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（2023 大兴二模——直点）★★
关键词：定弦定角、点线距（胶囊）
28．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（－r，0），B（r，0）．点 P 为平面内一点（不与
点 A，点 B 重合），若△ABP 是以线段 AB 为斜边的直角三角形，则称点 P 为线段 AB 的直点．
（1）若 r＝1，
①在点 P1（
1
2
，
1
2
− ），P2（0，1），P3（－1，－1）这三个点中，点_______是线段
AB 的直点；
②点 P 为线段 AB 的直点，点 C（－1，1），求 CP 的取值范围；
（2）点 D 在直线 y＝x－1 上，若点 D 的横坐标 xD 满足
2 4 D x
，点 P 为线段 AB 的直
点，且 DP＝1，直接写出 r 的取值范围．
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吴老师图解
（1）①
P2
；②
2 1 2 1 − + CP .
规律总结
如图，线段
AB
的直点
P
在：以
AB
为直径的圆上（不包括点
A ， B
）.
思路&图解
图 1-1 图 1-2
①图 1-1，点
P2
是线段
AB
的直点.
②图 1-2， max CP CM = = + 2 1， min CP CN = = − 2 1
，即
2 1 2 1 − + CP .
（2）
5 1 6 − r .
分析
如图，
1）点
D
在线段
MN
上（不包括端点），
2）若
DP =1
，则点
P
在图示阴影部分的
内部或边界上（虚线和空心点不可取），
3）若点
P
是线段
AB
的直点，则以
AB
为直径的圆，应与图示阴影部分有交点！
x
y
A O B
P
x
y
P3
P2
P1
A O B x
y
N
M
C
A O B
x
y
y = x 1
N
M
O
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思路&图解
1】
r 0
如图，当
r 0
时，点
A
在
x
轴的负半轴上，点
B
在
x
轴的正半轴上，
1）当以
AB
为直径的圆与半径为 1 的
M
相切时，
易求得
M(2,1)
，即
OM = 5
，故
r OG = = − 5 1
（不可取），
2）当以
AB
为直径的圆与半径为 1 的
N
相切时，
易求得
N(4,3)
，即
ON =5
，故
r OH = = + = 5 1 6
（不可取），
5 1 6 − r .
2】
r 0
当
r 0
时，同理得
5 1 6 − − r
，即
− − + 6 5 1 r .
综上所述：
− − + 6 5 1 r
或
5 1 6 − r .
x
y
A2 A1 B1 B2
H
G
N
M
O
