024 新全国甲卷（理）T182024 新全国乙卷（理）T19，2024 新天津卷T172024 新新课标 II 卷 T20

空间向量 ①空间向量及其运算

②空间向量的应用

2024 新新课标 I 卷 T18，2024 新全国甲卷（理）T112024 预测天津卷 T17，考点一 空间几何体

 命题点 1 空间几何体的表面积与体积

典例 01（2024 新·全国·统考高考真题）已知圆锥 PO 的底面半径为 3，O 为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠ = 120°，若△ 的面积等于

9 3

4 ，则该圆锥的体积为（ ）

A． B． 6 C．3 D．3 6

典例 02（2024 新·全国·统考高考真题）已知四棱锥 − 的底面是边长为4 的正方形，==3, ∠ = 45°，则△ 的面积为（ ）

A．2 2 B．3 2 C．4 2 D．6 2

典例 03（2024 新·全国·统考高考真题）在三棱锥 − 中，△ 是边长为2 的等边三角形，==2, = 6，则该棱锥的体积为（ ）

A．1 B． 3 C．2 D．3 ．