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(2022 朝阳二模)★★★☆
27.在正方形 ABCD 中,E 为 BC 上一点,点 M 在 AB 上,点 N 在 DC 上,且 MN⊥DE,
垂足为点 F.
(1)如图 1,当点 N 与点 C 重合时,求证:MN=DE;
(2)将图 1 中的 MN 向上平移,使得 F 为 DE 的中点,此时 MN 与 AC 相交于点 H,
①依题意补全图 2;
②用等式表示线段 MH,HF,FN 之间的数量关系,并证明.
图 1 图 2
(N)
F
M
A D
B E C
A D
B E C
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(2022 朝阳二模)★★★☆
27.在正方形 ABCD 中,E 为 BC 上一点,点 M 在 AB 上,点 N 在 DC 上,且 MN⊥DE,
垂足为点 F.
(1)如图 1,当点 N 与点 C 重合时,求证:MN=DE;
(2)将图 1 中的 MN 向上平移,使得 F 为 DE 的中点,此时 MN 与 AC 相交于点 H,
①依题意补全图 2;
②用等式表示线段 MH,HF,FN 之间的数量关系,并证明.
图 1 图 2
(N)
F
M
A D
B E C
A D
B E C
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吴老师图解
(1)
思路&图解
如图,
1)∠ =∠ = °−∠ 1 3 90 2,
2)△MBN END ≌△ (ASA 或 AAS),
∴ MN DE = .
(三垂直模型)
(2)①如图 2-1.
思路&图解
图 2-1 图 2-2
(2)② MH NF HF + = .
分析
如图 2-2,通过观察或测量,同学们不难猜到结论: MH NF HF + = !
那么如何证明呢?同学们在想证明的同时,不要忘了已知条件:(2)中多了个 DE 的中
点 F ,(1)的结论是 MN DE = ,而本身 MN DE ⊥ ,
假设我们的猜想是正确的,那就意味着 HF 是线段 MN 长度的一半,即 1
2
HF DE = ,
也就是说,我们证出 1
2
HF DE = 就可以了,这时把注意力放到点 F 上,吴老师给出以下
2 个思路:
①连接 DH , EH ,由垂直平分线知 DH EH = ,只需证明∠ =° DHE 90 ,再利用斜边中
线定理即可证得结论,
②连接CF ,利用斜边中线定理知 1
2
CF DE = ,故只需证明△HFC 是等腰直角三角形...
(N)
3
2
1
F
M
A D
B E C
H
N
M
F
A D
B E C
H
N
M
F
A D
B E C
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思路一:证明∠ =° DHE 90
思路&图解
法 1:
如图,连接 DH , EH , BH ,
1)由垂直平分线知 DH EH = ,
2)由正方形的对称性知 DH BH = ,∠ =∠ 1 CDH ,
∴ BH EH = ,即∠ =∠ =∠ 1 2 CDH ,
3)∠ +∠ =∠ +∠ = ° CDH CEH CEH 2 180 ,即∠ =° DHE 90 (对角互补),
4)由斜边中线定理知 1 1
2 2
HF DE MN = = ,
∴ MH NF HF + = .
法 2:
如图,连接 DH , EH ,作 HP BC ⊥ , HQ CD ⊥ ,
1)由正方形知∠ =∠ 1 2 ,则 HP HQ = ,且∠ =° PHQ 90 ,
2)由垂直平分线知 DH EH = ,
3)易证△HPE HQD ≌△ (HL),则∠ =∠ 3 4 ,
4)∠ =∠ +∠ =∠ +∠ = ° DHE EHQ EHQ 4 3 90 ,
5)由斜边中线定理知 1 1
2 2
HF DE MN = = ,
∴ MH NF HF + = .
1 2
H
N
M
F
A D
B E C
1
2
P
H Q
N
M
F
A D
B E C
3
4
P
H Q
N
M
F
A D
B E C
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思路二:证明△HFC 是等腰三角形
思路&图解
如图,连接CF ,设∠ =∠ = 1 2 α ,
1)∠ = °+ 3 45 α ,
2)∠ =∠ = °−∠ = °+ 5 3 180 4 45 α (对角互补),
3)由斜边中线定理知 1
2
CF DE EF = = ,则∠ =∠ = °+ FCE 5 45 α ,
∴ ∠ = =∠ 6 2 α ,即 1 1
2 2
HF CF DE MN = = = ,
∴ MH NF HF + = .
6
4 5
3
2
1
45°
α
45°
H
N
M
F
A D
B E C